初三相似三角形之一线三等角专题
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相似三角形——“一线三等角型”
一、知识梳理:
一线三等角:两个等角的一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧。若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上,角的两边(或两边所在直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在直线)相交,此时通过证明,一般都可以得到一组相似三角形,该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形.
(图1)(图2)
(1)如图1,已知三角形ABC中,AB=AC,∠ADE=∠B,那么一定存在的相似三角形有;(2)如图2,已知三角形ABC中,AB=AC,∠DEF=∠B,那么一定存在的相似三角形有.二、【例题解析】
【例1】如图,等边△ABC中,边长为4,D是BC上动点,∠EDF=60°,
(1)求证:△BDE∽△CFD;(2)当BD=1,FC=5
2
时,求BE.
【变式1】在边长为4的等边ABC
∆中,D是BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,且保持ABC
EDF∠
=
∠,连接EF.
(1) 已知BE=1,DF=2,求DE的值; (2) 求证:∠BED=∠DEF.
【变式2】在边长为4的等边ABC ∆中,若BD =1时,当△DEF 与△AEF 相似,求BE 的值.
【变式3】如图,已知边长为3的等边ABC ∆,点F 在边BC 上,CF =1,点E 是射线BA 上一动点,
以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆,直线EG ,FG 交直线AC 于点M ,N ,
(1)写出图中与BEF ∆相似的三角形;
(2)证明其中一对三角形相似;
(3)设BE =x ,MN =y ,,求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
【例2】在ABC ∆中,O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点,且5
2=AB AO ,点P 是AC 上的一个动点,OP PQ ⊥交线段BC 于点Q (不与点B ,C 重合),已知AP =2,求CQ .
【变式1】 如图,在△ABC 中,8==AC AB ,10=BC ,D 是BC 边上的一个动点,点E 在AC
边上,且C ADE ∠=∠.
(1) 求证:△ABD ∽△DCE ;
(2) 如果x BD =,y AE =,求y 与x 的函数解析式,并写出自变量x 的定义域;
(3) 当点D 是BC 的中点时,试说明△ADE 是什么三角形,并说明理由.
Q
C P
【变式2】在直角三角形ABC 中,D BC AB C ,,90==∠o 是AB 边上的一点,E 是在AC 边上的一
个动点(与A ,C 不重合),DF DE DF ,⊥与射线BC 相交于点F .
(1) 如图1,当点D 是边AB 的中点时,求证:DF DE =;
(2) 如图2
,当m DB AD =,求DF DE 的值.
图(2)
图(1)F C
F C A B
B A D E D E
【例3】已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且AD =5,AB =DC =2,P 为AD 上的一点,满
足∠BPC =∠A . ① 求证;△ABP ∽△DPC ; ② 求AP 的长.
【变式1】如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满足∠BPE =∠A ,PE 交直线
BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q ,那么
①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP =x ,CQ =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出函
数的定义域;
②当CE =1时,写出AP 的长.
C B A
D C B A D
【变式2】在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,6AB CD BC ===,3AD =.点M 为边BC 的中点,
以M 为顶点作EMF B ∠=∠,射线ME 交腰AB 于点E ,射线MF 交腰CD 于点F ,联结EF .
(1)求证:△MEF ∽△BEM ;
(2)若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形,求EF 的长;
(3)若EF CD ⊥,求BE 的长.
【作业】
1、如图,在ABC ∆中,90C ∠=︒,6AC =,43=BC AC ,D 是BC 边的中点,E 为AB 边上的一个动点,作90DEF ∠=︒,EF 交射线BC 于点F .设BE x =,BED ∆的面积为y .
(1)求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;
(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似,求BED ∆的面积.
2、如图,已知在△ABC 中, AB =AC =6,BC =5,D 是AB 上一点,BD =2,E 是BC 上一动点,连结
DE ,并作DEF B ∠=∠,射线EF 交线段AC 于F .
(1)求证:△DBE ∽△ECF ;
(2)当F 是线段AC 中点时,求线段BE 的长;
(3)联结DF ,如果△DEF 与△DBE 相似,求FC 的长.
3、已知在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD <BC ,且BC =6,AB =DC =4,点E 是AB 的中点.
(1)如图,P 为BC 上的一点,且BP =2.求证:△BEP ∽△CPD ;
(2)如果点P 在BC 边上移动(点P 与点B 、C 不重合),且满足∠EPF =∠C ,PF 交直线CD 于
点F ,同时交直线AD 于点M ,那么:
①当点F 在线段CD 的延长线上时,设BP =x ,DF =y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出
函数的定义域;
②当BEP DMF S S ∆∆=4
9时,求BP 的长.