复数的几种表示形式的转换及计算课件
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1.2复数的几种表示形式
P8
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
(3) | z | | z |;
P6
arg z - arg z , ( arg z π );
| z |2 z z .
z
|z| Im z
Re z
z2
z1 z2
z1
z1 - z2
|z| z
arg z arg z
|z| z
P8
证 | z1 z2 |2 (z1 z2 )( z1 z2 ) (z1 z2 )( z1 z2 )
复数 z 的乘幂，记为 zn , 即 zn z z z .
n个
利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。
法则 设 z r ei , 则 zn (r ei )n r n ein .
三、复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 棣莫弗(De Moivre)公式 由 zn (r ei )n r n ein 以及复数的三角表示式可得
欧拉
Leonhard Euler (1707～1783)
瑞士数学家、自然科学家
十八世纪数学界最杰出的人物之一。 数学史上最多产的数学家。 不但为数学界作出贡献， 而且把数学推至几乎整个物理领域。
附：人物介绍 —— 欧拉
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家。 以每年平均 800 页的速度写出创造性论文。 一生共写下了 886 本书籍和论文。
注: 复数 0 的模为 0，辐角无意义。
一、复数的几何表示
2. 复数的模与辐角
主辐角 对于给定的复数 z 0 , 设有 满足： Arg z 且 - π π ,
则称 为复数 z 的主辐角或辐角主值，记作 arg z .
由此就有如下关系： Arg z arg z 2kπ , k 0 , 1, 2 , .
复数的课件ppt
详细描述
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
为它们可能包含实部和虚部。利用复数，可以更方便地 表示相位和阻抗，从而简化计算过程。
信号处理中的复数表示
总结词
在信号处理中，复数表示可以方便地 描述信号的频率和振幅信息。
详细描述
在信号处理中，复数是一种常用的数 学工具，用于描述信号的频率和振幅 信息。通过将信号表示为复数形式， 可以方便地进行信号的频谱分析和滤 波等操作。
复数的几何表示
总结词
复数可以通过平面坐标系中的点或向量来表示，其实部为x轴上的坐标，虚部为y轴上的坐标。
详细描述
复数可以通过几何图形来表示，其实部和虚部分别对应平面坐标系中的x轴和y轴上的坐标。在坐标系中，每一个 复数都可以表示为一个点或一个向量，其横坐标为实部，纵坐标为虚部。这种表示方法有助于直观理解复数的意 义和性质。
02
复数的三角形式
复数的三角形式表示
实部和虚部
复数可以表示为实部和虚部的和 ，即$z = a + bi$，其中$a$是实 部，$b$是虚部。
三角形式
复数还可以表示为模和辐角的形 式，即$z = r(costheta + isintheta)$，其中$r$是模， $theta$是辐角。
复数的模和辐角
除法运算
两个复数相除时，可以用乘以共轭复 数的方法化简，即$frac{a+bi}{c+di} = frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$ 。
03
复数的应用
电路中的复数表示
总结词
利用复数表示电路中的电压和电流，可以简化计算，方便分 析。
复数的基本概念及运算ppt课件
8.点M是△ABC所在平面内的一点,且满足 AM =
3 4
AB +
1 4
AC
,
则△ABM与△ABC的面积之比为_____.
类似题：《作业手册》P251 选做2
（10分）已知△ABC中, AB = a , AC = b ,对于平面ABC上 任意一点O,动点P满足 OP = OA +λa +λ b ,则动点P的轨. 迹是什么?其轨迹是否过定点,并说明理由.
（1）i4n=1; i4n+1=i; i4n+2=-1 i4n+3=-i
(2)in+in+1+in+2+in+3=0；
(3) (1±i)2=±2i ；
(4) 1 i i, 1 i i; 1i 1 i
(5) 设 ω - 1 3 i 则 22
ω3 1，ω2 ω，ω2 ω 1 0.
EX1:《创新》P213 例3
今晚自修①《作业手册》P315
4. 复数 z = a+bi 的模、共轭复数的概念:
| z | a2 b2
z a bi
5. 复数相等:
a=c
a+bi=c+di (a,b,c,d∈R)
b=d
注意 : 两个虚数不能比较大小!
二、复数的代数形式及运算法则
设 z1 a bi, z2 c di (a,b,c,d R) 加减法：(a bi) (c di) (a c) (b d)i
(2)(3 4i) (1 2i) 2 2i (3)a = 0是复数z = a + bi为纯虚数的必要不充分条件 (4)z = z是复数z R的充要条件 (5)若z z 0，则复数z为纯虚数 (6)任意两个复数不能比较大小 以上说法正确的有 __________
1.2复数的几种表示
)
Arg
z1
-
Arg z2
.
(在集合意义下)
两个复数的商的 模等于它们的模的商；
幅角等于它们幅角的差。
13
§1.2 复数的几种表示
第 例 计算 i .
一
1- i
章 复
解
由
i
πi
e2 ,
1-i
-πi
2e 4
有
数 与 复 变
i 1- i
πi
e2
-πi
2e 4
1
( π π )i
e2 4
1
3π i
e4
2
§1.2 复数的几种表示
第 一、复数的几何表示
一 章
2. 复数的模与辐角 P5
将复数和向量对应之后，除了利用
复
数
实部与虚部来给定一个复数以外，
与
还可以借助向量的长度与方向来给
复
变
定一个复数。
函
数 定义 设 z 的是一个不为 0 的复数，
y
y
r
O
z x yi
x
x
(1) 向量 z 的长度 r 称为复数 z 的模，记为 | z |.
复 数
令 π 有 eiπ 1 0 . 克莱茵认为这是数学中最卓越的
与
公式之一，它把五个最重要的数 1, 0, i, π,e 联系起来。
复
变
ei( ) cos( ) i sin( ) ,
函
数
ei ei (cos i sin )(cos i sin )
(cos cos - sin sin ) i (sin cos cos sin ),
复 变
即 n(cos n i sin n ) r(cos i sin ) ,
复数课件ppt免费
02
复数的应用
Chapter
电路分析中的应用
电路分析中，复数是一种常用的数学工具，用于描述交 流电路中的电压、电流和阻抗等参数。
通过使用复数表示，可以简化计算过程，方便分析和设 计电路。
复数在交流电路分析中的应用包括计算交流阻抗、交流 功率和交流电流等。
信号处理中的应用
在信号处理中，复数常用于表示和处 理信号，如频谱分析和滤波器设计等 。
复数在信号处理中的应用还包括数字 滤波器设计和数字信号处理算法的实 现等。
通过将信号表示为复数形式，可以方 便地进行信号的频域分析和处理，如 傅里叶变换和离散余弦变换等。
控制系统中的应用
在控制系统中，复数常用于描 述系统的传递函数和稳定性等 特性。
通过使用复数表示，可以方便 地分析系统的频率响应和稳定 性，以及设计控制系统的参数 。
实例
$2(cos frac{pi}{3} + i sin frac{pi}{3}) + 1(cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) = sqrt{3}(cos frac{7pi}{12} + i sin frac{7pi}{12})$。
指数形式的计算
定义
复数指数形式是 $re^{itheta}$，其中 $r$ 是模长，$theta$ 是辐角 。
复数课件ppt免费
目录
• 复数的基本概念 • 复数的应用 • 复数的计算方法 • 复数的历史发展 • 复数的扩展知识
01
复数的基本概念
Chapter
复数的定义
总结词
复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i 是虚数单位。
复数的四则运算课件
共轭复数
1.设Z =a+bi (a,b∈R )
Z + Z = 2a
Z－ Z = 2bi
2.共轭复数的性质
(1) z1 z2 z1 z2
(2) z1 z2 z1 z2
(3) z1 z2 z1 z2
(4)
z1 z2
z1 z2
(5)zz R, z z R; (6)z z; (7)zn (z)n (n 2).
c di
a c
bi di
(a (c
bi)(c di) di)(c di)
ac
bd (bc c2 d2
ad )i
ac c2
bd d2
bc c2
ad d2
i
例题选讲
1 i i
1.计算： ①
1 1
i i
①
i
②
1 1
i i
②
-
i
③ （1+2i)÷(3-4i);
③ (- 1＋2i)/5
对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
其中Z =a + bi 与a – bi 叫共轭复数.
如果两个复数的实部相等，虚部互为相反数 时，这两个复数叫做互为共轭复数。（当虚部 不等于0时也叫做互为共轭虚数） 思考：复数Z 为实数的充要条件是 Z = Z
即 实数的共轭复数仍是其本身.
证明: Z 1+Z2 = Z1+Z2 ，Z1-Z=2 Z-1 Z2
证明：设Z=1 a1+b1i， Z2= a2+b2i (a1 , a2 , b1 , b2) ∈R ，则
Z1+Z2 = (a1+b1i )+ (a2+b2i ) = (a1+a2) + (b1+b2 )i = (a1+a2)－( b1+b2 )i = (a1－b1i)+( a2－b2 i) =Z1+ Z2
《复数基础知识》课件
02
计算方法：利用三角函数的加Байду номын сангаас公式 和减法公式可以计算出复数的乘积和 商。
03
应用：复数的乘除运算是复数运算的 基本法则之一，它们在解决实际问题 中具有广泛的应用。
03
复数的应用
在电路分析中的应用
总结词
利用复数表示交流电的各种参数，如电压、电流、阻抗等，简化计算过程。
详细描述
在电路分析中，许多参数如电压、电流、阻抗等都是时间的函数，具有频率和相 位。利用复数表示这些参数，可以将实数和虚数部分合并，方便进行计算和比较 。通过复数运算，可以快速得到电路的响应，简化计算过程。
在信号处理中的应用
总结词
利用复数进行信号的频谱分析和滤波器设计。
详细描述
在信号处理中，频谱分析和滤波器设计是常见的任务。复数可以用于表示信号的频谱，使得频谱分析变得简单直 观。同时，利用复数进行滤波器设计，可以方便地实现低通、高通、带通等不同类型的滤波器。通过复数运算， 可以快速得到滤波器的响应，提高信号处理的效率。
利用复数的模和辐角，可以将任意复 数转换为三角形式。
复数的模与辐角
定义
复数的模定义为 $sqrt{a^2 + b^2}$， 辐角定义为 $arctan(frac{b}{a})$， 当$a > 0$时，辐角在 第一象限；当$a < 0$ 时，辐角在第三象限。
计算方法
利用勾股定理和反正切 函数可以计算出任意复 数的模和辐角。
控制工程
在控制工程中，系统的传递函数和 稳定性分析通常需要用到复数，以 描述系统的动态特性。
05
复数与实数的关系
复数与实数的转化关系
实数轴上每一个点都 可以对应一个复数， 反之亦然。
复数的表示及其运算页PPT文档
cos3
10
,
co5ssin25
sin
3
10
,
zcos3isin3
10 10
3 i
e 10
.
思考题1
复数为什么不能比较大小？
参考答案
观察复 i和 数 0, 由复数的定义i 可0, 知 (1)若i0, 则 ii0i, 即 10,矛;盾 (2)若i0, 则 ii0i, 同样 10,有 矛. 盾 由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
小结
本课学习了复数的有关概念、性质、四种表 示形式及相关的运算. 重点掌握复数的四种表示 形式（代数形式、几何形式、三角形式、指数形 式），复数的模和辐角是表示后三种形式的重点.
例 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式:
( 1 )z 1 2 2 i; ( 2 )z 1 2 + 2 i;
r z 124 4,
z在 第 二 象 限 ,
arctan 122+πarctan（-
3)
3
5, 6
z4cos56isin56
5 i
4e6 .
(3) zsinicos
5
5
显r然 z1,
sin5cos25
的 观 念 ， 这 称 为 复 数 的 点 表 示 法 .
y
横 轴 即 x轴 上 的 点 对 应 复 数 的 实 部 ，
虚轴
所 以 也 称 x轴 为 实 轴 ；
y
纵 轴 即 y轴 上 的 点 对 应 复 数 的 虚 部 ，Leabharlann zxiy (x, y)
所 以 也 称 y轴 为 虚 轴 ；
oxx
由 实 轴 和 虚 轴 确 定 的 平 面 称 为 复 平 面 . 实轴
复数的三角形式及运算通用课件
加法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$的 和为 $z_1+z_2=7(cos(frac{pi}{3}+frac{pi}{4})+ isin(frac{pi}{3}+frac{pi}{4}))$。
幅角的取值范围
幅角的取值范围是[0, 2π)，并且对于 任意非实数z，其幅角是唯一的。
共轭复数的性质
共轭复数的定义
如果复数z=a+bi，那么它的共轭复数是z*=a-bi。
共轭复数的性质
共轭复数的模相等，即|z|=|z*|=sqrt(a^2+b^2)。
04
复数三角形式的实际应用
在电路分析中的应用
theta_1} + r_2^n e^{i n theta_2}$
应用
03
幂运算性质在解决复数幂运算问题中非常有用，如求解复数方
程、计算复数幂级数等。
THANKS
感谢观看
复数三角形式的加法和减法运算
加法运算规则
根据复数三角形式的定义，两个复数 $z_1=r_1(costheta_1+isintheta_1)$和 $z_2=r_2(costheta_2+isintheta_2)$的和 为 $z_1+z_2=r_1(costheta_1+isintheta_1)+ r_2(costheta_2+isintheta_2)$。
VS
除法运算实例
例如， $z_1=3(cosfrac{pi}{3}+isinfrac{pi}{3})$ 和 $z_2=4(cosfrac{pi}{4}+isinfrac{pi}{4})$ 的商为$frac{z_1}{z_2}=frac{3}{4}(cos(frac{7pi}{12})+isin(-frac{7pi}{12}))$。
复数的概念与运算复习ppt课件
3.复数13＋－24ii2的值是( A．－1 C．－i
)
B．1 D．i
【解析】13＋－24ii2＝1＋3－4i4－i 4＝－1， 故选 A.
4.已知复数 z 满足(1＋ 3i)z＝i，则 z＝
3＋i 4.
5.若1－2 i＝a＋bi(i 为虚数单位，a，b∈R)，则 a＋b＝ 2 .
【解析】由已知得 1＋i＝a＋bi，所以 a＝1，b＝1， 所以 a＋b＝2.
【例 3】设复数 z 满足|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2，求|z＋ 2| 的最大值．
复数加Байду номын сангаас运算的几何意义及应用
【解析】 由|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2的几何意义知 z 对应点 在椭圆x22＋1y82 ＝1 上．
所以|z＋ 2|＝ x＋ 22＋y2 ＝ x＋ 22＋18－9x2 ＝ －8x2＋2 2x＋20 ＝ －8x－ 822＋841. 故当 x＝ 82，|z＋ 2|有最大值92.
【点评】先进行加法运算 z1＋z2，因为 z1＋z2 是虚数，利用 虚部不为零解之，同时，要注意实数中含有分母，一定要 使分母不为零．
素材1
计算： (1)12－＋23i45； (2)－1＋2 23＋3ii＋(1－2i)2012.
【解析】(1)原式＝1－
161＋i4 3i41－
3i
＝－2－2163·i2i221－ 3i
【点评】实数集扩充为复数集后，解决了实系数一元二次方 程在实数集中无解的问题，即在复数集中，实系数的一元二 次方程总有解．当 Δ<0 时，实系数的一元二次方程有成对共 轭虚数根．
STEP1 STEP2 STEP3
设z=a+bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解 复数常用的方法．
《复数的加减乘除》课件
复数在物理学、工程学等领域中广泛应用，有 助于解决实际问题。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
结论和总结
复数的加减乘除是解决复杂计算和问题的重要工具。我们学习了复数的概念 和表示方法，并探讨了复数运算的规律和实际应用。复数在数学和应用科学 中具有重要意义。
将复数的实部和虚部分别相减。
复数的乘法和除法
复数相乘相当于根据实部和虚部的乘法规则计算得出的结果。复数相除相当于根据实部和虚部的 除法规则计算得出的结果。
复数乘法
将复数的实部和虚部分别相乘。
复数除法
将复数的实部和虚部分别相除。
复数运算的公式和规律
复数运算有很多公式和规律，如共轭复数的定义和性质，复数的模、辐角等。
1 共轭复数
共轭复数是实部相同但虚部符号相反的复数。
2 复数的模
复数的模表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。
3 复数的辐角
复数的辐角表示复数与正实数轴的夹角，可以通过三角函数计算。
实际应用举例
复数在物理学、电气工程、控制理论等领域有广泛的应用。以下是一些实际应用的举例：
电路分析
复数可以用来描述电路中的电压、电流等复杂的参数。
《复数的加减乘除》PPT 课件
本课件将介绍复数的概念和表示方法，探讨复数的加法和减法，讨论复数的 乘法和除法，并解释复数运算的公式和规律。我们还会给出实际应用的举例， 进一步探讨复数的重要性和意义，并在结论中进行总结。
复数的概念和表示方法
复数由实部和虚部组成，可以用实数a和b表示为a+bi的形式。实部表示实数部分，虚部表示虚数 部分。
复数表示法
复数可以用直角坐标形式或极坐标形式来表 示。
复平面图
可以使复数图
将复数在复平面图上绘制，可以形成复数图。
复数ppt课件七彩课堂
物理量。
复数可以方便地表示正弦波和余 弦波，这有助于理解和分析交流
电路的工作原理。
复数还可以用于计算电路中的频 率响应和稳定性，这对于电子设 备和通信系统的设计至关重要。
光学
在光学中，复数被用于描述光的 波动性质和干涉现象。
光的波动方程通常用复数表示， 这有助于理解和分析光的传播和
干涉。
复数在光学中还被用于描述光波 的相位、振幅和偏振等物理量， 这些是控制光学现象的关键因素
03
交流电机控制
交流电机是现代工业和生活中常见的设备，如空调、洗衣机等。复数在
交流电机控制中发挥了重要作用，可以通过复数计算电机的电压和电流
，实现精确控制。
振动和波动
振动分析
振动是自然界和工程中常见的现象，如地震、机械振动等。 复数可以用于描述振动信号的幅值和频率，通过复数分析， 我们可以了解振动的性质和规律。
。
复数在现代科技中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数通常是复数，复数在描述 微观粒子的状态中发挥了重要作用。
电路分析
在电子工程中，复数是电路分析的基础，用于描 述交流电的特性和行为。
控制理论
在控制工程中，系统的稳定性常常通过分析复数 特征根来判定，复数在其中具有关键作用。
THANKS
感谢观看
流体动力学
在航空航天工程中，复数用于描述流 体动力学的波动现象，如声波和湍流 。
06 复数的历史和发 展
早期的复数概念
复数萌芽
早在文艺复兴时期，数学家们开 始意识到实数体系的不完备性， 尝试引入虚数来弥补这一缺陷。
欧拉与复数
欧拉是复数领域的先驱，他首次系 统地研究了复数的性质，并为其命 名。
复数的几何解释
复数可以方便地表示正弦波和余 弦波，这有助于理解和分析交流
电路的工作原理。
复数还可以用于计算电路中的频 率响应和稳定性，这对于电子设 备和通信系统的设计至关重要。
光学
在光学中，复数被用于描述光的 波动性质和干涉现象。
光的波动方程通常用复数表示， 这有助于理解和分析光的传播和
干涉。
复数在光学中还被用于描述光波 的相位、振幅和偏振等物理量， 这些是控制光学现象的关键因素
03
交流电机控制
交流电机是现代工业和生活中常见的设备，如空调、洗衣机等。复数在
交流电机控制中发挥了重要作用，可以通过复数计算电机的电压和电流
，实现精确控制。
振动和波动
振动分析
振动是自然界和工程中常见的现象，如地震、机械振动等。 复数可以用于描述振动信号的幅值和频率，通过复数分析， 我们可以了解振动的性质和规律。
。
复数在现代科技中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数通常是复数，复数在描述 微观粒子的状态中发挥了重要作用。
电路分析
在电子工程中，复数是电路分析的基础，用于描 述交流电的特性和行为。
控制理论
在控制工程中，系统的稳定性常常通过分析复数 特征根来判定，复数在其中具有关键作用。
THANKS
感谢观看
流体动力学
在航空航天工程中，复数用于描述流 体动力学的波动现象，如声波和湍流 。
06 复数的历史和发 展
早期的复数概念
复数萌芽
早在文艺复兴时期，数学家们开 始意识到实数体系的不完备性， 尝试引入虚数来弥补这一缺陷。
欧拉与复数
欧拉是复数领域的先驱，他首次系 统地研究了复数的性质，并为其命 名。
复数的几何解释
复数表示法
B = 220/120° = 220(1 j 3)V U 2 2 C = 220 /120° = 220(1 + j 3)V U 2 2
UC
120°
UA
120°
UB
初相位等于另的相量称为参考相量。 初相位等于另的相量称为参考相量。选择适 参考相量 当的参考相量可简化相量图。 当的参考相量可简化相量图。
2.2.3 复数表示法
复数的四种表示形式 复数的运算 用复数表示相量 各种表示法之间的关系
一、复数的四种表示形式
定义：A是形如a + jb的数，称为复数，其中j是 1，a和b 都是实数。a称为实部，记为 Re A; b称为虚部，记为 Im A。
直 角 坐
复数的代数表示 复数的代数表示 复数的几何表示 复数的几何表示
o
X
Im = Im1 + Im2
a2 a1
+ [I2m cos(60o ) + jI2m sin( 60o )] = [I1m cos30o + I2m cos(60o )] + j[I1m sin 30o + I2m sin( 60o )] = (a1 + a2 ) + j(b + b2 ) = a + jb 1
U2m = U2me
jψu2
Um2 > Um1 > Im
U1m = U1me jψu1 I m = Ime jψ
U2m U1m
ψu2 >ψu1 >ψi
即：u2超前于u1，u1超前于
i
ψu 2
ψu1
0
1 =ψu1 ψi 2 =ψu2 ψu1
ψi
Im
0O
UC
120°
UA
120°
UB
初相位等于另的相量称为参考相量。 初相位等于另的相量称为参考相量。选择适 参考相量 当的参考相量可简化相量图。 当的参考相量可简化相量图。
2.2.3 复数表示法
复数的四种表示形式 复数的运算 用复数表示相量 各种表示法之间的关系
一、复数的四种表示形式
定义：A是形如a + jb的数，称为复数，其中j是 1，a和b 都是实数。a称为实部，记为 Re A; b称为虚部，记为 Im A。
直 角 坐
复数的代数表示 复数的代数表示 复数的几何表示 复数的几何表示
o
X
Im = Im1 + Im2
a2 a1
+ [I2m cos(60o ) + jI2m sin( 60o )] = [I1m cos30o + I2m cos(60o )] + j[I1m sin 30o + I2m sin( 60o )] = (a1 + a2 ) + j(b + b2 ) = a + jb 1
U2m = U2me
jψu2
Um2 > Um1 > Im
U1m = U1me jψu1 I m = Ime jψ
U2m U1m
ψu2 >ψu1 >ψi
即：u2超前于u1，u1超前于
i
ψu 2
ψu1
0
1 =ψu1 ψi 2 =ψu2 ψu1
ψi
Im
0O
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2．角频率ω：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹） ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
SUCCESS
THANK YOU
2020/3/3
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ωt+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
u1
2Ucos（t
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π/2 ⑤|12|=π
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交； －－u1和i2反相。
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
F1 F2
| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
④图解法：
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2
| F1 | 1 | F2 | 2
| |
F1 F2
| |
1
2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值) b |F|
argF --复数F的辐角
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕
，
若实
O
部为
负
数，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2
I def
1 T i 2dt T0
1 T
T 0
Im
2cos（2 t
i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电 压、电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的 数字都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2
j
e2
j
，e- j 2
j
，e j
-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
（ωt+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函 数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ωt+)=1时，imax=Im；当cos(ωt+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹） ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
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二、正弦量的三要素
3．初相位：
ωt+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
u1
2Ucos（t
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π/2 ⑤|12|=π
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交； －－u1和i2反相。
实部与实部相加减， 虚部与虚部相加减。
②图解法：
++jj F2
F2
O
O
F1 F1+F2
++j j F2
+1F2
O
F1-F2
F1 -F2
复数减法的平行四+1边形法和三O角形法
复数加法的平行四边形法和三角形法
F1-F2 F1 F1+F2 F2 +1
F1
+1
2．乘法运算：
①代数形式：
F1F2 ( a1 jb1 )( a2 jb2 ) ( a1a2 b1b2 ) j( a2b1 a1b2 )
4．指数形式：
由欧拉公式： e j cos jsin
F F e j
5．极坐标形式： F F
负数几种形式的转换
例1：将 F1 9.573 化为直角坐标形式。
解： F1 9.5cos73 j9.5sin73 2.78 j9.08
例2：将 F2 20 j40 化为极坐标形式。
2
F1
O
1
+1
复数的乘法
3．除法运算：
①代数形式：
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
（（aa21
jb1）（a2 jb2）（a2
jb2） jb2）
（aa12）a22
b1b2 （b2）2
j（aa22）b21
a1b2 （b2）2
②指数形式：
F1 F2
| |
F1 F2
| |
e e
j 1 j 2
| F1 | e j（1 2） | F2 |
④图解法：
+j
F1
③极坐标形式：
F1 F2
| F1 | 1 | F2 | 2
| |
F1 F2
| |
1
2
模相除，辐角相减。
F1/F2
1 1 - 2
F2
O
2
+1
复数的乘法
4．旋转因子： +j
a F cos
b F sin
+j
F a2 b2 --复数F的模(值) b |F|
argF --复数F的辐角
由
于
主
值arctan（b）〔
，
〕
，
若实
O
部为
负
数，
a
22
则arctan（b） 才是正确的辐角。
a
F
a
+1
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
3．三角形式： F F（cos jsin）
解： | F2 | （ 20）2 （ 40）2 44.7
F2在第三象限，
arctan（ 40） 180 63.4 180 243.4
20
F2 44.7243.4
二、复数的四则运算
1．加、减法运算：
①代数法：
F1 F2 ( a1 jb1 ) ( a2 jb2 ) ( a1 a2 ) j( b1 b2 )
主值12 〔 ，〕， 若12 〔 ，〕，则用 12 2 来规范它。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
②指数形式：
F1F2 | F1 | e j1 | F2 | e j2 | F1 || F2 | e j（1 2）
③极坐标形式：
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | 1 2
模相乘，辐角相加。
④图解法：
+j
F1F2
F2
1 + 2
I def
1 T i 2dt T0
1 T
T 0
Im
2cos（2 t
i）dt
－－均方根值
I Im / 2 0.707Im
工程中使用的交流电气设备铭牌上标注的额定电 压、电流的数值，以及交流电压表、电流表表面上标注的 数字都是有效值。
三、几个概念
2．相位差：
同频率正弦量的相位之差，为一常数，与时间无关。
e j 1
F2
－－旋转因子 jF1
F1 -jF2
j
e2
j
，e- j 2
j
，e j
-1
O
+1
旋转因子示意
乘以j，即把复数逆时针旋转π/2； 乘以-j（除以j），即把复数顺时针旋转π/2。
§8-2 正弦量
一、正弦电压和电流
1．定义：
随时间按正弦规律变换的电压和电流。
2．数学表达式：
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
（ωt+）|t=0 =
单位：弧度
通常，||≤180°－－主值范围。
三、几个概念
1．有效值：
工程中常将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效 应换算为在效应上与之相等的直流量，以衡量和比较周期电 流或电压的效应，这一直流量就称为周期量的有效值。用相 应的大写字母表示。
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函 数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ωt+)=1时，imax=Im；当cos(ωt+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
第八章 相量法
重点
1、复数的几种表示形式的转换及计算 2、正弦量的三要素 3、 KCL、KVL 、VCR的相量表示
难点
理解相量法的实质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§8-1 复 数
一、复数的几种表示形式
1．代数形式： F a jb
Re[F] a --复数F的实部
Im[F] b --复数F的虚部
2．向量形式：