现代控制理论6.4 解耦控制

� 用[I+Gp(s)Gc(s)]左乘上式，有 [I+Gp(s)Gc(s)]W(s)=Gp(s)Gc(s) 即
Gp(s)Gc(s)[I-W(s)]=W(s)
补偿器解耦(3/7)
−1 ( s) ， [I-W(s)]-1左乘与右乘上式，有 � 分别用 Gp 1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W (s ) ] −1
状态反馈解耦(14/16)
� 由于E是非奇异阵,所以系统可以解耦。 � 因此,状态反馈解耦矩阵为 ⎡0 0 −1⎤ K = −E F = ⎢ ⎥ 1 2 3 ⎣ ⎦ ⎡ 1 0⎤ −1 H =E =⎢ ⎥ 0 1 ⎣ ⎦
−1
状态反馈解耦(15/16)
� 此时闭环系统状态方程和输出方程为： ⎡0 ̇ (t ) = ⎢0 x ⎢ ⎢ ⎣0 ⎡1 y (t ) = ⎢ ⎣0 0 −1⎤ ⎡1 0 ⎤ ⎢ 0 0 ⎥ v (t ) 0 1⎥ x ( t ) + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 0⎥ ⎦ ⎣0 1 ⎥ ⎦ 1 0⎤ x (t ) ⎥ 0 1⎦
� 根据补偿器Gc(s)的求解公式,有
1 Gc ( s) = G − p ( s )W ( s ) [ I − W ( s ) ] −1 −1
⎡ 1 ⎤⎡ 1 ⎤⎡ s ⎤ 0 0 0 ⎢ 2s + 1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ ⎢ s +1 ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 1 ⎥⎢ 1 ⎥⎢ 5s ⎥ ⎢ 1 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎦ ⎣ 5s + 1⎥ ⎦ 2s + 1 ⎡ ⎤ 0 ⎥ ⎢ s =⎢ ⎥ ⎢ −( s + 1)(2 s + 1) s +1 ⎥ ⎢ s 5s ⎥ ⎣ ⎦
系统解耦(2/3)
� 在许多工程问题中,特别是过程控制中,解耦控制有着重 要的意义。 � 目前许多在航天,发电,化工等方面的控制系统难于投 入运行,不少是因耦合的原因造成,因此解耦问题的研 究十分重要。 � 若一个m维输入u和一个m维输出y的动力学系统,其传递函数 矩阵是一个对角线有理多项式矩阵 0 ⎤ ⎡W11 ( s) ⎥ W ( s) = ⎢ ⋱ ⎢ ⎥ ⎢ Wmm ( s) ⎥ ⎣ 0 ⎦ 则称该多变量系统是解耦的。
� 耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。 � 在一个MIMO系统中,每一个输入都受多个输出的影响,每 个输出受多个输入的控制,当一个控制量的变化必然会波 及其它量的变化,这种现象称为耦合。 � 所谓解耦,就是消除系统间耦合关联作用。 � 如果一个输入量只受一个输出量影响,即一个输出仅 受一个输入控制,这样的系统称为无耦合系统。
Gc11( s) Gc12 (s )
u1
r1
1 2s + 1
对象
y1
1
Gc 21( s)
u2
-
Gc 22 (s )
r2
1 s +1
-
y2
图6-4 串联解耦及补偿器方框图
补偿器解耦(5/7)
试设计一补偿器Gc(s),使闭环 系统的传递函数矩阵为: ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ ⎢ s +1 W ( s) = ⎢ ⎥ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 5s + 1⎥ ⎦
状态反馈解耦(2/16)
� 对上述系统,构造如下状态反馈控制律:
u=-Kx+Hv
使得闭环系统的输入输出实现完全解耦。 � 这里K是一个m×n的非奇异的反馈矩阵,H是一个 m×m的实常数非奇异矩阵,v是m维的外部输入向量。 � 我们通常将v作为系统的输入,y作为系统输出时,求使该系统 解耦的K和H的问题称为借助于状态反馈的解耦问题。
状态反馈解耦(3/16)
� 如图6-5所示的为用状态反馈实现解耦的系统。
v
H
u
x
-
B
K
∫
A
C
y
图6-5 用状态反馈实现解耦
状态反馈解耦(4/16)
� 将状态反馈解耦控制律作用在状态空间模型上,可得如下闭 环控制系统状态空间模型
̇ = ( A − BK ) x + BHu ⎧x ⎨ ⎩ y = Cx
� 为实现系统解耦,要求为W(s)对角线矩阵，因此, I-W(s)也为 对角线矩阵。 � 故，得出Gp(s)Gc(s)也需为对角线矩阵。 � 即为实现如图6-3所示结构的系统的解耦,应取合适补偿 器Gc(s)使Gp(s)Gc(s)是非奇异对角线矩阵。
补偿器解耦(4/7)—例6-8
� 例6-8 已知系统如图6-4所示,
U ( s)
Y ( s)
-
G c (s)
G p ( s)
图6-3 串联解耦方框图
补偿器解耦(2/7)
� 根据串联组合系统的传递函数公式可知串接补偿器后前向通 路的传递函数为
G(s)= Gp(s)Gc(s) 其中反馈回路的的传递矩阵为G(s)=I,
� 那么系统的闭环传递函数为:
W(s)=[I+Gp(s)Gc(s)]-1Gp(s)Gc(s)
� 状态反馈解耦问题的目标是如何设计选取矩阵K与H,从 而使闭环系统是解耦的。 � 对于该解耦控制问题,有如下完全状态反馈解耦控制律 存在的条件。
状态反馈解耦(5/14)
� 状态反馈解耦条件 � 对被控系统和状态反馈解耦控制律,状态反馈解耦系统实 现输入输出间完全解耦的充分必要条件为如下定义的矩 阵E是非奇异矩阵。 ⎡ C1 Al1 B ⎤ ⎢ ⎥ l2 C A B ⎥ E=⎢ 2 ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ ⎥ lm ⎢ ⎣Cm A B ⎥ ⎦ 其中 Ci ,(i = 1, 2, ⋅⋅⋅⋅ m)是系统输出矩阵C中第i行向量,
Ch.6 线性系统综合
目录(1/1)
目 录
� � � � � � � � � 概述 6.1 状态反馈与输出反馈 6.2 反馈控制与极点配置 6.3 系统镇定 6.4 系统解耦 6.5 状态观测器 6.6 带状态观测器的闭环控制系统 6.7 Matlab问题 本章小结
系统解耦(1/3)
6.4 系统解耦
⎤ 0⎥ ⎥ 1⎥ s⎥ ⎦
则系统变成两个互相无耦合的子系统,如图6-7所示。
⎡ 1 ⎢ sl1 +1 ⎢ W ( s ) == ⎢ ⋱ ⎢ ⎢ 0 ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ s lm +1 ⎦
状态反馈解耦(16/16)
(6 − 34)
u1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∫ ∫
y1
u2
y2
图6-7 解耦后的系统框图 � 另一方面,从式(6-34)可以看出,积分型解耦系统的闭环极点全 是零,显然系统是不稳定的,所以这种解耦方法不令人满意。 � 不过可以对完全解耦的每个SISO子系统单独设计一个状 态反馈律将每个解耦的子系统的极点配置到所需要的位 置上去。
� 该解耦条件的证明思路为: � 根据上述定义的li,定义
⎡ C1 Al1 +1 ⎤ ⎢ l2 +1 ⎥ C A ⎥ F =⎢ 2 ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ lm +1 ⎥ ⎢ ⎣C m A ⎥ ⎦
状态反馈解耦(7/16)
� 若选取反馈矩阵K和前馈矩阵H如下 ⎡ C1 Al1 +1 ⎤ ⎢ l2 +1 ⎥ −1 −1 ⎢ C 2 A ⎥, K =E F =E ⎢ ⋮ ⎥ ⎢ lm +1 ⎥ ⎢ ⎣Cm A ⎥ ⎦
u1
Gc11 ( s) Gc12 (s )
r1
1 2s + 1
对象
y1
1
Gc 21 ( s)
u2
-
Gc 22 ( s)
r2
1 s +1
-
y2
� 解 由图6-4可求得被控对象部分的传递函数矩阵为:
⎡ 1 ⎢ 2s +1 Gp (s) = ⎢ ⎢ 1 ⎢ ⎣
⎤ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ s + 1⎥ ⎦
补偿器解耦(6/7)
⎡0 0 0⎤ ⎡1 0 ⎤ ̇ = ⎢ 0 0 1 ⎥ x + ⎢ 0 0⎥ u x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ −1 −2 −3⎥ ⎦ ⎣ 0 1⎥ ⎦ ⎡1 1 0 ⎤ y=⎢ x ⎥ ⎣ 0 0 1⎦
试用状态反馈把系统变成积分型解耦系统。 � 解 给定系统的传递函数矩阵为 ∆∆∆
状态反馈解耦(11/16)
系统解耦(3/3)
� 实现解耦有两种方法: � 补偿器解耦 � 状态反馈解耦。 前者方法简单,但将使系统维数增加, � 后者虽然不增加系统的维数,但利用它实现解耦的条件比 补偿器解耦相对苛刻。 � 下面分别介绍这两种解耦方法。
补偿器解耦(1/7)
6.4.1 补偿器解耦
� 图6-3所示的为前馈补偿器解耦框图。 � 图6-3中,Gp(s)为原系统的传递函数阵, Gc(s)为补偿的传递 函数矩阵,即解耦控制器。
状态反馈解耦(12/14)
u1
∫
x1
+
y1
x2
1 2
∫
u2
-
̇3 x
∫
3
̇2 x3 = x
y2
图6-6 开环系统方框图
状态反馈解耦(13/16)
�由
C1B=[1 0], C2B=[0 1]
知
l1=l2=0
此时有 ⎡ C1 Al1 B ⎤ ⎡ C1 B ⎤ ⎡1 0 ⎤ E=⎢ =⎢ =⎢ ⎥ ⎥ l2 ⎥ C B 0 1 C A B ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎡ C1 Al1 +1 ⎤ ⎡ C1 A ⎤ ⎡ 0 0 1 ⎤ F =⎢ =⎢ =⎢ ⎥ ⎥ l2 +1 ⎥ C A − 1 − 2 − 3 C A ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣
6.4.2 状态反馈解耦
� 所谓状态反馈解耦,即通过对系统设计状态反馈律,构造状态 反馈闭环控制系统,使得闭环系统的输入输出间实现解耦。 � 状态反馈解耦问题的模型描述为: � 对给定的被控系统的状态空间模型为 ̇ = Ax + Bu ⎧x ⎨ ⎩ y = Cx 其中u,y为m维向量,x为n维向量,A为n×n方阵,B为n×m矩 阵,C为m×n矩阵。