不等式证明——比较法、综合法、分析法

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备用 题习
xy(x y) (x y) 1 (xy)2 0 分
(xy 1)(x y) (1 xy)(1 xy) 0
析 法
(xy 1)[(x y) (1 xy)] 0
综 合 法
( xy 1)( x 1)( y 1) 0 x≥1,y ≥1
差
ab
值
（ a b）[( a )2 2 ab ( b )2 ] 比
ab
（ a b）( a b )2
较 法

0
ab
a b a b
ba
ab
Q2.证已a法ba知2：：bbaa、 b是aba正(3 实a 数b，3b)求证Q：证法abb3：
a
b


a
2

a3 b3 ab(a2 b2 ) t 6 u6 tu(t 4 u4 ) 差
t5(t u) u5(u t)
值 比
(t u（) t 5 - u5 )
较
(t u)（2 t 4 t3u t2u2 tu3 u4 ) 0
法
a3 b3 ab(a2 b2 )
3.(Ⅰ)设 x 1, y 1, 证明 x y
1

1

1

点拨
xy
与 究探
xy x y
(Ⅱ) 1 a b c ，证明
loga b logb c logc a logb a logc b loga c (*)
(Ⅱ) ∵ 1 a b c 令x loga b, y logb c,则x 1, y 1，且
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达标训练（10分钟）
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练训
练训
1. 已知a、b、x、y∈R+且 1 1 , x y ，比较
x 与 y 的大小。 a b
xa yb
ab
2. 已知：a、b是正实数，求证：
b
a
a
b
3.(Ⅰ)设 x 1, y 1, 证明 x y 1 1 1 xy xy x y
（ma nc） b d ab mad nbc cd
m n
nm
ab 2 mad nbc cd （ ab cd )2 nm
（ma nc） b d （ ab cd）2 m n
ma nc b d ab cd mn
(Ⅰ) 求
a3

b3
ab
的最小值；
（Ⅱ）是否存在 a,b，使得 2a 3b 6？并说明理由.
考 什 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 么 比较法、综合法、分析法
高考题选
设a、b是非负实数，求证：a3 b3 ab (a2 b2 ) 。
证明：设t a , u b,则
不等式证明（1）
——比较法、综合法、分析法
考 什 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法： 么 比较法、综合法、分析法 高考题选
1.设a、b是非负实数，求证：a3 b3 ab (a2 b2 。)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
若 a 0,b 0 ，且 1 1 ab
a
b
点拨 究与探
①
2
2
a b ab
ab
比 值

ab ( a b）2 1
ab
比 较
法
ab
a b
ba
b a2 b a
②
综
由①+②，整理得： 合
法
a b a b
ba
3.(Ⅰ)设 x 1, y 1, 证明 x y
1

1

1

点拨
xy
与 究探
本题改为填空题呢？
在②中令a=b，则等号成立。
a2 b2 2(a b 1) (a 1)2 (b 1)2 0
ab a b 2 a • b 2
ba b a
ba
2. a、b、c、d、m、n全是正数，比较 p ab cd
与q ma nc b d 的大小。 mn
log c
a

logb a logb c

log a
1 b logb
c

1 xy
, loga
c

xy
∴不等式（*）等价于：
x y 1 1 1 xy xy x y
由(Ⅰ)知道不等式（*）得证。
考考 己自
（四）当堂检测（时量：10分钟 满分：10分）
1. 不等式: ① x3＋3>2x ; ② a5＋b5<a3b2＋a2b3 ;
（2）c c2 ab a c c2 ab
点拨
1. 不等式: ① x3＋3>2x ; ② a5＋b5<a3b2＋a2b3 ; 究与探
③a2＋b2≥2(a＋b－1)；④
| a b | 2 恒成立的有(
ba
)
A.①②
B. ①③ C. ③④
D. ①②③④
解：在 ① x3＋3>2x 中令x= - 2，显然不等式不成立。 故排除A、B、D。
bx ay
x y bx ay 0 x a y b ( x a)( y b)
x y xa yb
点与拨 究探
2.
a 已知：a、b是正实数，求证： b

b
a
a
b
点拨 究与探
证法1： a b ( a b )
ba
（ a）3 （ b）3 ( a b ) ab
3.分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索, 寻求不等式成立的充分条件,因此有时须先对原不等式 化简.常用的方法有:平方,合并,有理化去分母等.但要注 意所有这些变形必须能够逆推,书写格式要严谨规范．
4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式 的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综 合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路 具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1
若 a 0,b 0 ，且1 1 ab
(1) 求
a3

b3
ab
的最小值；
（2）是否存在 a,b，使得 2a 3b 6？并说明理由.
(1) Q a 0,b 0, ab 1 1 2
a b ab
ab 2,当且仅当a b 2时，等号成立。
xy x y
(Ⅱ) 1 a b c ，证明
loga b logb c logc a logb a logc b loga c
证明(Ⅰ)∵x≥1,y ≥1
x y 1 1 1 xy xy(x y) 1 x y (xy)2
xy x y
(Ⅱ) 1 a b c ，证明
loga b logb c logc a logb a logc b loga c
1.
已知a、b、x、y∈R+且
1 a

1 b
,
x

y
，比较
x 与 y 的大小。
xa yb
Q 1 1 , x y 0, a, b R b a 0 ab
a3 b3 2 a3b3 2( ab)3 4 2
当且仅当a b 2时，(a3+b3)min =4 2。
(2)由（1）知：2a 3b 2 6ab 2 24 6
∴不存在满足题设的实数a,b。
1、求差法：a＞b
a－b＞0
温故 新知
它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的
主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等．
2、求商法：a＞b＞0 a 1并且b 0
它的基本步骤：作商——b变形——判断商与1的大小. 它
在证明幂、指数不等式中经常用到．
3、综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即 从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推 出要证明的结论． 4、分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即 从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件， 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题， 如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定 所要证的不等式成立．
c2 ab a c c2 ab
a c c2 ab
a2 2ac c2 c2 ab
点 拨 a 2c b
与 究探
a b 2c
点拨 与
究探
1.比较法是证明不等式的一个最基本的方法,而又以作 差比较最为常见.作差比较的关键在于作差后如何变形 来达到判断差值符号之目的,变形的方向主要是因式分 解和配方.
③a2＋b2≥2(a＋b－1)；④
| a b | 2 恒成立的有(
ba
)
A.①②
B. ①③
C. ③④
D. ①②③④
2. a、b、c、d、m、n全是正数，比较 p ab cd
与q ma nc b d 的大小。 mn
3. 已知正数a、b、c满足a + b < 2c，求证：
（1）c2 ab
点拨 与
究探
3. 已知正数a、b、c满足a + b < 2c，求证：
点拨 与
究探
（1）c2 ab （2）c c2 ab a c c2 ab
证明:由已知得 c a b 0 c2 a b 2 ab
2
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）c c2 ab a c c2 ab