模型匹配设计方法

模型匹配设计方法的研究

【摘要】本文讲述的方法是基于状态反馈理论基础之上的，不需要试探，按照既定步骤使控制系统的传递函数与给出的希望传递函数完全一致，这就是所谓模型匹配方法。

【关键词】现代控制理论；线性系统；状态空间；极点配置一般来说，只用状态反馈不能使闭环系统传递函数与希望传递函数一致，原因是状态反馈只能改变极点的位置，而极点数不变。另外零点又完全不受影响。这样，碰到装置的传递函数与希望传递函数的零点数和极点数不相同时便无能为力了。这可能会碰到几种情况：（1）希望追加极点。（2）希望减少极点。（3）希望追加零点。（4）希望消除零点。（5）希望移动零点。在他们之中，尽管完成（2）项与零点无关，完成（3）项与极点无关，从可实现性角度来看是不可能的。但是，从它的主要极点或零点来看，利用在s平面左边很远的极点对系统的性质几乎没有防碍的范围内，实现（2）项或（3）项还是可能的。其它各项均能严密的实现。于是，使闭环系统与希望传递函数一致是可能的。下面将介绍模型匹配的一般理论。

假定希望传递函数为：

wd(s)=y(s)r(s)=bmsm+bm-1sm-1+…b1s+b0sn+an-1sn-1+…

+a1s+a0

（1）

装置传递函数为：

gp(s)=y(s)u(s)=βpsp+βp-1sp-1+…β1s+β0sn+α

n-1sn-1+…+α1s+α0

（2）

上式中0≤m≤n-1，装置的阶数一般不等于n，而零点数也不等于m。为了完全实现模型选配，要求装置传递函数分母分子的阶数差不大于模型的阶数差，尽管这是充分的。但是，在这里为了讨论简单仍假定装置阶数为n，令它的零点数为p，则必须有p≥m。设wd(s)和gp(s)是既约分数形式。

为了实现模型选配，必须在装置传递函数gp(s)之前串加上前置gc(s)，使gc(s)的分子与wd(s)的分子一致。而gc(s)的分母可以为我们需要的任意多项式，取最高次项系数为βp，则gc(s)为：gc(s)=bmsm+bm-1sm-1+…b1s+b0βpsp+α′p-1sn-1+…+α′1s+α′0

（3）

如前所述，因为p≥m，所以gc(s)在实际上可用电子装置等实现。

=ftpxp+ftcxc+r=［ftcftc］xp

xc+r

（4）

这里r为新的闭环系统输入，由图可见开环组合传递函数为：gc(s)gp(s)=bmsm+bm-1sm-1+…b1s+b0βpsp+α′1s+α′0

·βpsp+βp-1sp-1+…β1s+β0sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0 （5）

为了简单起见假定bmsm+bm-1sm-1+…b1s+b0与sn+α

n-1sn-1+…+α1s+…α0为互质的。用状态反馈可以使用闭环系统传递函数分母多项式与(βpsp+βp-1sp-1+…β1p+β0)·（sn+α

n-1sn-1+…+α1s+α0）一致，于是闭环传递函数为

y(s)r(s)=bmsm+bm-1sm-1+…b1s+b0βpsp+βp-1sp-1+…β1s+β0 （6）

上式分子分母相约后便与wd(s)一致了。但是，要注意这种零极相消，通常只对左半平面上的零点才能相消。对右半平面上的零点，由于装置模型的近似性，分子多项式与实际系统不会完全一致，这种误差的存在可能造成系统不稳定。而零点在左半平面上有误差也无妨。

究竟怎样进行极点配置呢?我们首先写出加前置补偿器的n+p阶系统状态向量微分方程式，写出装置传递函数的能控标准形。

gp(s)=βpsp+βp-1sp-1+…β1s+β0sn+αn-1sn-1+…+α1s+

α0

（7）

xp(t)= 0 1 0 0

0 0 1 0

…

0 0 0 (1)

-α0-α1-α2…-αn-1xp(t)+0

1u(t)

y(t)=［β0β1…βp0…0］xp（t）

（8）

将gc(s)分子分母除以βp得下面的变形形式

gc(s)=b′msm+b′m-1sm-1+…b′1s+b′0sp+α″p-1sp-1+…+α″1s+α″0

（9）

当p>m时gc(s)是严格真分数，其能控标准形的状态向量微分方程式和装置的情况一样能写出来。当p=m 时，可以把gc(s)改写为常数与严格真分数的和。这时，所得状态向量微分方程式与（8）式中状态向量微分方程式相同，而输出方程式相当于（8）式中输出方程式再加上输入项。关于这个问题的讨论并不太难，为简单起见，这里假定p>m。若gc(s)的输入为 (t)，输出为u(t) ，则其能控标准形为

xc(t)= 0 1 0 0

0 0 1 0

…

0 0 0 (1)

-α″0 -α″1-α″2…-α″n-1xc(t)+0

1(t)

u(t)=［b′0b′1…b′m0…0］xc（t）

(10)

将式（8）与（9）组合得开环系统微分方程并化成能控标准形，并用极点配置的方法求出ftp和ftp，使得闭环系统特性多项式为(βpsp+βp-1sp-1+…β1s+β0)·（sn+αn-1sn-1+…+α1s+α0）（11）

这样便达到模型选配的目的。

gc(s)是后加装置，虽然能够直接利用得到的xc，可是一般xp 不能直接得到，这时可用u和y构造观测器求出xp的估值取代xp，进行状态反馈。

结论：

模型匹配设计方法能够按照既定步骤比较准确的达到设计要求。