相似三角形复习-比例式、等积式的几种常见证明方法 PPT课件

E
B
点评：证明乘积式时，如果不
能进行等线段替换，还可以转
化一个乘积。
例3.已知,如图,在△ABC中, ∠BAC=90°, AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,ED的延 长线交AB的延长线于点F. 试说明:AB：AC=DF：AF
点评：证明乘积式时，如果不
A
能进行等线段替换，也可以转
E 化一个比。
B
D B
例１. 如图：已知∠BAC=90°, BD=DC, DE⊥BC
交AC于E,交BA的延长线于F.
求证：AD2=DE·DF
C
证明：∵ ∠BAC=90°, BD=DC ∴ AD=DC, 从而∠DAC= ∠C
D
∵ DE⊥BC
E
∴ ∠F+ ∠B= 90°
∵ ∠C+ ∠B= 90°
∴ ∠F= ∠C =∠DAC
3、当无法用三角形相似来证明线段成比例 时，可试着用引平行线的方法。
A
B
D
E
C
如上图, ∠BAC=120°, △ADE是等边三角形, 小丽发现图中有些线段是其他两条线段的比例中 项,你知道小丽说的是哪些线段吗? 它们分别是哪 些线段的比例中项吗?如果△ADE是AD=AE的等 腰三角形，∠BAC和∠DAE满足什么要求时候， 上述结论仍然成立？
1.通过本节课的学习，你有什么收 获？还有什么困惑吗？
2.你对自己本节课的表现满意吗？ 为什么？
方法三：过点B作BG∥DF, 交DF的延长线于G
则△DCE∽ △DBG
故
DC DB
=
CE BG
再证BG=BF 即可
G F
A E
B
C
D
由三角形相似证线段成比例的一般步骤：
1、先看这些线段确定哪两个可能相似的三 角形；再找这两个三角形相似所需要的条件；
2、如这两个三角形不相似，则采用其它办 法（如找中间比代换等）；
∠C=∠C' =90o
C'
A C = AB A'C' A' B '
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
三角形相似的判定还有什 么方法？
显然还有传递性和定义法。 C
B
C
在这一个图形中,有两个
垂直,有__三__对相似,有___
对四互余的角,有_____五组对
应成比例的六条线段.
A
D
B
AC2=AD·AB
D
C
F
利用等比
式代换
例4 如图： 已知△ABC 中，AD平分∠BAC ，
EF是AD的中垂线，EF 交BC的延长线于F .
求证：FD2=FC·FB
A
分析： 由FD2=FC·FB，得
FD FC
=
FB FD
但FD、FC、FB都在
E
同一直线上，无法
利用相似三角形.
由于FD=FA，替 B
D
C
F
换后可形成相似三角形.
D
C
F
E
利用等线 段代换
A
B
点评：证明乘积式时，如果不
能找相似三角形（或平行线）， 可以进行等线段替换。
例 2巩固.已知,如图,CE是直角△ABC的 斜边AB上的高,在EC的延长线上任取一点 P,连接AP,作BG⊥AP,垂足为G,交CE于D, 试说明:CE2=ED·EP.
P
利用等积 式代换
G
C
D
A
FD FC
=
FB FD
FA FC
=
FB FA
只要证△FAB∽△FCA即可.
例4提高.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
分析： 由BD·CE=CD·BF，得
BD CD
=
BF CE
但△DBF与 △DCE不相似
F
因此，需作辅助线构造相似三角形
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
方法二： 过点C作CG∥DF,交AB于G
故
BD CD
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=
BF FG
再证FG=CE 即可
F
G
E
B
C
D
例4提高 如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
2、有两角对应相等的两个三角形相似
如图，每个小正方形边长均为1，则下 列图中的三角形（阴影部分）与左图 中△ABC相似的是（ B ）
A
B
C
A．
B．
C．
D．
相似三角形的判定方法
3、两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似
4、三边对应成比例的两三角形相似
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
相似三角形复习
——比例式、等积式的常见证明方法
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法 E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
E
B
C
D
例4提高. 如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
直线DF 交AC于E,且∠FEA=∠AFE .
求证：BD·CE=CD·BF
A
方法一： 过点C作CG∥AB,交DF于G
则△DCG∽ △DBF
故
CD BD
=
CG BF
再证CG=CE 即可
F E G
B
C
D
例4提高.如图：D为△ABC的底边BC的延长线上一点，
FA
B
∵ ∠ADE= ∠FDA
∴ △ADE∽ △FDA
∴
AD DF
=
DE AD
∴ AD2=DE·DF
点评：证明乘积式时，可先 将乘积式改为比例式，然后 找相似三角形（或平行线）
例2. 如图,在直角梯形ABCD 中,AB∥CD, AB⊥BC,对角线AC⊥BD,垂足 为E,AD=BD,过点E作EF∥AB交AD于F, 试说明 : AF2=AE·EC
BC2=BD·AB
CD2=AD·BD
AC:AD=BC:CD
BC:BD=AC:CD
例１. 如图：已知∠BAC=90°, BD=DC, DE⊥BC
交AC于E,交BA的延长线于F.
求证：AD2=DE·DF
C
分析： 由AD2=DE·DF，得
AD DF
=
DE AD
E
故只要证明△ADE∽ △FDA即可
FA
利用相似 三角形的 性质