求二面角方法定义法

二面角——1定义法

二面角

二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度数为θ，则侧面三角形

射影三角形S S =

θcos ，多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。

求二面角的大小的基本方法为先证后算,即先由有关立几结论找出二面角的平面角(大多数题是用三垂线法去找),然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下：

定义法：

利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性

1.如图，四面体ABCD 的棱BD 长为2

，求：二面角A －BD －C 、B －AC －D 的大小

解析：(1)取BD 的中点O ，连AO 、OC

在ΔABD 中，∵AB ＝AD

＝

BD ＝2，

∴ΔABD 是等腰直角三角形，AO ⊥BD ，

A B C D A

B

C

D

O

E

同理OC ⊥BD

∴∠AOC 是二面角A －BD －C 的平面角。 又AO ＝OC ＝1，AC

∴∠AOC ＝90°

即二面角A －BD －C 为直二面角。 (2)取AC 的中点E ，连BE 、DE

∵AB ＝BC ，AD ＝DC ，∴BD ⊥AC ，DE ⊥AC ， ∴∠BED 就是二面角的平面角 在ΔBDE 中，BE ＝DE

由余弦定理，得1cos 3

α=-

2.在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求二面角B －PC －D 的大小。

解：

===PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫

⎪

⊥⇒⎬⎪⎭

， PB PD BC DC PBD PDC PC PC =⎫

⎪

=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭

过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH 使DH ⊥PC ，

故∠BHD 为二面角B －PC －D 的平面角。 因PB

,BC ＝a ,PC

,

12PB·BC ＝S PBC ∆＝12

PC·BH ，则BH

DH

P B A C D H

P

B

A

C

D

又BD

，在△BHD 中由余弦定理，得：

cos ∠BHD

＝

)

22

2

222

1

22

BH DH BD BH BD ⎫⎫

+-⎪⎪+-==-

又0＜∠BHD ＜π，则∠BHD ＝

23π，二面角B －PC －D 的大小是23

π

。 3.三棱锥A －BCD 中，∠BAC ＝∠BCD ＝90°，∠DBC ＝30°，AB ＝AC ＝6，AD ＝4，求二面角A －BC －D 的度数。 解：由已知条件∠BAC ＝90°，AB ＝AC ， 设BC 的中点设为O ，则OA ＝OC ＝3

BC ＝32

∴

⋅-++=CD AO 2CD OC AO AD

2222 解之得： ∴ 150=θ

4.如图AC ⊥面BCD ，BD ⊥面ACD ，若＝1，∠ABC ＝30°，求二面角

D AB C --的大小。

解：3

3

cos =

θ 即所求角的大小为3

3arccos 。 （此题也可用垂线法） 练习：

1.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯

B

形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90

底面ABCD ，且PA=AD=DC=2

1

AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；

（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。 方案一：

（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.

因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.

又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.

（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.

连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，

所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .5

10

cos ==∠∴PB BE PBE （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,

∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM

⋅-2

2

)2

(

， 5

62

5223

=⨯=∴AN . ∴AB=2，

3

2

2cos 222-=⨯⨯-+=∠∴BN AN AB BN AN ANB