数学基本方法

数学的基本方法

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数学基本方法的概述

数学基本方法是数学问题求解过程中的常用方法，主要包括：配方法、换元法、待定系数法、构造法、代入法、定义法、参数法、反证法、综合法、分析法等，是处理数学问题的基础。

方法清单：方法1 配方法

方法2 构造法

方法3 换元法

方法4 待定系数法

方法5 定义法

方法6 代入法

方法7 参数法

方法8 向量法

方法1 配方法 配方法是指将一代数式变形为一个（或几个）代数式平方的形式。通过配方找到已知的联系，从而化繁为简。配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、代数式及二次曲线等

的讨论、求解与证明，其基本形式是)0(44)2(2

22

≠-++=++a a b ac a b x a c bx ax 。 高考中常见的基本配方形式有：

.)cos (sin cos sin 212sin 1)6(;2)1(2)1(1)5(];)()()[(2

1)4(;

222)()3(;)2

3()21()2(;

2)(2)()1(22222222222222222222222ααααα+=+=++-=-+=+-+-+-=---++---++=++++=+++-=-+=+x

x x x x x c a c b b a bc ac ab c b a bc ac ab c b a c b a b b a ab b a ab b a ab b a b a

方法2 构造法 以已知条件为基础，以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式上简捷解决。“构造”是一种重要而灵活的思维方式，它没有固定的模式。应用好构造法解题的关键有两点：一是要有明确方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合。常见的构造对象有：数学模型、函数、数列、图形、反例等。

例1 已知三角形ABC 的三边长是a 、b 、c ，且m>0，a+b>c 。求证：

.m c c m b b m a a +>+++

方法3 换元法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的变量（或代数式）。通过引入新元将分散的条件联系起来，其目的是化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知。常用的换元法有代数换元、三角换元等。

例2 函数2cos 2cos )(2

2x x x f -=的一个单调递增区间是

)6,6.()3,0.()2

,6.()32,3.(π

ππππππ-D C B A 方法4 待定系数法 要定义变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。

其理论依据是多项式恒等式，即多项式 R a x g x f ∈∀⇔=)()(，都有)()(a g a f =；或两个多项式各同类项的系数对应相等。

使用待定系数法的步骤是：

(1) 确定所给问题是含待定系数的解析式（或曲线方程）等；

(2) 根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； (3) 解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

待定系数法主要适用于求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。

例3 已知椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，C 的离心率为22，椭圆C 的一条

弦AB 的长度为315

4，中点是（2，1）.

（1） 求直线AB 的方程；

（2） 求椭圆C 的方程。

方法5 定义法 如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可根据定义直接写出曲线方程。在求圆锥曲线方程时，常利用定义解题。

例4 一动圆C 与圆056:221=+++x y x C 外切，同时与圆

0556:222=--+x y x C

内切。求动圆圆心C 的轨迹F 的方程

方法6 代入法 代入法又称为相关点代入法，是指在运动变化的过程中，一个动点随着另一个动点的变化而变化，而其中一个动点在已知曲线上或适合已知方程，此时可用代入法解题。代入法主要应用于与对称有关的函数问题及二次曲线的轨迹问题。

例5 定长为3的线段AB 两端点A,B 分别在x 轴，y 轴上滑动，M 在线段AB 上，MB AM 2=.

(1) 求点M 的轨迹C 的方程；

(2) 设过)3,0(F 且不垂直于坐标轴的直线l 交轨迹C 于A,B 两点。

问：线段OF 上是否存在一点D ，使得以DA ，DB 为邻边的平行四边形为菱形？做出判断并证明。

方法7 参数法 选择适当的中间变量（参数），并用它分别表示动点的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法。参数法解题往往经过”设参”“用参”“消参”等几个步骤。在具体解题时，往往以角度、直线的斜率、点的坐标、线段的长度等为参数，但要注意参数的取值范围，参数法在求曲线的轨迹方程时应用比较多。

例6 已知抛物线x 2=2py （p>0）与直线y=kx+p/2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点。

(1) 当k=1时，求线段AB 的长；

(2) 当k 在R 内变化时，求线段AB 的中点C 的轨迹方程；

(3) 设l 是该直线的准线。对于任意实数k ，l 上是否存在点D ，使得0=⋅BD AD ?

如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由。

方法8 向量法

向量进入高中数学之后，使高中数学各知识点之间的距离大大缩短了，这与向量本身的性质有关。因为它具有基础工具的作用，具有代数和几何的双重身份，是现代数学的重要标志之一。它的引入给传统数学带来了无限的生机和活力，在它身上处处闪烁着数学的光辉，蕴涵着浓厚的数学思想。

向量法是沟通数与形的重要的桥梁之一。掌握好向量的知识，有意识地运用向量去解决相关问题，不但能优化解题思路，而且能培养学生思维的发散性和创新精神。

在近几年的高考中，对向量的概念、性质以及应用都加大了考查力度，向量成为高考中的必考知识。

例7 O 为坐标原点，等边三角形OAB 的边长为38，且其三个顶点均在抛物线E:x 2=2py （p>0）上。

（1） 求抛物线E 的方程；

（2） 设动直线l 与抛物线E 相交于点P ，与直线y=-1相交于点Q 。证明以PQ 为直径

的圆横过y 轴上某定点。