结构力学-力法典型方程

2）其它的系数dij（i≠j）称为副系数，它是单位多余未知力Xj=1单独
作用时所引起的沿Xi方向的位移，其值可能为正、负或零。
3）各式中最后一项DiP称为自由项，它是荷载单独作用时所引起的沿Xi
方向的位移，其值可能为正、负或零。
4）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置的两个副系
数dij与dji是相等的，即 dij =dji
位移条件可写为
Δ1 d11X1 d12 X 2 d13 X 3 Δ1P 0 Δ2 d21X1 d22 X 2 d 23 X 3 Δ2P 0
Δ3
d31X1
d32 X 2
d33 X 3
Δ3P
0
对于n次超静定结构，则有n个多余未知力，而每一个多 余未知力都对应着一个多余约束，相应地也就有一个已 知变形条件，故可据此建立n个方程，从而可解出n个多 余未知力。当原结构上各多余未知力作用处的位移为零 时，这n个方程可写为
关于系数和自由项的计算
d11X1 d12 X 2 d1n X n Δ1P 0
d21X1 d22 X 2 d2n X n Δ2 P 0
dn1X1 dn2 X 2 dnn X n Δn P 0
1）主斜线（自左上方的d11至右下方的dnn）上的系数dii称为主系数
，它是单位多余未知力Xi=1单独作用时所引起的沿其本身方向上的 位移，其值恒为正，且不会等于零。
图a是三次超静定结构，去掉固定支座A， 得如图b所示的基本结构。
位移条件：A处不能有任何位移。
D1= 0，D 2=0，D 3=0
X 1 1、X 2 1、X 3 1 和F分别作用于基本结构时
A点沿X1方向的位移分别为 d11、d12、d13、Δ1P A点沿X2方向的位移分别为 d 21、d 22、d 23、Δ2P A点沿X3方向的位移分别为 d31、d32、d33、Δ3P
§5-3力法的典型方程
先讨论两次超静定结构。
C FP
A
q B
C FP
A
q
B
X1 C X2 FP
基本体系之一
Fra Baidu bibliotek
A
D11 X1 B D21
FP C A
D12
D22
B X2
C FP
A
变形条件
q
D1P
B D2P
C
q B X2
FP
X1 基本体系之二
A
Δ1 0
Δ2 0
C FP
A
q B
C FP
A
q X1 C
B X2 FP
(a)
Δ2 Δ21 Δ22 Δ2P 0
D11=d11X1、D21=d21X1
D12=d12X2、D22=d22X2
代入式(a),得
Δ1 d11 X 1 d12 X 2 Δ1P 0 Δ2 d 21 X 1 d 22 X 2 Δ2P 0
这就是根据变形条件建立的求解两次超静定结构的 多余未知力X1和X2的力法基本方程。
基本体系之一
A
D11 X1 B D21
C FP
A
D12 D22
C B X2 FP
A
q
D1P
B D2P
C
q X2
B
FP X1 基本体系之二
A
根据叠加原理，上述位移条件可写为
Δ1 Δ11 Δ12 Δ1P 0
(a)
Δ2 Δ21 Δ22 Δ2P 0
因为
Δ1 Δ11 Δ12 Δ1P 0
d11X1 d12 X 2 d1n X n Δ1P 0
d21X1 d22 X 2 d2n X n Δ2 P 0
dn1X1 dn2 X 2 dnn X n Δn P 0
这就是n次超静定结构的力法典型方程。方程组中每一 等式都代表一个变形条件，即表示基本体系沿某一多余 未知力方向的位移，应与原结构相应的位移相等。