高考数学一轮总复习 专题二 三角函数与平面向量课件 文
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专题二 三角函数与平面向量
题型 1 三角函数的图象与性质 注意对基本三角函数 y＝sinx，y＝cosx 的图象与性质的理 解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求 解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常 先将给出的函数转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体 代换的方法求解．
sinA＝
1100，cosA＝3
10 10 .
因为 a＝3，B＝π4，由正弦定理知，b＝3 5.
又 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2 5 5，
所以 S△ABC＝12absinC＝12×3×3 5×2 5 5＝9.
题型 3 三角函数和平面向量 三角函数与平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题 中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在2007年、2009 年中考查了三角与平面向量的结合，也只是用“平面向量”来 包装，其实质还是考查三角函数的图象和性质．这不是因为平 面向量不重要，而是平面向量常常与解析几何、平面几何、数 列、方程、不等式等相结合，早已成为各类考试中的新热点． 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方 面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、 求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、 减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、
三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时
要注意重要条件“0，23π”，否则很容易出现错误.解本题需要 掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周
又由
a>b
知，A>B，所以
cosB＝2
7
7 .
故 sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3
＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝3 1421，
所以△ABC
例 2：(2013 年新课标Ⅰ)如图 2-1，在△ABC 中，∠ABC＝ 90°，AB＝ 3 ，BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝ 1 ，求PA；
2
图 2-1
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°， 所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理，得
PA2＝3＋14－2×
3×12×cos30°＝74.故
PA＝
7 2.
(2)设∠PBA＝α，由已知，得 PB＝sinα.
在△PBA 中，由正弦定理，得sin1350°＝sin3si0n°α－α. 化简，得 3cosα＝4sinα.
所以
tanα＝
43，即
tan∠PBA＝
3 4.
【互动探究】
2．(2015 年浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c.已知 tanπ4＋A＝2.
期和三角函数的图象，即 sin2x＝ 1 cos2x ＋ 1 ，asinx＋bcosx
2
2
＝ a2 b2 sinx＋φ，函数 fx＝Asinωx＋φA>0，ω>0的最小
正wk.baidu.com期是 Τ＝ 2π .
【互动探究】 1．(2015 年安徽)已知函数 f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x. (1)求 f(x)最小正周期；
(1)求sin2sAin＋2Acos2A的值； (2)若 B＝π4，a＝3，求△ABC 的面积．
解：(1)由 tanπ4＋A＝2，得 tanA＝13. 所以sin2sAin＋2Acos2A＝2sin2AscionsAAc＋osAcos2A＝2t2antaAn＋A 1＝25.
(2)由
tanA＝13，可得
由正弦函数 y＝sinx 在π4，54π上的图象知， 当 2x＋4π＝π2，即 x＝8π时，f(x)取最大值 2＋1； 当 2x＋4π＝54π，即 x＝π2时，f(x)取最小值 0. 综上可知，f(x)在0，π2上的最大值为 2＋1，最小值为 0.
题型 2 三角函数和解三角形 有关三角知识与解三角形的综合是全国各地的高考题中的 一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦 定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角知识来 处理．本题考查解三角形、三角形的面积、三角恒等变换、三 角和差公式以及正弦定理的应用．
例 3：(2015 年陕西)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c，向量 m＝(a， 3 b)与 n＝(cosA，sinB)平行．
(1)求 A； (2)若 a＝ 7 ，b＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为 m∥n，所以 asinB－ 3bcosA＝0. 由正弦定理，得 sinAsinB－ 3sinBcosA＝0. 又 sinB≠0，从而 tanA＝ 3， 由于 0<A<π，所以 A＝π3.
例 1：(2015 年北京)已知函数 f(x)＝sinx－2 (1)求 f(x)的最小正周期；
3sin22x.
(2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值．
解 ： (1)f(x) ＝ sinx － 2
3
sin2
x 2
＝
sinx
＋
3 cosx －
3＝
2sinx＋π3－ 3，所以 f(x)的最小正周期为 2π. (2)∵0≤x≤23π，∴3π≤x＋π3≤π.
(2)方法一，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA.
而 a＝ 7，b＝2，A＝π3， 得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0.
因为 c>0，所以 c＝3.
故△ABC
面积为12bcsinA＝3
2
3 .
方法二，由正弦定理，得 7π＝si2nB. sin3
从而 sinB＝
21 7.
(2)求
f(x)在区间
0
,
π 2
上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x ＋cos2x＝ 2sin2x＋π4＋1.
所以 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π. (2)由(1)得计算结果，f(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 x∈0，π2 时，2x＋π4∈π4，54π.
题型 1 三角函数的图象与性质 注意对基本三角函数 y＝sinx，y＝cosx 的图象与性质的理 解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求 解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常 先将给出的函数转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后利用整体 代换的方法求解．
sinA＝
1100，cosA＝3
10 10 .
因为 a＝3，B＝π4，由正弦定理知，b＝3 5.
又 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝2 5 5，
所以 S△ABC＝12absinC＝12×3×3 5×2 5 5＝9.
题型 3 三角函数和平面向量 三角函数与平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题 中的一种重要题型，已成为热点．而广东高考仅在2007年、2009 年中考查了三角与平面向量的结合，也只是用“平面向量”来 包装，其实质还是考查三角函数的图象和性质．这不是因为平 面向量不重要，而是平面向量常常与解析几何、平面几何、数 列、方程、不等式等相结合，早已成为各类考试中的新热点． 三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方 面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、 求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、 减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．
当 x＋π3＝π，即 x＝23π时，f(x)取得最小值．
∴f(x)在区间0，23π上的最小值为 f23π＝－ 3.
【规律方法】本题主要考查的是降幂公式、辅助角公式、
三角函数的最小正周期和三角函数的最值，属于中档题.解题时
要注意重要条件“0，23π”，否则很容易出现错误.解本题需要 掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周
又由
a>b
知，A>B，所以
cosB＝2
7
7 .
故 sinC＝sin(A＋B)＝sinB＋π3
＝sinBcosπ3＋cosBsinπ3＝3 1421，
所以△ABC
例 2：(2013 年新课标Ⅰ)如图 2-1，在△ABC 中，∠ABC＝ 90°，AB＝ 3 ，BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝ 1 ，求PA；
2
图 2-1
(2)若∠APB＝150°，求 tan∠PBA.
解：(1)由已知得∠PBC＝60°， 所以∠PBA＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理，得
PA2＝3＋14－2×
3×12×cos30°＝74.故
PA＝
7 2.
(2)设∠PBA＝α，由已知，得 PB＝sinα.
在△PBA 中，由正弦定理，得sin1350°＝sin3si0n°α－α. 化简，得 3cosα＝4sinα.
所以
tanα＝
43，即
tan∠PBA＝
3 4.
【互动探究】
2．(2015 年浙江)在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分 别为 a，b，c.已知 tanπ4＋A＝2.
期和三角函数的图象，即 sin2x＝ 1 cos2x ＋ 1 ，asinx＋bcosx
2
2
＝ a2 b2 sinx＋φ，函数 fx＝Asinωx＋φA>0，ω>0的最小
正wk.baidu.com期是 Τ＝ 2π .
【互动探究】 1．(2015 年安徽)已知函数 f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x. (1)求 f(x)最小正周期；
(1)求sin2sAin＋2Acos2A的值； (2)若 B＝π4，a＝3，求△ABC 的面积．
解：(1)由 tanπ4＋A＝2，得 tanA＝13. 所以sin2sAin＋2Acos2A＝2sin2AscionsAAc＋osAcos2A＝2t2antaAn＋A 1＝25.
(2)由
tanA＝13，可得
由正弦函数 y＝sinx 在π4，54π上的图象知， 当 2x＋4π＝π2，即 x＝8π时，f(x)取最大值 2＋1； 当 2x＋4π＝54π，即 x＝π2时，f(x)取最小值 0. 综上可知，f(x)在0，π2上的最大值为 2＋1，最小值为 0.
题型 2 三角函数和解三角形 有关三角知识与解三角形的综合是全国各地的高考题中的 一种重要题型，对于这类题，通常是先利用正弦定理或者余弦 定理，将边的关系转化为只含有角的关系，再利用三角知识来 处理．本题考查解三角形、三角形的面积、三角恒等变换、三 角和差公式以及正弦定理的应用．
例 3：(2015 年陕西)△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别 为 a，b，c，向量 m＝(a， 3 b)与 n＝(cosA，sinB)平行．
(1)求 A； (2)若 a＝ 7 ，b＝2，求△ABC 的面积．
解：(1)因为 m∥n，所以 asinB－ 3bcosA＝0. 由正弦定理，得 sinAsinB－ 3sinBcosA＝0. 又 sinB≠0，从而 tanA＝ 3， 由于 0<A<π，所以 A＝π3.
例 1：(2015 年北京)已知函数 f(x)＝sinx－2 (1)求 f(x)的最小正周期；
3sin22x.
(2)求 f(x)在区间0，23π上的最小值．
解 ： (1)f(x) ＝ sinx － 2
3
sin2
x 2
＝
sinx
＋
3 cosx －
3＝
2sinx＋π3－ 3，所以 f(x)的最小正周期为 2π. (2)∵0≤x≤23π，∴3π≤x＋π3≤π.
(2)方法一，由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccosA.
而 a＝ 7，b＝2，A＝π3， 得 7＝4＋c2－2c，即 c2－2c－3＝0.
因为 c>0，所以 c＝3.
故△ABC
面积为12bcsinA＝3
2
3 .
方法二，由正弦定理，得 7π＝si2nB. sin3
从而 sinB＝
21 7.
(2)求
f(x)在区间
0
,
π 2
上的最大值和最小值．
解：(1)因为 f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x ＋cos2x＝ 2sin2x＋π4＋1.
所以 f(x)的最小正周期为 T＝22π＝π. (2)由(1)得计算结果，f(x)＝ 2sin2x＋π4＋1. 当 x∈0，π2 时，2x＋π4∈π4，54π.