双曲线的性质离心率渐近线
双曲线的图像与性质
y B2
A1 o A2 x B1
谢 谢 光 临！
解：把方程化为标准方程 y2 x2 1 16 9
可得:实半轴长 a 4
虚半轴长 b 3
半焦距 c 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
渐近线方程:
a
y
4
4
x
3
巩固练习
1.中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准
方程为（ B ）
D.
y9x 4
3.双曲线 mx 2 y2 1的虚轴长是实轴长的2倍，
则m的值为
1 4
小结
标准方程 范围
x2 y2 1 a2 b2 (a 0, b 0)
x a或
对称性
x a
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1,A2
渐近线 离心率
ybx a
e c 1 a
A2
2.对称性： 关于坐标轴和原点对称
3.顶点： A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
a
4.渐近线方程： y x
5.离心率：
e
c
b
1
a
B1 o B2 x A1
例题讲解
例: 求双曲线 9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
焦点坐标,离心率,渐近线方程。
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,
a叫做实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它y 的长 为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.
B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线
叫等轴双曲线。
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
双曲线的渐近线公式
双曲线的渐近线公式
1通径长度
椭圆、双曲线的通径长均为|ab|=2b^2/a
(其中a就是长轴或实轴的1/2,b就是长轴或虚轴的1/2,不论椭圆或双曲线的焦点在
x轴还是y轴都存有这个结论）
抛物线的通径长为|ab|=4p
（其中p为抛物线焦准距的1/2）
过焦点的弦中，通径是最短的
这个结论只对椭圆和抛物线适用于,对双曲线须另外探讨
如果双曲线的离心率e\ue根号2,则过焦点的弦以实轴为最短,即最短的焦点弦为2a
如果双曲线的距心率e=根号2,则通在径与实轴等短,它们都就是最短的焦点弦
如果双曲线的离心率0a\ue0时,
|mn|=2ab^2(k^2+1)/[(bk)^2+a^2]
2双曲线的定义
定义1：平面内，至两个定点的距离之高的绝对值为常数（大于这两个定点间的距离）的点的轨迹称作双曲线。
定点叫做双曲线的焦点
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双
曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线
定义3：一平面封盖一圆锥面，当横截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个
圆锥都平行时，交线称作双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线是几何中一类特殊的曲线，它以一个实数Ω为离心率，满足
方程x²/a²-y²/b²=1。
其中a为渐近线长轴，b为短轴，以a和b为直径，以Ω来描述曲线的弯曲程度，当Ω>1时，曲线内角钝角交替，被称为双曲线；当Ω=1时，曲线成圆，为椭圆时，称为椭圆渐近线；而当Ω<1时，曲线内角锐角交替，叫做反椭圆渐近线。
关于双曲线渐近线与离心率Ω之间的关系，当离心率Ω大于1时，椭圆渐近线就变为双曲线。
另外，椭圆的长轴和短轴的长度和离心率Ω有关。
Ω越大，椭圆的长轴越长，短轴越短，双曲线的弧度越大。
反过来，当Ω越小时，长轴越短，短轴越长，双曲线的弧度越小。
双曲线的渐近线与离心率的关系主要有三点：一是随着离心率Ω的增大，双曲线的形状由椭圆向双曲线化变；二是随着离心率Ω的增大，双曲线长轴和短轴的长度有相应的变化；三是随着离心率Ω的增大，双曲线的弧度也会发生变化。
从上面的情况可以看出，长轴、短轴长度以及曲线弧度均和离心率Ω有关联，在双曲线渐近线的形状变化规律上也得出了一定的结果。
此外，它还在很多规律数学中扮演重要的角色，其形状在实际中也有广泛的应用。
双曲线的渐近线和离心率问题
3．求一条渐近线方程是 3x＋4y＝0 且过点( 15，3)的双曲线
的标准方程，并求此双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
探究2：离心率问题
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求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法： e＝ac＝ 1＋ba22求解． (2)方程法：根据条件确定 a，b，c 之间的关系，利用方 程思想
∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
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的四个顶点都在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，
且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________.
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2．已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦
点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果
双
曲
线x 2 a2
y2 b2
1共
渐
近
线
的
双
曲
线方Biblioteka 程可以设为x 2 a2
y2 b2
(
0)
双曲线的渐近线 课前·自主学习
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(1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为xa22＋by22＝1，双曲线 C2 的方 程为xa22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线
与渐近线有关的结论：
1.把 双 曲 线 标 准 方 程 的 “1” 改 为 “0”,即 求 出 渐 近 线
2.渐 近 线 为y
双曲线的性质PPT课件
2021/4/18
第12页/共22页
⑴与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3 ) ； 9 16
⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论)
解:双曲线 x2 y2 1 的渐近线为 y 4 x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 4 ,
图象
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
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第18页/共22页
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 a2
y2 b2
1
(a
b
0)
x≥a 或 x ≤a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
b
3
，而c 2
a2
3 b2，a2
b2
8
a3
解出 a2 6，b2 2
双曲线方程为 x2 y2 1 6 2 第17页/共22页
小结
椭圆
双曲线
方程 a b c关系
x2 a2
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
c 2 a 2 b 2 (a＞ b＞0)
x2 a2
y2 b2
1
(
a＞
0
b＞0)
c 2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
16 k 0且4 k 0
2021/4/18
∴ (3 2)2
16 k
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
双曲线的知识点总结
双曲线的知识点总结双曲线作为数学中的一种重要曲线，具有独特的特点和性质。
在解决各种实际问题中，双曲线有着广泛的应用，如电磁场的分布、天体运动和经济学中的供求关系等。
本文将就双曲线的定义、公式、性质和应用等方面进行探讨，帮助读者更全面地了解双曲线。
一、双曲线的定义和基本公式双曲线通常由两个分离的曲线枝组成，其特点是离心率大于1。
在直角坐标系中，双曲线可表达为以下形式：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1 （当双曲线方程为横轴的方程时）或(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = -1 （当双曲线方程为纵轴的方程时）其中，a和b分别是双曲线的半轴长度。
双曲线的中心为原点O(0,0)。
二、双曲线的性质和特点1. 焦点和离心率：双曲线的焦点是与两条曲线枝的交点，用F1和F2表示。
焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数2a。
双曲线的离心率表示焦点到曲线枝的距离与焦点与中心的距离之比。
双曲线的离心率大于1，可以通过焦点和离心率的关系来判断双曲线。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，它们分别与曲线枝趋于无穷远。
这两条渐近线的斜率分别为±b/a，即y=(b/a)x和y=-(b/a)x。
在这两条渐近线的范围内，双曲线的形状与直线逐渐靠近。
3. 对称轴：双曲线的对称轴是连接两条曲线枝的直线，过中心且垂直于渐近线。
对称轴的方程可以由双曲线的方程中x和y的系数的交换得到；若双曲线方程为横轴类型，则对称轴方程为y=0；若双曲线方程为纵轴类型，则对称轴方程为x=0。
三、双曲线的应用1. 电磁场分布在电场和磁场的研究中，双曲线常被用来描述特定范围内的电荷分布或者磁场强度。
利用双曲线的性质，可以确定特定区域内的电场强度或磁场强度的分布规律，为电磁场的研究提供重要的工具和理论支持。
2. 天体运动在天文学中，双曲线在描述天体运动时也有着广泛的应用。
例如，彗星的轨迹往往是双曲线状的，通过对双曲线性质的研究，可以了解到彗星的运动轨迹、速度和轨道参数等信息。
双曲线的简单几何性质
双曲线的简单几何性质【基础知识精讲】1.双曲线22a x -22by ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y ∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2＝a 2+b 2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±abx ，或令双曲线标准方程22a x -22b y ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e ＝ac＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2(a ≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2.(7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -22by ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式.注意：1.与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -22by ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆， b 2＜λ＜a 2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝ac(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝cb 2，与椭圆相同. 3.焦半径(22a x -22b y ＝1,F 1(-c,0)、F 2(c,0))，点p(x 0,y 0)在双曲线22a x -22by ＝1的右支上时，｜pF 1｜＝ex 0+a,｜pF 2｜＝ex 0-a;P 在左支上时，则 ｜PF 1｜-(ex 1+a),｜PF 2｜＝-(ex 1-a).本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于掌握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.【重点难点解析】1.学习双曲线的几何性质，也可以与椭圆的几何性质对比进行，着重指出它们的联系和区别.2.本节重点是双曲线的几何性质，双曲线的第二定义及其应用，难点是双曲线的渐近线方程，第二定义，几何性质的应用.例1 (1)求中心在原点，对称轴是坐标轴，一条渐近线方程是y ＝-23x,且经过点Q(8，63)的双曲线方程.(2)已知双曲线满足：两准线间的距离为564，渐近线方程为y ＝±43x ，求双曲线方程. 分析 (1)据双曲线的渐近线方程，可求出a,b 之间的关系，以Q 点的坐标代入双曲线方程，即可求a,b 的值，亦可据共渐近线的双曲线系方程求出，这样可据焦点所在坐标轴的讨论.即设双曲线方程为42x -92y ＝λ(λ≠0)，将Q 点坐标代入求得 λ＝4故所求双曲线方程为 162x -362y ＝1.(2)当双曲线的焦点在x 轴上时，设其方程为22a x -22by ＝1,依题意有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,43,56422222b a c a b c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==.366422b a 故所求双曲线方程为 642x -362y ＝1当双曲线焦点在y 轴上时，同理求得其方程为：22)332(x -22)9128(y ＝1综上所述，所求双曲线的方程为642x -362y ＝1或22)332(x -22)9128(y ＝1.例2 过双曲线92x -162y ＝1的右焦点F 2，作斜率为2的弦AB ，求｜AB ｜的长.分析 运用焦半径知识较为简便. 依题意有a ＝3,c ＝5,e ＝35,F 2(5,0) 联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=1169)5(222y x x y 消去y 得 5x 2-90x+261＝0. 设方程的两根为x 1,x 2. 于是｜AB ｜＝e(x 1+x 2)-2a ＝35×590-6＝24. 注：若用弦长｜AB ｜＝221+·212214)(x x x x -+解计算量显然大一些，本例中AB 为过焦点弦，所以运用焦半径解题就较自然了.例3 已知直线l 和双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)及其渐近线依次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：｜AB ｜=｜CD ｜.分析 若直线l 和x 轴垂直，结论显然成立；若直线l 不与x 轴垂直，则可设l 的方程为y=kx+m,代入双曲线方程并整理得：(b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2(m 2+b 2)=0,设A(x 1,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=22222ka b kma -再将y=kx+m 代入双曲线渐近线方程b 2x 2-a 2y 2=0 并整理得 (b 2-a 2k 2)x 2-2a 2kmx-a 2m 2=0.设B(x 3,y 3),C(x 4,y 4),则x 3+x 4=22222ka b kma - ∴x 1+x 2=x 3+x 4表明线段AD 的中点和线段BC 的中点重合，故问题得到证明.【难题巧解点拨】例1 求与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.分析一 只要判断清楚已知点(2，3)与渐近线的位置关系，便可知双曲线方程的表达式，进而可求出方程.解法一：双曲线162x -92y ＝1的渐近线方程为：y ＝±43x将x ＝2代入方程y ＝43x 得y ＝43·2＝23<3 ∴点(2，3)在直线y ＝43x 的上方，于是设所求的双曲线方程为：22a y -22bx ＝1 ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=123432222b a b a )2()1( 由(1)设a ＝3k,b ＝4k ，代入(2)得：299k -2164k ＝1∴k ＝±23(舍负) ∴a ＝323b ＝23∴所求方程为：4272y -122x ＝1即2742y -122x ＝1分析二 与双曲线162x -92y ＝1有共同渐近线的双曲线方程表示为162x -92y ＝λ，待定系数λ便可求出双曲线方程.解法二：设所求双曲线方程为162x -92y ＝λ，(1)将点(2，3)代入(1)得：164-99＝λ ∴λ＝-43 所求方程为：162x -92y ＝-43即：2742y -122x ＝1为所求说明：(1)由渐近线及一点可以确定双曲线的位置，解法一正是利用此性质先定位再求出a 、b ，进而求出双曲线方程.(2)方程22αx -22βy ＝λ 当λ＝0时，表示两条直线：αx +βy ＝0和αx -βy＝0，正是双曲线的渐近线方程.因此当λ≠0时，方程表示以直线22αx -22βy ＝0为渐近线的双曲线系.解法二正是利用了此原理，设方程再代入点坐标便可求出双曲线方程比较简捷.例2 在双曲线122y -132x ＝1的一支上不同的三点A(x 1,y 1)、B(26,6)、C(x 2,y 2)与焦点F(0，5)的距离成等差数列.(1)求y 1+y 2;(2)证明线段AC 的垂直平分线经过某一定点，并求该定点的坐标. 分析 (1)从双曲线的焦半径分析往往用第二定义. (2)证明过定点可采取求点坐标的方法.解：(1)∵a ＝23,b ＝13,c ＝5,∴e ＝a c＝325＝635.根据双曲线的第二定义，可得：｜AF ｜＝e(y 1-c a 2)＝ey 1-a ＝635y 1-23, ｜CF ｜＝e(y 2-c a 2)＝ey 2-a ＝635y 2-23, ｜BF ｜＝e(6-c a 2)＝6e-a ＝6×635-23=33. 又｜AF ｜、｜BF ｜、｜CF ｜成等差数列，∴｜AF ｜+｜CF ｜＝2｜BF ｜，即(635y 1-23)+( 635y 2-23)＝2×33,∴y 1+y 2＝12. (2)证明：设x 1+x 2＝t ，则线段AC 的中点为(2t,6).∵1221y -1321x ＝1, 1222y -1322x ＝1.∴12))((2121y y y y -+-13))((2121x x x x -+＝0,∴2121x x y y --＝131(x 1+x 2)＝13t .∴线段AC 的垂直平分线的斜率k ＝-t 13，从而其方程为y-6＝-t 13 (x-2t)，即(y-225)t+3x ＝0，显然它过定点(0，225). 点评：涉及焦半径问题往往考虑第二定义，一般来讲，双曲线22a x -22by ＝1上一点P(x 1,y 1)的左、右焦半径长为｜PF 1｜＝±(ex 1+a),｜PF 2｜＝±(ex 1-a)(其中P 在右支上取正号，在左支上取负号).【典型热点考题】例1 已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)左、右焦点分别为F 1和F 2，P 是它左支上点，P 到左准线距离为d.问：是否存在这样的点P ，使d,｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，说明理由.分析 对于存在性问题，先假设存在满足题意的对象，然后结合题设条件进行判断.设存在P(x 0,y 0)且x 0≤-a ，使d ，｜PF 1｜，｜PF 2｜成等比数列，则｜PF 1｜2=d ｜PF 2｜， 设d ′为P 点到右准线的距离，由双曲线第二定义得：dPF 1='2d PF =e ∴｜PF 1｜=ed,∴(ed)2=d ·ed ′，∴ed=d ′，∴e(-c a 2-x 0)=-x 0+ca 2, ∴x 0=e e a -+1)11( ∵x 0≤-a,∴ee a -+1)11(≤-a,∴e 2-2e-1≤0，∴1-2≤e ≤2+1,又e ＞1， ∴1＜e ≤2+1.故当双曲线的离心率e ∈(1, 2+1)时，存在满足条件的P ，而当e ∈(2+1,+∞)时，不存在满足条件的点P.注：利用双曲线的第二定义解题是非常有效的方法.本例还可以利用双曲线的两种定义再结合不等式｜PF 1｜+｜PF 2｜≥｜F 1F 2｜求解，请同学们自己完成.例2 如图，已知梯形ABCD 中，｜AB ｜=2｜CD ｜，点E 分有向线段AC 所成的比为λ，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点.当（32≤λ≤43)时，求双曲线离心率e 的取值范围.分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系，则CD ⊥y 轴.因为双曲线经过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性知C 、D 关于y 轴对称.依题意，记A(-C ，0)，C(2c ,h),E(x 0,y 0,)其中c=21｜AB ｜为双曲线的半焦距，h 是梯形的高.由定比分点坐标公式得x 0=λλ++-12cc =)1(2)2(+-λλc ，y 0=λλ+1h 42e -22b h =1,①42e (12+-λλ)2-(1+λλ)222b h =1 ②由①式得22bh =42e -1③把③式代入②式，整理得42e (4-4λ)=1+2λ 故λ=1-232+e由题设32≤λ≤43得32≤1-232+e ≤43.解得 7≤e ≤10.所以双曲线的离心率的取值范围为［7,10］.注：本例先求出C 点纵坐标，用a 、b 、c 表示，然后将E 点坐标用λ表示，并代入双曲线方程，而得到含有e 与λ的等式，由λ范围求出e 的范围.例3 已知双曲线的两个焦点分别为M 、N ，点M 的坐标为(-2，-12)，点S(-7，0)、T(7，0)在双曲线.(1)利用双曲线定义，求点N 的轨迹方程；(2)是否存在过P(1，m)的直线与点N 的轨迹有且只有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)恰是线段AB 的中点?若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由.分析 (1)设点N 的坐标为(x,y)，它不同于点M(-2，-12).由双曲线定义知 ｜｜SM ｜-｜SN ｜｜=｜｜TM ｜-｜TN ｜｜≠0 ∵S(-7,0),T(7,0),∴｜SM ｜=13,｜TM ｜=15.1°当｜SM ｜-｜SN ｜=｜TM ｜-｜TN ｜时，有｜TN ｜-｜SN ｜=2＜14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的双曲线C 的左支，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.双曲线C 的方程：x 2-482y =1(x ＜0). ∴点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0,y ≠±12). 2°当｜SM ｜-｜SN ｜=-(｜TM ｜-｜TN ｜)时，有｜TN ｜+｜SN ｜=28＞14=｜ST ｜，∴点N 的轨迹是中心在ST 的中点(0，0)，焦点为S 、T 的椭圆Q ，除去M(-2，-12)和D(-2，12)两点.椭圆Q 方程：1962x +1472y =1.∴点N 的轨迹方程为1962x +1472y =1(y ≠±12).综合1°、2°，点N 的轨迹方程为x 2-482y =1(x ＜0＝和1962x +1472y =1，其中y ≠±12.(2)1°当过点P(1，m)的直线的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x=1，可得m=1.2°当k 存在时，设直线l :y=kx+m-k.若l 过点M 或点D.∵两点M 、D 既在双曲线C 上，又在椭圆Q 上，但不在点N 的轨迹上 ∴l 与点N 的轨迹只有一个公共点，不合题意；若l 不过M 、D 两点.当-43＜k 2＜43时(双曲线C 的渐近线方程为y ±43=0)，利用图像知，直线l 与点N 的轨迹有三个公共点，不合题意.当-∞＜k ≤-43或43＜k ≤+∞时，直线l 与点N 的轨迹有两个公共点A 、B ，且点P(1，m)是AB 的中点. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则在 3x 21+4y 21=12×49, ① 3x 22+4y 22=12×49, ② ①-②，得3(x 1+x 2)(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)(y 1-y 2) ③ 将x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m,2121x x y y -- =k 代入③，得k=-m43.当43≤k ＜+∞，即43≤-m43＜+∞时，有-163≤m ＜0.【同步达纲练习】A 级一、选择题1.已知双曲线kx 2-2ky 2=4的一条准线是y=1，则实数k 的值等于( ) A.23 B.-32 C.-23 D.32 2.双曲线与其共轭双曲线有相同的( )A.顶点B.焦点C.准线D.渐近线3.过点(2，-2)且与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程是( )A.-42x +22y =1B. 42x -22y =1C.- 22x +42y =1D. 22x +42y =14.已知双曲线的半焦距为C ，两准线间的距离为d ，且c=d,则双曲线的离心率等于( ) A. 3B.2C.3D.25.当8＜k ＜17时，曲线k x -172+ky -82=1与82x +172y =1有相同的( )A.焦距B.准线C.焦点D.离心率二、填空题 6.以y=±21x 为渐近线，且焦点在坐标轴上，焦距为10的双曲线 . 7.双曲线42x -82y =1的两准线相距 ，两渐近线所夹的锐角等于 ；8.若双曲线的离心率为2，则其共轭双曲线的离心率为 .三、解答题9.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.10.过双曲线92x -162y =1的右焦点F 作倾斜角为4的弦AB ，求弦AB 的长及AB 的中点M到右焦点F 的距离.AA 级一、选择题1.在下列双曲线中，与双曲线32x -y 2=1的离心率和渐近线都相同的是( )A.3y 2-x 2=9 B.x 2-3y 2=9C.3y 2-9x 2=1D.3x 2-y 2=3 2.双曲线的两条渐近线方程为y=±43x,则双曲线的离心率为( ) A.45 B.2 C.45或35D.25或215 3.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是( )A.49 B.29C.9D.104.已知双曲线642x -362y =1上的一点P 到右焦点的距离为14，则P 点到左准线的距离为( )A.22B.24C.26D.285.已知双曲线x 2-y 2=1的左焦点为F ，点P 为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率k PF 的取值范围是( )A.k ≤0或k ≥1B.k ＜0或k ＞1C.k ≤-1或k ≥1D.k ＜-1或k ＞1二、填空题6.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .7.双曲线32x -y 2=1的共轭双曲线的准线方程是 .8.双曲线22ax -22b y =1的准线和渐近线的交点到双曲线的中心的距离等于 .三、解答题9.直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，直线l 过点(-2，0)和AB 中点，求直线l 在y 轴上截距b 的取值范围.10.求证：以过双曲线的一个焦点的弦为直径的圆，必与对应的准线相交，且这条准线截得的劣弧的弧度数为定值.【素质优化训练】1.过点A(1，1)且与双曲线x 2-y 2=2有且只有一个公共点的直线的条数是( ) A.1 B.2 C.3 D.42.双曲线的两条准线分焦点间的距离成三等分，则双曲线的离心率为( )A.33B. 2C.3D.23.若双曲线的两条渐近线是y=±23x ，焦点F 1(-26，0)，F 2(26，0)，那么它的两条准线间的距离是( )A.26138B.26134C.261318D.261394.已知双曲线的两个焦点是椭圆16x 2+25y 2=160的两个顶点，双曲线的两准线分别过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是( )A. 62x -42y =1B. 42x -62y =1C.52x -32y =1D.32x -52y =15.已知E 、F 分别是离心率为215 的双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)的左顶点与右焦点，记M(0，b)，则∠EMF 等于( )A.45°B.60°C.90°D.120°二、填空题6.已知双曲线162x -92y =1和点A(6，2)、B(5，0)，M 是双曲线上的一个动点，则45｜MA ｜+｜MB ｜的最小值为 .7.双曲线的离心率是e=3，则两渐近线的夹角是 .8.渐近线为y=±21x,且和直线5x-6y-8=0有且仅有一个公共点的双曲线方程为 .三、解答题9.已知点A(5，0)和曲线y=142x (2≤x ≤25)上的点P 1，P 2，…，P n ，若｜P 1A ｜，｜P 2A ｜,…，｜P n A ｜成等差数列并且公差d ∈(51,51),求n 的最大值.10.已知双曲线22a x -22by =1(a ＞0,b ＞0)离心率e=323，过点A(0，-b)和B(a,0)的直线与原点间距离23. (1)求双曲线方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，求m 的取值范围.【生活实际运用】1.运用双曲线的光学性质，设计并制作一台灯或吊灯.2.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚构旋转所成的曲面，它的最小半径是6米，最小半径处的截口平面到地面距离是5米，底面截口半径是10米，求此双曲线的标准方程.注：这是一个有实际意义的题目.解这类题目时，首先要确认以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.双曲线的标准方程为362x -225162y =1.【知识验证实验】1.已知双曲线2x 2-y 2=2，试问过点N(1，1)能否作一直线与双曲线交于C 、D 两点，且使N 为CD 的中点?这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在，则说明理由.将问题一般化：N(x 0,y 0)，双曲线方程为22a x -22by =1，若过点N 的双曲线的中点弦存在，则N 点应在什么位置?其方程又为何?2.点P 是双曲线32x -122y =1右分支上任意一点，F 1，F 2分别为左、右焦点，设∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，求证：3tan2α=tan 2β. 解：在△PF 1F 2中，利用正弦定理及分比定理得βsin 1PF =αsin 2PF =)sin(21βα+F F =αβsin sin 21--PF PF ，∴2cos2sin28βαβα++=2sin2cos24αββα-+，即2sin2αβ-=sin2βα+,展开并简化，得3sin2αcos 2β=sin 2βcos 2β， ∴3tan 2α=tan 2β.【知识探究学习】舰A 在舰B 的正东6km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米处，它们准备围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4s 后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度是1km/s ，炮弹的速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少?解：取AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，则A 、B 、C 舰的坐标分别为(3，0)、(-3，0)、(-5，23).记动物所在位置为P ，则｜PB ｜=｜PC ｜，于是P 在BC 中垂线上，其方程为3x-3y+73 =0.又A 、C 两舰发现信号的时间差为4秒，有｜PB ｜-｜PA ｜=4,于是P 在双曲线42x -52y =1的右支上，求得P 点坐标是(8，53)且｜PA ｜=10.又k PA =3，∴直线PA 的倾斜角为60°，于是舰A 发射炮弹的方位角是北偏东30°，设发射的仰角是θ，初速度为v 0=3320g ,则g v θsin 20=θcos 100v ，∴sin2θ=210v g =23, ∴仰角θ=30°参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.D3.A4.B5.A6. 202x -52y =1或202x -52y =-1 7. 334,arctan228.332 9.解：由椭圆1692x +1442y =1的右焦点为(5，0)，∴圆心为(5，0)，又圆与双曲线92x -162y =1的渐近线相切，即圆心到直线y=±34x 的距离为圆的半径.∴r=50354⨯-⨯±=4 于是圆的方程为(x-5)2+y 2=16.10.解：∵F(5,0),∴AB:y=x-5，将AB 的方程代入双曲方程，得7x 2+90x-369=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-790,x 1x 2=-7369,∴｜AB ｜=212214)(2x x x x -+=7184322=7192，又x m =221x x +=-745,∴｜MF ｜=2｜x M -5｜=7280 AA 级1.B2.C3.B4.B5.B6.-5217.y=±21 8.a9.解：由⎩⎨⎧=-+=1122y x kx y 消去y 得，(1-k 2)x 2-2kx-2=0,若令f(x)=(1-k 2)x 2-2kx-2,则直线与双曲线左支相交于A 、B 两点，等价于方程f(x)=0有两个不大于-1的不等实根，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥---<-=+>-+=0)1()1(2120)1(84222122f k k k x x k k △ 解得1＜k ＜2，又AB 中点为(221k k -,211k -)，∴直线l 的方程为211k y-=2122+-+k kx ⇒y=2222++-+k k x ，令x=0,b=2222++-k k =1617)41(12+--k ，由k ∈(1, 2)知b ＜-2-2或b ＞2，故直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围为(-∞,-2-2)∪(2,+∞).10.证明：设PQ 是过焦点F 的弦，M 是PQ 的中点，l 是与F 相应的准线，分别过P 、Q 、M 作l 的垂线，垂足为P 1、Q 1、M 1，则｜MM 1｜=21｜｜PP 1｜±｜QQ 1｜｜=21·｜e PF 1±e PF 2｜=e21｜PQ ｜=e R＜R ，当P 、Q 位于同一支时，取“+”，否则取“-”，∴以PQ 为直径的圆必与准线l 相交，且截得的劣弧的弧度数θ=2arccos RMM 1=2arccose1为定值. 【素质优化训练】1.B2.C3.A4.A5.C6. 277.arctan 724 8. 42x -y 2=19.解：题设中的曲线是双曲线中的一段，即42x -y 2=1,(2≤x ≤25,y ≥0),A(5 ,0)是它的右焦点，其右准线为l :x=54,e=25,设P n (x n ,y n )(2≤x n ≤25,y n ≥0)，则｜P n A ｜=e(x n -54)=25x n -2,∴｜P n A ｜min=5-2,｜P n A ｜max=3,依题意，可设等差数列首项a 1＝5-2,第n 项a n =3=5-2+(n-1)d,得d=155--n (n ＞1)，又51＜d ＜51，∴51＜155--n ＜51,得55-4＜n ＜26-55,而7＜55-4且26-55＜15，∴7＜n ＜15，故n 可取最大值为14.10.解：(1)过AB 的直线方程为bx-ay-ab=0，由点到直线距离公式可得22b a ab +=23①，又e=a b a 22+=332 ②，由①、②得b=1,a=3，即所求双曲线方程为32x -y 2=1(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=132y x mkx y 消去y,得(3k 2-1)x 2+6kmx+3(m 2+1)=0，当3k 2-1≠0即k ≠±33时，△=12(m 2-3k 2+1)＞0,即m 2-3k 2+1＞0 ③，设C(x 1,y 1),D(x 2,y 2),CD 中点为M(x 0,y 0).则x 0=221x x +=1332--k km ，y 0=kx 0+m=-132-k m，因C 、D 两点都在以A 为圆心的同一圆上，∴AM ⊥CD,而k AM =km m k 313--- k CD =k ，∴km m k 313---=-k1⇒3k 2=4m+1 ④，由④得：4m+1＞0m ＞-41 ⑤，将④代入③：m 2-(4m+1)+1＞0，得m ＜0或m ＞4，综合⑤得m 的取值范围为(-41，0)∪(4,+∞)。
双曲线的渐近线和离心率问题
设双曲线a 2－b 2＝：a 2－：0a 2－＝3相±x ⇔±＝⇔2－2＝以可以把标准方程2－2＝＝a x a 2－b 2＝变式训练1 (2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________. 题型二 双曲线的离心率问题例2 (1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则下列命题正确的是________. ①对任意的a ，b ，e1>e 2；②当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2； ③对任意的a ，b ，e 1<e 2；④当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. (2)已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为________. 点评 在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e ＝c a 是一个比值，故只需根据条件得到关于a 、b 、c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形求e ，并且需注意e >1.同时注意双曲线方程中x ，y 的范围问题. 变式训练2 (2014·湖南)如图，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3、F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且F 2F 4＝3－1. (1)求C 1，C 2的方程；的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值. 题型三 双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3 (2014·福建)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x . (1)求双曲线E 的离心率；的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，请说明理由. 点评 解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围. 变式训练3 (2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足P A ＝PB ，则该双曲线的离心率是________. 高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是__________. 2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的________相等.(填序号) ①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距. 3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为______________. 4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是________________. 5.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为________. 6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 1 ((a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________. 7.已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________. 8.已知双曲线C 的中心在原点，且左，右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为底边作正三角形，若双曲线C 与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C 的离心率为________. 9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________. 10.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 1 ((a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝14a 2的切线，切点为E ，直线EF交双曲线右支于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______. 11.已知双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255. (1)求此双曲线的方程；求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积. 12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F (c,0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率. 双曲线a 2－b 2＝ö，b ö，－ba ，＝a，又a aa 2＝±a ＝＝a 2＋1，1a x 1a ((，－a )＝1a x c )＝a －－2a )－＝3. 3·－1)的方程为x －＝3x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)；直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则MF 2NF 2＝(2x 0－3)2(3y 0)214＋(32x 0－3)2(3y 0)2＝(2x 0－3)29y 204＋94(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)23y 20＋3(x 0－2)2. 因为P (x 0，y 0)是C上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得MF 2NF 2＝43·(2x 0－3)2x 20－3＋3(x 0－2)2＝43·(2x 0－3)224x 20－12x 0＋9＝43， 即所求定值为MF NF ＝23＝233. 变式训练1 x ±2y ＝0 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵a 2＝b 2＋c 21，c 22＝a 2＋b 2， ∴c 21＝a 2－b 2， ∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(ba )4， 即1－(b a )4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b 2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0. 例2 (1)④ (2)2 解析 (1)由题意e 1＝ a 2＋b 2a 2＝1＋èæøöba 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝ (a ＋m )2＋(b ＋m )2(a ＋m )2＝ 1＋èçæø÷öb ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m (a －b )a (a ＋m )>0，即b ＋m a ＋m >ba . 又b ＋m a ＋m >0，ba >0，所以由不等式的性质依次可得èçæø÷öb ＋m a ＋m 2>èæøöb a 2,1＋èçæø÷öb ＋m a ＋m 2>1＋èæøöb a 2，所以1＋èçæø÷öb ＋m a ＋m 2>1＋èæøöb a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m (a －b )a (a ＋m )<0，可推得e 2<e 1. 综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. (2)如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF →)·OF →＝0可知AT ⊥OF ， 又A 在以OF 为直径的圆上，∴A èæøöc 2，c 2， 又A 在直线y ＝ba x 上， ∴a ＝b ，∴e ＝ 2. 变式训练2 解 (1)因为e 1e 2＝32，所以 a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2. 故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1. (2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)，故可设直线AB 的方程为x ＝my －1. 由îïíïìx ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，m m 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m 2x. 由îíìy ＝－m 2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y2＝m 22－m2，从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2. 设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ， 所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m2＋4. 因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧， 所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0， 于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2| ＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝(m 2＋2)|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12·PQ ·2d ＝22·1＋m 22－m 2＝22·－1＋32－m 2. 而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取得最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2. 例3 解 (1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ， y ＝－2x ，所以ba＝2，所以c 2－a 2a ＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca ＝ 5. (2)方法一 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a 2＝1. 设直线l 与x 轴相交于点C . 当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点， 则OC ＝a ，AB ＝4a . 又因为△OAB 的面积为8， 所以12·OC ·AB ＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1. 若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1. 以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时， 双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意， 得k >2或k <－2，则C (－mk ，0)． 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由îïíïìy ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m2＋k . 由S △OAB ＝12|OC |·|·||y 1－y 2|，得 12|－m k |·|·||2m 2－k －2m 2＋k |＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由îïíïìy ＝kx ＋m ，x24－y 216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 方法二 由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1. 设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 依题意得－12<m <12. 由îïíïìx ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m ，同理，得y 2＝－2t1＋2m. 设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12·OC ·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·ïïïï2t1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)． 由îïíïìx ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0， 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1. 变式训练3 52解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x . 由îïíïìy ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a )， 由îïíïì y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bm a ＋3b )，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a 2)． 设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)，因为P A ＝PB ，所以PC ⊥l ，所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52. 常考题型精练1.èæøö－33，33解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0. ∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 2．③．③解析 双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ， ∴C 1，C 2的离心率相等．3.x 25－y 24＝1 解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切，即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3b a 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.① 又∵x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3,0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4. ∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1. 4．x 2＋y 2－10x ＋9＝0 解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x －3y ＝0的距离d ＝205＝4， 所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0. 5.233或2 解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ a 2＋b 2a 2 ＝1＋(b a )2＝233或2. 6.2 解析 取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－a b (x －c )，可解得点H 的坐标为èæøöa 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为èæøöa 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a ＝ 2. 7．x 2－y 23＝1 解析 由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2，即双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2，又e ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故双曲线的方程为x 2－y 23＝1. 8.3＋1 解析 设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，则在Rt △MF 1F 2中，可得F 1F 2＝2c ，MF 1＝3c ，MF 2＝c ，由双曲线的定义有MF 1－MF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝c a ＝23－1＝3＋1. 9．(2，＋∞) 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，设直线方程为y ＝b a(x －c )，与y ＝－b a x 联立求得M èæøöc 2，－bc 2a ，因为M 在圆外，所以满足MF 1→·MF 2→>0，可得－34c 2＋èæøöbc 2a 2>0，解得e ＝ca >2. 10.102解析 设双曲线的右焦点为F 1，连结PF 1. 由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点． 又O 是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且OE ＝12PF 1，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴PF 2＋PF 21＝FF 21，PF 1＝a ，PF ＝2a ＋PF 1＝3a ，∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴c a ＝102. 11．解 (1)依题意得îíì a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得îïíïì a ＝2，b ＝1， 故双曲线的方程为y 24－x 2＝1. æ2，的坐标代入y 4－èæπ2－＝12，从而＝4. ＝5m ＝5n ＝12·±b a x 双曲线方程为x 2－y 2＝的斜率满足y 0x ·(－3)＝－＝3y ＝12c ＝32c èæøö32c ，c 234c a 2－14c b 2＝，即34b －14a 34c èæøöc a èæøöc a ＝2，双曲线的离心率为 2. 。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】 1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点1F 、2F 的距离之差的绝对值等于定长()1222,0a F F a a >>的点的轨迹称为双曲线，其中两定点1F 、2F 称为双曲线的焦点，定长2a 称为双曲线的实轴长，线段12F F 的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线的第一定义.【注】12122PF PF a F F -==，此时P 点轨迹为两条射线.（2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值()1e e >的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的焦点，定直线称为双曲线的准线，定值e 称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.3、渐近线双曲线()22221,0x y a b a b -=>的渐近线为22220x y a b -=，即0x y a b ±=，或by x a=±.【注】①与双曲线22221x y a b -=具有相同渐近线的双曲线方程可以设为()22220x y a bλλ-=≠；②渐近线为by x a=±的双曲线方程可以设为()22220x y a b λλ-=≠；③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线. 4、焦半径双曲线上任意一点P 到双曲线焦点F 的距离称为焦半径.若00(,)P x y 为双曲线()22221,0x y a b a b -=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左、右焦点，则10||PF ex a =+，20||PF ex a =-，其中c e a=. 5、通径过双曲线()22221,0x y a b a b -=>焦点F 作垂直于虚轴的直线，交双曲线于A 、B 两点，称线段AB 为双曲线的通径，且22b AB a=.6、焦点三角形P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的任意一点，1(,0)F c -，2(,0)F c 为双曲线的左右焦点，称12PF F ∆为双曲线的焦点三角形.若12F PF θ∠=，则焦点三角形的面积为：122cot 2F PF S b θ∆=.7、双曲线的焦点到渐近线的距离为b （虚半轴长）.8、双曲线()22221,0x y a b a b-=>的焦点三角形的内心的轨迹为()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线:0l Ax By C ++=，双曲线Γ：()22221,0x y a b a b-=>，则l 与Γ相交22222a A b B C ⇔->； l 与Γ相切22222a A b B C ⇔-=； l 与Γ相离22222a A b B C ⇔-<.10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条. 11、焦点三角形角平分线的性质点(,)P x y 是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，12,F F 是双曲线的焦点，M 是12F PF ∠的角平分线上一点，且20F M MP ⋅=，则OM a =，即动点M 的点的轨迹为()222x y a x a +=≠±.【推广2】设直线()110l y k x m m =+≠：交双曲线()22221,0x y a b a b -=>于C D 、两点，交直线22l y k x =：于点E ．若E为CD 的中点，则2122b k k a=.13、中点弦的斜率直线l 过()()000,0M x y y ≠与双曲线()22221,0x y a b a b -=>交于,A B 两点，且AM BM =，则直线l 的斜率2020AB b x k a y =.14、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作实轴的平行线，交渐近线于,M N 两点，则PM PN =定值2a .15、点(,)(0,0)P x y x y >>是双曲线()22221,0x y a b a b-=>上的动点，过P 作渐近线的平行线，交渐近线于,M N 两点，则OMPNS =定值2ab .【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_________.【变式1】若曲线22141x y k k+=+-表示双曲线，则k 的取值范围是_________.【变式2】双曲线22148x y -=的两条渐近线的夹角为_________.【变式3】已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.【变式4】若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0,0)x y a b a b-=>>有相同焦点1F 、2F ，P 为两曲线的一个交点，则12PF PF ⋅=_________.【变式5】如果函数2y x =-的图像与曲线22:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）A ．[1,1)-B . {}1,0-C . (,1][0,1)-∞-D . [1,0](1,)-+∞【变式6】直线2=x 与双曲线14:22=-y x C 的渐近线交于B A ,两点，设P 为双曲线C 上的任意一点，若OB b OA a OP +=(O R b a ,,∈为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）A .222a b +≥B .2122≥+b a C .222a b +≤ D .2212a b +≤【变式7】设连接双曲线22221x y a b -=与22221y x b a-=的四个顶点为四边形面积为1S ,连接其四个焦点的四边形面积为2S ，则12S S 的最大值为_________.例2、设12F F 、分别是双曲线2219y x -=的左右焦点,若点P 在双曲线上，且12=0PF PF ，则12PF PF +=_________.【变式1】过双曲线221109x y -=的左焦点1F 的弦6AB =，则2ABF ∆（2F 为右焦点）的周长为_________.【变式2】双曲线2211620x y -=的左、右焦点1F 、2F ，P 是双曲线上的动点，且19PF =，则2PF =_________.例3、设12F F 、是双曲线2214x y -=的两个焦点，点P 是双曲线的任意一点，且123F PF π∠=，求12PF F ∆的面积.例4、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=有A B 、两个不同的交点，如果以AB 为直径的圆恰好过原点O ,试求k 的值.例5、已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A B 、两点，那么是否存在实数k 使得A B 、两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.例6、已知双曲线221124x y -=的右焦点为F ,若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线C :21(4)x y y x -=≤； （1）画出曲线C 的图像；（2）若直线l ：1y kx =-与曲线C 有两个公共点，求k 的取值范围； （3）若()0P p ，()0p >，Q 为曲线C 上的点，求PQ 的最小值.【变式2】直线l ：10ax y --=与曲线C ：2221x y -=. （1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个交点，求实数a 的取值范围；（2）若直线l 被曲线C 截得的弦长PQ =，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a ，使得以PQ 为直径的圆经过原点，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.例7、已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(14)A ，,P 是双曲线右支上的动点，求PF PA +的最小值.【变式】P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆()2254x y ++=和()2251x y -+=上的点，则PM PN -的最大值等于_________.例8、已知动圆P 与两个定圆()2251x y -+=和()22549x y ++=都外切，求动圆圆心P 的轨迹方程.【变式1】ABC ∆的顶点为()50A -，,()5,0B ，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是_________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为)F，直线1y x =-与其相交于M N 、两点，线段MN的中点的横坐标为23-，求此双曲线的方程.例9、已知双曲线221916x y -=，若点M 为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.例10、焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点P 为圆心，以1为半径的圆相切，又知双曲线C 的一个焦点与P 关于直线y x =对称 （1）求双曲线的方程；（2）设直线1y mx =+与双曲线C 的左支交于,A B 两点，另一直线l 经过点(2,0)M -及AB 的中点，求直线l 在轴上的截距n 的取值范围.【变式】设直线l 的方程为1y kx =-，等轴双曲线C ：222x y a -=右焦点为).（1）求双曲线的方程；（2）设直线l 与双曲线的右支交于不同的两点A B 、,记AB 中点为M ，求实数k 的取值范围，并用k 表示点M 的坐标；（3）设点()1,0Q -，求直线QM 在y 轴上的截距的取值范围.例11、已知双曲线C 方程为：2212y x -=. （1）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值；（2）设直线l 是圆O ：222x y +=上动点00(,)P x y （000x y ≠）处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B 、，证明AOB ∠的大小为定值.例12、已知中心在原点，顶点12A A 、在x轴上，其渐近线方程是3y x =±，双曲线过点()6,6P . （1）求双曲线的方程；（2）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点M N 、，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论.例13、已知点1F 、2F 为双曲线C ：()01222>=-b by x 的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且︒=∠3021F MF ．圆O 的方程是222b y x =+． （1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求21PP PP ⋅的值； （3）过圆O 上任意一点()00y ,x Q 作圆O 的切线l 交双曲线C 于A 、B 两点，AB 中点为M ，例14、已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点是()22,0F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上．（3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．l。
双曲线离心率课件
高速铁路
在高速铁路轨道设计中，双曲线离心率用于优化 列车运行的轨迹，提高列车的运行效率和安全性。
05
双曲线离心率的题目解析
基础题目解析
01 基础题目解析
这类题目主要考察双曲线离心率的定义和基本性 质，难度较低。通常包括求双曲线的离心率、判 断离心率的大小关系等。
02 题目示例
已知双曲线$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$的一条渐近线方程为$y = frac{1}{2}x$，求该 双曲线的离心率。
根据渐近线方程，我们可以得到$frac{b}{a} = 1$， 进一步得到离心率$e = frac{c}{a} = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}} = sqrt{1 + 1} = sqrt{2}$。
高难度题目解析
01
高难度题目解析
这类题目难度较大，除了考察双曲线离心率的定义和性质外，还会涉及
离心率与双曲线焦点的关系
总结词
离心率越大，双曲线的焦点距离越短；离心率越小，双曲线的焦点距离越长。
详细描述
离心率不仅决定了双曲线的形状和顶点位置，还影响了双曲线的焦点距离。离心率越大，两个焦点之间的距离越 短；离心率越小，两个焦点之间的距离越长。这是因为离心率的变化会影响到双曲线的形状和大小，进而影响焦 点的位置和距离。
$a$和$b$分别表示双曲线的实半轴和虚半轴长度， 且满足关系$c^2 = a^2 + b^2$，其中$c$为焦 距。
双曲线的性质
双曲线有两个分支，在平面内关于原点对称。 01
双曲线的离心率大于1，表示双曲线与焦点之间的 02 距离逐渐增大。
双曲线的渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$或 03 $y = pm frac{a}{b}x$，取决于双曲线的开口方向。
双曲线离心率与渐近线的关系
双曲线离心率与渐近线的关系双曲线离心率与渐近线的关系1、什么是双曲线离心率：双曲线离心率（eccentricity）是指一个椭圆及其形状的程度。
它是描述一个椭圆或其它椭圆曲线的形状的一种特殊比例。
其值的取值范围被约束在 0～1 之间，离心率e 就是在这一范围内，椭圆曲线的圆心和焦点之间的距离与大圆的半径的比。
离心率的取值越大，椭圆的形状就越扁。
2、什么是渐近线:渐远线（Asymptote）是指椭圆或其它椭圆曲线的某一总体方向的线段。
它是定义在曲线上但在某一程序趋近无穷大，任何直线与这条曲线趋近时，直线与曲线的距离都会变为无穷小，最终消失的椭圆上的一种总体方向的直线。
3、双曲线离心率与渐近线的关系:（1）双曲线离心率与渐近线的关系有助于理解双曲线的形状。
由于双曲线上有两个焦点，所以它有两个渐近线，都以椭圆的圆心为中心，斜率自然也不同。
（2）由于双曲线的离心率为0到1之间的一个数值，当离心率越大时，椭圆轮廓更扁，渐近线也会越远离椭圆的形心。
当离心率越接近1时，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线也越来越远离椭圆的圆心。
（3）此外，双曲线的离心率也与渐近线之间的距离存在关系。
双曲线的离心率越大，两个焦点分别处于曲线的最远点，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线之间的距离也越远。
反之，当离心率越接近0时，椭圆的形状越圆，渐近线之间的距离也越短。
4、结论:总的来说，双曲线离心率与渐近线之间存在着诸多关系，离心率越大，渐近线之间的距离就越远；反之，离心率越小，渐近线之间的距离就越短。
它们的关系彼此之间密不可分，它们对于双曲线的性质和形状分析具有重要意义。
双曲线以焦距为直径圆交渐近线离心率
双曲线是数学中的一种曲线，其特点是以焦距为直径的圆交曲线分成两支。
双曲线的焦点离心率小于1，离心率的倒数。
双曲线是圆的推ausal。
双曲线的图形特点：1. 双曲线在坐标系中呈现出两支曲线，它们在横轴上求异同异，两支曲线在纵轴上趋近于无穷远。
2. 双曲线无法闭合成一个圆形，而是打开的两支。
3. 双曲线的离心率小于1，离心率的倒数是双曲线的拓扑性质。
双曲线的方程：双曲线的一般方程是(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b代表椭圆的半轴，分别称为椭圆的横半轴和纵半轴。
当x^2前面的系数为正数时，双曲线开口朝向y轴，称为水平双曲线；当y^2前面的系数为正数时，双曲线开口朝向x轴，称为垂直双曲线。
双曲线的性质：1. 双曲线没有端点，其曲线始终朝向无穷远，永不相交。
2. 双曲线的渐近线分别是椭圆的水平渐近线和垂直渐近线。
3. 双曲线的焦点是曲线的特殊点，是一对共轭复数，满足特定的几何性质。
双曲线的数学应用：1. 物理学中描述光学偏振现象。
2. 工程学中描述天体运动的轨迹。
3. 经济学中描述复利利息的增长规律。
4. 生物学中描述生物种裙的增长和衰退规律。
双曲线作为一种特殊的数学曲线，在科学研究和工程应用中都有着广泛的应用。
对于理解和掌握双曲线的性质，对于理解数学和物理等学科都有着重要的意义。
双曲线是数学中的一种重要曲线，具有许多独特的性质和应用。
在接下来的部分中，我们将探讨更多关于双曲线的性质和应用，并深入了解双曲线在不同领域中的重要性。
1. 双曲线的焦点和渐近线双曲线的焦点是双曲线特有的重要点，由焦点可以确定双曲线的形状和大小。
在双曲线的方程中，通过求解可以得到焦点的坐标，从而进一步研究双曲线的性质和特点。
在几何上，双曲线还有两条渐近线，它们是曲线的特殊性质，渐近线方程可以帮助我们更加直观地理解双曲线的形状和走向。
研究双曲线的焦点和渐近线不仅有助于加深对双曲线的理解，同时也对于解决相关问题和应用具有重要意义。
双曲线的第三定义结论
双曲线的第三定义结论
双曲线的第三定义结论如下:
1. 双曲线的两支具有不同的曲率，其夹角越大，曲率差异越大。
2. 双曲线的中心点与两支的交点称为双曲线的焦点，焦点位于贯穿轴上。
3. 双曲线的标准方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1，其中 a 和
b 分别是双曲线的实半轴和虚半轴。
4. 双曲线的渐近线为 y = x 和 y = -x，分别对应双曲线的两支。
5. 双曲线的两支渐近线的斜率之积为 -1，即 k1 × k2 = -1。
6. 双曲线的对称中心位于双曲线的中心点，对称轴为贯穿轴。
7. 双曲线的性质包括离心率、焦点位置、准线、渐近线等，可以用于求解圆锥曲线的相关问题。
8. 双曲线还有许多其他的定义和性质，如双曲线几何、双曲线函数、双曲线方程等。
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2
y
2
1 的 左 焦 点 F1 作 倾 角 为
4
的直线与双曲线
9
16
交 于 A、 B 两 点 ， 则 |AB|=
.
2. 双 曲 线 的 两 条 渐 进 线 方 程 为 x 2 y 0 ， 且 截 直 线 x y 3 0 所得弦长为 (A)
x
2 2
8 3 3
，则该双曲线的方程为（ (B) x
以线段 F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 , F 2 ， 若 F 1 M 边的中点在双曲线上，求双曲线的离 心率
直线与双曲线的位置关系：
• 例5、如图，过双曲线 3 6 1 的右焦 • 点 F2 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B 两点，求|AB|。
x
2
y
2
练习: 1.过 双 曲 线
由双曲线的第一定义得：
| t1 t 2 | 6
F1
.
O
.
F2
x
由余弦定理得：
cos
2
3
t1 t 2 100 2 t1 t 2
2
2
1 2
( t1 t 2 ) 2 t1 t 2 100 2 t1 t 2
S F1 PF 2 1 2 t1 t 2 sin
1 2
2
）
2
y 1
y
2
1
2
4
(C) x
2
y
1
2
(D)
x
2
y 1
2
4
练.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
2 2 5 2 5 2
(2)有两个公共点; (2)
5 ＜k＜ 2
且 ； k 1
t1 t 2 64
3
3
16
例3： 已知椭圆
x aLeabharlann 2 2 1y b
2
2 1
（ a 1 b1 0）与双曲线 1
x a
2 2 2
y
2 2
1
b2
（ a 2 0， b 2 0）有公共焦点 交点，试用
F1、 F 2，设 P 是它们的一个
b1、 b 2 表示△ PF 1 F 2的面积。
9
16
练：求与椭圆
x
x
2
y
2
1
有共同焦点，渐近线方程为
16
8
3 y 0 的双曲线方程。
• 焦点三角形
例 2：双曲线 t1t2 64 且 F 1 PF
2
x
2
y
2
1的左右焦点为
9
16 , 求 S F 1 PF 2
F 1 , F 2，点 P 在双曲线上，
3
y
P.
解：设 | PF 1 | t1 , | PF 2 | t 2
1 e
练习
• 1、设双曲线
x a
2 2
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
的半焦距为
• c，直线l过点（a，0），（0，b）两点，已知 原点 • 到直线l的距离为
3c 4
， 求双曲线的离心率。
• 练2、如下图：已知
x a
2 2
是双曲线 F1 , F 2 的两个焦点，
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
2 2
| PF 1 | | PF 2 | 2 a1 及 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 2 （令 | PF | | PF | ） 1 2
| PF 1 | | PF 2 | | F1 F 2 |
2 2 2
2 | PF 1 | | PF 2 |
2 2 2 2
2 2 2
1
2 2
b1b2 .
• 例4、由双曲线
• 右两焦点
x
2
y
2
1
上的一点P与左、
P F1 F2
9
4
F1、 F2 构成 P F1 F 2 ，求
的内
• 切圆与边 F1 F 2 的切点坐标。
双曲线的离心率
• 例1：已知双曲线
x a
2 2
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
的渐
• 近线的夹角为 2 ，求证：cos
2 a 1 2 a 2 2 a 1 b1 a 2 b 2 ） b1 b2 （ 2 a1 a 2 ） （
2 2
b1 b2
2
sin θ
2 b1b2 b1 b2
2 2
2b b 2 2 S △ PF 1F2 1 | PF 1 | | PF 2 | sin θ 1 a1 a 2 ） 2 1 2 （ 2 2 b b
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ±
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点. 5 2 k 1
；
1、“共渐近线”的双曲线的应 用 2 2 x y 与 2 2 1共渐近线的双曲线系 a b
方程为 x a
2 2
y b
2 2
( 0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
例题讲解
例1 :求下列双曲线的标准方程：
与双曲线
x
2
y
2
1
有共同渐近线，且过点 ( 3 , 2 3 ) ；
a1 b1 a 2 b2 c
2 2 2 2 2
解：由题意得
a1 a 2 b1 b2
义，得：
2
2
2
2
令 F1 PF 2 θ ，则由椭圆，双曲线定
则 | PF 1 | a1 a 2， | PF 2 | a1 a 2
在 △ F1 PF 2 中 , cos θ