双曲线的性质离心率渐近线

t1 t 2 64
3

3
16
例3： 已知椭圆
x a
2 2 1

y b
2
2 1
（ a 1 b1 0）与双曲线 1
x a
2 2 2

y
2 2
1
b2
（ a 2 0， b 2 0）有公共焦点 交点，试用
F1、 F 2，设 P 是它们的一个
b1、 b 2 表示△ PF 1 F 2的面积。

2 a 1 2 a 2 2 a 1 b1 a 2 b 2 ） b1 b2 （ 2 a1 a 2 ） （
2 2

b1 b2
2
sin θ
2 b1b2 b1 b2
2 2

2b b 2 2 S △ PF 1F2 1 | PF 1 | | PF 2 | sin θ 1 a1 a 2 ） 2 1 2 （ 2 2 b b
由双曲线的第一定义得：
| t1 t 2 | 6
F1
.
O
.
F2
x
由余弦定理得：
cos
2

3

t1 t 2 100 2 t1 t 2
2
2

1 2

( t1 t 2 ) 2 t1 t 2 100 2 t1 t 2
S F1 PF 2 1 2 t1 t 2 sin

1 2

1 e
练习
• 1、设双曲线
x a
2 2
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
的半焦距为
• c，直线l过点（a，0），（0，b）两点，已知 原点 • 到直线l的距离为
3c 4
， 求双曲线的离心率。
• 练2、如下图：已知
x a
2 2
是双曲线 F1 , F 2 的两个焦点，
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
9
16
练：求与椭圆
x
x
2

y
2
1
有共同焦点，渐近线方程为
16
8
3 y 0 的双曲线方程。
• 焦点三角形
例 2：双曲线 t1t2 64 且 F 1 PF
2
x
2

y
2
1的左右焦点为
9
16 , 求 S F 1 PF 2
F 1 , F 2，点 P 在双曲线上，


3
y
P.
解：设 | PF 1 | t1 , | PF 2 | t 2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ±
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ； (5)与左支交于两点. 5 2 k 1
；
以线段 F 1 F 2 为边作正三角形 MF 1 , F 2 ， 若 F 1 M 边的中点在双曲线上，求双曲线的离 心率
直线与双曲线的位置关系：
• 例5、如图，过双曲线 3 6 1 的右焦 • 点 F2 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B 两点，求|AB|。
x
2
y
2
练习: 1.过 双 曲 线
2
）
2
y 1
y
2
1
2
4
(C) x
2
y
1
2
(D)
x
2
y 1
2
4
练.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
2 2 5 2 5 2
(2)有两个公共点; (2)
5 ＜k＜ 2
且 ； k 1
1
2 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1b2 .
• 例4、由双曲线
• 右两焦点
x
2

y
2
1
上的一点P与左、
P F1 F2
9
4
F1、 F2 构成 P F1 F 2 ，求
的内
• 切圆与边 F1 F 2 的切点坐标。
双曲线的离心率
• 例1：已知双曲线
x a
2 2
-
y b
2 2
（ a b 0)) 1
的渐
• 近线的夹角为 2 ，求证：cos
2 2
| PF 1 | | PF 2 | 2 a1 及 | PF 1 | | PF 2 | 2 a 2 （令 | PF | | PF | ） 1 2
| PF 1 | | PF 2 | | F1 F 2 |
2 2 2
2 | PF 1 | | PF 2 |
2 2 2 2
2 2 2
1、“共渐近线”的双曲线的应 用 2 2 x y 与 2 2 1共渐近线的双曲线系 a b
方程为 x a
2 2

y b
2 2
( 0，为参数)，
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
例题讲解
例1 :求下列双曲线的标准方程：
与双曲线
x
2

y
2
1
有共同渐近线，且过点 ( 3 , 2 3 ) ；
x
2

y
2
1 的 左 焦 点 F1 作 倾 角 为

4
的直线与双曲线
9
16
交 于 A、 B 两 点 ， 则 |AB|=
.
2. 双 曲 线 的 两 条 渐 进 线 方 程 为 x 2 y 0 ， 且 截 直 线 x y 3 0 所得弦长为 (A)
x
2 2
8 3 3
，则该双曲线的方程为（ (B) x
a1 b1 a 2 b2 c
2 2 2 2 2
解：由题意得

a1 a 2 b1 b2
义，得：
2
2
2
2
令 F1 PF 2 θ ，则由椭圆，双曲线定
则 | PF 1 | a1 a 2， | PF 2 | a1 a 2
在 △ F1 PF 2 中 , cos θ