6[1].7 子空间的直和

1 - 1 = 0 , 2 - 2 = 0 , 即 1 = 1 , 2 = 2 .
这就是说，向量 的分解式是唯一的.
证毕
推论 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
V1 ∩ V2 = { 0 } .
证明 先证充分性. 假设有等式
1 + 2 = 0，
那么
1 V1 , 2 V2 ,
的补空间.
如图 6-11 所示.
z e3 U e2 o e1 x W1 y
W2
图 6-11
四、多个子空间的直和
定义 2 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间. 如果和 V1 + V2 + … + Vs 中每个向量
的分解式
= 1 + 2 + … + s , i Vi ( i = 1,2,…,s )
则
R 3 U W1 , R 3 U W1 .
思考题
设
V1 { A P nn A A},V2 { A P nn A A}
证明：V1 , V2 都是
P
n n
的子空间，并且
P
nn
V1 V2 .
作业
补充题
R4的子空间
V1 L(2 1 2 , 1 ), V2 L( 3 4 , 4 1 ),
证毕
定理 2 设 V1 , V2 是 V 的子空间，令 W = V1
+ V2 ，则 W = V1 V2 的充分必要条件为
维( W ) = 维( V1 ) + 维( V2 ) .
证明
因为
维(W) + 维(V1 ∩ V2 )= 维(V1) + 维(V2) ,
而由前面 定理
和的推论知 V1 + V2 为直和的充 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
W = L(m + 1 , … , n ) . 则 W 即满足要求.
令
证毕
注 意：
余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间). 如，在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1)
令 U L(1 , 2 ), W1 L( 1 ), W2 L( 2 ),
第六章 线性空间
§1 集合· 映射 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数· 基与坐标 §4 基变换与坐标变换
§5 线性子空间
§6 子空间的交与和
§7 子空间的直和 §8 线性空间的同构
第七节 子空间的直和
主要内容
定义 直和的充分必要条件 余子空间 多个子空间的直和
引 入
设 V1 ,V2为线性空间V的两个子空间，由维数公式
此时 dim(V1 V2 ) 0,
V1 V2 不含非零向量，即 V1 V2 0
情形2）是子空间的和的一种特殊情况
直和
一、定义
子空间的直和是子空间的和的一个重要特殊
情形.
定义 1 设 V1 , V2 是线性空间 V 的子空间，
如果和 V1 + V2 中每个向量 的分解式
= 1 + 2 ，
要条件是V1 ∩ V2 = { 0 } ，这是与维(V1 ∩ V2 ) = 0 等式
1 + 2 维(V 1 ) 1 , 2 这就 等价的，也就与维(W) == 0，1) + 维(V2V等价. V2 ,
证明了定理. 只有在V1 , V2全为零时才成立.
证毕
推论1 和 V1 + V2 为直和的充分必要条件是
而0有分解式 0= 0 0,
1 0, 2 0.
充分性.
设 V1 + V2 ，它有两个分解式
= 1 + 2 = 1 + 2 ， 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2.
于是 ( 1 - 1 ) + ( 2 - 2 ) = 0 , 其中1 - 1 V1 , 2 - 2 V2 . 由定理的条件，有
V1 ,V2 的基合并起来是 V1 V2 的基。
推论2
设 1 , 2 , , r ; 1 ,2 , , s 分别是线性子空间 V1 ,V2 的一组基，则
V1 V2 是直和 1 , 2 , , r ,1 ,2 ,, s 线性无关.
证：由题设，V1 L( 1 , 2 , , r ), dimV1 r
都只有唯一分解式： (a1 , a2 ,0) (0,0, a3 ).
故 V1 V2 是直和.
例 1 在 3 维空间 R3 中，
1）V1 {(0,0, z ) z R}, V2 {( x , y ,0) x , y R}, 则 R 3 V1 V2 . 2）V1 {( x , y ,0) x , y R}, V2 {(0, y , z ) y , z R}, 则 R 3 V1 V2 , R 3 V1 V2 .
5) V1 ,V2 的基合并起来是 V1 V2 的基。
例2 R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ),
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
则 R 3 V1 V2 , R 3 V1 V2 .
(2,2,2) (2,3,0) (0, 1,2) (2,1,0) (0,1,2)
所以和 V1 V2不是直和. 而在和 V1 V3 中，向量 (2,2,2)的分解式是唯一的，
(2,2,2) (2,2,0) (0,0,2)
事实上，对 (a1 , a2 , a3 ) V1 V3 ,
1 = - 2 V1 ∩ V2 .
由假设 V1 ∩ V2 = { 0 } ，得
1 = - 2 = 0 .
这就证明了 V1 + V2 是直和.
再证必要性. 任取向量 V1 ∩ V2 . 向量可以表示成
于是零
0 = + ( - ) ， V1 , - V2 . 因为是直和，所以 = - = 0 . 这就证明了 V1 ∩ V2 = { 0 } .
因为向量组 1, e1, e2 线性无关，所以它即为 P 3 的 基，于是 e1, e2 是 W 的一组基，即 W = L(e1, e2 ) . 若令e3 = ( 0, 0, 1), 则 e1, e3 和 e2, e3 都可作为 W 的基，这就是说，子空间的补空间不是唯一的.
在这里 U 是过原点的直线，W 是过原点的平面 事实上，只要直线不在平面上，这时的 W 都是 U
则 R 3 U W1 U W2 , 但 W1 W2
例 3 设 V = P 3，U = L(1 )， 1 = (1, 1, 1)，
求 U 的补空间 W .
解 要求补空间 W，即要求 W 的一组基. 只需
把 U 的基扩充为 P 3 的基. 取
e1 = (1, 0, 0), e2 = ( 0, 1, 0),
三、余子空间
定理 3 设 U 是线性空间 V 的一个子空间，
那么一定存在一个子空间 W 使 V = U W . 这时 U 叫做 W 的补空间，W 叫做 U 的补空间， 或者 U 与 W 是互补子空间.
证明
取 U 的一组基 1 , … , m . 把它扩充
为 V 的一组基 1 , … , m , m + 1 , … , n .
② 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中 都成立. 例如，R3的子空间
V1 L( 1 , 2 ), V2 L( 2 , 3 ), V3 L( 3 )
这里， 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
在和 V1 V2 中，向量的分解式不唯一，如
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 )
有两种情形：
1) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
此时 dim(V1 V2 ) 0, 即，V1 V2 必含非零向量.
2) dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
这里，
1 (1,0,0,0), 2 (0,1,0,0), 3 (0,0,1,0), 3 (0,0,0,1),
R 4 V1 V2 .
则
P271
20
是唯一的，这个和就称为直和. 记为 V1 V2 … Vs .
和两个子空间的直和一样，我们有
定理 4 设 V1 , V2 , … , Vs 都是线性空间 V
的子空间，则下面这些条件是等价的：
1) W Vi 是直和；
2) 零向量的表法唯一； 3) Vi
V
j i
j
{0}
(i 1,2,, s) ;
二、直和的充分必要条件
定理 1 和 V1 + V2 是直和的充分必要条件是
等式
1 + 2 = 0，
பைடு நூலகம்
1 V1 , 2 V2 ,
当且仅当 1 2 0 全为零时才成立.
证明
定理的条件实际上就是：零向量的分
解式是唯一的.
必要性.
V1 V2 是直和, V1 V2 , 的分解式唯一. 若1 2 0, 1 V1 , 2 V2
所以 1 , 2 , , r ,1 ,2 , , s 线性无关.
总之，设 V1 ,V2 为线性空间V的子空间，则下面 四个条件等价: 1） V1 V2 是直和 2）零向量分解式唯一 3） V1 V2 0 4）dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2
dim(V1 V2 ) r s dimV1 dimV2 V1 V2 是直和.
反之,若 V1 V2 直和，则
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 r s
从而 1 , 2 , , r ,1 ,2 , , s 的秩为r＋s .
V2 L(1 ,2 , , s ), dimV2 s V1 V2 L( 1 , 2 , , r ,1 ,2 ,, s ).
若 1 , 2 , , r ,1 ,2 , , s 线性无关， 则它是 V1 V2 的一组基.
从而有
1 V1 , 2 V2 ,
是唯一的，这个和就称为直和，记为 V1 V2 . 在第六节的
中的和就是直和.
注
意:
① 分解式 1 2 唯一的，意即
若有 1 2 1 2 , 1 , 1 V1 , 2 , 2 V2
则 1 1 , 2 2 .
4) 维( W ) = 维( Vi ) .
证明略.
小 结
1.直和的定义 2.直和的充分必要条件 3.余子空间 4.多个子空间的直和
练 习
在R3中，设
1 (1,1,0), 2 (1,0,0), 1 (0,1,1), 2 (0,0,1)
令 U L(1 , 2 ), W1 L( 1 ), W2 L( 2 ),