高中数学《抛物线》练习题

高中数学《抛物线》练习题

一、选择题：

1. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

(A)

18 (B)41 (C) 2

1

(D)1 2. （上海）过抛物线x y 42

=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在

3. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42

=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42

=的交点到原点的距离是 （ ）

A ．23+6

B ．21

C ．21218+

D ．21

5 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A )

1617 ( B ) 1615 ( C ) 8

7 ( D ) 0 6. （湖北卷）双曲线)0(12

2≠=-mn n

y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为

（ ）

A ．

163

B ．

8

3 C ．

3

16 D ．

3

8 二、填空题：

7．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线m x x y +-=

22

12

的焦点在x 轴上，则m 的值是 . 9．过（－1，2）作直线与抛物线x y 42

=只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线2

2x y =为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .

三、解答题：

11. （江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.

（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹

12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的

距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线方程;

(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;

(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.

当m<1时, AK 与圆M 相交.

13、(全国卷III)

设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线2

2y x =上，l 是AB 的垂直平分线。

（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。

14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．

（Ⅰ）求AOB ∆得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

抛物线练习题答案

解答：一。BB D BB A

三.1. 解：（1）设M （y 2

0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)

则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-

∴由2

002

()y y k x y y x

⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消2

00(1)0x ky y y ky -+-=得 解得20021(1),F F ky ky y x k k --=∴= ∴00220000

222

112

14(1)(1)2E F EF

E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-

--===

=---+--

(定值) 所以直线EF 的斜率为定值 （2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为2

00()y y k x y -=-

由2

002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+

设重心G （x , y ），则有2222

00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ⎧+-+++++===⎪⎪⎨

+--+++⎪===-⎪⎩

消去参数0y 得2122().9273

y x x =

-> 4. [解](1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-

2p ,于是4+2

p

=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x. (2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴k FA =

34;MN ⊥FA, ∴k MN =-4

3

,