人教版数学高一-学案2 函数值域和最值(一)

合集下载

浙江省2018版高一数学人教版A版必修一学案：第二单元习题课基本初等函数(Ⅰ)

习题课　基本初等函数(Ⅰ)学习目标　1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )A ．0.76<60.7<log 0.76 B ．0.76<log 0.76<60.7C ．log 0.76<60.7<0.76 D ．log 0.76<0.76<60.7解析　由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．答案　D2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限解析　因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．答案　C 3．lg 32－lg ＋lg ＝________.124385解析　原式＝lg 25－lg 2＋lg 5＝lg 2－2lg 2＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)124332125212121212＝lg 10＝.1212答案　124．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．解析　∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．答案　(－∞，3]类型一　指数与对数的运算【例1】　计算：(1)2log 32－log 3＋log 38－5log 53；329(2)0.064－－＋[(－2)3]－＋16－0.75＋0.01.13(－78)4312解　(1)原式＝log 3－3＝2－3＝－1.22×8329(2)原式＝0.43×－1＋2－4＋24×＋0.1＝－1＋＋＋＝.521161811014380规律方法　指数、对数的运算应遵循的原则(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．【训练1】　计算：(1)－0＋0.25×－4；3(－4)3(12)12(－12)(2)log 3＋2log 510＋log 50.25＋71－log 72.4273解　(1)原式＝－4－1＋×()4＝－3.122(2)原式＝log 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－＋log 552＋＝－＋2＋＝.14721472214类型二　指数、对数型函数的定义域、值域【例2】　(1)求函数y ＝x 2－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域；(12)(2)已知－3≤x ≤－，求函数f (x )＝log 2·log 2的最大值和最小值．log1232x 2x4解　(1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时，(12)t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，∴5≤y ≤1，故所求函数的值域为.(12)(12)[132，12](2)∵－3≤x ≤－，∴≤log 2x ≤3，log123232∴f (x )＝log 2·log 2＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝2－.x2x4(log2x －32)14当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝时，32f (x )min ＝－.14规律方法　函数值域(最值)的求法(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．(2)配方法：适合二次函数．(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝中，由x 2＝≥0可求y 的范围，可得值1－x 21＋x 21－y1＋y 域．(4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．【训练2】　(1)函数f (x )＝＋的定义域是________．3x 21－x lg (3x ＋1)(2)函数f (x )＝Error!的值域为________．解析　(1)由题意可得Error!解得0≤x <1，则f (x )的定义域是[0,1)．(2)当x ≥1时，x ≤1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，log12log12所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．答案　(1)[0,1)　(2)(－∞，2)类型三　指数函数、对数函数、幂函数的图象问题【例3】　(1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )(2)当0<x ≤时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )12A ． B ． C ．(1，)D ．(，2)(0，22)(22，1)22解析　(1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f(x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．(2)∵0<x ≤时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知12只需2<log a x ，∴Error!即Error!对0<x ≤时恒成立，12∴Error!解得<a <1，故选B ．22答案　(1)A (2)B规律方法　函数图象及应用(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．【训练3】　(1)函数y ＝Error!的图象大致是( )(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．解析　(1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，则0<3a <2，即0<a <，23综上所述，a 的取值范围是.(0，23)答案　(1)B (2)(0，23)类型四　比较大小问题【例4】　比较下列各组中两个值的大小：(1)1.10.9，log 1.10.9，log 0.70.8；(2)log 53，log 63，log 73.解　(1)∵1.10.9>1.10＝1，log 1.10.9<log 1.11＝0,0＝log 0.71<log 0.70.8<log 0.70.7＝1，∴1.10.9>log 0.70.8>log 1.10.9.(2)∵0<log 35<log 36<log 37，∴log 53>log 63>log 73.规律方法　数(式)的大小比较常用的方法及技巧(1)常用方法：作差法(作商法)、单调性法、图象法、中间量法．(2)常用的技巧：①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．②比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”、“大于等于0小于等于1”、“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．【训练4】　(1)已知a ＝log 20.3，b ＝20.3，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是( )A ．a >b >c B ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >b >a(2)设a ＝2，b ＝3，c ＝0.3，则( )log13log12(13)A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c解析　(1)∵a ＝log 20.3<log 21＝0，b ＝20.3>20＝1,0<c ＝0.30.2<0.30＝1，∴b >c >a .故选C ．(2)∵a ＝2<0，b ＝3<0，3<2<2，c ＝0.3>0.∴b <a <c .故选D ．log13log12log12log12log13(13)答案　(1)C (2)D类型五　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用【例5】　已知函数f (x )＝lg 在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范1＋2x ＋a ·4x3围．解　因为f (x )＝lg在x ∈(－∞，1]上有意义，1＋2x ＋a ·4x3所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－在(－∞，1]上恒成立．[(14)x ＋(12)x ]令g (x )＝－，x ∈(－∞，1]．[(14)x ＋(12)x ]由y ＝－x 与y ＝－x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数，(14)(12)所以g (x )max ＝g (1)＝－＝－.(14＋12)34因为a >－在(－∞，1]上恒成立，[(14)x ＋(12)x ]所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－.34故所求a 的取值范围为.(－34，＋∞)规律方法　函数性质的综合应用指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对数、幂函数来研究．【训练5】　函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的最小值为－2，求a 的值．解　(1)要使函数有意义，则有Error!解得－3<x <1，∴定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a [(1－x )(x ＋3)]＝log a (－x 2－2x ＋3)＝log a [－(x ＋1)2＋4]．∵－3<x <1，∴0<－(x ＋1)2＋4≤4.∵0<a <1，∴log a [－(x ＋1)2＋4]≥log a 4.由log a 4＝－2，得a －2＝4，∴a ＝4－＝.12121．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

高中数学《函数的基本性质-单调性和最值》教案2 新人教A版必修1

讲义九：函数的基本性质----单调性和最值(2)（一）、基本概念及知识体系：教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义.教学重点：熟练求函数的最大（小）值。

教学难点：理解函数的最大（小）值，能利用单调性求函数的最大（小）值。

教学过程：一、复习准备：1.指出函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

2. f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的最小值的情况是怎样的？3.知识回顾：增函数、减函数的定义。

二、讲授新课：1.教学函数最大（小）值的概念：① 指出下列函数图象的最高点或最低点，→ 能体现函数值有什么特征？()23f x x =-+，()23f x x =-+ [1,2]x ∈-；2()21f x x x =++，2()21f x x x =++ [2,2]x ∈- ② 定义最大值：设函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；存在x 0∈I ，使得f(x 0) = M . 那么，称M 是函数y=f(x)的最大值（Maximum Value ） ③ 探讨：仿照最大值定义，给出最小值（Minimum Value ）的定义．→ 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） → 试举例说明方法.2.教学例题：① 出示★例题1：一枚炮弹发射，炮弹距地面高度h （米）与时间t （秒）的变化规律是21305h t t =-，那么什么时刻距离达到最高？射高是多少？（学生讨论方法 → 师生共练：配方、分析结果 → 探究：经过多少秒落地？）② 练习：一段竹篱笆长20米，围成一面靠墙的矩形菜地，如何设计使菜地面积最大？（引导：审题→设变量→建立函数模型→研究函数最大值； →小结：数学建模） ③ 出示 ★例2：求函数32y x =-在区间[3，6]上的最大值和最小值．分析：函数3,[3,6]2y x x =∈-的图象 → 方法：单调性求最大值和最小值. → 板演 → 小结步骤：先按定义证明单调性，再应用单调性得到最大（小）值.→ 变式练习：3,[3,6]2x y x x +=∈- ④ 探究：32y x =-的图象与3y x=的关系？ ⑤ 练习：求函数2y x =+. （解法一：单调法；解法二：换元法）3. 看书P34 例题 → 口答P36练习 →小结：最大（小）值定义；三种求法.三、巩固练习：1. 求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+-- 2.一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如右：欲使每天的的营业额最高，应如何定价？（分析变化规律→建立函数模型→求解最大值） 3. 课堂作业：书P43 A 组5题；B 组1、2题. 四、备选用思考题：【题1】、二次函数（x ）=ax 2+bx (a,b 为常数且a ≠0)满足（-x+5）=（x-3）且方程（x ）=x 有等根；①求（x ）的解析式；②是否存在实数m 、n(m <n)使（x ）定义域为[m ，n]，值域为[3m ，3n]，若存在，求出m 、n 之值，若不存在，说明理由解、①（x ）=-12x 2+x ②由于（x ）的值域是（x ）≤12,则3n ≤12,即n ≤16,所以有（m ）=3m 且（n ）=3n∴存在实数m=-4,n=0使（x ）定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]★例2：某产品单价是120元，可销售80万件。

人教A版高中数学必修第一册同步教案函数的最值

第2课时函数的最值知识点函数的最大值一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足： (1)∀x∈I ,都有f(x)≤M； (2)∃x 0∈I ,使得f(x 0)＝M.那么,我们称M 是函数y ＝f(x)的最大值(maximum value)．状元随笔最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素,如函数y ＝－x 2(x∈R)的最大值是0,有f(0)＝0. [教材解难] 1．教材P 80思考函数f(x)的最大值包含“最大”和“值”两方面的含义．“最大”是指没有比它更大的,“值”是指一定是函数值．以f(x)＝－x 2为例,画出其图象(图略)可以发现：所有函数值都不大于1,但1不是f(x)的某个函数值,因而1不是f(x)的最大值；存在x 0使f(x 0)＝－1,即－1是f(x)的某个函数值,但－1不是f(x)的函数值中最大的,因此也不是f(x)的最大值．两项要求均满足的函数值只能是0,即函数f(x)＝－x 2的最大值为0.2．教材P 80思考一般地,设函数y ＝f(x)的定义域为I,如果存在实数m 满足： (1)对于任意的x∈I ,都有f(x)≥m； (2)存在x 0∈I ,使得f(x 0)＝m.那么,我们称m 是函数y ＝f(x)的最小值(minimum value) [基础自测]1．函数f(x)＝1x在[1,＋∞)上( )A ．有最大值无最小值B ．有最小值无最大值C ．有最大值也有最小值D ．无最大值也无最小值解析：函数f(x)＝1x 是反比例函数,当x∈(0,＋∞)时,函数图象下降,所以在[1,＋∞)上f(x)为减函数,f(1)为f(x)在[1,＋∞)上的最大值,函数在[1,＋∞)上没有最小值．故选A.答案：A2．函数f(x)＝－2x ＋1(x∈[－2,2])的最小、最大值分别为( ) A ．3,5 B ．－3,5C．1,5 D．－5,3解析：因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数,所以当x＝2时,函数的最小值为－3.当x＝－2时,函数的最大值为5.答案：B3．函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示,则此函数的最小值、最大值分别是( )A．f(－2),0 B．0,2C．f(－2),2 D．f(2),2解析：由图象知点(1,2)是最高点,故y max＝2.点(－2,f(－2))是最低点,故y min＝f(－2)．答案：C4．函数f(x)＝2x2－4x＋4有最________值,为________．解析：f(x)＝2x2－4x＋4＝2(x2－2x＋1)＋2＝2(x－1)2＋2答案：小 2题型一图象法求函数的最值[经典例题]例1 如图所示为函数y＝f(x),x∈[－4,7]的图象,指出它的最大值、最小值．【解析】观察函数图象可以知道,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(－1.5,－2),所以函数y＝f(x)当x＝3时取得最大值,最大值是3.当x＝－1.5时取得最小值,最小值是－2.观察函数图象,最高点坐标(3,3),最低点(－1.5,－2)．方法归纳图象法求最值的一般步骤跟踪训练1 已知函数y ＝－|x －1|＋2,画出函数的图象,确定函数的最值情况,并写出值域．解析：y ＝－|x －1|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x≥1，x ＋1，x<1，图象如图所示．由图象知,函数y ＝－|x －1|＋2的最大值为2,没有最小值, 所以其值域为(－∞,2]．利用x 的不同取值先去绝对值,再画图．题型二利用单调性求函数的最大(小值)[教材P 81例5]例2 已知函数f(x)＝2x －1(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值．【解析】 ∀x 1,x 2∈[2,6],且x 1<x 2,则 f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1－2x 2－1＝2[(x 2－1)－(x 1－1)](x 1－1)(x 2－1)＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由2≤x 1<x 2≤6,得x 2－x 1>0,(x 1－1)(x 2－1)>0, 于是f(x 1)－f(x 2)>0, 即f(x 1)>f(x 2)．所以,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]上单调递减．因此,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值．在x ＝2时取得最大值,最大值是2；在x ＝6时取得最小值,最小值是0.4.状元随笔由函数f(x)＝2x －1(x∈[2,6])的图象(如图)可知,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]上单调递减．所以,函数f(x)＝2x －1在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.教材反思1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系(1)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b)．(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.跟踪训练2 已知函数f(x)＝32x －1,求函数f(x)在[1,5]上的最值．解析：先证明函数f(x)＝32x －1的单调性,设x 1,x 2是区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上的任意两个实数,且x 2>x 1>12, f(x 1)－f(x 2)＝32x 1－1－32x 2－1＝6(x 2－x 1)(2x 1－1)(2x 2－1).由于x 2>x 1>12,所以x 2－x 1>0,且(2x 1－1)·(2x 2－1)>0,所以f(x 1)－f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2),所以函数f(x)＝32x －1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是单调递减的,所以函数f(x)在[1,5]上是单调递减的,因此,函数f(x)＝32x －1在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值, 即最大值为f(1)＝3,最小值为f(5)＝13.(1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值.解题思想方法利用函数最值或分离参数求解恒成立问题例已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax ,x∈[1,＋∞)．(1)当a ＝12时,求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1,＋∞),f(x)>0恒成立,试求实数a 的取值范围．【解析】 (1)当a ＝12时,f(x)＝x ＋12x ＋2.设1≤x 1<x 2,则f(x 2)－f(x 1)＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2,∵1≤x 1<x 2,∴x 2－x 1>0,2x 1x 2>2, ∴0<12x 1x 2<12,1－12x 1x 2>0,∴f(x 2)－f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2)． ∴f(x)在区间[1,＋∞)上为增函数,∴f(x)在区间[1,＋∞)上的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1,＋∞)上f(x)>0恒成立⇔x 2＋2x ＋a>0恒成立．设y ＝x 2＋2x ＋a,x∈[1,＋∞),则函数y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1,＋∞)上是增函数．所以当x ＝1时,y 取最小值,即y min ＝3＋a, 于是当且仅当y min ＝3＋a>0时,函数f(x)>0恒成立, 故a>－3.【反思与感悟】在解决不等式恒成立问题时,最为常见和重要的方法是从函数最值的角度或分离参数的角度去处理,在分离参数后常使用以下结论：a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max , a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min .一、选择题1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是( ) A ．y ＝1x ＋2 B ．y ＝3x －2C ．y ＝x 2D ．y ＝1－x解析：B,C 在[1,4]上均为增函数,A,D 在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A. 答案：A2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7， x∈[－1，1)，2x ＋6， x∈[1，2]，则f(x)的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对解析：当－1≤x<1时,6≤x＋7<8, 当1≤x≤2时,8≤2x＋6≤10. ∴f(x)min ＝f(－1)＝6, f(x)max ＝f(2)＝10.故选A. 答案：A3．函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[－2,2]上的最小值、最大值分别是( )A ．－1,3B ．0,2C ．－1,2D ．3,2解析：当x∈[－2,2]时,由题图可知,x ＝－2时,f(x)的最小值为f(－2)＝－1；x ＝1时,f(x)的最大值为2.故选C.答案：C4．已知函数f(x)＝2x ＋1x －1,x∈[－8,－4),则下列说法正确的是( )A ．f(x)有最大值53,无最小值B ．f(x)有最大值53,最小值75C ．f(x)有最大值75,无最小值D ．f(x)有最大值2,最小值75解析：f(x)＝2x ＋1x －1＝2＋3x －1,它在[－8,－4)上单调递减,因此有最大值f(－8)＝53,无最小值．故选A.答案：A 二、填空题5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x≥1，－x 2＋2，x<1的最大值为________．解析：当x≥1时,函数f(x)＝1x 为减函数,所以f(x)在x ＝1处取得最大值,为f(1)＝1；当x<1时,易知函数f(x)＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值,为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.答案：26．函数y ＝x ＋x －1的最小值为________．解析：令x －1＝t,t≥0,则x ＝t 2＋1,所以y ＝t 2＋t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34,当t≥0时,由二次函数的性质可知,当t ＝0时,y min ＝1. 答案：17．函数f(x)＝1x 在[1,b](b>1)上的最小值是14,则b ＝________.解析：因为f(x)在[1,b]上是减函数,所以f(x)在[1,b]上的最小值为f(b)＝1b ＝14,所以b ＝4.答案：4 三、解答题8．已知函数f(x)＝|x|(x ＋1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值．解析：f(x)＝|x|(x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－x ，x≤0，x 2＋x ，x>0的图象如图所示．(1)f(x)在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12和[0,＋∞) 上是增函数, 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0上是减函数,因此f(x)的单调递增区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－12,[0,＋∞)；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 .(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝14,f(12)＝34,所以f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12上的最大值为34. 9．已知函数f(x)＝2x －1x ＋1,x∈[3,5]．(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明； (2)求该函数的最大值和最小值．解析：(1)函数f(x)在[3,5]上是单调递增的, 证明：设任意x 1,x 2,满足3≤x 1<x 2≤5. 因为f(x 1)－f(x 2)＝2x 1－1x 1＋1－2x 2－1x 2＋1＝(2x 1－1)(x 2＋1)－(2x 2－1)(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝3(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1),因为3≤x 1<x 2≤5,所以x 1＋1>0,x 2＋1>0,x 1－x 2<0. 所以f(x 1)－f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2)．所以f(x)＝2x －1x ＋1在[3,5]上是单调递增的．(2)f(x)min ＝f(3)＝2×3－13＋1＝54,f(x)max ＝f(5)＝2×5－15＋1＝32.[尖子生题库]10．已知f(x)＝x 2－2ax ＋2,x∈[－1,1]．求f(x)的最小值．解析：f(x)＝(x －a)2＋2－a 2,对称轴为x ＝a,且函数图象开口向上,如下图所示：当a>1时,f(x)在[－1,1]上单调递减, 故f(x)min ＝f(1)＝3－2a ；当－1≤a≤1时,f(x)在[－1,1]上先减后增, 故f(x)min ＝f(a)＝2－a 2；当a<－1时,f(x)在[－1,1]上单调递增, 故f(x)min ＝f(－1)＝3＋2a. 综上可知,f(x)的最小值为 f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，(a>1)2－a 2，(－1≤a≤1)3＋2a.(a<－1)。

高中数学值域与最值教案人教版必修一

专题一：求函数解析式㈠考纲要求函数的解析式是函数表示法中最重要的一种形式，它对研究函数性质起着非常主要的作用。

㈡考点回放⑴函数解析式的定义：把两个变量的函数关系用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析式。

⑵求函数解析式的主要方法：①配凑法 ②换元法 ③代定系数法⑶建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量而后寻找等量关系，求得函数表达式，并标注函数定义域。

㈢高考趋势考察实际问题中函数的建模能力其关键是正确写出函数的解析式。

㈣基础训练1 已知f(x)=9x 2-6x+5 则f(x)= .2 已知f(x+x 1)= x 2+21x 则f(x)= . 3已知f(x)=221x x 那么f(2)+f(21)= . 4已知函数f(x)和g(x)图象关于原点对称且f(x)= x 2+2x 则g(x)= .5 已知f(x)是一次函数且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17求f(x)= .㈤例题讲解例1 已知二次函数f(x)满足f(-2)=-1 f(-1)=-1 且f(x)的最大值是8，求二次函数f(x)探究拓展：设二次函数f(x)满足f(x+2)= f(2-x)且f(x)=0的两个实根的平方和为10，f(x)的图像过点（0，3）求f(x)的解析式。

例2 已知f(x)满足2f(x)+f(x1)=3x 求f(x)的解析式例3某商场促销饮料，规定一次购买一箱在原价48元的基础上打9折，一次购买二箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠。

若此饮料只整箱销售且每人每次限购10箱，试用解析法写出顾客购买的箱数x 与每箱所支付的费用y 之间的函数关系，并画出其图象。

巩固练习：1．如果正比例函数f(x)满足[]x x f f 9)(=，则f(x)= 2．如图所示，在一边长为10cm 的正方形铁皮的4个角上各减去一个边长为x cm 的小正方形，折成一个容积为y cm 3的无盖长方体铁盒，试写出用x 表示y 的函数关系式，并写出其定义域3．已知函数f(x)的定义域为),0(+∞，且f(x)=1)1(2-x xf ，则f(x)=专题二:函数值域与最值一.考纲要求:1.掌握求函数值域与最值常用的方法2.能运用求值域的常用方法解决实际问题和最优问题二.高考趋势:函数值域与最值问题是每年高考必考内容,一般不会对值域与最值问题单独命题,主要是结合其它知识综合在一起考察,特别是应用题,再就是求变量的取值范围,主要考求值域与最值的基本方法,有时也会在填空题中独立命题三.知识回顾:1.函数的值域的定义:在函数y=f(x)中与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,所有函数值组成的集合叫做函数的值域2.确定函数值域的原则:○1当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y的集合○2当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合○3当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应关系惟一确定○4当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定3.求函数值域的方法:○1基本函数法○2配方法○3换元法○4不等式法○5函数的单调性法 ○6数形结合法○7函数的有界性法○8导数四.基础训练:1.函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0,那么其值域为2.函数x x x f +-=23)(在区间[]1,1-上的最大值为 ,最小值为3.函数1)(++=x x x f 的值域是4.设1>a ,函数x x f a log )(=在区间[]a a 2,上的最大值与最小值之差为21,则=a 5.判断函数xx y sin 1sin +=有最值,最值为 6.求函数2211x x +-的值域例1.函数14)(2-+-=x x x f 在区间[]1,+t t )(R t ∈上的最大值记为)(x g ,(1)求)(x g 的解析式(2)求)(x g 的最大值例2.已知函数1)12()(2+-+=x a ax x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,23上的最大值为3, 求实数a 的值六.巩固练习:1.函数141)(2-+=x x x f 的最大值是 2.已知函数)331(1≤≤+=x x x y 则函数)(x f 的值域为 3.已知函数12)(--=x x x f ,则)(x f 的值域为4.设⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,1,)(x x x x x f ,则)(x f 的值域为5.若函数42212+-=x x y 的定义域,值域都是闭区间[]b 2,2,则=b。

(2021年整理)人教版必修一：函数的最值(学案)

人教版必修一：函数的最值(学案)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（人教版必修一：函数的最值(学案)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为人教版必修一：函数的最值(学案)的全部内容。

函数的最值知识点函数的最值1. 定义：最大值:一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足:①对应任意的x I ∈,都有()f x M ≤；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么称M 是函数()y f x =的最大值。

最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：①对应任意的x I ∈，都有()f x M ≥；②存在0x I ∈,使得0()f x M =，那么称M 是函数()y f x =的最小值. 注意:①函数的最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =;②函数的最大（小）应该是所有函数值中最大（小)的，即应任意的x I ∈，都有()f x M ≤ （()f x M ≥)2. 求最值的基本方法①利用函数图像求最值是求函数最值的常用方法，这种方法以函数最值的几何意义为依据,对较为简单的且图像易作出的函数求最值较常用（如一次、二次、反比例函数等）.②运用函数单调性求函数最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时。

单调性与最值的关系：若函数在闭区间[, ]a b 上是减函数，则()f x 在[, ]a b 上最大值为()f a ，最小值我()f b ；若函数在闭区间[, ]a b 上是增函数,则()f x 在[, ]a b 上最大值为()f b ，最小值我()f a 。

学案2函数的定义域与值域2

1(t≥0),
2
2
2
∴y∈
-
,
1 2
.
解法二：∵1-2x≥0,∴x≤ , 1
2
∴定义域为-,1 2.∵函数y=x,y=-
12x 在
-
,
1 2
上均为单调递增,
∴y≤
1 1 2 1 1,∴y∈
2
22
-
,
12.
(3)解法一:当x>0时,y=x+ 4≥2
x
取等号;
x 4 =4,当且仅当x=2时,
∴t∈［0,4］, t∈［0,2］,
从而,当x=1时,ymin=2;
当x=-1或x=3时,ymax=4.
故值域为［2,4］.
(2)∵ y 2x 1 2(x - 3) 7 2 7 , 其中 7 ≠0,
x-3 x-3
x-3
x-3
∴y= 2x 1 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞).
x-3
(3)将函数变形为
1.当函数是由解析式给出时,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
2.当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.
3.要记住各种基本函数的值域；要记住具有什么结构特点的函数用什么样的方法求值域.
求函数值域没有通用的方法和固定的模式，要靠在学习过程中不断积累，掌握规律，所以要记住各种基本函数的值域；要记住什么结构特点的函数用什么样的方法求值域，即熟悉求函数值域的几种常用方法，但在解决求值域问题时要注意选择最优解法.
1 2
,
1
D.（0,+∞) +lg(1+x)的定义

【秋季课程人教版高一数学】函数的最值问题-教案

适用学科高中数学适用年级高一适用区域人教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点教学目标单调性的应用，最值问题使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，是函数单调性的应用．通过渗透数形结合的思想方法，掌握求函数最值的方法．教学重点函数最大(小)值的定义和求法．教学难点如何求一个具体函数的最值．【教学建议】函数的最大（小）值的定义，是借助于二次函数及其图像引出的，概念的出现仍然是遵循特殊到一般的原则.鉴于学生对于二次函数已经有了一个初步的了解，因此本节课多从学生接触过的二次函数入手，这样能使学生容易找到最高点和最低点.但这只是感性上的认识，要培养学生能用数学语言描述函数最值的概念，通过对概念的辨析，真正让学生理解最值概念的内涵，同时，在做题时多培养学生画图的能力，体会到数形结合的魅力.【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。

导入的方法很多，仅举两种方法： ① 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； ② 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

提供一个教学设计供讲师参考：(1)由于某种原因，2008 年北京奥运会开幕式时间由原定的 7 月 25 日推迟到 8 月 8 日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况．课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到 8 月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事．下图是北京市某年 8 月 8 日一天 24 小时内气温随时间变化的曲线图．问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天最高温度、最低温度是多少以及何时达到；(2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低．在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．设计意图：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小．从而引入最大值、最小值的概念．二、知识讲解【教学建议】通过前面的引导，得到函数最值的定义，建议老师在引导学生得到最大值的定义以后，可以让学生来类比写出最小值的定义：前提设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足①对于任意 x I ，都有 f (x) M ； ①对于任意 x I ，都有 f (x) M ；条件②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M结论M 为最大值M 为最小值考点 2 函数的最大值函数图象上任意点 P 的坐标 (x, y) 的意义：横坐标 x 是自变量的取值，纵坐标 y 是自变量为 x 时对应的函数值的大小．(1)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值．(2)由于点 C x0, y0 是函数 y f (x) 图象上的最高点，则点 A 在点 C 的下方，即对定义域内任意 x ，都有 y y0 ，即 f (x) f (x0 ) ，也就是对函数 y f (x) 的定义域内任意 x ，均有 f (x) f (x0 ) 成立．(3)一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．大．值．．． (4) f (x) M 反映了函数 y f (x) 的所有函数值不大于实数 M ；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是 M . (5)函数 y 2x 1，x (1, ) 没有最大值，因为函数 y 2x 1，x (1, ) 的图象没有最高点． (6)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点．考点 3 函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数 y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： ①对于任意的 x I ，都有 f (x) M ； ②存在 x0 I ，使得 f (x0 ) M . 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最．小．值．。

高中数学 1.3.1第2课时函数的最值学案新人教A版必修1

第2课时函数的最值[学习目标] 1.理解函数的最大(小)值及其几何意义.2.会求简单函数的最大值或最小值．[知识链接] 以下说法中：①函数y ＝2x 在R 上为增函数；②函数y ＝1x的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)；③函数y ＝x 2＋2x －3的单调递增区间为(1，＋∞)．正确的有________．答案 ① [预习导引] 1．最大值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最大值是图象最高点的纵坐标． 2．最小值(1)定义：一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M .那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最小值．(2)几何意义：函数y ＝f (x )的最小值是图象最低点的纵坐标．要点一利用图象求函数的最值例1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1x，x >1.求f (x )的最大值、最小值．解作出函数f (x )的图象(如图)．由图象可知，当x ＝±1时，f (x )取最大值为f (±1)＝1.当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝0，故f (x )的最大值为1，最小值为0.规律方法 1.分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大值或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大值、最小值． 2．如果函数的图象容易作出，画出分段函数的图象，观察图象的最高点与最低点，并求其纵坐标即得函数的最大值、最小值．跟踪演练1 已知函数f (x )＝3x 2－12x ＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值：(1)x ∈R ；(2)[0,3]；(3)[－1,1]．解 f (x )＝3x 2－12x ＋5＝3(x －2)2－7. (1)当x ∈R 时，f (x )＝3(x －2)2－7≥－7，当x ＝2时，等号成立．即函数f (x )的最小值为－7，无最大值．(2)函数f (x )的图象如图所示，由图可知，函数f (x )在[0,2)上递减，在[2,3]上递增，并且f (0)＝5，f (2)＝－7，f (3)＝－4，所以在[0,3]上，函数f (x )在x ＝0时取得最大值，最大值为5，在x ＝2时，取得最小值，最小值为－7.(3)由图象可知，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )max ＝f (－1)＝20，f (x )min ＝f (1)＝－4. 要点二利用单调性求函数的最值例2 求函数f (x )＝xx －1在区间[2,5]上的最大值与最小值．解任取2≤x 1<x 2≤5，则f (x 1)＝x 1x 1－1，f (x 2)＝x 2x 2－1，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2－1－x 1x 1－1＝x 1－x 2x 2－1x 1－1，∵2≤x 1<x 2≤5，∴x 1－x 2<0，x 2－1>0，x 1－1>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0. ∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )＝xx －1在区间[2,5]上是单调减函数．∴f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2，f (x )min ＝f (5)＝55－1＝54. 规律方法 1.当函数图象不好作或无法作出时，往往运用函数单调性求最值． 2．函数的最值与单调性的关系：(1)若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )；(2)若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．跟踪演练2 已知函数f (x )＝x ＋1x.(1)求证f (x )在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f (x )在[1,4]上的最大值及最小值． (1)证明设1≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋1x 1)－(x 2＋1x 2)＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵1≤x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴x 1x 2－1＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数． (2)解由(1)可知，f (x )在[1,4]上递增， ∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝2，当x ＝4时，f (x )max ＝f (4)＝174.综上所述，f (x )在[1,4]上的最大值是174，最小值是2.要点三函数最值的实际应用例3 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 20≤x ≤400，80 000 x ＞400.其中x 是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 解 (1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋300x －20 0000≤x ≤400，60 000－100x x ＞400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12(x －300)2＋25 000；∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000，当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，f (x )＜60 000－100×400＜25 000.∴当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.即每月生产300台仪器时利润最大，最大利润为25 000元．规律方法 1.解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围．2．实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．跟踪演练3 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？解设售价为x 元，利润为y 元，单个涨价(x －50)元，销量减少10(x －50)个． ∴y ＝(x －40)(1 000－10x ) ＝－10(x －70)2＋9 000≤9 000. 故当x ＝70时，y max ＝9 000.答售价为70元时，利润最大为9 000元．1.函数f (x )(－2≤x ≤2)的图象如图所示，则函数的最大值和最小值分别为( )A ．f (2)，f (－2)B ．f (12)，f (－1)C ．f (12)，f (－32)D ．f (12)，f (0)答案 C解析由图象可知最大值为f (12)，最小值为f (－32)．2．已知函数f (x )＝1x在区间[1,2]上的最大值为A ，最小值为B ，则A －B 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 A解析可知函数f (x )＝1x在[1,2]上单调递减．∴A ＝f (1)＝1，B ＝f (2)＝12，∴A －B ＝12.3．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的最大值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 D解析当0≤x ≤1时，f (x )的最大值是f (1)＝2，又当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3，则f (x )的最大值是3.4．函数y ＝x －1x在[1,2]上的最大值为( )A ．0 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析函数y ＝x 在[1,2]上是增函数，函数y ＝－1x在[1,2]上是增函数，∴函数y ＝x －1x在[1,2]上是增函数．当x ＝2时，y max ＝2－12＝32.5．f (x )＝x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________．答案 9解析 f (x )＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴f (x )在[－2，－1]上递减，在[－1,2]上递增，∴f (x )max ＝f (2)＝9.1.函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M 不是最大(小)值，如f (x )＝－x 2(x ∈R )，对任意x ∈R ，都有f (x )≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f (x )≤M (或f (x )≥M )，故也不能只有(2)． 2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )． 3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．一、基础达标1．设定义在R 上的函数f (x )＝x |x |，则f (x )( ) A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．既有最大值，又有最小值D ．既无最大值，又无最小值答案 D解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ≥0，－x 2x ＜0，画出图象可知，既无最大值又无最小值．2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋a ＋4， ∴f (x )在[0,1]上单调递增． ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]，x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值与最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对答案 A解析 ∵x ∈[1,2]时，f (x )max ＝2×2＋6＝10，f (x )min ＝2×1＋6＝8.又x ∈[－1,1]时，f (x )max ＝1＋7＝8，f (x )min ＝－1＋7＝6，∴f (x )max ＝10，f (x )min ＝6.4．若函数y ＝ax ＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2 D ．0 答案 C解析 a >0时，由题意得2a ＋1－(a ＋1)＝2，即a ＝2；a <0时，a ＋1－(2a ＋1)＝2，∴a ＝－2.综上，a ＝±2. 5.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B 解析 3－aa ＋6＝－a 2－3a ＋18＝－⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋3a ＋94＋814＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，由于－6≤a ≤3，所以当a ＝－32时，3－a a ＋6有最大值92.6.函数y ＝1x －2，x ∈[3,4]的最大值为________．答案 1 解析函数y ＝1x －2在[3,4]上是单调减函数，故y 的最大值为13－2＝1. 7．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1,2]上的值域．解 ∵f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，∴函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1,2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． ∴f (x )在[1,2]上递增，∴当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21；当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. ∴f (x )在[1,2]上的值域为[21,49]．二、能力提升8．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元答案 C解析设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．当0≤x ≤2时，a <－x 2＋2x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞) 答案 C解析令f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) ＝－(x 2－2x ＋1)＋1＝－(x －1)2＋1 图象如下：∴f (x )最小值为f (0)＝f (2)＝0. 而a <－x 2＋2x 恒成立，∴a <0.10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则a 的取值范围是________．答案 (1,3]解析由题意知f (x )在[1，a ]上是单调递减的，又∵f (x )的单调减区间为(－∞，3]， ∴1<a ≤3.11．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈－∞，0，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间及最小值．解 f (x )的图象如图所示，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和[0，＋∞)，函数的最小值为f (0)＝－1.三、探究与创新12．求函数f (x )＝x 2－2ax ＋2在[－1,1]上的最小值．解函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝a ，且函数图象开口向上，如图所示：①当a >1时，f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )min ＝f (1)＝3－2a ；②当－1≤a ≤1时，f (x )在[－1,1]上先减后增，故f (x )min ＝f (a )＝2－a 2；③当a <－1时，f (x )在[－1,1]上单调递增，故f (x )min ＝f (－1)＝3＋2a . 综上可知f (x )的最小值为 f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a a >1，2－a 2－1≤a ≤1，3＋2aa <－1.13．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意知x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数， ∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.。

人教版必修一：函数的最值(学案)

函数的最值知识点函数的最值1. 定义：最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：①对应任意的x I ∈，都有()f x M ≤；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么称M 是函数()y f x =的最大值.最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足：①对应任意的x I ∈，都有()f x M ≥；②存在0x I ∈，使得0()f x M =，那么称M 是函数()y f x =的最小值.注意：①函数的最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数的最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即应任意的x I ∈，都有()f x M ≤ （()f x M ≥）2. 求最值的基本方法①利用函数图像求最值是求函数最值的常用方法，这种方法以函数最值的几何意义为依据，对较为简单的且图像易作出的函数求最值较常用（如一次、二次、反比例函数等）. ②运用函数单调性求函数最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时.单调性与最值的关系：若函数在闭区间[, ]a b 上是减函数，则()f x 在[, ]a b 上最大值为()f a ，最小值我()f b ；若函数在闭区间[, ]a b 上是增函数，则()f x 在[, ]a b 上最大值为()f b ，最小值我()f a .题型求函数的最值1. 已知函数2()2f x x x =+-．（1）证明()f x 在[1+∞，）上是减函数；（2）当]5[2x ∈，时，求()f x 的最大值和最小值． 2. 已知函数1(),[3,5]2x f x x x +=∈-．（1）判断函数()f x 在[3,5]上的单调性，并证明；（2）求函数1(),[3,5]2x f x x x +=∈-的最大值和最小值． 3. 已知2()45f x x x -=+在区间[2]t t +，上的最小值为()g t （1）写出函数()g t 的解析式；（2）画出函数()g t 的图象，并指出函数()g t 的单调增区间和单调减区间．【变式问题】4. 已知函数21()1x f x x +=+，判断函数在区间[1]4，上的最大值与最小值． 5. 已知函数[]4()13f x x x x =+∈，，．（1）试判断()f x 在[1]2，和[2]3，上的单调性；（2）根据()f x 的单调性写出()f x 的最值．6. （1）已知2()201f x x ax x =≤≤-（），求()f x 的最小值；（2）已知函数2()35[]1f x x x x t t =+-∈+，，，若()f x 的最小值为()h t ，写出()h t 的表达式．7. 已知函数2()2232f x x a x a =++（-）-．（1）若函数()f x 在[55]﹣，上为单调函数，求实数a 的取值范围．（2）求a 的值，使()f x 在区间[55]﹣，上的最小值为﹣1．【变式训练】8. 已知函数21()1x f x x +=+ （1）判断函数在区间[1+∞，）上的单调性，并用定义证明你的结论；（2）求该函数在区间[1]4，上的最大与最小值． 9. 已知函数1()2x f x x +=-，其中]5[3x ∈，．（Ⅰ）用定义证明函数()f x 在[3]5，上单调递减；（Ⅱ）结合单调性，求函数()f x 在区间[3]5，上的最大值和最小值．10. 设a 为实数，记函数21(),2]f x ax x a x =+-∈的最大值()g a ，（1）求()g a ．（2）求()g a 的值域．11. 已知函数2()f x x =，()3()g x ax a R =+∈，记函数()()()F x f x g x =-．（1）判断方程()0F x =的实根的个数；（2）设()F x 在区间[1，2]的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）若函数()F x 在[0，1]上是减函数，求实数a 的取值范围．【备选习题】12. 已知函数2()21f x ax x a =-+-；（1）若1a =，求函数()f x 的单调区间；（2）设()f x 在区间[1，2]上的最小值为()g a ，求()g a 的表达式；（3）若()0f x ≥恒成立，求a 的最小值．13. 已知函数2()11||f x x a x a R =+-+∈（），求()f x 的最小值．14. （1）当3x ＞时，求函数223x y x =-的最小值．（2）若2220x ax +≥-在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．15. 已知函数()2|||1|f x x m x m R =---∈（）（1）当3m =时，求函数()f x 的最大值；f x ．（2）解关于x的不等式()0。

高一数学教案函数的最值5篇最新

高一数学教案函数的最值5篇最新使学生从形与数两方面理解函数的概念，学会利用函数图像理解和研究函数的性质，初步掌握利用函数图象判断、证明函数的方法，今天小编在这里整理了一些高一数学教案函数的最值5篇最新，我们一起来看看吧!高一数学教案函数的最值1一、教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。

对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。

教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解。

学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来理解函数概念，结合原有的知识背景，活动经验和理解走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习兴趣，让学生积极参与到学习活动中，达到理解知识、掌握方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应思考的。

二、教学三维目标分析1、知识与技能(重点和难点)(1)、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

不但让学生能完成本节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。

(2)、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判断两个函数是否相等等。

(3)、掌握定义域的表示法，如区间形式等。

(4)、了解映射的概念。

2、过程与方法函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题：(1)、首先通过多媒体给出实例，在让学生以小组的形式开展讨论，运用猜想、观察、分析、归纳、类比、概括等方法，探索发现知识，找出不同点与相同点，实现学生在教学中的主体地位，培养学生的创新意识。

新人教A版必修1高中数学§1.2.1函数的定义域与值域学案

高中数学 §1.2.1函数的定义域与值域学案新人教A 版必修1学习目标：1. 会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；2. 掌握判别两个函数是否相同的方法.学习重点：求一些简单函数的定义域与值域学习难点：求一些简单函数的定义域与值域知识链接：1、函数的三要素是、、 .2、求函数定义域的规则：①整式： ②分式： ③偶次根式： ④零次幂式： ⑤如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的例题剖析：例1、下列函数中哪个与函数y=x 相等？（1）y = (x )2 ; （2）y = (33x ) ; （3）y =2x ; （4）y =x x 2小结：① 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 例2、求下列函数的定义域（用区间表示）.（1）23()2x f x x -=-；（2）()f x （3）1()2f x x =-.例3、求下列函数的值域。

（1）y=2x-5 x ∈[-1,2]； (2) y ＝53x -+；（3）2()3x f x x -=+；（4）y ＝x 2－3x ＋4；（5）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[-1,2]；（6）y ＝x 2－3x ＋4 x ∈[2,4] ；求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、拆分法、基本函数法. 当堂检测：1、判断下列函数()f x 与()g x 是否表示同一个函数，说明理由？① ()f x = 0(1)x -；()g x = 1. ② ()f x = x ； ()g x .③ ()f x = x 2；()g x = 2(1)x +. ④ ()f x = | x | ；()g x .2. 函数()1f x 的定义域是3. 函数2132x y x -=+的值域是（）. A. 11(,)(,)33-∞--+∞ B. 22(,)(,)33-∞+∞ C. 11(,)(,)22-∞--+∞ D. R4.求函数(0)ax by ac cx d +=≠+的值域.。

高中数学 1.3.1 第2课时函数的最值课时学案新人教A

第2课时函数的最值1.理解函数最大(小)值的概念，会求函数在某一区间上的最大(小)值.2.体会函数最大（小）值与单调性之间的关系及其几何意义，能通过函数的单调性研究最大（小）值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于，都有；（2），使得 .那么，我们称是函数y=f(x)的最大值.一般地，设函数y=f(x)的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于，都有；（2），使得 .那么，我们称是函数y=f(x)的最小值.求下列函数的最值：－2x+3，x∈R；－2x+3，x∈［2，5］；－2x+3，x∈［－2，0］；－2x+3，x∈［－2，4］.一、函数的最大(小)值的定义提出问题：1.如图图所示，这是函数-2x、y=-2x+1，x∈［-1，+∞)、y=f(x)的图象.观察这三个图象的特征.这三个函数的图象上有没有最高点？结论：提出问题：2.从函数图象上点的坐标角度，你是怎样理解函数图象最高点的?结论：提出问题：3.如图所示，设函数y=f(x)的图象上最高点C的坐标为)，在图象上任取一点A(x，y)，怎样用数学符号解释：函数y=f(x)的图象有最高点C？提出问题：4.在数学中，形如问题3中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.你能给出函数最大值的定义吗？结论：提出问题：5.类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.结论：提出问题：6.是否每个函数都有最大值、最小值？如果有最值，取最值的点有几个？举例说明.结论：例1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1 m）？反馈练习1 求函数y=|x+1|+|x-1|的最大值和最小值.二、函数的单调性与最大(小)值提出问题：1.若函数y=f(x)在区间［a，b］上是增函数或减函数，它一定有最值吗？如果有，最值是什么？结论：提出问题：2.若函数y=f(x)在区间(a，b)上是增(或减)函数，这个函数有最值吗？结论：提出问题：3.已知函数y=f(x)的定义域是［a，b］，a<c<b.当x∈［a，c］时，f(x)是单调增函数；当x∈［c，b］时，f(x)是单调减函数.试证明：f(x)在x=c时取得最大值.结论：例2已知函数f(x)=（x∈［2，6］），求函数的最大值和最小值.反馈练习2 画出函数y=－＋2|x|＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值.1.函数-2x(x∈［-3，2］）的最大值是，最小值是 .2.如图1.3-1-24所示为函数y=f(x)，x∈［－4，7］的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间.。

数学人教A版高中必修1二次函数最值问题优秀导学案

二次函数最值问题二次函数问题是数学的一个老大难问题.二次函数在初中是难点又是重点，到了高中又没有专门的章节学习，只有直接运用，高一学生就整得一塌糊涂，知识点都知道些，但不知如何运用.下面重点探讨的二次函数最值问题，首先理一理二次函数基本的知识点，主要有以下知识点：一、解析式：（具体的选用那种形式，则根据题目已知而定.）1）一般式:()()20f x ax bx c a =++≠， 2）根的形式:()()()()120f x a x x x x a =--≠.3）顶点式:()()()()2000,00,f x a x x y a x y =-+≠顶点. 二、图像的五个基本知识点：1）开口：a>0图像开口向上，a<0图像开口向下.2）与y 轴交点（0，c ）.3）对称轴x=-2ab 4）与x 轴交点()()12,0,,0x x （可以有0个或1个或2个）5）顶点24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(只需记住x=-2a b 即可.) 下面就举例说明以上知识点在二次函数最值问题如何运用.例1求函数()21f x x x =-+在区间[]1,4-内的最值. 对于这类问题高一学生大多数无法正确解答.常见的错误就是直接把端点的-1或4代入分别求得.()()min 13f x f =-=，()()max 413f x f ==,这样做显然是错误的，其根本没考虑函数在此区间单调性的变化.而问题的关键是学生认为他有部分答案与正确的答案部分相同，为什么得0分呢？这又是为什么错了呢?自己找不到错误原因.究其原因：学生在初中只是了解到一次函数()()0f x kx b k =+≠的单调性要么增要么减，直接把端点值代入即得到答案,形成了定式思维.正确的解答如下：解：由题知函数的开口向上,对称轴方程为12x =，而[]11,42∈- ∴此函数()f x 在区间11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，此时()13f -=，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；函数()f x 在区间1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦单调递增，此时()413f =.而34<3<13 综合上述：()min 1324f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，()()max 413f x f ==例2已知函数()22444f x x ax a a =-+--在区间[]0,1内的最大值是-5，则a 的值是多少？对于这类问题高一学生大多数无法正确解答.常见的错误就是直接把端点的0或1代入求得a=-1或1或-5，这还和正确答案差不多，学生自己也无法明白错在哪儿了.此题正确的解法：分情况讨论.如图数轴上自变量x 的变化：01-∞→→→+∞就知道可以分三种情况讨论，也就是对称轴2a x =在区间[]0,1的左边、中间、右边.具体解法如下：解：由题知函数的对称轴方程为2a x = 当02a <时，即a<0, 函数()f x 在区间[]0,1单调递减，则()()2max 045f x f a a ==--=-，解之得a=-5或a=1(舍去)；当012a ≤≤时，即02a ≤≤，函数()f x 在区间[]0,1内在顶点处取得最大值，即()max 452a f x f a ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭解之得a= 54；当12a <时，即a>2，函数()f x 在区间[]0,1单调递增，则()()2max 145f x f a ==--=-，解之得a=-1(舍去)或a=1(舍去). 综合上述：a=-5或a= 54. 例3已知函数()21f x x x =-+在区间[],1t t + ()x R ∈上的最小值为1，求t 的值.此题与例2的区别：例1是定区间，对称轴移动；此题是定对称轴，区间移动，从物理学相对论角度来说本质是一样的.分情况讨论.如图1t t -∞→→+→+∞就知道可以分对称轴12x =在区间[],1t t +的左、中、右.具体解法如下：分三种情况讨论. 解：由题知函数的对称轴方程为12x =当12t ≤时，函数()f x 在区间[],1t t +单调递增，则()()2min 11f x f t t t ==-+=，解之得t=1或t=0(舍去)；当112t t <<+时，即1122t -<<，函数()f x 在区间[],1t t +内在顶点处取得最小值，即()min 13124f x f ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭不符合题意；当112t +≤时，即12t ≤-时，函数()f x 在区间[],1t t +内单调递减，则()()()()22min 11111f x f t t t t t =+=+-++=++，211t t ++=解之得t=-1或t=0(舍去).综合上述：t=1或t=-1.例4已知函数()21f x x x =-+在区间[],1t t + ()x R ∈上的最大值为1，求t 的值. 此题是例3的变式，定对称轴，区间移动.分情况讨论，如图1t t -∞→→+→+∞就知道可以分四种情况讨论，这里要特别注意t 与t+1的中间点12t +. 解：由题知函数的对称轴方程为12x =当12t ≤时，函数()f x 在区间[],1t t +单调递增，则()()2max 11f x f t t t =+=++,解之得t=-1或t=0(舍去)；当1122t t <≤+时，即102t ≤<，函数()f x 在区间[],1t t +内先单调递减再单调递增，即()()2max 11f x f t t t =+=++, 解之得t=0或t=-1(舍去)；当11122t t +<<+时, 即102t -<<,函数()f x 任然在区间[],1t t +内先单调递减再单调递增，()()2max 11f x f t t t ==-+=,解之得t=0(舍去)或t=1(舍去)；当112t +≤时，即12t ≤-时，函数()f x 在区间[],1t t +内单调递减，则()()2max 11f x f t t t ==-+=，211t t -+=解之得t=1或t=0(舍去).综合上述：t=0.例5已知函数()224sin 4sin 4f x x a x a a =-+--在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的最大值是-5，则a 的值是多少？首先观察此题与例2有联系吗？自变量都是x,但其取值区间不同了，这是一道复合函数的问题.解决复合函数的最佳方法就是换元法，其实质就是以一个简单函数的值域作为换元后的函数的定义域.解：设m=sinx, x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则[]0,1m ∈ ∴ ()22444f m m am a a =-+--[]0,1m ∈此题摇身一变：已知函数()22444f m m am a a =-+--在[]0,1m ∈内的最大值是-5，则a 的值是多少？显然例5的难度远远大于例2，学生必须要有深厚的数学学科核心素养才能完美的解答.含参数的二次函数最值问题，要么给定区间，要么给定对称轴.给定区间或给定对称轴的问题的实质就是对称轴与区间的相对位置问题，利用数轴上实数从左到右逐渐增大，从左到右不从不漏的分情况讨论，再利用函数的单调性，就可以比较容易得到正确答案. 例6求函数()124325x x f x -=-+在区间[]0,2内的最值.解：设m= 2x 则x ∈[]0,2,∴m ∈[]1,4. 原函数等价于()2135142y m m m =-+≤≤. 然后采用例1的办法就解决问题了.最后的不同: 当m=3时，即32log x =时，()()32max 1log 2f x f ==. 当m=1时，即x=0时,()()max 512f x f ==. 高中数学的学习，不只是记忆的问题，而是要理解公式、公理、定理、概念等，举一反三,融会贯通。

人教版高中数学函数的极值与最值教案2023

人教版高中数学函数的极值与最值教案2023人教版高中数学函数的极值与最值教案（2023）一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 熟练掌握函数极值的概念和判定条件；2. 掌握寻找函数的极值和最值的方法；3. 学会应用函数的极值和最值解决实际问题。

二、教学重点1. 函数的极值的判定条件；2. 如何求函数的极值和最值。

三、教学难点1. 如何将函数极值的概念与实际问题相结合；2. 运用函数的极值解决实际问题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）引导学生思考：函数的极值对于解决实际问题有何重要作用？以及探究如何判断一个函数是否存在极值。

2. 学习（25分钟）2.1 函数极值的定义和判定条件解释函数的极值的概念，并介绍函数极值的判定条件。

2.2 寻找函数极值和最值的方法讲解函数的极值和最值的求解方法，包括一阶导数法和二阶导数法。

2.3 练习与实例分析通过一些练习和实例，巩固和应用所学的方法，培养学生的解题能力和实际问题的抽象思维能力。

3. 拓展（10分钟）引导学生思考：在实际问题中，如何运用函数的极值来解决与极值相关的问题？4. 小结（5分钟）对本节课所学内容进行小结，强调函数的极值在解决实际问题中的重要性。

五、课堂练习1. 填空题：设函数$f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5$，求它的极值和最值。

2. 计算题：已知函数$y = 3x^3 + 2x^2 - 5x$，求它的极值和最值。

3. 应用题：一块铁皮制成一个圆柱形的水桶，底面半径为$r$，高为$h$，求该水桶的容积的最大值。

六、课后作业1. 预习：阅读教材，预习下节课的内容；2. 练习：完成教材上相应的练习题；3. 思考：寻找身边的实际问题，并思考如何运用函数的极值来解决这些问题。

以上是针对人教版高中数学函数的极值与最值的教案，该教案旨在引导学生理解函数极值的概念、判定条件，以及寻找函数的极值和最值的方法。

通过练习和实例分析，培养学生解题能力并运用函数的极值解决实际问题。

高中数学函数值域和最值(一)新人教A版必修1

学案2 函数值域和最值（一）一、课前准备：【自主梳理】1、在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的值，叫做，函数值的集合叫做2、确定函数的值域的原则：（1）当函数用y =f (x )表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

(2）当函数y =f (x )用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y 的值.（3）当函数y =f (x )用解析式给出时，函数的值域是由函数的和确定.（4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的确定.3、基本初等函数的值域。

（1） b kx y += )0(≠k 的值域为（2） y =a 2x +bx +c ()0≠a 的值域为（3） (0)k y k x=≠的值域为（4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为（5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为（6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为4、求值域的方法：配方法换元法分离常数法单调性数形结合法判别式法（不等式法求导法后续讲）5、函数的最值：设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有M x f ≥)((2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的值.设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的值.【自我检测】1、函数xy 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2、函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________.3、已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))91((f f _________.4、函数 xy 3=的值域为_________.5、函数2log (1)y x =+的值域为_________.6、函数11+=x y 的值域是__________. 二、课堂活动：【例1】填空题：求下列函数的值域1.2sin 3sin 4y x x =-+ _________2.938x x y =-- _________3. y =_________4.y x =+【例2】．求函数2223(20)()23(03)x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩， ≤ ≤≤的值域．【例3】1求函数31x y x -=+的值域 . 2 求函数221xx y =+的值域．三、课后作业1、35,[3,)1x y x x -=∈+∞+ 2、函数x x y cos sin 2+=的值域____3、函数21()f x x x=+，(1)x -≤的值域是． 4、已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围为 .5、函数x y 416-=的值域是________．6、函数133+=x xy 的值域是____________．7、函数)1lg(2+=x y 的值域是____________. 8、函数22+-=x y 的值域是____________.9、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-∙+的值域．10、已知函数624)(2++-=a ax x x f ，R x ∈（1）求函数的值域为[)+∞,0时的a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数32)(+-=a a a f 的值域.【自主梳理】1. 函数值函数值域2. 定义域对应法则实际意义3 基本初等函数的值域：1.R 2. 22440,,;0,,44ac b ac b a a a a ⎡⎫⎛⎤-->+∞<-∞⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦3.(),0(0,)-∞⋃+∞ 4 (0,)+∞ 5. R 6 []1,1-，[]1,1-，R5 最小值最大值【自我检测】1 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 []0,93 14 4 [)1,+∞5 R6 {}0/≠y y【例1】填空题：1 []2,82 13,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭3 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦4 [)1,-+∞ 【例2】解：分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，【例3】 1 {}1y y ∈≠R 2 (01)，三、课后作业1 [)3,12 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3 []4,2.4 []2,15 [)4,06 ()0,17 [)+∞,08 []2,09解：12()4321(23)8x x x f x +=-+=--， 02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-， ∴函数的值域为[84]--，．10解(1）∵函数的值域为[)+∞,0，,0)62(4162=+-=∆a a 23,1=-=a a（2）对一切R x ∈，函数值均非负,∴2310≤≤-⇒≤∆a ∴03>+a ∴417)23()(2++-=a a f ， 231≤≤-a ∴)(a f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,419。

高中数学函数值域和最值(二)新人教A版必修1

教案 3函数值域和最值（二）一、课前准备：【自主梳理】 1、求函数的值域或最值不可以只看分析式，要重视定义域对值域的影响．2 、会把稍复杂函数的值域转变为基本函数求值域，转变的方法是化简变形，换元等方法．3、数形联合是求值域的重要思想，能绘图像的尽量绘图，可直观看出函数最值．【自我检测】1、函数 y x 2 2x 的定义域为0,1,2,3 ，则其值域为 ____________ ．2、定义在 R 上的函数 y f ( x) 的值域为 a,b ，则 yf ( x 1) 的值域为 ____________ ．3、4、1y x的值域为 ____________ ．xy x 1, x 2,3 的值域为 ____________．x5、 y x 1 1 x 的值域为 ____________．6、 y(1) x 的值域为 ___________ ．3二、讲堂活动：【例 1】求以下函数的值域：1．y= x 2x ; ___________ ．x 2x 12． y x 1x2 ___________ ．3． y24x __________．4．若函数 f ( x) = 1x 2x a的定义域和值域均为1,b b 1 ，则 a, b 的值 __________ ．2【例 2】求函数 y =| x | 1 x 2的值域【例 3】用 min a, b, c 表示 a, b, c 三个数中的最小值,设 f ( x) =min 2 x , x 2,10 x ( x 0) 求 f ( x) 的最大值．三、课后作业1、已知 f (x) x 22x ， x a, b 的值域为 1,3 ，则 b a 的范围是 ____________．2、函数 y 2x 1 的值域为 ___________ ．3、已知定义在1,1 上的函数 f ( x) 的值域为2, 0 ，则 yf ( c o s x )的值域为__________．4、函数 f ( x)x 2x 1 ，若 f (x) 的定义域为 n, n 1 ， nN ， f ( x) 值域中整数的个2数为___________个．5、函数 y x 1 1 x 值域为 ___________．6、函数 f ( x)a x (a 0, a1) 在区间 1,2 上最大值比最小值大a，则 a 的值为 ___________．21 x x 2的值域为 ___________．7、函数 y1 x28、 y ax 2 2ax(a0)在区间 0,3 上有最大值 3，则 a 的值为 ___________ ．9、已知 f (x)2 log3 x(1 x 9) ，求 y2f ( x 2 ) 的最大值f (x)．10、提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况。

【K12学习】人教版高一数学《函数最值求法及运用》教案

人教版高一数学《函数最值求法及运用》教案函数最值求法及运用一.经验系统梳理:).问题思考的角度:1.几何角度；2.代数角度2).问题解决的优化策略:Ⅰ、优化策略代数角度:.消元2.换元3.代换4.放缩①经验放缩,②公式放缩.③条件放缩.]Ⅱ、几何角度:经验特征策略分析问题的几何背景.线性规划、斜率、距离等3).核心思想方法:划归转化思想;等价转化思想.若，则二、体验训练：.线性规划问题已知双曲线方程为求的最小值2.斜率问题已知函数的定义域为，且为的导函数，函数的图像如图所示.若两正数满足，则的取值范围是．3.距离问题3、由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为．练习1.已知点是直线上动点，、是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则．练习2.已知实数满足不等式组，则的最小值为；4.消元法已知函数，若且则的取值范围为练习：设函数，若且则的取值范围为.5.换元法.求下列函数的最大值或最小值：（1）；（2）；（3）若函数的最大值是正整数m，则m=_______7解：（1），由得，∴当时，函数取最小值，当时函数取最大值．（2）令，则，∴，当，即时取等号，∴函数取最大值，无最小值．2.已知,且夹角为如图点c在以o为圆心的圆弧上动.若则求的最大值.6.代换法设为正实数，满足，则的最小值是3【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得，当且仅当＝3时取“＝”．设正实数满足则的最大值为▲1．7.公式放缩法函数，的最小值为：_________5错解：∵∴，又为定值故利用基本不等式得即y的最小值为4点评：利用基本不等式必须满足三个条件：即“一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条件，不满足第三个条件，即不成立。

设为实数，若则的最大值是。

8.放缩法、换元法已知二次函数的值域是.那么的最小值是．9.综合探讨：满足条件的三角形的面积的最大值【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设Bc＝，则Ac＝，根据面积公式得=，根据余弦定理得，代入上式得=由三角形三边关系有解得，故当时取得最大值解析2：若，则的最大值。