求函数定义域、值域、解析式的方法

函数定义域值域的求解方法

专题一：【求定义域】：

1、求下列函数的定义域：

⑴y =

(2) 函数y=

2122--+-+x x x

x

的定义域是（ ）

(3) 函数6

542

-+--=

x x x y 的定义域是( )

2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；

3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1

(2)

f x

+的定义域为 。

专题二：【求值域】：

函数的值域是函数三要素之一，求函数的值域是深入学习函数的基础，它常涉及多种知识的综合应用，下面通过例题讲解，多方探寻值域的途径。

一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）

例1．求函数2+=x y 的值域。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2

()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）

例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。

三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

例4．求函数125

x

y x -=+的值域。

四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如

y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法求解。

例4

．求函数2y x =

五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+

=k x

k

x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为增函数）） 例5

．求函数y x =

六、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）

例6．求函数11-++=x x y 的值域。

专题三：【求解析式】：

一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()

g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。

例2 已知221

)1(x

x x x f +=+

)0(>x ，求 ()f x 的解析式

三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要

注意所换元的定义域的变化。

例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f

四、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。

例5 设,)1(2)()(x x

f x f x f =-满足求)(x f

五、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行

赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(=f ，对于任意实数x 、y ，等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立，求)(x f

练习巩固：

1．函数y=1122-+

-x x 的定义域是___________

2．函数y=x

x x --22

4的定义域为

3．设函数y=f(x) 的定义域是[0,2], 则f(x-1)的定义域是_______

4、 求下列函数的值域

(1)223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31

1

x y x -=+ (5)x ≥

⑸

y = ⑹ 22

5941x x y x +=-＋

⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =-

⑼ y = ⑽ 4y =

⑾y x = （12）22++-=x x y ；

（13）5

48

2+-=

x x y ．

5.求解析式：

1）已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。

2）已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。

3）已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。

求下列函数的单调区间：

1. ⑴ 223y x x =++

⑵y = ⑶ 2

61y x x =--

2、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是

3、函数236x y x -=

+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是

4. 下列函数中,在区间

上为增函数的是( ).

A ．

B ．

C ．

D ．

5．函数 的增区间是（ ）。

A ．

B ．

C ．

D ．

6． 在

上是减函数，则a 的取值范围是（ ）。

A ．

B ．

C ．

D ．

7.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f )(πf ，)3(-f 的大小关