二次根式的化简求值
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式的化简求值—2023-2024学年八年级数学下册压轴题(沪科版)(解析版)
z二次根式的化简求值整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
一、二次根式的定义形如√a （a ≥0）的式子叫做二次根式，√⬚叫做二次根号，a 叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件1.二次根式中的被开方数是非负数；2.二次根式具有非负性：√a ≥0. 三、判断二次根式有意义的条件1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数；2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．四、二次根式的性质性质1：&√a'!=a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；性质2：√a !=|a|=)a （a ≥0）−a （a <0），即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.五、同类二次根式把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项；②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同；③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同．◆知识点总结◆思想方法z六、二次根式的加减法则二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则①二次根式的乘法法则：√a ∙√b =√a ∙b(a ≥0,b ≥0)； ②积的算术平方根：√a ∙b =√a ∙√b(a ≥0,b ≥0)； ③二次根式的除法法则：√#√$=5#$(a ≥0,b >0)；④商的算术平方根：5#$=√#√$(a ≥0,b >0).八、最简二次根式我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 九、分母有理化1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式；2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个．【典例1】阅读下列材料，然后回答问题．①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如!√%&'一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：!√%&'= !(√%)')(√%&')(√%)')= !(√%)')(√%)!)'=!(√%)')!= √3−1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求a !+b !．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则a !+b !=(a +b)!−2ab =x !−2y =4+6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果． （1）计算：'√%&'+ '√+&√%+ '√,&√++ ...+'√!-'.&√!-',；◆典例分析z（2）m 是正整数， a =√/&')√/√/&'&√/，b =√/&'&√/√/&')√/且2a !+1823ab +2b !=2019．求 m ．（3）已知√15+x !−√26−x !=1，求√15+x !+√26−x !的值．（1）由题目所给出的规律进行计算即可；（2）先求出a +b =2(2m +1),ab =1再由2a !+1823ab +2b !=2019进行变形再求值即可；（3）先得到√15+x !⋅√26−x !=20，然后可得(√15+x !+√26−x !)!=(√15+x !−√26−x !)!+4√15+x !⋅√26−x !=81，最后由√15+x !≥0,√26−x !≥0，求出结果． 解：（1）原式=√%)'!+√+)√%!+√,)√+!+⋯+√!-'.)√!-',!=√3−1+√5−√3+√7−√5+⋯+√2019−√20172=√!-'.)'!， （2）∵a =√/&')√/√/&'&√/，b =√/&'&√/√/&')√/，∴a +b =(√/&')√/)!&(√/&'&√/)!(√/&'&√/)(√/&')√/)=2(2m +1),ab =1，∵2a !+1823ab +2b !=2019， ∴2(a !+b !)+1823=2019， ∴a !+b !=98， ∴4(2m +1)!=100， ∴2m =±5−1， ∵m 是正整数， ∴m =2．（3）由√15+x !−√26−x !=1得出(√15+x !−√26−x !)!=1， ∴√15+x !⋅√26−x !=20，∵(√15+x !+√26−x !)!=(√15+x !−√26−x !)!+4√15+x !⋅√26−x !=81， 又∵√15+x !≥0,√26−x !≥0， ∴√15+x !+√26−x !=9．z1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知x =√2−√3,y =√2+√3，则代数式Kx !+2xy +y !+x −y −4的值为（ ） A ．√%! B ．%C ．√3−1D ．√+)'!【思路点拨】根据已知，得到x +y =√2−√3+√2+√3=2√2,x −y =√2−√3−√2−√3=−2√3，整体思想带入求值即可． 【解题过程】解：∵x =√2−√3,y =√2+√3，∴x +y =√2−√3+√2+√3=2√2,x −y =√2−√3−√2−√3=−2√3， ∴Kx !+2xy +y !+x −y −4=K (x +y )!+(x −y )−4 =5&2√2'!−2√3−4 =58−2√3−4 =54−2√3 =5&√3'!−2√3+1 =5&√3−1'! =√3−1． 故选C ．2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知x +'1=7(0<x <1)，则√x −'√1的值为（ ）A ．−√7B ．−√5C ．√7D ．√5【思路点拨】由0<x <1，得0＜x ＜'1，故√x ＜'√1，将√x −'√1平方展开计算，后开平方即可．【解题过程】解：∵0<x <1， ∴0＜x ＜'1，◆学霸必刷∴√x＜'√1，∵(√x−'√1)!=x−2+'1，x+'1=7(0<x<1)，∴(√x−'√1)!=5，∴√x−'√1=-√5或√x−'√1=√5，∵√x＜'√1，∴√x−'√1＜0，∴√x−'√1= -√5，√x−'√1=√5不符合题意，舍去，故选B．3．（2023·浙江宁波·校考一模）若x!+y!=1，则√x!−4x+4+K xy−3x+y−3的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【思路点拨】先根据x!+y!=1得出−1≤x≤1，−1≤y≤1，根据√x!−4x+4+K xy−3x+y−3要有意义，得出(x+1)(y−3)≥0，根据y−3<0得出x+1≤0，从而得出x=−1，将x=−1代入即可求出式子的值．【解题过程】解：∵x!+y!=1，∴−1≤x≤1，−1≤y≤1，∵√x!−4x+4+K xy−3x+y−3要有意义，∴xy−3x+y−3≥0，整理得：(x+1)(y−3)≥0，∵y−3<0，∴x+1≤0，∴x=−1，∴√x!−4x+4+K xy−3x+y−3=K(x−2)!+K(x+1)(y−3)=K(−1−2)!+K(−1+1)(y−3)=3+0=3，故D正确．故选：D．4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝'√!-!-)√!-'.，则x6﹣2√2019x5﹣x4＋x3﹣2√2020x2＋2x ﹣√2020的值为（）A．0 B．1 C．√2019D．√2020【思路点拨】对已知进行变形，再代入所求式子，反复代入即可．【解题过程】解：∵x='√!-!-)√!-'.=√2020+√2019，∴x2−2√2019x+−x0+x%−2√2020x!+2x−√2020，=x+&x−2√2019'−x0+x!&x−2√2020'+2x−√2020，=x+&√2020+√2019−2√2019'−x0+x!&√2020+√2019−2√2020'+2x−√2020，=x+&√2020−√2019'−x0+x!&√2019−√2020'+2x−√2020，=x0Mx&√2020−√2019'−1N+x!&√2019−√2020'+2x−√2020，=x&√2020+√2019'&√2019−√2020'+2x−√2020=−x+2x−√2020，=x−√2020，=√2019，故选：C．5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为K3+√5−K3−√5的小数部分，b为K6+3√3−K6−3√3的小数部分，则!b −'#的值为（）A．√6+√2−1B．√6−√2+1C．√6−√2−1 D．√6+√2+1【思路点拨】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题．【解题过程】解：K3+√5−K3−√5=P 6+2√52-P 6-2√52=√5+1√2-√5-1√2=√2∴a 的小数部分为√2-1， 56+3√3−56−3√3 =P 12+6√32−P 12−6√32=√3+3√2-3-√3√2=√6∴b 的小数部分为√6-2， ∴!b −'#=!√2-!-'√!-'=√6+2-√2-1=√6-√2+1，故选：B ．6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设a '=1+''!+'!!，a !=1+'!!+'%!，a %=1+'%!+'0!，……，a 5=1+'5!+'(5&')!．其中n 为正整数，则√a '+√a !+K a %+⋅⋅⋅+K a !-!'的值是（ ） A ．2020!-'.!-!-B ．2020!-!-!-!'C ．2021!-!-!-!'D ．2021!-!'!-!!【思路点拨】根据题意，先求出K a 5=1+'5(5&')，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．【解题过程】解：∵n 为正整数， ∴K a 5=51+'5!+'(5&')! ＝55!•(5&')!&(5&')!&5!5!(5&')!＝5[5(5&')]!&!5(5&')&'5!(5&')!＝9(5!&5&')!5(5&')＝5!&5&'5(5&')＝1+'5(5&')；∴√a'+√a!+K a%+⋯+K a!-!'＝（1+''×!）+（1+'!×%）+（1+'%×0）+…+（1+'!-!'×!-!!）＝2021+1﹣'!+'!−'%+'%−'+⋯+'!-!'−'!-!!＝2021+1﹣'!-!!＝2021!-!'!-!!．故选：D．7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果a=√5−2，则'#+5'#!+a!−2=．【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质、完全平方公式是解题关键．先根据二次根式的分母有理化可得'#，从而可得'#−a>0，再利用完全平方公式化简二次根式，代入计算即可得．【解题过程】解：∵a=√5−2，∴'#='√+)!=√+&!;√+&!<;√+)!<=√5+2，∴'#−a=√5+2−&√5−2'=4>0，∴1a+P1a!+a!−2=1a+P R1a−aS!=1a+R1a−aS=√5+2+4=√5+6．故答案为：√5+6．8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知x=+)√',√',)%，y=√',)%+)√',，则4x!−3xy+4y!=．【思路点拨】先把x和y的值分母有理化得到x=√',)'0，y=√',&'，则x−y=−'!，xy=1，再利用完全平方公式变形原式得到4(x−y)!+5xy，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x=+)√',√',)%，y=√',)%+)√',，∴x=;+)√',<;√',&%<;√',)%<;√',&%<=√',)'，y=;√',)%<;+&√',<;+)√',<;+&√',<=√',&'，∴x−y=−'!，xy=1，∴原式=4(x−y)!+5xy=4×(−12)!+5×1=6．故答案为6．9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知√x+'√1=2，那么511!&%1&'−511!&.1&'的值等于．【思路点拨】通过完全平方公式求出x+'1=2，把待求式的被开方数都用x+'1的代数式表示，然后再进行计算．【解题过程】解：∵√x+'√1=2，∴U√x+'√1V!=4，∴x+'1+2=4∴x+'1=2，∴511!&%1&'−511!&.1&'=P 1x+3+1x−P1x+9+1x=P 12+3−P12+9=√++−√''''．故答案为：√++−√''''．10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，x K y+y√x−√7x−√7y+ K7xy=7，求x+y=．将等式进行因式分解，得到&√x+K y+√7'&K xy−√7'=0，求得xy=7，即可求解．【解题过程】解：∵x K y+y√x−√7x−K7y+K7xy=7，∴x K y+y√x−√7x−K7y+K7xy−7=0，∴K xy&√x+K y'−√7&√x+K y'+√7&K xy−√7'=0，∴&√x+K y'&K xy−√7'+√7&K xy−√7'=0，∴&√x+K y+√7'&K xy−√7'=0，∵√x+K y+√7>0，∴K xy−√7=0，∴xy=7，又x，y为正整数，则(x,y)=(1,7)或(7,1)，从而x+y=8，故答案为：8．11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设x=√3−2，则x2+3x++11x%+2x+1=．【思路点拨】利用(x+2)!=x!+4x+4和x=√3−2，推得x!+4x+1=0，借助该式将多项式进行降幂化简，即可求解．【解题过程】解：∵x=√3−2，∴(x+2)!=&√3−2+2'!=3，又∵(x+2)!=x!+4x+4，即x!+4x+4=3，整理得x!+4x+1=0，x2+3x++11x%+2x+1=x0(x!+4x+1)+3x++11x%+2x+1−4x+−x0=−x+−x0+11x%+2x+1=−x%(x!+4x+1)−x0+11x%+2x+1+4x0+x%=3x0+12x%+2x+1=3x!(x!+4x+1)+2x+1−3x!=−3x!+2x+1=−3(x!+4x+1)+2x+1+12x+3=14x+4，将x=√3−2代入原式可得14×&√3−2'+4=14√3−24．故答案为：14√3−24．12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知x=%&√+!，则代数式2x%−3x!−7x+2022的值为．【思路点拨】将已知条件x=%&√+!变形得，x!−3x=−1，再将所求代数式变形为2x%−6x!+3x!−7x+2022，由此即可求解．【解题过程】解：已知x=%&√+!，∴2x=3+√5，即2x−3=√5，等式两边同时平方得，(2x−3)!=&√5'!，整理得，4x!−12x+9=5，即4x!−12x=−4，∴x!−3x=−1，∵2x%−3x!−7x+2022=2x(x!−3x)+3x!−7x+20022把x!−3x=−1代入得，=2x×(−1)+3x!−7x+2022=3x!−2x−7x+2022=3x!−9x+2022=3(x!−3x)+2022把x!−3x=−1代入得，=3×(−1)+2022=2019，故答案为：2019．13．（2022上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先化简，再求值：1)=√1)√=+1&=&!√1=√1&√=，其中x=3,y='%.首先对第一个式子的分子利用平方差公式分解，第二个式子利用完全平方公式分解，然后约分，合并同类二次根式即可化简，然后代入数值计算即可．【解题过程】解：原式=(√1)√=)(√1&√=)√1)√=+(√1&√=)!√1&√==√x+K y+√x+K y =2√x+2K y当x=3,y='%时，原式=2√3+25'%=2√3+23√3=>%√3．14．（2023·北京·九年级专题练习）已知x=√%)√!√%&√!，y=√%&√!√%)√!，求1=!+=1!的值．【思路点拨】首先把x和y进行分母有理化，然后将其化简后的结果代入计算即可．【解题过程】解：∵x=√%)√!√%&√!=(√%)√!)(√%)√!)(√%&√!)(√%)√!)=5−2√6，y=√%&√!√%)√!=(√%&√!)(√%&√!)(√%)√!)(√%&√!)=5+2√6，∴原式=+)!√2(+&!√2)!++&!√2(+)!√2)!=5−2√649+20√6+5+2√649−20√6=(5−2√6)(49−20√6)(49+20√6)(49−20√6)+(5+2√6)(49+20√6)(49−20√6)(49+20√6)=245−100√6−98√6+240+245+100√6+98√6+240 =970．15．（2023下·山东威海·九年级校考期中）已知a+b=−8，ab=12，求b5$#+a5#$的值．【思路点拨】根据题意可判断a和b都是负数，然后二次根式的乘、除法公式和合并同类二次根式法则化简并求值即可．解：∵a +b =−8，ab =12， ∴a 和b 均为负数，a !+b !=(a +b )!−2ab =40 b P b a +a5a b =b P b !ab +a P a !ab=b√b !√ab +a √a !√ab =b√b !+a√a !√ab=b (−b )+a (−a )√ab=−b !−a !√ab=−(a !+b !)√ab=−40√12 =−40√1212 =−40×2√312 =−20√33 16．（2023上·上海杨浦·七年级校考阶段练习）已知a −2√ab −15b =0，求#&√#$&!$#)!√#$&$的值．【思路点拨】讨论：当a >0，b >0，利用因式分解的方法得到&√a −5√b'&√a +3√b'=0，解得a =25b ，当a<0，b <0，则−M&√−a +5√−b'&√−a −3√−b'N =0，解得a =9b ，然后把a =25b ，a =9b 代入#&√#$&!$#)!√#$&$中进行分式的化简求解． 【解题过程】解： ∵ a −2√ab −15b =0要有意义，即ab ≥0， ∴ a >0且b >0或a<0且b <0，当a>0且b>0时，∵a−2√ab−15b=&√a−5√b'&√a+3√b'=0，∴√a−5√b=0或√a+3√b=0（舍去），解得：a=25b，把a=25b代入#&√#$&!$#)!√#$&$得：#&√#$&!$#)!√#$&$=!+$&+$&!$!+$)'-$&$=2；当a<0且b<0时，∵a−2√ab−15b=−M&√−a+5√−b'&√−a−3√−b'N=0，∴√−a+5√−b=0（舍去）或√−a−3√−b=0，解得：a=9b，把a=9b代入#&√#$&!$#)!√#$&$得：#&√#$&!$#)!√#$&$=.$&%√$!&!$.$)2√$!&$=.$)%$&!$.$&2$&$='!．17．（2023上·四川成都·八年级成都市三原外国语学校校考阶段练习）已知x='√'-)%，y='√'-&%．（1）求x!+2xy+y!的值．（2）求9(1!)01&0)1(1)!)−9(=!&!=&')=(=&')值．【思路点拨】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算可得；（2）先将式子化简再代入x、y进行计算即可．【解题过程】（1）∵x='√'-)%=√10+3，y='√'-&%=√10−3，∴x+y=2√10，x−y=6，∴x!+2xy+y!=(x+y)!=(2√10)!=40．（2）∵x=√10+3，y=√10−3，∴x−2>0，y+1>0，∴K(x!−4x+4)x(x−2)−K(y!+2y+1)y(y+1)=x−2x(x−2)−y+1y(y+1)=1x−1y=1√10+3−1√10−3=√10−3−√10−3=−6．18．（2023上·河北衡水·八年级校联考阶段练习）已知x=2−√3，y=2+√3．（1）求x+y和xy的值；（2）求x!+y!−3xy的值；（3）若x的小数部分是a，y的整数部分是b，求ax−by的值．【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）代入x=2−√3，y=2+√3即可求出x+y和xy的值；（2）将原式变形为(x+y)!−5xy，代入数值进行计算即可；（3）先估算出1<√3<2，从而得出a=2−√3，b=3，再代入进行计算即可得出答案．【解题过程】（1）解：∵x=2−√3，y=2+√3，∴x+y=2−√3+2+√3=4，xy=&2−√3'&2+√3'=4−3=1；（2）解：由（1）得：x+y=4，xy=1，∴x!+y!−3xy=(x+y)!−5xy=4!−5×1=11（3）解：∵1<3<4，∴√1<√3<√4，即1<√3<2，∴−2<−√3<−1，∴0<2−√3<1，∵x的小数部分是a，∴a=2−√3，∵3<2+√3<4，y的整数部分是b，∴b=3，∴ax−by=&2−√3'&2−√3'−3&2+√3'=4−4√3+3−6−3√3=1−7√3．19．（2023下·广东江门·八年级统考期中）有这样一类题目：将K a ±2√b 化简，如果你能找到两个数m 、n ，使m !+n !=a 且mn =√b ，a ±2√b 将变成m !+n !±2mn ，即变成(m ±n)!，从而使K a ±2√b 得以化简． （1）例如，∵5+2√6=3+2+2√6=(√3)!+(√2)!+2√2×√3=(√3+√2)!， ∴K 5+2√6=5(√3+√2)!=______，请完成填空． （2）仿照上面的例子，请化简K 4−2√3；（3）利用上面的方法，设A =K 6+4√2，B =K 3−√5，求A ＋B 的值． 【思路点拨】（1）根据二次根式的性质：√a !=|a|=Z a(a >0)0(a =0)−a(a <0)，即可得出相应结果．（2）根据（1）中“5+2√6=3+2+2√6=(√3)!+(√2)!+2√2×√3=(√3+√2)!”，将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简求值，即可得出结果．（3）根据题意，首先把A 式和B 式分别转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质把A 式和B 式的结果分别算出，最后把A 式和B 式再代入A ＋B 中，求出A ＋B 的值． 【解题过程】（1）∵5+2√6=2+3+2√6=&√2'!+&√3'!+2×√2×√3=&√2+√3'!∴K 5+2√6=5(√3+√2)!=√3+√2 故答案为：√3+√2（2）∵4−2√3=3+1−2√3=&√3'!+1−2√3=&√3−1'!∴K 4−2√3=5(√3−1)!=√3−1．（3）∵A =6+4√2=4+2+4√2=&√4'!+&√2'!+2×√4×√2=(2+√2)! ∴A =K 6+4√2=2+√2 ∵B =3−√5=2)!√+!=+&')!√+!=;√+<!&'!)!×'×√+!=(√+)')!! ∴B =K 3−√5=5;√+)'<!!=√+)'√!=√'-)√!!='!√10−'!√2∴把A 式和B 式的值代入A ＋B 中，得：A+B=2+√2+12√10−12√2=2+12√10+√2220．（2023下·广西钦州·八年级校考阶段练习）我们将&√a+√b'、&√a−√b'称为一对“对偶式”，因为&√a+√b'&√a−√b'=(√a)!−(√b)!=a−b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将&√a+√b'和&√a−√b'中的“√⬚”去掉于是二次根式除法可以这样解：如'√%=√%√%×√%=√%%，!&√!!)√!=(!&√!)!(!)√!)×(!&√!)=3+2√2.像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：（1）比较大小'√,)!_____'√2)√%用“>”、“<”或“=”填空)；（2）已知x=√+&!√+)!，y=√+)!√+&!，求1)=1!=&1=!的值；（3）计算：!%&√%+!+√%&%√++!,√+&+√,+⋯+!..√.,&.,√..【思路点拨】（1）先分母有理化，然后根据作差法，比较大小即可求解；（2）先求得x−y,xy的值，然后代入即可求解；（3）将每一项分母有理化，然后就根据二次根式的加减进行计算即可求解．【解题过程】（1）'√,)!=√,&!;√,)!<;√,&!<=√,&!%，'√2)√%=√2&√%;√2)√%<;√2&√%<=√2&√%%∵√7>√6,2>√3∴√,&!%−√2&√%%='%M&√7−√6'+&2−√3'N>0,∴'√,)!>'√2)√%，故答案为：>．（2）∵x=√+&!√+)!=;√+&!<!;√+&!<;√+)!<=5+4√5+4=9+4√5，y=√+)!√+&!=;√+)!<!;√+&!<;√+)!<=5−4√5+4=9−4√5，∴x+y=9+4√5+9−4√5=18，x−y=9+4√5+−9+4√5=8√5，xy=&9+4√5'&9−4√5'=81−80=1，∴1)=1!=&1=!=1)=1=(1&=)=>√+'×'>=0√+.；（3）!%&√%+!+√%&%√++!,√+&+√,+⋯+!..√.,&.,√..=2(3−√3)(3+√3)(3−√3)+2(5√3−3√5)(5√3+3√5)(5√3−3√5)+√97+97√99(7√5+5√7)(7√5−5√7)+⋯+2(99√97−97√99)(99√97+97√99)(99√97−97√99)=1−√33+√33−√55+√55−√77+⋯+√9797−√9999=1−√99 99=1−√''%%．。
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧
八年级数学：常见二次根式化简求值的九种技巧在有理数中学习的法则、运算律、公式等在二次根式中仍然适用，对于二次根式化简有些通过常规的方法计算比较麻烦，那有没有什么做题技巧呢？接下来老师来分享一下常见二次根式化简求值的九种技巧，很多同学都没见过。
技巧1：估算法问题思路分析：可通过估算法算出这三个数分别在哪两个整数之间，然后算出答案，本题比较简单。
技巧2：公式法问题思路分析：可根据多项式乘以多项式的法则轻松得到答案，这也是课上老师常练的计算题。
技巧3：拆项法问题思路分析：根据提示把上面的分子进行替换，然后再把式子拆成两项，什么时候用拆项法呢?当式子之间有联系（可以拆成有关系的式子）时，本题的具体答案如下：技巧4：换元法问题思路分析：如果直接把n的值代入计算量会很大并且计算易出错，那我们可以用换元法来做，因数学符号不好打，本题的具体答案如下（当然可以用其他的换元法）：技巧5：整体代入法问题思路分析：先把所求的式子进行化简，再利用完全平方公式进行化简整体代入，请同学们自己动手做一下，做完后对一下下面的答案：技巧6：因式分解法问题思路分析：把分母因式分解后，再和分子约分后化简，本题分母因式分解比较难，请同学们认真，本题的具体答案如下：技巧7：配方法问题思路分析：先根据二次根式的定义求得a的取值范围，然后对所求的式子进行化简，其中可以用配方法求得本题的答案，具体答案如下：技巧8：辅元法问题思路分析：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入求值，请同学们按照上述老师说的方法自己动手做一下，具体答案如下：技巧9：先判后计算问题思路分析：先根据已知条件判断a和b的符号，然后再化简求值，希望同学们一定要动脑自己尝试去做一下，本题的具体答案如下：上面就是老师讲的常见二次根式化简求值的九种技巧，一定要注意所给出的条件或题中的隐含条件，根据题目的特点，选取适当的解题方法。
「初中数学」常见二次根式化简求值的几种技巧_0.doc
「初中数学」常见二次根式化简求值的几种
技巧
二次根式的化简求值是初中数学的重要内容，也是中考试题中的常见题型，对于特殊的二次根式的化简，除了掌握基本的概念和运算法则外，还应根据根式的具体结构特征，灵活一些特殊的方法和技巧，现就几种常用的方法和技巧举例说明如下:
一.巧用乘法公式
由于平方差公式:(a+b)(a一b)=a²一b²的结构特征的优越性，在根式的化简求值中简捷明了.
1.化简:(√2+√3+√5)(3√2+2√3一√30).
关键:对第二个因式提取√6后，发现与第一个因式的数量关系.
解:原式=(√2+√3+√5)√6(√3+√2一√5)=√6[(√2+√3)+√5][(√2+√3)一√5]=√6[(√2十√3)²一(√5)²]=√6(2+2√6+3一5)=√6×2√6=12.
2.化简:(√5+√6+√7)(√5+√6一√7)(√5十√7一√6)(√6十√7一√5).
解:原式=[(√5+√6)²一(√7)²][(√7)²一(√6一√5)²]=(4+2√30)(2√30一4)=(2√30)²一4²=104.
二.巧运逆运算
三.巧拆项
四.巧换元
五.巧因式分解
六.巧配方
七.巧平方
八.巧添项
九.巧取倒数
十.巧用1”代换
【总结】二次根式的化简求值题型多变，有较强的灵活性、技巧性、综合性。
在求解的过程中应根据根式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧，不仅可以化难为易，迅捷获解，而且对于培养和提高同学们的数学思维能力，激发学习兴趣是大有帮助的。
第三节 二次根式的化简求值-学而思培优
第三节二次根式的化简求值-学而思培优第三节二次根式的化简求值二、核心纲要如果二次根式的被开方数（式）中含有二次根式，这样的式子叫做双重二次根式，例如3-2.8+7.2.化简双重二次根式对于双重二次根式a±2b，设法找到两个正数x、y(x>y)，使得x+y=a，xy=b，则a±2b=(x±y)²=x²±2xy+y²。
3.二次根式化简求值的方法1) 直接代入：将已知条件代入所求代数式即可。
2) 变形代入：将条件或结论进行适当的变形，再代入求值。
4.共轭根式形如a+b和a-b（其中a，b是有理数）的两个最简二次根式称为共轭根式。
5.解无理方程解无理方程的方法就是转化为有理方程进行求解，然后检验。
本节重点讲解二次根式的化简和求值。
三、全能突破基础训练1.若x=m-n，y=m+n，则xy的值是( )。
A。
2m B。
2n C。
m+n D。
m-n2.已知若2x-1+y-3=√2，则4x×xy÷2y等于( )。
A。
2 B。
2√2 C。
2 D。
13.已知a=5+2，b=5-2，则a+b+7的值为( )。
A。
3 B。
4 C。
5 D。
64.代数式a+2a-2-2-a+3的值等于a-b=5.若a+b=5，ab=4，则：5.先化简，再求值：1) 2a³ab³-131/27a³b³+2abab，其中a=964，b=3.2) 3(a+3)(a-3)-a(a-6)-(a+2)²+13，其中a=2-1.a²-a-23) xy+(x+y)²/3-2，其中a=2-1.a²-4a+47.已知x=值，y=，求代数式xy-(x+y)²/3+2的值。
8.已知x=2+3，y=2-3，求下列代数式的值：1) x²-xy+y²2) x+y9.星期天，XXX的妈妈和XXX做了一个小游戏，XXX的妈妈说：“你现在研究了二次根式，若x表示10的整数部分，y代表它的小数部分，我这个纸包里的钱是(10+x)y元，你猜一猜这个纸包里的钱数是多少？10.某同学作业本上有这样一道题：“当a=□时，试求a+a-2a+1的值”。
八年级数学_二次根式的化简求值_练习题及答案
(4)已知a= ,b= ,求 的值.
解析：a= ，同理b= ；
a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1，然后将所要求值的式子用a + b和a b表示，再整体代入求值即可.
答案：解：因为a= ，b= ，
所以a + b= + =10，a b=（ ）（ ）=1.1.若 ，Βιβλιοθήκη ，则xy的值是( )A. B.
C.m + nD.m-n
解析：xy= = = .
例2阅读材料:“黑白双雄,纵横江湖；双剑合璧,天下无敌.”这是武侠小说的常见描述,其意是指两个人合在一起,取长补短,威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如:(2+ )(2- )=1,( + )( - )=3,它们的积不含根号,我们就说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式.于是,二次根式的除法可以这样解:如 = = , = = ,像这样,通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化.
6（a2+2a）-12=6×6-12=24.
举一反三：
4.设a= -1，则3a3+12a2-6a-12=（ ）
A. 24 B. 25 C. D.
解析：由a= -1得a+1= ，两边平方得a2+2a+1=7，所以a2+2a=6，所以3a3+12a2-6a-12=3a（a2+2a）+6a2-6a-12=3a×6+6a2-6a-12=6a2+12a-12=
∴ - > - .
小结：比较两个二次根式大小的方法很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外因子移到根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内；(2)根号外正因子要平方后才能从根号外移到根号内.
专题07 二次根式化简求值(解析版)
专题07 二次根式化简求值【考点归纳】1、二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．2、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．3、二次根式的化简求值的常见题型及方法常见题型：与分式的化简求值相结合．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•天心区期末）已知x＝+2，则代数式x2﹣x﹣2的值为（）A．9B．9C．5D．5【答案】D．【解析】解：∵x＝+2，∴x﹣2＝，∴（x﹣2）2＝5，即x2﹣4x+4＝5，∴x2＝4x+1，∴x2﹣x﹣2＝4x+1﹣x﹣2＝3x﹣1，当x＝+2时，原式＝3（+2）﹣1＝3+5．故选：D．2．（2020秋•会宁县期末）已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（）A．4B．14C．D．14+4【答案】B．【解析】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．3．（2020秋•乐亭县期末）已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（）A．20B．16C．2D．4【答案】A．【解析】解：当x＝+1，y＝﹣1时，x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（+1+﹣1）2＝（2）2＝20，故选：A．4．（2020•石家庄模拟）当，分式的结果为a，则）A．a＞1B．C．D．【答案】B．【解析】解：+＝+＝＝，当x＝+1时，原式＝＝＝，即a＝，∵＜＜1，∴＜a＜1，故选：B．5．（2020秋•渝中区校级月考）已知m＝+，n＝﹣，则代数式的值为（）A．5B．C．3D．【答案】B．【解析】解：∵m＝+，n＝﹣，∴m+n＝2，mn＝5﹣2＝3，∴原式＝＝＝．故选：B．6．（2020秋•大洼区月考）当m＝3时，m+的值等于（）A．6B．5C．3D．1【答案】B．【解析】解：原式＝m+＝m+|m﹣1|，当m＝3时，原式＝3+|3﹣1|＝3+2＝5．故选：B．二、填空题7．（2020春•高密市期中）若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为．【答案】6【解析】解：∵a＝+1，∴原式＝（a﹣1）2＝（+1﹣1）2＝6．故答案为：6．8．（2020春•明水县校级期中）已知x＝+1，y＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+2xy+y2＝；（2）x2﹣y2＝．【答案】（1）12（2）4．【解析】解：（1）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝（2）2＝12，故答案为：12；（2）∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝2，x﹣y＝2，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×2＝4，故答案为：4．9．已知a＝1+，b＝，则a2+b2﹣2a+1的值为．【答案】5【解析】解：∵a＝1+，b＝，∴a2+b2﹣2a+1＝（a2﹣2a+1）+b2＝（a﹣1）2+b2＝（1+﹣1）2+（）2＝2+3＝5，故答案为：5．10．（2020春•武昌区期中）若a＝2+，b＝2﹣，则ab的值为．【答案】1【解析】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴ab＝（2+）×（2﹣）＝4﹣3＝1．故答案为：1．11．（2019秋•高安市校级期末）若x＝﹣1，则x3+x2﹣3x+2020的值为．【答案】2019【解析】解：∵x＝﹣1，∴x+1＝，∴（x+1）2＝2，即x2＝﹣2x+1，∴x3＝﹣2x2+x＝﹣2（﹣2x+1）+x＝5x﹣2，∴x3+x2﹣3x+2020＝5x﹣2﹣2x+1﹣3x+2020＝2019．故答案为2019．三、解答题12．（2020春•常熟市期中）已知x＝﹣2，y＝+2，求代数式x2+y2+xy﹣2x﹣2y的值．【答案】解：∵x＝﹣2，y＝+2，∴x+y＝2，xy＝﹣1，∴x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y）＝（2）2﹣（﹣1）﹣2×2＝12+1﹣4＝13﹣4．【解析】先计算出x+y与xy的值，再利用完全平方公式得到x2+y2+xy﹣2x﹣2y＝（x+y）2﹣xy﹣2（x+y），然后利用整体代入的方法计算．13．（1）计算：（）2﹣3；（2）如果a＝﹣，求﹣的值．【答案】解：（1）原式＝3﹣3×3＝3﹣9＝﹣6；（2）∵a＝﹣，∴a+1＝﹣+1＜0，a﹣1＝﹣﹣1＜0，则原式＝|a+1|﹣|a﹣1|＝﹣a﹣1+a﹣1＝﹣2．【解析】（1）根据（）2＝a，＝|a|求解可得；（2）先由a＝﹣判断出a+1和a﹣1的符号，再根据＝|a|化简可得．14．（2020春•大悟县期中）先化简再求值：已知a＝，b＝，求．【答案】解：∵a＝＝+2，b＝＝﹣2，∴a+b＝2，ab＝1，∴＝＝＝＝4．【解析】先分母有理化，再计算出a+b与ab，再利用完全平方公式得到原式，然后利用整体的方法计算．15．（2020春•闵行区校级期中）先化简，再求值：已知a＝2﹣，b＝2，求的值．【答案】解：＝＝，当a＝2﹣，b＝2时，原式＝＝＝﹣．【解析】先化简分式，然后将a＝2﹣，b＝2代入求值．16．（2020春•江汉区期中）已知x＝，y＝，m＝﹣，n＝+（1）求m，n的值；（2）若﹣＝n+2，＝m，求+的值．【答案】解：（1）∵x＝，y＝，∴x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，∴m＝﹣＝＝﹣＝﹣＝2；n＝+＝＝＝＝4；（2）∵﹣＝6，＝2，∴（﹣）2＝36，∴（+）2﹣4＝36，∴（+）2＝36+4×2＝44，∴+＝2．【解析】（1）先利用x与y的值计算出x+y＝，x﹣y＝﹣1，xy＝，再把m、n变形为m＝﹣＝﹣；n＝+＝；然后利用整体代入的方法计算m、n的值；（2）由于﹣＝6，＝2，利用完全平方公式得到（+）2﹣4＝36，最后利用算术平方根的定义得到+的值．。
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值二次根式是数学中一个常见的概念，我们通过化简可以将一个复杂的二次根式简化为更为简洁的形式，方便计算和理解。
下面我们将介绍化简二次根式的具体方法和求值的步骤。
1. 化简二次根式的基本规则化简二次根式的基本原则是将根号内的式子化为平方数的乘积，通常采用以下两种方法：①合并同类项：将根号内的式子合并同类项，将它们看作一个整体，比如√6 + √24 就可以合并为√6 + 2√6 = 3√6。
②有理化分母：通过有理化分母，将分母中的根式化为整数，比如√2/2 这个二次根式，在分母上下乘以√2，就可以化为 1。
2. 化简二次根式的具体方法对于形如a√n 或a + b√n 的二次根式，我们可以通过以下方法进行化简：① a√n + b√n = (a + b)√n② a√n - b√n = (a - b)√n③ (a + b)√n + (c + d)√n = (a + b + c + d)√n④ (a + b)√n - (c + d)√n = (a + b - c - d)√n⑤ (√n + a)(√n + b) = n + a√n + b√n + ab = (a + b)√n + n⑥ (√n + a)(√n - b) = n - ab - b√n - a√n = (a - b)√n + n - ab3. 求解二次根式的具体步骤求解二次根式通常需要进行以下步骤：①化简二次根式，提取出公因数或合并同类项，得到一个简化后的式子。
②根据需要，进行有理化分母，消去分母中的根式，使分母变为整数。
③如果需要求具体的值，将已有的数字代入式子中，进行计算。
4. 实际应用场景二次根式在现代数学和物理学中有着广泛的应用，比如：①网站安全性的评估：用于计算在用户的密码长度和密码字典的规模之下，恶意攻击者能够穷尽所有密码的最大数量。
②统计分析：用于计算标准差和方差。
③金融学：用于计算股票价格的变化幅度， volatility index。
部编数学八年级下册专题2二次根式化简求值技巧(解析版)含答案
专题2 二次根式化简求值技巧（解析版）第一部分典例精析+变式训练类型一a|化简典例1（2022春•郯城县期末）化简二次根式―AB C．D．思路引领：根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质与化简进行计算即可．解：由题意可知，x＜0，原式＝﹣x因此选项A是正确的，应选：A．总结提升：本题考查二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件以及化简方法是得出正确答案的前提．变式训练1．已知a=1，求思路引领：先将a的值分母有理化，判断出a﹣1的符号，继而根据二次根式的性质求解可得．解：∵a====2―∴a﹣1＝2――1＝1―0，∴原式=＝|a﹣1|＝﹣（a﹣1）=―1．总结提升：本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．2．（1）当a＜0（2）实数a，b思路引领：（1）直接利用a的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案；（2）直接利用a，b的取值范围结合二次根式的性质化简得出答案．解：（1）当a＜0a1aa(a1)=―1a；（2）由数轴可得：1＜a＜2，﹣3＜b＜﹣2，+＝a+2﹣（2﹣b）﹣（a+b）＝0．总结提升：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．类型二含有隐含条件的化简求值典例2（2019春•黄石期中）已知x、y为实数，xy＝3，那么+A．B．﹣C．±D．思路引领：根据二次根式有意义条件分析出x与y是同号，然后化简（2，代入xy＝3，最后再开方即可．解：根据二次根式有意义的条件可得x与y是同号，所以（2=x2⋅yx+y2⋅xy+2xy=xy+xy+2xy＝4xy，∵xy＝3，所以4xy＝12，即（+2＝12．∵x与y是同号，所以原式＝±故选：C．总结提升：本题主要考查了二次根式的化简求值，解决这类问题一定要注意二次根式有意义的条件，在此条件下解答不会漏解．变式训练1．（2021春•阳新县月考）已知x+y＝﹣6，xy＝8，求代数式+思路引领：根据加法法则、乘法法则和已知条件得出x 、y 同号，并且都是负数，化简所求式子，代值即可．解：∵x +y ＝﹣6，xy ＝8，∴x 、y 同号，并且都是负数，∴=―＝﹣（y x +xy ）=―=―(6)22×88＝﹣总结提升：本题考查了解二元二次方程组和二次根式的混合运算与求值等知识点，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．2．（2021春•虎林市校级期末）昨天的数学作业：化简求值．当a ＝3时，求a +小红的答案是5．小明却认为：原式=a +a +(1―a )=1．即：无论a 取何值，a 1．你认为小明说得对么？为什么？思路引领：根据题意得到1﹣a ＜0，根据二次根式性质化简，判断即可．解：小明的解答是错误的，理由如下：∵a ＝3，∴1﹣a ＝﹣2＜0，∴原式＝a +a ﹣1＝2a ﹣1，当a ＝3时，原式＝2×3﹣1＝5，∴小明的解答是错误的．总结提升：=|a |是解题的关键．类型三 利用整体思想进行求值典例3 已知x ＝5﹣y ＝3x 2+5xy +3y 2的值．思路引领：先计算出x +y 与xy 的值，再利用完全平方公式得到3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ，然后利用整体代入的方法计算．解：∵x ＝5﹣y ＝∴x +y ＝10，xy ＝25﹣24＝1，∴3x 2+5xy +3y 2＝3（x +y ）2﹣xy ＝3×102﹣1＝299．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．使用整体代入的方法可简化计算．变式训练1．（2020秋•武侯区校级月考）已知x y （1）x 2﹣xy +y 2；（2）y x +xy +2．思路引领：先根据完全平方公式、平方差公式和二次根式的乘除和加减运算得出x 2+y 2和xy 的值，（1）直接代入即可求得；（2）利用异分母分式加减法相加后直接代入即可．解：∵x y =∴xy 32，x ―y =―1，又∵（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ，∴x 2+y 2=(x ―y )2+2xy =1+2×32=4，（1）x 2﹣xy +y 2＝x 2+y 2﹣xy =4―32=52．（2）y x +x y +2=y 2x 2xy +2=432+2=83+2=143．总结提升：本题考查完全平方公式，平方差公式，二次根式的加、减、乘运算，分式的加法．能结合二次根式的性质和乘法公式求得x 2+y 2和xy 的值是解题关键．2．（1）已知：x =1，y =1．求2x 2+2y 2﹣xy 的值；（2）已知x ，求x 3x 1x 3的值．思路引领：（1）分母有理化后，代入求解即可；（2）由x 2x =+1，可得2x ﹣1=4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，x +1＝x 2，利用整体代入的思想解决问题．解：（1）x2―y ＝2+所以原式＝2（2―2+2（2+2﹣（2―（2+＝14﹣―1＝27；（2）∵x =∴2x +1，∴2x ﹣1=∴4x 2﹣4x ＝4，即x 2﹣x ＝1，∴x +1＝x 2，∴原式=x 3x 2x 3=x 2(x 1)x 3=x 4x 3=x 总结提升：本题考查二次根式的化简求值，分母有理化等知识，解题的关键是学会用整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．类型四 化简二次根式比较大小典例4（2022秋•修水县期中）阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因+11．（1）请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式： ．化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如：3．（2）请仿照上述方法化简：3．（3）比较1与1的大小．思路引领：（1）根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；（2）分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；（3）分母有理化后再比较．解：（122互为有理化因式，+22（答案不唯一）；（2=（3∴1＜1．总结提升：本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．变式训练1．（2022春•翔安区期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题+1）1）＝1，+1，+1…（1）观察上面规律，计算下面的式子1+1+1+⋯+1（2）利用上面的规律思路引领：（1）根据题目中材料，可以先将所求式子分母有理化，再化简即可解答本题；（2―解：（1++⋯+=1)+++⋯+―=―1+―⋯=1＝10﹣1＝9；（2==1，=∴1＞1，――总结提升：本题考查分母有理化、实数大小的比较，解题的关键是明确题意，发现其规律，解答相关问题．第二部分专题提优训练1．（2021春•上城区校级期中）已知a=b=ab的值为 ．思路引领：a=b=ab＝1即可．解：a=b=∴ab+3﹣2＝1．故答案为：1．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，根据二次根式的乘法可得ab的值．2．（2018春•沙坪坝区校级期末）如果一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），则|1﹣3m|+3化简求值的所有结果的和是 ．思路引领：直接利用三角形三边关系得出m的取值范围，进而化简得出答案．解：∵一个三角形的三边分别是2，3，m（m为正整数），∴1＜m＜5，|1﹣3m|+3＝2m+1﹣（3m﹣1）+3＝﹣m+5，当m＝2时，﹣m+5＝3，当m＝3时，﹣m+5＝2，当m＝4时，﹣m+5＝1，故所有结果的和是：1+2+3＝6．故答案为：6．总结提升：此题主要考查了三角形三边关系以及二次根式的化简，正确得出m 的取值范围是解题关键．3．（2021春•“＞”或“＝”或“＜”）．思路引领：根据分母有理化分别化简，即可得出答案．解：∵14=11+1，∴11，故答案为：＜．总结提升：本题考查了分母有理化，实数的比较大小，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．4．（2022春• ＞ 12（填“＞”“＜”“＝”）．思路引领：决问题．1＞1，＞12．故填空结果为：＞．总结提升：此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较n 次方的方法等．当分母相同时比较分子的大小即可．5．（2021秋•淮安区校级月考）已知实数a 满足|2020﹣a |a ，那么a ﹣20202+1的值是 ．思路引领：根据二次根式有意义的条件得出a ≥2021，根据绝对值的性质把原式变形，代入计算即可．解：由题意得：a ﹣2021≥0，解得：a ≥2021，则a ﹣2020a ，=2020，∴a ﹣2021＝20202，∴a ﹣20202＝2021，∴原式＝2021+1＝2022，故答案为：2022．总结提升：本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．6．（2022春•宁武县期末）先化简再求值：当a ＝9时，求a +甲的解答为：原式＝a =a +（1﹣a ）＝1；乙的解答为：原式a =a +（a ﹣1）＝2a ﹣1＝17．两种解答中， 的解答是错误的，错误的原因是 ．思路引领：利用二次根式的性质化简即可；解：∵a ＝9，∴1﹣a ＜0，∴原式＝a +a +a ﹣1＝2a ﹣1＝17．∴甲错误，故答案为甲，没有注意到1﹣a ＜0．总结提升：本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握基本公式，注意公式的应用条件．7．（2010秋•=5―2；16请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出1的结果为 ．（2）利用上面所提供的解法，求值：1+1+1+⋯+1 ．思路引领：（1）直接利用分母有理化化简得出答案；（2）直接将原式化简，进而计算得出答案．解：（1）1（2）原式=―1+―...―=1．1．总结提升：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•彭州市校级月考）已知x=1，y=1，求值：（1）xy；（2）x2+3xy+y2．思路引领：（1）利用平方差公式进行运算即可；（2）利用完全平方公式及平方差公式进行运算即可．解：（1）xy=11=1 75=1 2；（2）x2+3xy+y2＝（x+y）2+xy2+122+122+12＝7+12＝712．总结提升：本题主要考查二次根式的化简求值，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．9．（2022秋•静安区校级期中）先化简，再求值，如果a＝2―b=1，求思路引领：直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．解：∵b===2+a＝2―∴a ﹣b ＝2――（2+2―2――0，=总结提升：此题主要考查了二次根式的化简求值，正确化简二次根式是解题关键．10．（2022秋•章丘区校级月考）已知a =，b =1．（1）求ab 的值；（2）求a 2+b 2的值．思路引领：（1）根据平方差公式计算即可；（2）根据二次根式的加法法则求出a +b ，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可．解：（1）∵a +1，b 1，∴ab 1）1）＝3﹣1＝2；（2）∵a =+1，b =―1，∴a +b 1）+1）＝∴a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ＝（2﹣2×2＝8．总结提升：本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．11．（2022•南京模拟）计算：（1）已知x =，y =1，试求x 2﹣xy +y 2的值．（2）先化简，再求值：a 21a 2a ÷(2+a 21a)，其中a 思路引领：（1）先计算出x ﹣y ＝2，xy ＝1，再将所求代数式变形为（x ﹣y ）2+xy ，然后整体代入计算即可；（2）先根据分式混合运算法则化简，再把x 值代入化简式计算即可．解：（1）∵x =，y =1，∴x ﹣y ＝2，xy ＝1，∴x 2﹣xy +y 2＝（x ﹣y ）2+xy ＝22+1＝5；（2）a 21a 2a ÷(2+a 21a )=(a 1)(a 1)a (a 1)÷a 22a 1a=(a1)(a1)a(a1)⋅a(a1)2=1a1，当a原式=―1．总结提升：本题考查代数式求值，逆用完全平方公式，分式化简求值，二次根式运算，熟练掌握完全平方公式与分式混合运算法则是解题的关键．12．（2022春•a=思路引领：先分母有理化，再利用二次根式的性质化简得到原式＝1）a﹣|a﹣1|，接着利用a=＞1去绝对值，合并得到原式+1，然后把a=+1）a+1）a﹣|a﹣1|，∵a1，+1）a﹣（a﹣1）=+1，当a=1＝3．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．13．已知a=b＝2―c=2，比较a，b，c的大小．思路引领：先求出a0.318，b＝2―0.268，c=2≈0.236，再根据实数大小比较的方法进行比较即可求解．解：∵a=≈0.318，b＝2―≈0.268，c=2≈0.236，0.318＞0.268＞0.236，∴a＞b＞c．总结提升：考查了实数大小比较，关键是求出a，b，c的大小．14．（2022春•金华月考）在一节数学课上，李老师出了这样一道题目：先化简，再求值：|x﹣1|+x＝9．小明同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10＝2x﹣11．当x＝9时，原式＝2×9﹣11＝7．小荣同学是这样计算的：解：|x﹣1|+=x﹣1+10﹣x＝9．聪明的同学，谁的计算结果是正确的呢？错误的计算错在哪里？思路引领：根据二次根式的性质判断即可．解：小荣的计算结果正确，小明的计算结果错误，错在去掉根号：|x﹣1|+=x﹣1+x﹣10（应为x﹣1+10﹣x）．总结提升：本题考查了二次根式的性质与化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键，|a|=a(a≥0)―a(a＜0)．15．（2021春•五华区期中）阅读下列简化过程：1=1―11（1）请用n（n为正整数）表示化简过程规律．（2）计算1+1+1+⋯⋯1．（3）设a=1，b=1，c=1比较a，b，c的大小关系．思路引领：（1）观察题目可得分母上的数相差1，即可得出结论；（2）利用（1）中的规律先化简，随后进行加减即可；（3）先将a，b，c按照题目中的形式化简，再进行比较即可．解：（1）∵分母上的每个数都含有根号，根号内的数相差为1，分子为1，==（2⋯⋯+⋯⋯=―1+⋯⋯+=1．（3）∵ab=c=∴ab 2c2，∴a ＜b ＜c ．总结提升：本题考查二次根式的化简，平方差公式，分母有理化，实数的大小比较，涉及的知识点比较多，本题的难点在于通过题干得出计算规律，运用规律即可解决问题．16．（2022春•福清市期中）阅读材料：像=3=7这样，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，即为分母有理化．==3+解答下列问题：（1（2（3）应用：当n ―思路引领：（1）根据有理化因式的定义求解；（2）把分子分母都乘以（3―，然后利用平方差公式和完全平方公式计算；（3）利用分母有理化得1，1，然后比较与1的大小即可．解：（1+（2）原式98﹣（31，=1，++0，总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化．。
二次根式化简求值的常用技巧
二次根式化简求值的常用技巧陈开金二次根式(常见的有分式型,复合二次根式型,无限循环型或混合型)的化简求值,是中考及各级各类数学竞赛中的常见题目.下面举例谈谈八种常见方法——约分法、裂项法、取倒法、配方法、公式法、平方法、方程法、换元法,供读者参考.一、约分法:对“分式型”代数式,分子分母都是多项式时,有时可以先分别因式分解,通过约分达到化简目的. 例1 化简1015142157--+-23231)57)(23(57)23(5)23(757：-=+=-+-=+-+-=原式解二、裂项法:对于一些连续相加的分式型二次根式,如果拆项后能互相抵消,则可用此法.例2 2004200320032004132231221++++++ 化简 解:因为1n n n )1（n 1+++,1n 1n 1)1n (n n 1n )n 1n ()1n (n 1+-=+-+=+++=.10025011200411）2004120031（）3121（）211（-=-=-++-+-= 所以原式三、取倒法:如果一个“分式型”二次根式只有分子可进行因式分解,常常可先取倒再用第二种方法解决. 例3 .12232236+++++化简.213131,131223121231x 1,x )12()23()12)(23(:+=-=-=-+-=+++==+++++=所以原式则设原式解四、配方法：在复合二次根式b m a +中，如果存在x ＞0,y ＞0,使得.，xy 2b m ，.y x )y x (b m a ，，,a y x ,b m xy 2222再检查平方项的形式成一般先拆开在使用此法时写成式子为达到化简目的全平方式则可把被开方数写成完+=+=+=+= 例4 化简.5614- 解：原式=55329+⨯⨯- .53)53(2-=-=例5 化简)(212172232等于-+-（A ）245- (B)124-（C ）5（D ）1.1223222)223()12(2822329112222212172232:22=-+-=-+-=⨯⨯⨯-++⨯⨯-=-+-解五、公式法：对于,2ka 2k ab a ,k b a ,0k ＞,0b ＞,0a ＞,b a 22-±+=±=-±则使得且存在若这可以利用算术平方根的定义进行证明。
二次根式化简求值
二次根式化简求值1. 什么是二次根式化简？二次根式是指含有平方根的表达式，形如√(a + b√c)，其中a、b、c为实数。
二次根式化简是指将一个二次根式表达式转化为最简形式的过程。
最简形式指的是将二次根式中的平方根项和非平方根项分开，并且使得其中不含有相同的根式。
2. 二次根式的化简规则二次根式的化简可以通过以下规则进行：2.1 合并同类项合并同类项是指将二次根式中的相同根号项合并在一起。
例如，√2 + 3√2可以合并为4√2。
2.2 分离平方根项和非平方根项将二次根式中的平方根项和非平方根项分离开来。
例如，√3 + 2可以分离为√3+ 2√1。
2.3 化简平方根项将平方根项中的根号内的数化简。
例如，√4可以化简为2。
2.4 化简非平方根项将非平方根项中的数化简。
例如，2√1可以化简为2。
3. 二次根式的求值求二次根式的值是指计算二次根式的数值结果。
对于已经化简的二次根式，可以直接求值。
3.1 求值的方法求值可以通过以下方法进行：3.1.1 代入数值将二次根式中的变量用具体的数值代入，然后进行计算。
例如，对于√(2 + √3)，可以将其中的√3用具体的数值代入，如√(2 + 1.732)。
3.1.2 使用近似值如果二次根式中的数值较复杂，无法精确求解，可以使用近似值进行计算。
近似值可以通过计算器或数值计算方法获得。
3.2 求值的注意事项在进行二次根式的求值时，需要注意以下事项：3.2.1 考虑正负号二次根式中的根号项可以有正负两种情况。
在求值时，需要根据具体的问题确定根号项的正负号。
3.2.2 注意精度在使用近似值进行计算时，需要注意计算精度。
精确度越高，计算结果越准确。
4. 示例下面通过几个示例来演示二次根式的化简和求值过程：4.1 示例1化简和求值√(2 + √3)。
首先，我们将√3作为一个整体，得到√(2 + √3) = √(2 + √3)。
然后，我们将√3展开，得到√(2 + √3) = √(2 + 1.732)。
二次根式的化简求值
二次根式的化简求值一、知识梳理：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式，有理式和无理式统称代数式，整式和分式统称有理式．有条件的二次根式的化简求值问题是代数式的化简求值的重点与难点．这类问题包容了有理式的众多知识，又涉及最简根式、同类根式、有理化等二次根式的重要概念，同时联系着整体代入、分解变形、构造关系式等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形，有时需把待求式化简或变形，有时需把已知条件和待求式同时变形．二、典型例题：例1、已知12x x +=，那么223191x x x x x x -++++的值等于__________.及时练习：1．若14a a +=（0＜a ＜1），则1a a-=________2．设1x a a=-，则24x x +的值为（ ） A ．1a a - B ．1a a - C ．1a a + D ．不能确定例2、满足等式200320032003x y y x x y xy +--+＝2003的正整数对（x ,y ）的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4及时练习： 3．若a ＞0，b ＞0，且(4)3(2)a a b b a b +=+，求23a b ab a b ab++-+的值.例３、已知：1(01)x a a a=+<<，求代数式22226324224x x x x x x x x x x x x +-+-+-÷-----的值.及时练习：4．已知312321x x +=+++，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5．已知12m =+，12n =-，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于（ ）A ．－5B ．5C ．－9D ．9例4、设a 、b 、c 、d 为正实数，a ＜b ，c ＜d ，bc ＞ad ，有一个三角形的三边长分别为22a c +，22b d +，22()()b a d c -+-，求此三角形的面积.及时练习：6. 已知a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U ＝2241a b +++的最小值．三、课堂练习：1．已知3232x +=-，3232y -=+，那么代数式2222xy x y xy x y ++--值为__________2．设71a =-，则32312612a a a +--＝（ ）A ． 24B ．25C ．4710+D ．4712+ 3．计算200120001999(31)2(31)2(31)2001+-+-++=__________4．若有理数x 、y 、z 满足112()2x y z x y z +-+-=++，则2()x yz -=_______.5．正数m 、n 满足424430m m n m n n +--+-=，则2822002m n m n +-=++ . 6．若31x =+，则32(23)(123)35x x x -+++-+的值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．87．设1003997a =+，1001999b =+，21000c =，则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b 8．已知21(1)x x --=，化简221144x x x x +-+++.四、巩固提高：1．已知13x =+，那么2111242x x x +-=+--__________ 2．已知415a a ++-=，则62a -=__________3.已知22(2002)(2002)2002x x y y ++++=，则2234x xy y --66x y --+=______4.22791375137x x x x x +++-+=，则x ＝__________5．已知3232x -=+，3232y +=-，那么22y x x y +=__________ 6．如果20022a b +=+，20022a b -=-，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为（ ）A ．20022002B ．2001C ．1D ．0 7．当120022x +=时，代数式32003(420052001)x x --的值是（ ） A ．0 B ．－1 C ．1 D ．20032-8．设a 、b 、c 为有理数，且等式23526a b c ++=+成立，则29991001a b c ++的值是（ ）A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定 9．计算：（1）64332(63)(32)++++ （2）1014152110141521+--+++（3）1111335335755749474749++++++++（4）322526721292201123013242-+-+-+-+-+- 1525617272+-+-10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式211()(1)a b a b ---，将结果表示成不含b 的形式.11．已知21(0)a x a a +=>，化简：2222x x x x +--++-12．已知自然数x 、y 、z 满足等式260x y z --+=，求x ＋y+z .。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧下面是二次根式化简求值的十种技巧：技巧一：分解因式当二次根式的被开方数可以进行因式分解时，可以将其分解为两个或多个较简单的二次根式。
例如，√12可以分解为√4×√3，即2√3技巧二：有理化分母当二次根式的分母中含有二次根式时，可以采用有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的方法是将分母有理化，即将分母中的二次根式进行去除。
例如，化简√(3/√2)时，可以将分母有理化为√(3×√2)。
技巧三：配方当二次根式中含有如(√x±√y)²或(√x±a)(√x±b)类型的项时，可以采用配方的方法进行化简。
例如，化简√(x+2√2+2)时，可以采用配方的方法，将其化简为(√(√2)+1)²。
技巧四：合并同类项当二次根式中含有相同的根号并且系数不同的项时，可以将其合并为一个项。
例如，化简√(2+√3)-√(2-√3)时，可以将两个相同根号下的项合并为一个项。
技巧五：有理数与二次根式相乘当二次根式与有理数相乘时，可以将二次根式中的根号与有理数相乘得到一个更简单的二次根式。
例如，化简2√8时，可以将其化简为2√(4×2)，即4√2技巧六：有理数与二次根式相除当一个有理数与一个二次根式相除时，可以将有理数分子和二次根式的分母相除，并将其结果乘以二次根式的分子。
例如，化简2/√(3+√5)时，可以将其化简为2(√(3+√5))/((3+√5))。
技巧七：分子和分母进行有理化当一个二次根式作为一个分数的分子或分母时，可以将分子和分母同时进行有理化。
例如，化简√(5/√3)时，可以将其化简为(√5×√3)/√(3×√3)，即(√15)/√3技巧八：提取公因式当一个二次根式中含有公因式时，可以将其提取出来，并进行分解或合并。
例如，化简√(6x+9)时，可以将其提取公因式3，并进行分解为3√(2x+3)。
八年级数学 二次根式化简求值及比较大小(含知识点练习题)
8设
S1
1 1 12
1 22
，
S2
1
1 22
1 32
，
S3
1
1 32
1 42
，
…，
Sn
1
1 n2
1
n 12
．
若
S S1 S2 … Sn ，求 S（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．
9 已知
x
y 1
z
2
1 2
(x
y
z)
，求
x
、
y
随堂练习
x 3.1 当 x 0 时， x2 的值为（ ）
A． 1
B．1
x3 x 1
3.2 化简
x ，得（ ）
C． 1
D．x
A． x 1 x
B． 1 x x
C． x 1 x
D． x 1 x
3.3 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 (a +b)2 +a 的化简结果为____．
(
x x
x2 1)2
2x (x
1 1)2
，其中
x
3 2
．
二：多重二次根式 例 3.2.1 化简：（1） 4 12 （2） 4 15
例 3.2.2 化简： 10 8 3 2 2 ． 例 3.2.3 若正整数 a 、 m 、 n 满足 a2 4 2 m n ，则 a 、 m 、 n 的值依次是_______．
4.3 已知 a 2 1， b 2 2 6 ， c 6 2 ，那么 a ， b ， c 的大小关系是（ ）
二次根式化简求值技巧
二次根式化简求值技巧二次根式是数学中常见的一种形式，它可以通过化简来简化计算和理解。
本文将介绍一些二次根式化简求值的技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
二次根式有以下几个重要的性质：1. 二次根式的值是非负实数，即√a ≥ 0。
2. 当a和b都是非负实数时，有√(ab) = √a * √b。
3. 当a和b都是非负实数时，有√(a/b) = √a / √b（当分母不等于0）。
二、化简二次根式的基本方法1. 提取因子法：如果二次根式中的数可以分解成两个数的乘积，可以使用提取因子法进行化简。
例如，√12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3。
2. 合并同类项法：如果二次根式中含有相同的根式，可以使用合并同类项法进行化简。
例如，√7 + √7 = 2√7。
3. 有理化分母法：如果二次根式的分母是一个二次根式，可以使用有理化分母法进行化简。
例如，1 / (√2 + √3) = (√2 - √3) / ((√2 + √3) * (√2 - √3)) = (√2 - √3) / (2 - 3) = -(√2 - √3)。
三、求值二次根式的常用技巧1. 使用近似值计算：二次根式有时难以精确计算，可以使用近似值来估算结果。
例如，√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈2.236。
2. 使用特殊值计算：对于一些特殊的二次根式，可以直接使用已知的特殊值进行计算。
例如，√4 = 2，√9 = 3，√16 = 4。
3. 使用平方公式计算：对于一些复杂的二次根式，可以使用平方公式进行化简。
例如，(√3 + √5) ^ 2 = (√3) ^ 2 + 2 * (√3) * (√5) + (√5) ^ 2 = 3 + 2√15 + 5 = 8 + 2√15。
四、例题解析现在我们来看几个例题，通过化简求值的技巧来解答：例题1：化简并求值√12 + √27 - √48。
二次根式化简求值
二次根式化简求值二次根式是数学中常见的一种表达形式，也是一种化简数学表达式的方法。
对于给定的二次根式，我们可以通过一系列的步骤将其化简，得出最简形式，并求得其数值。
首先，我们来回顾一下什么是二次根式。
二次根式是指形如√a的表达式，其中a表示一个非负实数。
在进行二次根式的化简求值之前，我们需要明确几个重要的概念。
第一个概念是“二次根式的幂”，即指数为自然数的情况。
当二次根式作为底数，指数为自然数k时，我们可以通过连乘的方式将其化简。
例如，√a的k次方可以化简为a的k分之一次方根。
这个化简规则可以帮助我们简化表达式，使得计算更加方便。
第二个概念是“二次根式的乘法”。
当两个二次根式相乘时，我们可以利用乘法的分配律将其化简。
具体来说，如果两个二次根式都是非负实数，那么它们的乘积可以表示为二次根式下的两个因子的乘积。
第三个概念是“二次根式的加减法”。
当我们需要对两个二次根式进行加减运算时，首先需要考虑它们的根数是否相同，即两个二次根式下的根指数是否相同。
如果根数相同，我们可以将每个二次根式下的因子相加减，并保持根指数不变。
如果根数不同，我们可以将其中一个二次根式进行化简，使其根数和另一个二次根式相同，然后再进行相加减。
通过上述的化简规则，我们可以对给定的二次根式进行化简求值。
下面我们通过几个具体的例子进行说明。
例1：化简二次根式√12。
首先，我们可以将√12写成√(4×3)，再进一步化简为√4×√3，即2√3。
例2：化简二次根式√(2+√3)。
首先，我们将√(2+√3)化简为√2+√√3，即√2+√(3的二次根式)。
然后，我们可以将√(3的二次根式)再继续化简为√(3的1次方)×√(3的0.5次方)，即√3×√√3，即√3×(3的1/4次方)。
最后，我们得到的化简结果为√2+√3×(3的1/4次方)。
例3：求二次根式√(3+2√2)的值。
首先，我们可以将√(3+2√2)化简为√(1+2√2+√(2的2次方))。
二次根式的的化简求值题
二次根式的的化简求值题二次根式是指含有平方根的数学表达式，形式为：$a\sqrt{b}$，其中$a$和$b$是实数，且$b$为非负实数。
化简和求值二次根式的题目可以分为以下几种情况。
一、化简二次根式化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
一般来说，最简形式是指系数和被开方数互质，且被开方数为最小非平方数。
例1：化简$\sqrt{8}$。
解： $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} =2\sqrt{2}$。
例2：化简$\sqrt{72}$。
解： $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} =6\sqrt{2}$。
二、合并同类项当二次根式具有相同的被开方数时，可以合并为同一个二次根式。
例3：合并同类项$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$。
解：$\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = (1 - 2 + 4)\sqrt{3} =3\sqrt{3}$。
三、二次根式的运算二次根式可以进行加减乘除运算。
其中，加减运算要求被开方数相同；乘运算可以简单地将系数相乘，并且被开方数也需要相乘；除运算要求除数不为0。
例4：计算$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$。
解：$3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$。
例5：计算$(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})$。
解：$(\sqrt{3} - 2\sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} -2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{6} - 2\sqrt{6} - 4 = 2$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二次根式的化简求值
【知识梳理】二次根式化简求值就是运用整体代入、分解变形、构造关系式或图形等重要的技巧与方法，解题的关键是，有时需把已知条件化简，或把已知条件变形；有时需把待求式化简或变形；有时需把已知条件和待求式同时变形。
【例题精讲】
【例1】设55+=
x ，55-=y ，求66y x +的值。
【巩固】
1、设12121212-+=+-=
y x ，，求22y xy x +-的值。
2、已知321321-=+=
y x ，，求()()221111+++y x 的值。
【拓展】已知32-=x ，求432565x x x x -+-的值。
【例2】已知21=+
x x ，那么191322++-++x x x x x x 的值等于______________。
【巩固】
1、若a a x -=1，则24x x +的值为（ ） A.a a 1- B.a a -1 C.a
a 1+ D.不能确定
2、已知51=+
x x ，求1
122+--++x x x x x x 的值。
【例3】已知b a 、是实数，且
()()11122=++++b b a a ，问b a 、之间有怎样的关系？请推导。
【巩固】已知()()20082008200822=++++y y x x ，求58664322+----y x y xy x 的值。
【例4】已知b a 、均为正数，且2=+b a ，求1422+++=
b a U 的最小值
【巩固】求代数式()912422+-+
+x x 的最小值。