任意角的三角函数课件.ppt

祝同学们 学习愉快，成绩优异！
r tan y
x
sin α y
r=1
cos x
tan y
x
在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位 长度为半径的圆叫单位圆. x2 + y2 =1
P(x,y)
sin α y
cos x
tan y
x
结论：
锐角三角函数可 以用单位圆上点的 坐标来表示.
推广——利用单位圆定义任意角三角函数
是第三象限角
解：(1) 由sin<0，
可知的终边在第三、四象限内或y轴的负半轴上. 再由tan>0， 可知的终边在第一、三象限内.
故是第三象限角.
(2) 若是第三象限角.
则sin<0，且tan>0.
由 (1) , (2) 可得原命题得证.
终边相同的角的同一三角 函数的值是否相等?
r (m)2 ( 3m)2 2m 2m
三角函数值的符号问题
根据三角函数的定义确定正弦,余弦,正切的值 在四个象限内的符号：
sin a y r
cosa x r
tan a y x
(+ )
（+ ）
(-)
(-)
符号口诀：
(- )
(+ )
(-)
(+)
（一全二正弦 三切四余弦）
x
x
k (k Z ) 时，cot x 无意义；
y
任意角三角函数的定义:
正弦、余弦、正切都是以角为自变量， 以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数 值的函数.
————三角函数
y sin x 定义域：R
y cos x 定义域：R
y tan x
定义域：{x | x k , k Z}
特殊角的三角函数值
角度 0 30 45 60 90 120 135150 180
弧度
sin
cos
tan
例2: 已知 的终边经过点 P0 (3,4)
求 角的正弦,余弦和正切值.
M0
M
O
P(x,y)
P0(-3,-4)
三角函数也可定义为:
设α是一个任意角,它的终边经过点 P(x,y),则
cos x
r tan y
x
y
r
o

的终边 P(ｘ，ｙ) x
思考:
在终边上移 动点P的位置,这 三个比值会改变 吗?
当点P(x,y)满足x2 + y2 =1 时,正弦、余弦、正切函 数值会有什么样的结果？
y 的终边
P(x,y)
α
O
A(1,0)
M
x
sin α y r
cos x
2
如何求α角的三角函数值?
关键： 求出α 角终边与单位圆的交点.
例1：求5 的正弦,余弦和正切值.
3
x1 2
y 3 2
y
sin 5 y 3
3
2
cos 5 x 1
3
2
源自文库
5
3
1
O2
3
x
r 1 1 2
tan 5 y 3
3x
P

1 2
,

3 2
终边相同的角的集合
{ | k 2 , k z}
终边相同 点的坐标相同
同一函数值相等
公式一：sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan
(k z)
例5：求下列三角函数值:
任意角的三角函数
你能回忆一下初中学过的锐角三角函 数(正弦sinA,余弦cosA,正切tanA)的定义 吗?
正弦——锐角的对边与斜边的比
余弦——锐角的邻边与斜边的比
正切——锐角的对边与邻边的比
补充：余切——锐角的邻边与对边的比， 用符号cotA表示.
锐角三角函数定义
r x2 y2
sin α y r
3 若lg(sintan)有意义，则是（ C ） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴
4 求函数y sin x cos x的定义域.
课堂小结
1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域； 3．三角函数的符号及诱导公式.
(- )
(+)
(+ )
(- )
正全 弦正
正余 切弦
确定下列三角函数值的符号：
(1) cos 250 0 (3) tan(672 0 )
(2) sin( )
4
(4) tan 3
例3、求证：当且仅当不等式组 角为第三象限角.
s in tan
0 0
成立时，
分析：本题证明
sin 0 tan 0
sin α y r
cos x
r
tan y
x
的终边 P(ｘ，ｙ) y
r

o
x
( r x2 y2
)
练习
已知 的终边经过点 P0 (12, 5)
求 角的正弦,余弦和正切值.
若点P（ m, 3m）(m 0)在角的终边上， 求sin 、c os、tan 的值.
(1) sin 39000
(2) cos 9
4
(3) tan(11 )
6
1、 若三角形的两内角，满足sin cos 0，
则此三角形必为（ ）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、以上三种情况都可能
2、 若为第二象限角，则 sin cos 的值为： sin cos
设α 是一个任意角,它的
终边与单位圆交于点P(x,y)，
y
则: y 叫做α 的正弦
P(x, y)
sin α y
x 叫做α的余弦
O
cos x
x
y
x
叫做α的正切
tan

y
x
说 明：
当a k (k Z )时，的终边
2 在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都
等于0，所以tan y 无意义；同理当