空间解析几何教育课件

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空间解析几何课堂PPT

飞
跃
向量的混合积 [ab c ] (a b ) c 是这样
a b c
a
b
( 2 ) [a b c ] ( a b ) c ( b c ) a ( c a ) b .
a x , a y , az ——称为向量的坐标
研
计
R2
R1
划
M1
A
——向量在三个坐标轴上的分向量
海
向量可用它的坐标表示为 a {a x , a y , a z }
考
M2
B
Q1
天
k
P1
——向量的坐标表示式
i
o
j
Q2
P2
y
x
海
天
考
研
飞
特殊地： OM { x , y , z } ——称为向径
考
——称为基本单位向量
研
飞
x
P1 P2 a x i
Q1Q2 a y j
R1 R2 az k
向量在三个坐标轴上的投影
飞
跃
M1 M 2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j ( z2 z1 )k a x i a y j a z k ——向量的分解式
天
考
研
飞
跃
计
划
向量的加法符合下列运算规律：
海
设是一个数，向量 a 与的乘积 a 规定为 a (1) 0, a 与同向，| a | | a | ( 2) 0, a 0 ( 3) 0, a 与a 反向，| a || | | a | a 1 2a a 2

空间解析几何28965-PPT文档资料25页

§7．7 平面及其方程
一、平面的点法式方程
法线向量、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
平面的一般方程、特殊的平面、截距式方程
三、两平面的夹角
两平面的夹角、两平面夹角的余弦两平面平行与垂直的条件点到平面的距离公式
一、平面的点法式方程
法线向量：如果一非零向量垂直于一平面，
这向量就叫做该平面的法线向量．
或
C3B．
将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0．
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
z R (0, 0, c)
n
Q (0, b, 0)
| n 1 | { A x 0 B y 0 C z 0 ( A x 1 B y 1 C z 1 ) } ，
又因Ax1By1Cz1D0，| n | A 2 B 2 C 2 ，所以 P r j n P 1 P 0 A 0 A 2 B 0 B 2 C x C 0 2 D y ． z
O
y
P (a, 0, 0) x
例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、 R(0, 0, c)三点，求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0)．
解设所求平面的方程为
A x B yC zD0．
因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、
解先求出这平面的法线向量 n ．

M 1M 2{3， 4， 6}， n

M 1M3{2， 31}，可取

高等数学-01空间解析几何(课件

向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的合成与分解可以通过向量的加法、数乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示为向量，通过向量的加法、数乘、向量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中用于三维建模、动画制作和虚拟现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探索数据之间的关系。

空间解析几何

P2 P1
z
R2 R1 P O
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
x
上一张下一张
z
R2 R1 P
由勾股定理
R M1 M2 N Q1 Q2 y Q
ρ 2 =|| M 1 M 2 ||2
=|| M 1 N || + || M 1 R ||
2
2
P1 P2
O
=|| M1 P ||2 + || M1Q ||2 + || M1 R ||2
主要名称与记号: 主要名称与记号坐标平面: 坐标平面三个坐标轴中任意两条坐标轴所确定的平面. 所确定的平面 xoy 平面 yoz 平面 zox 平面平面, 平面, 平面.
上一张
下一张
空间点在空间直角坐标系中的表示法. 空间点在空间直角坐标系中的表示法
z z R M O x x 点M (x, y, z) P y Q
相应的空间直角坐标系, 即过空间中一定点相应的空间直角坐标系即过空间中一定点O, 空间中一定点作三条互相垂直的数轴, 它们以O为公共原点作三条互相垂直的数轴它们以为公共原点且具有相同的单位长度, 且具有相同的单位长度这三条数轴分别称为 x 轴, y 轴, z 轴, 都统称为数轴都统称为数轴.
上一张
下一张
由上可知，对应于数轴上一点的实数也叫做P点的坐的实数x也叫做由上可知，对应于数轴上一点P的实数也叫做点的坐这个事实我们用P(x)表示这样，数轴也可以称为坐表示这样，标，这个事实我们用表示这样数轴也可以称为坐标轴，用O x表示。换句话说，在直线上，一个原点，标轴，表示。换句话说，在直线上，一个原点，表示一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系一个正向，一个单位长就确定了它上面的一个坐标系

《高数空间解析几何》PPT课件

类似地，方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线，平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题：（1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程；（2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面一条平面曲线 C 绕其平面上一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2

空间解析几何-第2章-空间的平面与直线ppt

(2) L // Am Bn Cp 0.
例 1 设直线L : x 1 y z 1，平面 2 1 2
: x y 2z 3，求直线与平面的夹角.
解
n (1,1, 2), s (2,1, 2),
sin
| Am Bn Cp |
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
平面的点法式方程
其中法向量
n
{ A, B,C},
已知点
( x0 ,
y0 ,
z0 ).
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
化简得 2x 3 y z 6 0.
例3 已知两点M(1,-2,3)与N(3,0,-1)，求线段 MN的垂直平分面方程。
二、平面的一般式方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
z
s
L
M
M0
M0 ( x0 , y0 , z0 ), M ( x, y, z), o
y
M L,
M0M // s
x
s (m, n, p), M0M { x x0 , y y0 , z z0 }
x x0 m
y y0 z z0
n
p
直线的对称式方程（标准方程、点向式
方程）
注: 当方向向量的某个坐标为零时，比如
解析几何
第2章空间的平面与直线
10/26/2024
§2.1.1 平面的方程

空间解析几何ppt1.8

（1.8－4）
（1.8－5）
（1.8－6）
定理 1.8.5
向量积满足分配律，即 a+b c a c b c .
推论
c a+b c a c b .

二、向量积的运算
（1）反交换律（2）结合律（3）右分配律（4）左分配律
ab ba .

a b a b a b .

a +b c a c b c
.
c a +b c a c b .

（1.8－2）
定理 1.8.4 向量积满足关于数因子的结合律，即 a b a b a b . 式中 a, b 为任意向量，为任意实数.
Fra bibliotek（1.8－3）
推论设 , 为任意实数，那么 a b a b .
1
三、向量积的坐标表示（直角坐标系下）
定理 1.8.6 如果 a X1i Y1 j Z1 k ， b X 2 i Y2 j Z2 k ，那么
Y1 ab Y2
或写成
Z1 Z1 X 1 X 1 Y1 i j k， Z2 Z2 X 2 X 2 Y2 i j k a b X 1 Y1 Z1 . X 2 Y2 Z 2
（1.8－8）
（1.8－9）
例3
已知空间三点 A1,2,3 , B 2, 1,5 , C 3,2, 5 ，试求：（1） ABC 的面积；（2） ABC 的 AB 边上的高.

《空间解析几何》课件

了解空间解析几何在计算机图形学中的应用，如3D建模、动画制作等。
THANKS
感谢观看
通过参数方程表示曲面的形式，如x = x(u, v)，y = y(u, v)，z = z(u, v)。
曲面方程
表示三维空间中曲面的方程形式，如z = f(x, y)。
空间曲线的方程
1 2
参数曲线
通过参数方程表示曲线的形式，如x = x(t)，y = y(t)，z = z(t)。
空间曲线
表示三维空间中曲线的方程形式，如F(x, y, z) = 0。
空间解析几何的应用领域
总结词
空间解析几何在许多领域都有广泛的应用。
详细描述
在物理学中，空间解析几何用于描述物理现象的空间关系，如力学、电磁学和光学等领域。在计算机图形学中，空间解析几何用于建模和渲染三维场景。在工程学中，空间解析几何用于设计和分析机械、建筑和航空航天等领域中的物体和结构。此外，空间解析
03
空间平面与直线
空间平面的方程
平面方程的基本形式
Ax + By + Cz + D = 0
特殊平面
平行于坐标轴的平面、过原点的平面、与坐标轴垂直的平面
参数方程
当平面过某一定点时，可以用参数方程表示平面的方程
空间直线的方程
直线方程的基本形式
Ax + By + Cz = 0
特殊直线
与坐标轴平行的直线、过原点的直线、与坐标轴垂直的直线
利用代数方法，如向量运算、线性代数等，求解空间几何问题。
几何意义
将代数解转化为几何意义，解释其实际意义。
如何理解空间几何中的概念？
向量的概念
理解向量的表示、向量的加法、数乘以及向量的模等基本概念。

《空间解析几何基础》PPT课件

24
(5)二次锥面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
0
(6)椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
0
(a,b,c 0) (a,b 0)
(7.10) (7.11)
25
(7)双曲抛物面(马鞍面) x2 y2 2z 0 (a,b 0) a2 b2
(7.12)
26
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
(2) x2 y2 4;
(3) y x 1.
27
思考题解答
方程
平面解析几何中空间解析几何中
x2
平行于y 轴的直线平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0) ，
x2 y2 4
半径为2 的圆
以z 轴为中心轴的圆柱面
y x 1 斜率为1的直线平行于z 轴的平面
பைடு நூலகம்
28
三、平面区域的概念及其解析表示设P0(x0,y0)是xOy平面上的一定点,δ>0为一实
4
空间两点间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及直角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
5
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
(7.4)
其中 a,b,c,d 为常数 , 且 a,b,c 不全为零 . 例如 , 当

高等数学《空间解析几何(第1章)》课件

个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做___ 共__面__向__量___； 7、两向量_模__相__等__且__方__向，相我同们称这两个向量相等； 8、两个模相等、__方__向__相__反____的向量互为逆向量； 9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成__半__径__为__1_的__球_；面
|
a
|
|
a
|
a
0
a 0
a与a 反向，
|
a
||
|
|
a
|
a
2a
1
a
2
数与向量的乘积符合下列运算规律：
（1）结合律：
(
a)
(
a)
(
)a
（2）分配律： ( )a a a
(a
b)
a
b
思考
1.向量 a ，b 平行(共线)条件是什么？
2.与向量 a 0共线的单位向量________.
e3 O e2
e1
一个空间标架,决定一个空间坐标系
z
e3
O
e2
e1 x
当{O; e1, e2 , e3 }确定后, e1, e2 , e3依次确定以O为原点的三数轴:x轴(横轴),y轴(纵轴), y z轴(竖轴),统称坐标轴. 它们构成空间坐标系o xyz.
也用{O; e1, e2 , e3 }表示. 把e1, e2 , e3称为坐标向量.
e3
F
的中点为P1 , 其余各组对边
中点分别为P2 , P3 .
A
P1
e2
C
只需证明P1, P2 , P3三点
重合即可.
E
e1 B
取 AB e1, AC e2 , AD e3 , 先求 AP1用e1, e2 ,e3表示的关系式.

空间解析几何精ppt课件

记作－a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k
个向量共面 .
.
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法平行四边形法则:
b ab
(ab)c
c
bc
a(bc)
a 三角形法则: ab
b
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
zz 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 oxoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
.
机动目录上页下页返回结束
在直角坐标系下
点 M 1 1有序数组 (x, y, z) 1 1向径 r
M2
零向量: 模为 0 的向量, 记 0 ，或作 0 . M 1
.
机动目录上页下页返回结束
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
记作 a＝b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作
a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量,
ab b a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (ab)ca(bc)a.
.
机动目录上页下页返回结束
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5
a4
a5
a3 s

空间解析几何PPT

应的分子也为0
2、平行向量的坐标表示式
a // b b a
(bx , by , bz ) (ax , ay , az )
bx ax
by ay
bz az
例3 求解以向量为未知元的线性方程组
xx
4 2
y y
a b
其中 a = (3,1,2),b = (5,-1,4).
在空间直角坐标系Oxyz的三条轴的正方向分别取三个单位向量 i, j, k 称为基本单位向量.
1、向量的加减法与数乘
a
(a
x
,
ay,
az ) axi ay j azk;
b (bx , by , bz ) bxi by j bzk;
⑴加法 a b (ax bx , ay by, az bz )
结果是一个与原向量同方向的单位向量.
(3) 两个向量的平行关系（共线定理）
定理设向量 a 0，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件
是：存在唯一的实数，使 b a.
证设:b充// a分, 取性显然b；, 当下b面与证a 同明向必时要性取正值，
当
b
与
a
a
反向时取负值，
则此时
b
与
a
同向.
又
a
a
b
a
b,
故有 b a.
a
再证明的唯一性. 设 b
两式相减，得
(
)a
a0，，又设即ba，a
0，
a 0，故 0，即 .
证毕
注：此定理是建立数轴和坐标的理论依据. 设点O及单位向量i 确定了数轴Ox,
对于轴上任一点P, 对应一个向量OP,

解析几何全册课件

e
e
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例5 证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.
A
B
C
D
E
F
P1
e1
e2
e3
.
,
,
3
2
1
叫做空间向量的基底
这时
e
e
e
.
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
3
2
1
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
关系式
线性表示的
，
，
用
先求
取不共面的三向量
就可以了
三点重合
下只需证
两组对边中点分别为
其余
它的中点为
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数量积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的向量积
第二章轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.3 空间曲线的方程
第三章平面与空间直线
§3.1 平面的方程
§3.3 两平面的相关位置
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
关的向量叫做线性无关
性相
叫做线性相关，不是线
个向量
那么
（
＝
使得
个数
在不全为零的
，如果存
个向量
对于
定义
n
n
n
n
n
a
a
a
n
a

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例.题设 P是球内 ,A ,B 一 ,C 是定球点面上 , A三 P B 个 BP 动 CC点 P A,
2 以 P,A P,B P为 C 棱作平 ,记行 P 与相六对面的 Q 体 ,求顶 Q 点点的为轨
－－ (北－京 2大 0考 0学 7研 ) 题
参考解答 : 设球面的半径为
由 (1 ), ( 2 ), 得
cos
AB , AC

b2 c2 a2 ,
(2)
2 bc

2S bc
2

b2
c2 2 bc
a2
2

1,
即
16 S 2 ( 2 bc ) 2 ( b 2 c 2 a 2 ) 2
[ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )][ 2 bc ( b 2 c 2 a 2 )]
[( b c ) 2 a 2 ][ a 2 ( b c ) 2 ]
( b c a )( b c a )( a b c )( a b c )
2 p ( 2 p 2 a )( 2 p 2 b )( 2 p 2 c ),
即
S 2 p ( p a )( p b )( p c ).
其中 a,b,c为三角形的 ,p三 1(a边 b长 c),S为三角形.的面积 2
参考解答 : 设 | AB | c , | AC | b , | BC | a . 由 S 1 | AB AC |, 得 2
sin AB , AC 2 S ,
(1)
bc
由 CB AB AC , 得 CB CB AB AC AB AC , 即
2 2

y
2 1
y
2 2

z
2 1
z
2 2

R2 R2
(1)

x
2 3

y
2 3

z
2 3

R2
此外 ,由 PA PB PC , 得
( x1 x 0 )( x 2 x 0 ) ( y1 y 0 )( y 2 y 0 ) ( z1 z 0 )( z 2 z 0 ) 0
参考证明:
必要性. 若A, B, C共线 AB // AC
存在实数 , 使得 AB AC,即
OB OA OC OA ,亦即
( 1)OA OB OC 0. 充分性. 若存在不全为零的数 , ,使得 0,并且
OA OB OC 0. 将 ( )代入上式 ,得

4( y

2 y0) y0

4(z

2 z0 )z0

6
(
x
2 0

y
2 0

z
2 0
),
整理，得
此即点 Q 的轨迹方程 .
x2

y2

z2

3R 2

2
(
x
2 0

y
2 0

z
2 0
),
例题. 证明:对任意三个共面r向 1,r2量 ,r3,有
r1 r1 r1 r2
r1 r3
r2 r1 r2 r2

y

y0

y1

y2

y3

3
y
，即
0

y

2
y0

y1
y2

y3
(3)

z

z0

z1

z2

z3

3z0

z

2 z0

z1

z2

z3
利用 (1), ( 2 ), ( 3 ) 式 , 可得
(x

2 x0)2

(y

2 y0)2

(z

2 z0 )

3R 2

4(x

2 x0)x0
R , 并设 P ( x 0 , y 0 , z 0 ), A ( x1 , y 1 , z1 ), B ( x 2 , y 2 , z 2 ), C ( x 3 , y 3 , z 3 ), Q ( x , y , z ). 由题意 , 有
x
2 0

y
2 0

z
2 0

R 2 且有

x x
2 1
r2 r3 0.
r3 r1 r3 r2
r3 r3
参考证明 : 三个向量 r1, r2 , r3共面的充分必要条件是存在不全为零的数
r1 r2 r3 0,
(1)
将 r1, r2 , r3分别与 (1)式左右两端做内积 , 得

r1 r2

r1 r1
即

x
1
x
2
x1x3

( x1 ( x1

x2 )x0 x3 ) x0

x
2 0
x
2 0

y1 y2 y1 y3
( y1 ( y1
y2) y0 y3) y0
y
2 0

y
2 0

z1 z 2

( z1

z2 ) z0

z
2 0

0
z1 z 3

( z1

z3 ) z0

z
2 0

0
(2)

x
2
x
3
(x2

x3 ) x0

x
2 0

y2 y3
(y2

y3) y0

y
2 0

z2 z3
(z2

z3 ) z0

z
2 0

0
由 PQ PA PB PC , 得
x x0 x1 x2 x3 3 x0
x 2 x0 x1 x2 x3
OA OC OB OC 0,
即CA CB 0,由于, ,不全为零 ,因此, 不全为零 ,故A, B,C共线.
例题 . 利用向量方法形证面明积三的 (H角海 er)o公伦 n 式 : S2 p(pa)(pb)(pc),

r1 r2 r2 r2
Xiamen University
空间解析几何
第三讲
空间解析几何
一、向量代数
例题 . 证明 : 三点 A , B , C 共线的充分必要条件为使得 0 , 并且
: 存在不全为零的数
其中 O 是任意点 .
OA OB OC 0 ,
, , ,

(
x
1

x 0 )( x 3

x0)
( y1

y 0 )(
)( z 3

z0 )

0
( x 2 x 0 )( x 3 x 0 ) ( y 2 y 0 )( y 3 y 0 ) ( z 2 z 0 )( z 3 z 0 ) 0