2018年高考数学(理)考试大纲解读 数列

2018年考试大纲解读 函数的概念与基本初等函数 考纲原文
（十二）数列
1．数列的概念和简单表示法
（1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 2．等差数列、等比数列
（1）理解等差数列、等比数列的概念.
（2）掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4）了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
名师解读
与2017年考纲相比没什么变化，而且这部分内容作为高考的必考内容，在2018年的高考中预计仍会以“两小或一大”的格局呈现.
如果是以“两小”（选择题或填空题）的形式呈现，一般是一道较容易的题，一道中等难度的题，较易的题主要以等差数列、等比数列的定义、通项公式、性质与求和公式为主来考查；中等难度的题主要以数列的递推关系、结合数列的通项、性质以及其他相关知识为主来考查.
如果是以“一大”（解答题）的形式呈现，主要考查从数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项，前n 项和，有时与参数的求解，数列不等式的证明等加以综合.试题难度中等.
样题展示
考向一 等差数列及其前n 项和
样题1 （2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，
则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
【答案】C
样题2 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，且2315a a ⋅=，416S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11b a =，11
1
n n n n b b a a ++-=⋅.
①求数列{}n b 的通项公式；
②是否存在正整数m ，n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，则0d >． 由2315a a =，416S =，得()()111215
4616
a d a d a d +⎧+=+=⎪⎨
⎪⎩，
解得112a d ==⎧⎨
⎩或17
2
a d ==-⎧⎨⎩（舍去）． 所以21n a n =-．
②假设存在正整数m 、n （m n ≠），使得2b ，m b ，n b 成等差数列，则22n m b b b +=． 又243b =，323121242n n b n n -==---，31
242
m b m =--，
所以
4313242n ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭3
12242m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭
，即11121642m n =+--， 化简得7221n m n -=
+9
71
n =-+， 当13n +=，即2n =时，2m =（舍去）； 当19n +=，即8n =时，3m =，符合题意．
所以存在正整数3m =，8n =，使得2b ，m b ，n b 成等差数列．
考向二 等比数列及其前n 项和
样题3 （2017新课标全国II 理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍
塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏
D ．9盏
【答案】B
样题4已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，125n n n S S a +=++. （1）证明：{}5n a +是等比数列； （2）若5128n S n +>，求n 的最小值.
【解析】（1）因为125n n n S S a +=++，所以125n n a a +=+， 所以
15210
255
n n n n a a a a +++==++，而156a +=，
所以{}5n a +是以6为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得156232n n n a -+=⨯=⨯，325n n a =⨯-，
∴()
23322225n
n S n =⨯++++-= (
)2123562
6512
n
n
n n ⨯-⨯
-=⨯---，
由5626128n n S n +=⨯->，得6723
n
>， 因为5
467
223
>
>，所以5128n S n +>时，n 的最小值为5. 考向三 数列的综合应用
样题5 （2017新课标全国Ⅲ理科）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【答案】A
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，
由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2
326a a a =，即()()(
)2
12115d d d +=++，
整理可得2
20d d +=，
又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为()()
()6166166166122422
S a d ⨯-⨯-=+
=⨯+⨯-=-.故选A. 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
样题6 已知各项均不相等的等差数列{}n a 满足11a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2
{}n b 的前n 项和n S ．
111111
1122113355721212121n n S n n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 样题7 （2017天津理科）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，{}n b 是首项为2的等
比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}
n b 的通项公式；
（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．。