2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：1 (3)

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高中人教版数学必修4课件：第1章-1.3-第1课时-公式二、公式三和公式四-

α＋cos 2
α2－1＝m22－1.]
(2)[解] ∵cos(α－75°)＝－13＜0，且 α 为第四象限角，
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2 3 2，
∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝2
2 3.
1．例 3(2)条件不变，求 cos(255°－α)的值．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
解得sinα－75°＝－52626，或
cosα－75°＝
26 26
sinα－75°＝5 2626，
(舍)
cosα－75°＝－
26 26 .
所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]
＝－sin(α－75°)＝5
(1)1 [cos－siαntπa－nα7π＋α＝cos αstainnαπ＋α＝cossαin·tαan α＝ssiinn αα＝ 1.]
(2)[解] 原式＝[－sinα＋－1c8o0s°α]·c·soisn1α80°＋α ＝sinα＋1s8in0°αccoossα180°＋α ＝－ssininααc－oscαos α＝1.
[探究问题] 1．利用诱导公式化简 sin(kπ＋α)(其中 k∈Z)时，化简结果与 k 是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sin α；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin α.
明确三角函数式化简的原则和方向 1切化弦，统一名. 2用诱导公式，统一角. 3用因式分解将式子变形，化为最简.

2019秋新版高中数学人教A版必修4课件：第一章三角函数1.4.2.1

2π
1 4
2π . 本例(1) |��|
= 8π. 公式法是最常用而且简单的方法.
(3)图象法 .大致画出函数的图象观察 ,如本例 (2).
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 (1)函数 y=cos - �� + ( ) A.- 6 B.-6π
π 4
π 3
π 6
的最小正周期是 D.6π
11π 6
= ��
3π π + 2 3
= ��
π 3
= −1.
答案 :(1)0.4 (2)-1
题型一
题型二
题型三
题型四
题型四
易错辨析
易错点
不清楚 f(x+T)表达的意义致错
π 【例 4】利用定义求 f(x)=si n 2��- 的最小正周期 . 6 π 错解 :∵f(x+2π)=sin 2(�� + 2π)6 π π =sin 2��- + 4π = sin 2��- = �� (��), 6 6
C.6
2π -π 3
(2)函数 y=si n �� +
(�� > 0)的周期是 = 6.
2π , 则�� 3
= _____.
解析 :(1)函数的最小正周期为 T= (2)由 T=
2π 2π ,得 |��| 3
=
2π ,∴ ��
�� = 3.
∴T=2π 是 f(x)的最小正周期.
错因分析 :错解中求的不是最小正周期 .对于
2π y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),其最小正周期为 . ��

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：3 (3)

10
10
5
5
【解析】选B.因为α 是锐角,sin α = 3，所以cos α =
5
4，所以 cos( )＝ 2 4－ 2 3＝ 2 .
5
4
2 5 2 5 10
2.cos 75°cos 15°-sin 75°sin 15°的值等于 ________. 【解析】逆用两角和的余弦公式可得cos 75°cos 15° -sin 75°sin 15°=cos(75°+15°)=cos 90°=0. 答案:0
【解题指南】(1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ的正弦、余弦值,再依据∠POQ=∠xOP+∠xOQ及两角和的余弦公式求值. (2)先求sin α ,cos(α -β ),依据2α -β =α +(α -β ), 求cos(2α -β ).依据β =α -(α -β ),求cos β ,再求β .
=sin(14°+16°)=sin 30°= 1. 2
(3)原式=sin [(54°-x)+(36°+x)]=sin 90°=1.
【方法总结】化简三角函数式的标准和要求 (1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少. (3)使三角函数式的次数尽可能低. (4)使分母中尽量不含三角函数式和根式.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公
式(一)
主题1 两角和的余弦公式 1.由于公式C(α -β )对于任意α ,β 都成立,那么由 cos(α -β )=cos α cos β +sin α sin β 如何得到两角和的余弦?
提示:用-β 代替β .
2.如何推导两角和的余弦公式? 提示:cos(α +β )=cos[α -(-β )]=cos α cos(-β ) +sin α sin(-β )=cos α cos β -sin α sin β .

高中数学必修4课件全册(人教A版)

课件应注重启发学生思维培养学生的数学能力。
课件应注重与实际生活的联系增强学生的应用能力。
针对学生的实际情况调整课件难度和进度。
汇报人：
感谢观看
难点：向量的数量积、向量的向量积、向量的混合积的计算
应用：平面向量在物理、工程等领域的应用
第三章三角恒等变换
三角恒等变换的定义和性质
三角恒等变换的基本公式和定理
三角恒等变换的应用和解题技巧
三角恒等变换在数学中的地位和作用
第四章解三角形
内容：介绍解三角形的概念、方法和应用
重点：正弦定理、余弦定理和面积公式的应用
,
高中数学必修4课件全册(人教版)
目录
01
添加目录标题
02
课件概览
03
章节内容
04
习题与答案
05
教学建议与注意事项
01
添加章节标题
02
课件概览
课件封面
封面设计简洁明了凸显高中数学必修4的主题
封面风格与教材内容相符合体现数学的严谨性和逻辑性
封面采用人教版的标志表明版本一致
封面包含书名、作者、出版社等信息方便识别
难点：如何利用解三角形的方法解决实际问题
解题技巧：掌握解三角形的步骤和技巧能够灵活运用公式解决各种问题
04
习题与答案
章节习题
第三章三角恒等变换
第一章三角函数
第二章平面向量
第四章解三角形
习题答案及解析
答案：提供详细的习题答案
解析：对答案进行详细的解析和说明
解题思路：提供解题思路和技巧帮助学生更好地理解和掌握
03
章节内容
第一章三角函数
内容：介绍三角函数的定义、性质、图像和基本公式

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：1 (1)

_________. 非负半轴 (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是_______
_____.
第几象
限角
(3)如果角的终边在 _坐__标__轴__上__,就认为这个角不属于任何一个象限.
【对点训练】 1.下列说法正确的是 ( ) A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角
【解析】选D.因为180°角的终边落在x轴的负半轴上, 故180°是不属于任何象限的角.
主题3 终边相同的角在条件“角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非
负半轴重合”下,研究下列角:30°,390°,-330°. 1.这三个角的终边位置相同吗?
提示:30°,390°,-330°在同一坐标系内如图所示,由图可知三个角的终边位置相同,它们两两之间相差 360°的整数倍.
射线
旋转
到另一个位置所成的_____.
图形
(2)角的表示
如图,OA是角α
的_始__边__,OB是角α
的_____,O是角的终边
_____.角α 可记为“角α ”或“∠α ”或简记为“α ”. 顶点
(3)角的分类按旋转方向,角可以分为三类:
名称
定义
正角按_逆__时__针__方向旋转形成的角
负角按_顺__时__针__方向旋转形成的角
第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制
1.1.1 任意角
主题1 任意角的概念 1.当钟表慢了(或快了)一点时,我们会将分针按某个方向转动,把时间调整准确,在调整的过程中,分针转动的方向是否相同?
提示:不同,当钟表慢了,要顺时针转动分针,当钟表快了,要逆时针转动分针.
2.在跳水比赛中,运动员会做出“转体两周”“向前翻转两周半”等动作,做上述动作时,运动员转体多少度? 转过的度数还能用0°到360°的角表示吗?

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：2 (1)

所以水O流A 速度tan大30小为5 3 kmO/Ch,船s实in际30速度为10 km/h.
3
【知识思维导图】
EG＋C=G0＋. DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝ uur uur EA＋AE
【方法总结】向量运算中化简的两种方法 (1)代数法:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. (2)几何法:通过作图,根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简.
|
uur uur AB＋BC
|
=______.
【解析】因为 uur uur uuur ,且AC=
AB＋BC＝AC
所以 uur uur
.
| AB＋BC |＝ 13
答案:
, AB2 BC2＝ 13
13
主题2 向量加法的运算律实数的加法运算律有哪些?向量的加法是否也有相似的运算律? 提示:实数加法的运算律有:交换律与结合律,向量的加法也有类似的运算律.
2.应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 (1)平移两个不共线的向量使之共起点. (2)以这两个已知向量为邻边作平行四边形. (3)在平行四边形中,与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和.
【跟踪训练】
一艘军舰从基地A出发向东航行了200海里到达基地B,
然后改变航线向北偏东30°航行了400海里到达C岛,最
【对点训练】
1. uuur uur uur 等于 ( )
AO＋BC＋OB
A.uur
B.uuur
C.0
D. uuur
【A解B析】选B. AC
AO
.
uuur uur uur uuur uur uur uur uur uuur

2019-2020学年高中数学课时分层作业3 充分条件与必要条件(含解析)新人教A版选修2-1

课时分层作业(三) 充分条件与必要条件(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [∵A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，A ⊆B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]2．设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C [|a －3b |＝|3a ＋b |⇔|a －3b |2＝|3a ＋b |2⇔a 2－6a ·b ＋9b 2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2⇔2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，又∵|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝0⇔a ⊥b ，故选C.]3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1 A [由函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称可得－m 2＝1，即m ＝－2，且当m ＝－2时，函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，故选A.]4．设p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件．s 是r 的充要条件，则s 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由题可知，p ⇒q ⇒r ⇔s ，则p ⇒s ，s p ，故s 是p 的必要不充分条件．] 5．若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3，3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1，1]D [由x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件得(－1，4)(2m 2－3，＋∞)，所以2m2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.]二、填空题 6．设集合A ＝{x |x (x －1)<0}，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)．充分不必要 [A ＝{x |x (x －1)<0}＝{x |0<x <1}B ，所以“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．]7．“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的________条件．充分不必要 [当a >0时，y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2＋1－14a ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．当a ＝0时，此时y ＝x ＋1 在R 上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．综上，“a >0”是“函数y ＝ax 2＋x ＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]8．若p ：x (x －3)<0是q ：2x －3<m 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．[3，＋∞) [由x (x －3)<0得0<x <3，由2x －3<m 得x <12(m ＋3)，由p 是q 的充分不必要条件知{x |0<x <3}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <12（m ＋3），所以12(m ＋3)≥3，解得m ≥3.] 三、解答题9．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(x －3)<0，且q 是p 的充分条件，求a 的取值范围．[解] 设q 、p 表示的范围分别为集合A 、B ，则A ＝(2，3)，B ＝(a －4，a ＋4)．因q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6 ，即a 的取值范围为[－1，6]．10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究数列{a n }是等差数列的充要条件．[解] 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c .∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2，∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，∴{a n }为等差数列，∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.[能力提升练]1．下面四个条件中，使a >b 成立的充分不必要条件是( )A ．a ≥b ＋1B ．a >b －1C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3A [由a ≥b ＋1>b ，从而a ≥b ＋1⇒a >b ；反之，如a ＝4，b ＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a >b a ≥b ＋1，故A 正确．]2．一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a >0C ．a <－1D ．a <1C [一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是1a<0，即a <0，则充分不必要条件的范围应是集合{a |a <0}的真子集，故选C.]3．设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的________条件．充分不必要 [∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2.∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0. 反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分不必要条件．]4．已知f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )<2}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是________．(3，＋∞) [因为f (x )是R 上的增函数，f (－1)＝－4，f (x )<－4，f (2)＝2，f (x ＋t )<2，所以x <－1，x ＋t <2，x <2－t .又因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，所以2－t <－1，即t >3.]5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：因为q ＝－1，所以a 1＝S 1＝p －1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，显然，当n ＝1时，也成立．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p ，即数列{a n }为等比数列，必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝pn －1(p －1)．因为p ≠0，且p ≠1，所以a n ＋1a n ＝p n （p －1）p n －1（p －1）＝p . 因为{a n }为等比数列，所以a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，即p 2－p p ＋q＝p . 所以－p ＝pq ，即q ＝－1.所以数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.。

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：1.2 任意角的三角函数 (1)

由②sin x> 1 ,根据单位圆中的正弦线如图,
2 可得2kπ+ <x<2kπ+ 5 ,(k∈Z).由两个不等式的解
集求交集得16≤x< , 6 5
所以函数的定义域为6
.
[1, 5） 6
【方法总结】 (1)二次根式必须保证被开方数大于等于0. (2)有tan x时必须保证x≠ +kπ ,k∈Z.
其他条件不变,结论如何? 2
2
【解析】如图①作直线y= 2 ,交单位圆于P,Q,则OP,OQ 2
为角α的终边.
如图②所示,当α的终边是OP时,角α的正弦线为MP,余
弦线为OM,正切线为AT.
当α的终边为OQ时,角α的正弦线为NQ,余弦线为ON,正切线为AT′.
2.将本例中条件“cos α = 1 ”改为“cos α ≥ 1 ”,
2.三角函数线的画法 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作x轴的垂线,得到垂足,从而得正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从A(1,0)点引单位圆的切线,交角的终边或终边的反向延长线于一点T,即可得到正切线AT.
【拓展】利用三角函数线解三角不等式的方法 ①正弦、余弦型不等式的解法对于sin α ≥b,cos α ≥a(sin α ≤b,cos α ≤a),求解关键是恰当地寻求点,只需作直线y=b或x=a与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的范围.
有向线段_M_P_,_O_M_,_A_T_分别叫做角α 的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
【对点训练】 1.下列角的正切线不存在的是
()
A. 11 B.9 C.3 D.8

第一学期高二数学人教A版必修4第二章课时作业与课件(

2．已知向量 a、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b
的夹角为( )
π A.6
B．π4
π C.3
D．π2
解析：a·b＝|a||b|cosθ(θ 为 a 与 b 的夹角)＝1×4×cosθ＝2，
∴cosθ＝12，∴θ＝π3. 答案：C
知识点二
平面向量数量积的几何意义
3.已知|a|＝8，e 为单位向量，当它们的夹角为π3时，a 在 e
的方向上的投影为( )
A．4 3
B．4
C．4 2
D．8＋
3 2
解析：a 在 e 方向上的投影为|a|cosπ3＝8×12＝4.
答案：B
4．已知|a|＝4，e 为单位向量，a 在 e 方向上的投影为－2，则 a 与 e 的夹角为23π，e 在 a 方向上的投影为__－__12___.
解析：设 a 与 e 的夹角为 θ，则|a|·cosθ＝－2，即 4cosθ＝－2，∴cosθ＝－12，∴θ＝23π，|e|·cosθ＝－12.
第二章
平面向量
2.4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ面向量的数量积
第27课时平面向量数量积的物理背景及其含义
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
平面向量数量积的定义
1．如右图，在等边△ABC 中，边长为 1，则 a·b＋b·c＋c·a
等于( )
7 A.2
B．12
C．－32
D．－12
解析：a·b＝|a|·|b|cos120°＝－12， b·c＝|b|·|c|cos60°＝12， c·a＝|c|·|a|cos60°＝12， ∴a·b＋b·c＋c·a＝12.故选 B. 答案：B

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：2 (6)

所以 3
,所以3y-x= 3 .
答案:x

1 3
,
y

4 3
5 3
5
3
【补偿训练】设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=
(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为 ( )
A.0,0
B.1,1
C.3,0
D.3,4
【解析】选D.因为向量e1与e2不共线, 所以3x 4y 7, 解得 x 3,
图示
范围
_0_°__≤θ ≤_1_8_0_°__
①θ =0°,向量a,b_同__向__
特征
②θ ③θ
==19800°°,,向向量量a,a,bb___反____向___,记作_____
垂直
a⊥b
【对点训练】 1.已知向量a,b的模都是2,夹角为60°,则向量a+b与 a-b的夹角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
【典例3】(1)如图所示,OM∥AB,点P在由射线OM、线段
OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且
,则x的取值范围是________;当x=
时OP,＝yx的OA取＋值yO范B围是________.
1 2
(2)如图所示,在▱ABCD中,点E,F分别为BC,DC边上的中
点,DE与BF交于点G,若 =a, =b,试用a,b表示向量
结论:平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_不__共__线__向量,那么对于这一平面内的_____向量a,有且只有一对实数λ 1,
任意 λ 2,使a=λ 1e1+λ 2e2.
(2)基底:_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内_____

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：2 (4)

所以当| |最小时值最小,此时| |为圆心到直线AB的
距离,由O于C∠AOB=120°,所以圆心OC到直线的距离为1·
sin 30°= ,故最小值为 -1=- .
1
1
3
2
4
4
2.设非零向量a和b，它们的夹角为θ . (1)若|a|=5，|b|=4，θ=150°，求a在b方向上的投影和a与b的数量积. (2)若a·b=9，|a|=6，|b|=3，求b在a方向上的投影和 a与b的夹角θ .
(3)一些常见的等式应熟记,如(a±b)2=a2±2a·b+b2, (a+b)·(a-b)=a2-b2等.
【跟踪训练】
1.(2019·厦门高一检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=
2,且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,则
|a-b|等于 ( )
A.1
B.
C.
D.3
3
5
【解析】选C.因为a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等,所以 a b a b ,又因为|a|=1,|b|=2,所以 a·b=0,所以a,b垂b 直,a所以|a-b|=
(3)力F在位移s方向上的分力大小是多少? 提示:由图知力F在位移s方向上的分力是|F|cos θ . (4)力和位移均可看作是数学上的向量,那么可否把 “功”看作是向量间的新运算呢? 提示:可把“功”看作向量的数量积运算.
结论：数量积的定义及其几何意义
定义投影
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ ，把|a||b|cos θ 叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b= _____________. _|_a_|_|_b_|_c_o_s_(θ|b|cos θ )叫做向量a在b 方|a向|c上os(向θ 量b在a方向上)的投影

2019秋新版高中数学人教A版必修4课件：第二章平面向量2.4.2

.
2.向量数量积性质的坐标表示剖析 :设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ. (1)a· b=a1b1+a2b2; (2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0; (3)a· a=|a| 2⇔| a| = (4)cos θ=
��· �� ⇔ cos θ= |��||��|
��1 ��2+��1 ��2
2 2 2 ��2 1+��1 ��2 +��2
求解.
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
仅供学习交流！！！
-16-
题型一
题型二
题型三
题型四
解 :(1)a· b=2 3 + 2 3 = 4 3. (2)cos θ=
2.4.2
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会用向量的坐标形式求数量积、向量的模以及两个向量的夹角. 2.会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系.
平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有下表:
题型四
【变式训练1】已知向量a与b共线,b=(1,2),a· b=10,求a的坐标. 解:∵a与b共线,且a,b都是非零向量,∴设a=λb. ∵a· b=10,∴λb· b=λb2=10. ∵b=(1,2),∴b2=5,∴λ=2. ∴a=2b=2(1,2)=(2,4).
-12-
题型一
题型二
题型三
. 同理可得,向量 a 在向量 b 方向上的投 =

2019秋人教A版高中数学必修4(课件+课时分层作业)：2 (7)

【解题指南】利用向量数乘运算的分配律和结合律化简、计算.
【解析】(1)①原式=4a+4b-3a+3b-8a=-7a+7b.
②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.
③原式
＝2 (4a 3b 1 b 3 a 7 b)
3
324
＝2 3
(5 2
a

1121.b)
＝5 a 11b 3 18
【知识思维导图】
B.BC 3AC D.BC 3 AB
2
【解析】选A.因为
,所以A,B,C三点共线,且
AB 2AC
点A在B,C之间,
,
所以
| AB | 2 | AC | .如图所示.
BC 3AC
2.已知向量a=2e,b=-e,则a与b________.(填“共线” 或“不共线”) 【解析】由a=2e,b=-e, 所以a=-2b,故a与b共线. 答案:共线
类型一向量的线性运算
【典例1】(1)计算：
①4(a+b)-3(a-b)-8a；
②(5a-4b+c)-2(3a-2b+c)；
③
.
(2)2设[(向4a 量 3ab=) 3i1+b2j，1 (b6=a2i7-bj，)] 求
.
3
34
(1 a - b) - (a - 2 b)＋(2b - a)
3
3
3.若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ 使得 b=λ a? 提示:一定存在,且是唯一的.
结论:向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使
______. b=λ a

2019秋人教A版高中数学必修四课时分层作业八 1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 Word版含

姓名，年级：时间：温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块.课时分层作业八正弦函数、余弦函数的图象(30分钟60分）一、选择题（每小题5分，共30分)1.函数y=sin(-x),x∈［0,2π］的简图是( ）【解析】选B.y=sin（—x）=-sin x与y=sin x关于x轴对称.2.不等式cos x〈0，x∈［0，2π］的解集为( ）A.B。

C。

D。

【解析】选A。

作出y=cos x，x∈［0,2π]的图象（图略)，可知在[0，2π]上cos x〈0，则<x〈,故选A.3。

若x∈［0，2π］,则不等式sin x>cos x的解集为( ）A。

B。

（0,π)C. D.【解析】选C。

如图,作出正弦函数y=sin x，与余弦函数y=cos x的图象,由图象可知x∈.4。

函数y=cos x+｜cos x｜,x∈[0，2π]的大致图象为( )【解析】选D。

y=cos x+｜cos x｜=故选D。

5。

已知f（x）=sin，g(x)=cos,则f（x）的图象( ) A.与g（x）的图象相同B.与g（x)的图象关于y轴对称C。

向左平移个单位，得g(x)的图象D.向右平移个单位，得g（x）的图象【解析】选D.f(x)=sin，g（x)=cos=cos=sin x,f（x）图象向右平移个单位得到g(x)图象.6.函数y=1+sin x,x∈[0，2π］的图象与直线y=2交点的个数是（)A。

0 B.1 C.2 D。

3【解析】选B。

由函数y=1+sin x，x∈[0，2π］的图象(如图所示)，可知其与直线y=2只有1个交点.二、填空题(每小题5分，共10分）7。

若sin x=2m+1且x∈R，则m的取值范围是________.【解析】由正弦函数图象得—1≤sin x≤1,所以—1≤2m+1≤1，所以m∈［—1,0］.答案: [-1,0]8.用“五点法”作函数y=5+3cos x,x∈［0,2π］的图象时,五个关键点分别是________，________,________,________,________.【解析】分别令x=0，,π，，2π得y=8,5,2，5,8,故五个关键点分别为（0，8）,,(π,2),，（2π，8）.答案：(0，8）(π,2）（2π，8）三、解答题(每小题10分，共20分)9。

第一学期高二数学人教A版必修4第三章课时作业与课件(

第三章 3.1 3.1.3 第37课时一、选择题1．已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan2x ＝( ) A.724 B ．－724 C.247 D ．－247 解析：∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－35. ∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34. ∴tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×(－34)1－(－34)2 ＝－32716＝－247，故选D. 答案：D 2.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos2 解析：2－sin 22＋cos4＝(1－sin 22)＋(1＋cos4)＝3cos 22＝－3cos2.故选D.答案：D3．函数f (x )＝cos2x ＋2sin x 的最小值和最大值分别为( )A ．－3,1B ．－2,2C ．－3，32D ．－2，32解析：f (x )＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1＝－2(sin x －12)2＋32， ∴当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－3；当sin x ＝12时，f (x )max ＝32.答案：C4．在△ABC中，若sin B sin C＝cos2A2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由sin B sin C＝cos2A2，得sin B sin C＝1＋cos A2.∴2sin B sin C＝1＋cos A.∴2sin B sin C＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)．∴2sin B sin C＝1－cos B cos C＋sin B sin C. ∴cos B cos C＋sin B sin C＝1.∴cos(B－C)＝1.又∵－180°<B－C<180°，∴B－C＝0°.∴B＝C.∴△ABC是等腰三角形．答案：B二、填空题5．若cos2θ＝－34，则sin4θ＋cos4θ＝2532.解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－12sin22θ，又cos2θ＝－34，∴sin22θ＝1－cos22θ＝7 16.∴原式＝1－12sin22θ＝1－12×716＝2532.6．已知等腰三角形ABC的腰为底的2倍，则顶角A的正切值是15 7.解析：取BC的中点D，令BD＝1，则AB＝4，则AD＝15.在Rt△ABD中，tanθ＝BDAD＝115(令∠BAD＝θ)，∴tan∠BAC＝tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝2151－(115)2＝157. 7．化简：sin40°(tan10°－3)＝－1.解析：原式＝sin40°(sin10°cos10°－3) ＝sin40°cos10°(sin10°－3cos10°) ＝2sin40°cos10°(12sin10°－32cos10°) ＝－2sin40°cos10°cos40°＝－sin80°cos10°＝－1. 三、解答题8．[2013·黑龙江期末]求函数y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x 的最小正周期和最小值，并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间．解：y ＝sin 4x ＋23sin x cos x －cos 4x＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＋3sin2x＝3sin2x －cos2x＝2sin(2x －π6)，故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是[0，π3]，[56π，π]． 9．证明：sin2x 2cos x (1＋tan x ·tan x 2)＝tan x . 证明：左边＝2sin x cos x 2cos x (1＋sin x ·sin x2cos x ·cos x 2) ＝sin x ·cos x ·cos x 2＋sin x ·sin x 2cos x ·cos x 2＝sin x ·cos x 2cos x ·cos x 2＝sin x cos x＝tan x ＝右边． ∴原等式成立．。