线段的认识(正稿)

第二种方法是：叠合法 先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧， 根据另一端落下的位置，来比较。
C E M D
F N B B B AB＜MN AB＞CD AB=EF
①A
②A ③A
作一条线段等于已知线段 方法: 尺规作图法
已知线段a，请用圆规、直尺作一条线段 AB ，使AB=a。 a
1、作射线AN。 2、用圆规量出已知线段a 的长度。 3、在射线AN上以点A为圆心，A 以a为半径画弧,交射线AN 与 点B，即截取AB=a。
AHC是直角三角形。
动动笔
做一做
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。 如果三角形中一边上的中线等于这条边 反过来，如果三角形一边上的中线等于这条边的 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 一半，那么它是直角三角形吗？
2
已知：如图在△ABC中，CD是△ABC的AB边上的中线， 1 Ａ 且CD= AB。 求证：△ABC是直角三角形。
2、已知：如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°， 连接AC，E为AC中点，且BE=DE. 求证： △ ADC是直角三角形。 Ａ
证明： ABC 90, E为AC中点， 1 BE AC. 2 1 又 BE DE , DE AC. 2
Ｅ Ｃ
Ｂ
ACD是直角三角形.
又 CAH
C
D
1 1 BAC , ACH DCA, 2 2 1 CAH ACH (BAC DCA), 2 1 180 90. 2
AHC是直角三角形。
探索直角三角形的性质


任意画一个直角三角形△ABC，∠C=90°, 作出斜边AB边上的中线CD， 并利用圆规 Ｄ 或者直尺比较中线与斜边的一半的长短． CD=＿＿AD=＿＿BD=＿＿AB=＿＿。
Ｄ
（如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。）
直角三角形的性质： 1.直角三角形的两锐角互余。 2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形的判定： 1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2. 两锐角互余的三角形是直角三角形。 3.如果三角形一条边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
§4.2
湘潭凤凰实验中学
执教者： 谭
静
回顾 ① ② ③
1.辨一辨：
直线 射线
线段 a
2.线段的表示方法：
A
B
(线段a)
(线段AB或线段BA)
姚 明
潘 长 江
叠合法
两跟木棒可以用叠合法进行比较， 黑板上的两条线段是无法移动的，在没
有度量工具的情况下，如何来比较它们的长 线段也能用叠合法比较吗？ E F 短？ 圆规
D Ｂ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
Ｃ
练 练 习二 习一
2. 如图，AB∥CD中，∠A和∠C的角平分线 相交于H点。那么△AHC是直角三角形吗？ E 为什么？ 若E为AC的中点，EH=2， 4 则AC＿＿。
证明：
A
H
B
AB CD, BAC DCA 180.
C
D
1 1 又 CAH BAC , ACH DCA, 2 2 1 CAH ACH (BAC DCA), 2 1 180 90. 2
N
B
则线段AB即为所求。
你知道吗?
如图是一个三角形ABC,在三角形中有这样一 条性质“两边之和大于第三边”(如AB+AC＞ BC),你能用现在所学知识作出解释吗?
解:两点之间线段最短.
A 折线
想一想:在现实生活中哪些 时候运用了这个性质?
B
线段 C
想一想：
为什么有人明知道是不文明行为，却践踏草坪?
线段长短的比较： 第一种方法是：目测法 第二种方法是：度量法
即用一把尺量出两条线段的长度， 再进行比较。
3.1cm
4.1cm
00
11
22
33
44
55
66
77
88
第三种方法是：叠合法 先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧， 根据另一端落下的位置，来比较。
C E M D
F N B B B AB＜MN AB＞CD AB=EF
注意：不要求写作法，但一定 要标清字母，保留作图痕迹， 并写出结论.
a
A
B
C
D
线段AC就是 所求作的线段。
例2： 已知如图，点C是线段AB的中点，
AB=4cm,BD=1cm,则CD的长度为 多少？ 4cm
1cm
A
C
B
?cm
D
练
习
如图，AB=8㎝,CB=5㎝， D是AC的中点，求DC的长。
8cm
A
D ?cm C
5cm
B
①
②
A
③
B
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最 短． (简写为:两点之间线段最短)
我是设计师
村庄A
P
大桥P
村庄B
'
河流
如图，村庄A、B之间有一条河流，要在河流上建 造一座大桥P，为了使到村庄A、B之间的距离最 连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 短，请问：这座大桥 P应建造在哪里。为什么？ 请画出图形。
直角三角形的判定定理：
B
C
有两个角互余的三角形是直角三角形。
1.在△ABC中，∠A=35°,∠B=55°，
练 习一
直角 则此三角形为＿＿＿三角形。
2. 如图，已知AB∥CD，∠BAC和∠ACD 的角平分线相交于H点。那么△AHC是 直角三角形吗？ （是）为什么？
证明：
A
H
B
AB CD,
BAC DCA 180.
若记 AC=a,AB=b,BC= c, 则 1.画射线 AD.
b+c 即AC=AB + BC a=AC=a. 2.用圆规在射线AD上截取
3.用圆规在线段AC上截取 a-c 即AB=AC - BC b=AB=b.
线段BC就是所求的线段。 c=
b
a-b 即BC=AC - AB D
a
A b B cC
例1
①A
②A ③A
第三种方法是：叠合法 先把两条线段的一端重合，另一端落在同侧， 根据另一端落下的位置，来比较。
C E M D
F N B B B AB＜MN AB＞CD AB=EF
①A
②A ③A
练 习
如图，线段AB=2cm,延长AB至点C， 使得BC=3AB,D为BC中点，则BD长 度为多少？
2cm 3AB=6cm
B
P l
若AB=2千米，则两个油库 之间的距离为 2千米
'
2.如图是一个四边形,在各边上任取一点, 并顺次连接它们,想一想你得到的图形周长与 原四边形周长哪一个大?为什么?
如果是一个五边形呢?六边形呢?
C A
AB+AC＞BC
B
回顾
1.直角三角形的定义： 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。
2.直角三角形的判定： 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
Ａ
Ｂ 1 你发现了什么？ CD AD BD, CD AB 2
由此猜想：
Ｃ
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 让我们一起来证明这个猜想吧！
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB中线.
Ａ
1 求证：CD= AB. 2
证明：
如图（2）作直角边AC的垂直平分线，分别 交AB、AC于点D、点E，连结CD， CD AD （垂直平分线的性质） Ｂ 1 A（等边对等角）
如图，已知线段a，请用尺 规作图法，作一条线段使它 等于2a.
线段中点定义：若点B在线段AC上，且 把线段AC分成相等的两条线段AB与BC， 则点B叫做线段AC的中点。
a
A
B
C
D
比较两条线段的长短：
A
B
C AB<CD
D
E
F
M
N
AB>EF
AB=MN
总结：
用度量法，是从数的方面去比较大小，而叠合 法是从形的方面去比较大小。
如图是一副三角板拼成的
四边形ABCD，E为AD的中
点。点E与点B，C的距离相
（相等） 等吗？ 请说明理由。
A
E F D
C
连结BC，取BC的中点F,你能知道EF与 （EF垂直平分BC） BC的位置关系吗？
作业：《基础训练》P35
谢谢各位领导、同仁！
谢谢115班的同学们！
动动笔
做一做
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半。 如果三角形中一边上的中线等于这条边 反过来，如果三角形一边上的中线等于这条边的 的一半，那么这个三角形是直角三角形。 一半，那么它是直角三角形吗？
B
探索直角三角形的判定 3.直角三角形的性质：
A ┏ C
直角三角形的两锐角＿＿ 互余。
已知如图在Rt△ABC中，∠C=90° ， 90° 则两锐角的和∠A+∠B=＿＿＿。 反之，在△ABC中，如果∠A+∠B=90° （是） 那么△ABC是直角三角形吗？
A
由三角形的内角和性质得： 证明： A+B+C=180, 又 A+B=90， C=90, ABC是直角三角形。
想一想:在现实生活中哪些 时候运用了这个性质?
1. 2.
线段长短的比较 谈一谈 尺规作图
这节课你有什么 4. 线段的性质 收获或体会？
3. 线段的中点及应用
直线l上有A、B、C三点，且AB=6cm， BC=4cm，D点为线段AC的中点，求A、D两点之 间的距离。 （1）当C点在线段AB的延长线上时 l A D B C
D
(1)
直角三角形的性质定理： A+B=90.
D E 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2=B（等角的余角相等）
又∵ 1 2 90，
Ｃ Ａ
CD=BD （等角对等边）
CD=AD=BD （等量代换）
∴D为AB的中点，CD为斜边AB的中线， 1 且CD= AB 2
Ｂ
1 2 (2) Ｃ
练 习二
1、已知一个直角三角形的斜边长为8，则斜 4 边上的中线长为＿＿。 Ｄ
Ａ
2、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线, 70° ∠A=＿＿ 20° ∠B=70°,则∠BCD=＿＿, , 140° 20° ∠ADC=＿＿ ∠ACD=＿＿, . 3、如图所示：它是人字屋架设计图，其中 ＡＢ＝ＡＣ＝５米，ＡＥ⊥ＢＣ，Ｄ是ＡＢ的 2.5m 中点 ，ＤＥ=＿＿＿。 Ａ
1.如图 AB=4cm，点C是AB的中点，
练习一
2 2 则AC=____cm, BC= ____cm. A C B
2.如图，下列说法中，不能判断 点C是线段AB的中点的是( C ) A、AC=CB B、AB=2AC
1 C、AC+CB=AB D、CB= 2AB
A C C B
已知线段a,b,(a>b)，作一条 线段使它等于a-b. a 画法：
∴AD=CD， CD=BD
1 证明：∵CD是中线，CD = AB， 2
∴∠A=∠1，∠B=∠2 ∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠A+∠B=∠1+∠2=90°
D
1
Ｂ
2
Ｃ
∴ △ABC是直角三角形。
练 习 三
1、△ABC中，点D是AB的中点，连结 CD，测得CD=5cm，AB=10cm，则 直角 △ABC是＿＿＿三角形 .
M N B F B N B
C
D
① ② ③
C A E A M A
D
AB＞CD AB=EF AB＜MN
与
如图，已知线段a，请借助圆规， 在射线AD上截取一条线段使它等于 已知线段a.
a A B D
线段AB就是 所求作的线段。
结论不能少!
例1
如图，已知线段a，请用圆规 和没有刻度的直尺，作一条线 段使它等于2a.

1 AC=AB+BC=10cm, AD= AC=5cm. 2
（2）当C点在线段AB上时 l A D C B AC=AB-BC=2cm, AD=
1 2
AC=1cm.
作业：①《基础训练》P45 ②社会调查：生活中哪些地方运用 了“两点之间，线段最短”这一结论？
谢谢各位领导、同仁！ 谢谢177班的同学们！
1 且CD= AB。 2
C
1 2
已知：如图在△ABC中，CD是△ABC的AB边上的中线， 求证：△ABC是直角三角形。
1 证明：∵CD是中线，CD = AB， 2
∴AD=CD， CD=BD
∴∠A=∠1，∠B=∠2 A D
B
∵∠A+∠1+∠B+∠2=180° ∴∠A+∠B=∠1+∠2=90° ∴ △ABC是直角三角形。
地面上A、B两点, B处放有一块骨头, 小狗从A点跑到B点去吃骨头，现有三条路线， 聪明的狗狗会走哪条路呢？ 你能够得到什么结论? 线段最短 A B
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短． (简写为:两点之间线段最短) 两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离． 长度
A
B
?cm
D
C百度文库
先把两条线段的一端重合，另一端落在 同侧，根据另一端落下的位置，来比较。
C E M
D
F N B B B AB＜MN AB＞CD AB=EF
①A
②A ③A
练 习 一
用圆规截取的方法比较图中下列两组 线段的大小：
B
（1）AC 和 AB （2）AC 和 BC
A C
分组讨论:怎样在直线l 理由：两点之间线段最短。 上确定接口的位置，使 向两个油库输送石油的 管道最短？ P A