函数的概念(区间的概念)
北师大版高一数学函数的概念2--区间
一、温故迎新
1．什 么是函数呢？
初中定义：在一个变化过程中,有两个变量x和y，如 果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我 们称y是x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量.
A
2 3 5
乘2
B
4 6 10
A
平方 B
A 1
求倒数
B 1 1 2
6
12
1 -1 2 -2 3 -3
【例2】.试判断以下各组函数是否是相等函数：
(1)f(x)＝x，g(x)＝ x2 x2－9 (2)f(x)＝ ，g(x)＝x＋3 x－3 (3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2 (4)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1
【解析】 (1)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同， 也就是对应关系不同，故不相等. (2)f(x)＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数. (3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，
（1） 对应法则—— f
2、函数的三要素
（2） 定 义 域 ——A （3） 值 域——｛f(x)|x∈A｝
求函数的定义域。
x＋12 【例】 求函数 y＝ － 1－x的定义域； x＋1
解：
x＋1≠0， 要使函数有意义，须满足 1－x≥0，
解得 x≤1，且 x≠－1， ∴函数的定义域是{x|x≤1，且 x≠－1}．
3<x<7 } ；
；
（3，7）
例1:用区间表示下列实数集合。
① {x|-18≤x＜6 }; ② {x|x＞6} ； ③ {x|3＜x≤8}；
[-18,6)ຫໍສະໝຸດ （6, +∞ ）(3,8]
高中一年级《函数的概念及表示》
(1)y＝ 2x＋3＋x－1 1；(2)y＝(x＋2－1)x0
【思路点拨】 分析所给函数解析式 ―→ 列不等式组 ―→ 求x范围，得定义域 【解析】 (1)要使函数有意义，需满足2x－ x＋13≠≥00， ，
x (x≥1) 【思路点拨】 初中阶段我们已经知道，一次函数的图象是直线，二次函 数图象是拋物线，反比例函数图象是双曲线.现在我们只要结合定义域，找 到一些关键点，便可画出函数的大致图象.
必修一第二章第二节
【解析】 (1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1； (2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 且x＝1,3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1， 所画函数图象如图2.
图
能形象直观地表示出函数的变化 只能近似地求出自变量的值所对 象
情况
应的函数值，而且有时误差较大
法
必修一第二章第二节
2.关于分段函数 (1)分段函数虽由几部分构成，但代表的是一个函数.只不过在定义域内的不 同部分取值时，函数对应关系不同.其值域也是各段上的函数值集合的并集. (2)求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于 哪一段，就用哪一段的解析式. (3)作分段函数的图象时，则应分段分别作出其图象，在作每一段图象时， 先不管定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象 即可.
必修一第二章第二节
x＋4 3.若 f(x)＝x2－2x
－x＋2 (1)求 f(f(f(5)))的值； (2)若 f(a)＝－1，求 a 的值.
(x≤0) (0＜x≤4) ， (x＞4)
高一数学函数的概念2
的实数的x集合叫做半开半闭区间，表示为[a,b)；
（4）满足不等式 a x b 的实数
的x集合叫做也叫半开半闭区间，表示为(a,b]；
说明：
① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a和 数b为区间的端点，其中a为左端点，b为右 端点，称b-a为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就 有四种表示方法： 不等式表示法：3<x<7（一般不用）； 集合表示法：{x|3<x<7}； 区间表示法：(3,7)；Venn图
2．关于求定义域:
例1、（1）若函数 y
ax2 ax 1
a
的定义域是R，求实数a 的取值范围。
(2) 若函数 y f (x)的定义域为[1，1]，
求函数 y f (x 1) f (x 1)的定义域。
4
4
0
( x 0)
例2 、 已知
f
(
x)
x 1
的定义域应由不等式 a g(x) b 解出。
3．关于求值域：
例3、求下列函数的值域① y=3x+2(-1≤x≤1)
②f (x) 2 4 x
③y x
④y x2 4x 1, x [0,5]
x 1
；
⑤y 2x 4 1 x
例4、①已知函数f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1 时有最大值2，求a的值。
( x 0) ( x 0)
求f (1)、f (1)、f (0)、f { f [ f (1)]}
2．关于求定义域: （1）分母不等于零；偶次根式不小于零； 每个部分有意义的实数的集合的交集；符 合实际意义的实数集合
高中数学必修一函数的概念知识点总结
必修一第一章 集合与函数概念二、函数知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.2》区间和无穷大①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.典例分析题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）A 、x y x f 21)(=→ B 、x y x f 31)(=→ C 、x y x f 32)(=→ D 、x y x f =→)(例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：①}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。
高一数学：1.2.1《区间的概念》课件
课题: 区间的概念
问题提出
1．什么叫函数？用什么符号表示函数？ 2. 什么是函数的定义域？值域？
3.函数 f (x) = 1− | x |的定义域、值域如何？
分别怎样表示？ 4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介于这两个 数之间的实数x用不等式表示有哪几种可能情况？
的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集合 如何用区间符号表示？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用区间 表示实数集R？
（-∞，+∞）
理论迁移
例1 将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2x −1 0}; (2){x | x −4,或 −1 x 2}
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，二次函数
y＝ax２＋bx＋c(a≠0)，反比例函数 y = k (k 0) x
的定义域、值域分别是什么？怎样用区间表示?
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关系？用 不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a
a x b, a x b, a x b, a x b
思考2：满足上述每个不等式的实数x的集合可看 成一个区间，为了区分，它们分别叫什么名称？
思考3：如果把满足不等式的实数x的集合用符号 [a，b）表示，那么满足其它三个不等式的实数x 的集合可分别用什么符号表示？
上述知识内容总结成下表：
定义
名称
符号
{x|a≤x≤b} 闭区间 [ a, b ]
函数的概念知识点
函数的概念1.函数：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作：y=f（x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.确定一个函数的两个要素：定义域，对应法则．2.区间：区间指一个集，包含在某两个特定实数之间的所有实数，亦可能同时包含该两个实数。
区间表示法是表示一个变量在某个区间内的方式。
通用的区间表示法中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。
例如，区间(10,20)表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。
另一方面，[10,20]表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。
设a，b是两个实数而且a<b，实数a与b都叫做相应区间的端点。
规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a，b]；（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示﹙a，b﹚；（3）满足不等式a≤x<b，或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a，b﹚，﹙a，b]。
区间表示：｛x︱a＜x＜b｝=（a，b）； {x|a≤x≤b}=[a，b]；{x|a＜x≤b}=（a，b]； {x|a≤x＜b}=[a，b）； {x|x≤a}=（-∞，a]；{x|x≥a }=[a，+∞）； {x|x＞a }=（a，+∞）；实数集表示为（－∞，＋∞）3.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关.。
《区间的概念》课件
02
区间的性质
闭区间和开区间的性质
总结词
闭区间和开区间的性质是区间理论中的 重要概念，它们具有不同的性质和特征 。
VS
详细描述
闭区间是包含其端点的区间，其性质包括 区间内任意两点可以确定一个闭区间，且 闭区间上任意两点之间的距离等于区间长 度。开区间是不包含其端点的区间，其性 质包括开区间内任意两点可以确定一个开 区间，但开区间上任意两点之间的距离不 一定等于区间长度。
闭（包含）的区间，例如$(a, b]$或$[a, b)$。
半开半闭区间具有一些特殊的性 质，例如在实数轴上表现为一段
直线，但不包括端点。
半开半闭区间在数学分析中常用 于研究函数的连续性和可导性等 概念，特别是在处理分段函数时
。
05
区间的实际应用举例
在物理学中的应用：波的传播范围
总结词
波的传播范围是区间概念在物理学中的一个典型应用，它描述了波在某一特定介质中能 够传播的最大和最小范围。
区间与数轴的关系
总结词
区间与数轴之间存在密切的联系，数轴是表示区间的工具， 而区间则是数轴上的一个子集。
详细描述
数轴是实数有序化的直观表现，它为研究区间提供了可视化 的平台。通过数轴，我们可以直观地表示区间的起点和终点 ，以及区间内的任意一点。同时，数轴上任意两个不同的区 间都可以用不同的颜色或标记加以区分。
详细描述
在物理学中，波的传播范围通常由波长和频率决定。例如，无线电波、红外线、可见光 、紫外线、X射线和伽马射线等都有各自的传播范围，这些范围可以用来描述不同类型
波的特性。
在经济学中的应用：价格变动区间
总结词
价格变动区间是区间概念在经济学中 的一个应用，它反映了商品或资产在 一定时间内的最高和最低价格变动范 围。
函数的概念 课件
即先求g2.
(3)f(x)＝x＋1 1的定义域为{x|x≠－1}， ∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞).9 分 g(x)＝x2＋2 的定义域为 R，最小值为 2.
∴值域是[2，＋∞).12 分
(5)A＝{a，b，c}，B＝{d，e，f}，对应关系如图所
示．
【解】 (1)A中的实数0在B中没有对应实数， 故不是函数； (2)对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关 系f：x→x2，在集合B中都有唯一确定的整数x2 和它对应，故(2)是集合A到集合B的函数； (3)A中负数没有平方根，故在B中没有整数和它 们对应，故此对应不是集合A到集合B的函数；
(1)y＝xx＋＋11
2
－
1－x；
(2)y＝
5－x |x|－3 .
【解】 (1)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须
满足
x＋1≠0 1－x≥0
，
解得 x≤1 且 x≠－1，
即函数定义域为{x|x≤1 且 x≠－1}．
(2)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
5－x≥0 |x|－3≠0
，
解得 x≤5，且 x≠±3，
(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应关 系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一确定的数 0和它对应，故(4)是集合A到集合B的函数； (5)对于集合A中的元素b对应着集合B中的两 个元素，c在集合B中无对应元素，所以(5)中 的对应不是集合A到集合B的函数．
题型二 求函数的定义域
例2 求下列函数的定义域：
{x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
(2)无穷概念及无穷区间表示
定 义
R
{x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a}
函数的概念知识点总结
理解抽象函数或复合函数的定义域,要明确以下几点:
（1）函数 f (x) 的定义域是自变量 x 的范围.
（2）函数 f (g(x)) 的定义域是自变量 x 的范围,而不是 g(x) 的范围.
f (u) 的定义域的交集非空,那么 y 通过 u 的联系也是自变量 x 的函数,我们称 y 为 x 的复
合函数,记为 y f (g(x)) .其中 u 叫做中间变量, u g(x) 叫做内层函数, y f (u) 叫做
函数的概念知识点总结 第 7 页
外层函数. 对复合函数概念的理解
由复合函数的定义可知,内层函数的值域是外层函数的定义域或定义域的子 集,外层函数的定义域和内层函数的值域共同确定了复合函数的定义域. 例 6. 下列函数中,是复合函数的是【 】
f (a) 表示当 x a 时 f x的函数值,是其值域内的一个值,它表示的是常量; f (x)
函数的概念知识点总结 第 2 页
表示自变量为 x 的函数,它表示的是变量.
如 f (x) 2x 表示的是一个函数, f 3 6 是它的一个函数值,是常量.
知识点三 具体函数的定义域的确定方法
所谓具体函数,指的是给出解析式的函数,与之相对的是抽象函数.根据函数解 析式的特点来确定函数的定义域:
（1）如果函数解析式是整式,则函数的定义域是全体实数,即 R. （2）如果函数解析式中含有分式,则函数的定义域是使分式的分母不等于零的实数集; （3）如果函数解析式中含有二次根式,则函数的定义域是使二次根式的被开方数为非负数 的实数集; （4）如果函数解析式中含有零指数幂或负整指数幂,则函数的定义域是使底数不等于零的 实数集. （5）如果函数解析式含有上述两种或两种以上的结构特点,则函数的定义域是使每一部分 有意义的实数集的交集. （6）如果函数解析式是由实际问题得到的,则函数的定义域还要符合客观实际. 知识点四 函数的相等 只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时,这两个函数才相等,即为同一个函数.
函数的区间
函数的区间什么是函数的区间在数学中，函数的区间指的是函数在某一特定范围内的取值范围。
区间的概念对于函数的研究和分析具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解函数的特性和行为。
区间的分类根据数学中的不同定义，函数的区间可以分为闭区间、开区间和半开半闭区间三种。
闭区间闭区间表示一个区间的两个端点都包含在内。
例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b]表示一个闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。
闭区间可以用数学表达式[a, b]来表示，其中a和b为实数。
闭区间的取值范围包括了区间内的所有实数，即[a, b] = {x | a <= x <= b}。
开区间开区间表示一个区间的两个端点都不包含在内。
例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a < b，则(a, b)表示一个开区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。
开区间可以用数学表达式(a, b)来表示，其中a和b为实数。
开区间的取值范围不包括端点处的值，即(a, b) = {x | a < x < b}。
半开半闭区间半开半闭区间表示一个区间的左端点包含在内，而右端点不包含在内。
例如，对于一个实数集合X，如果存在a、b两个实数，且a <= b，则[a, b)表示一个半开半闭区间，其中a为区间的左端点，b为区间的右端点。
半开半闭区间可以用数学表达式[a, b)来表示，其中a和b为实数。
半开半闭区间的取值范围包括了左端点处的值，但不包括右端点处的值，即[a, b) = {x | a <= x < b}。
区间的表示方法除了上述数学表示方法外，函数的区间还可以用图形表示或称为数轴表示。
对于闭区间[a, b]，可以在数轴上画出一个闭合的线段，左端点对应a，右端点对应b。
这样的表示方法可以直观地展示出区间的范围。
对于开区间(a, b)，在数轴上画出一个不包括端点的线段，左端点对应a，右端点对应b。
函数的概念
函数的概念及表示一、函数的定义初中定义:在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与对应. 那么就说y 是x 的函数，其中x 叫做自变量。
高中定义:设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数(function)，记作y = f (x )，x ∈A .其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域(domain)；与x 的值相对应的y 值叫做函数值。
初中所学函数: 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数1．一次函数:b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 2．反比例函:xkx f =)()0(≠k :定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数:c bx ax x f ++=2)()0(≠a :定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|24.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且:定义域R,值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且:定义域+R ,值域为R ；二、区间的概念：设,a b 是两个实数，而且a b <，规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ； （2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ； （3）满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[,)a b ，(,]a b ．这里的实数a 与b 都叫做相应区间的端点。
函数的概念和性质
解： （1）因为 f ( x) 的定义域为 (,) ，而 p ( x) 的定义域 为 (,1) (1,) ，所以 f ( x) 与 p ( x) 不相同．
（2）因为 f ( x) 和 p ( x) 定义域均为 (,) ，且对应法则 相同，所以它们是相同的函数．
（3）因为 f ( x) 和 p ( x) 定义域均为 (2,) ，且对应法则 相同，所以它们是相同的函数．
x 2
解：令 x 1 t ，则 x t 1 ．
于是 f (t ) 2e
t 1
(t 1) 1
2
2e
即 f ( x) 2e
t 1
t 2t
2
2
x 1
x 2x
2.函数相同
函数定义中涉及定义域、对应法则和值域三 个要素，而值域可由定义域和对应法则唯一确定。 因此，函数的定义域和对应法则称为函数的两个 要素。 两个函数相同（或相等），当且仅当它们的 定义域和对应法则分别都相同。
在实际应用问题中，函数的定义域应根据实际问题 的意义来确定．
自变量通常用字母 x、t、u、v 等表示．至于用哪个 来表示自变量是无关紧要的。
6 例 2 试确定函数 y 1 x 的定义域 lg 1 x
2
1 x 2 0 解：要使函数y有意义，则有 1 x 0 lg(1 x) 0
例如，函数 y x ，
2
y
y x2
0
当 x (, 0) 时，函数是单调递减的， 当 x (0, ) 时，函数是单调递增的， 而当 x (,) 时, y x 不是单调函数．
2
x
（3）周期性
定义 1.4 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在一个非零常 数T ,对于任意 x D ,有
函数的概念及其表示
ab abab a b课题 函数的概念及其表示一、函数的概念1 函数：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数。
记作：(),y f x x A =∈。
其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()}f x x A ∈叫做函数的值域。
（1）对函数符号()f x 的理解知道()y f x =与()f x 的含义是一样的，它们都表示y 是x 的函数，其中x 是自变量，()f x 是函数值，连接的纽带是法则f.f 是单值对应； (2)注意定义中的集合 A ，B 都是非空的数集,而不能是其他集合； 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
二、区间的概念设a 、b 是两个实数，且a b <，规定定义名称 符号数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 [,]a b {}x a x b << 开区间 (,)a b {}x a x b <≤ 左闭右开区间 [,)a b {}x a x b <≤左开右闭区间(,]a b{|}[,)x x a a =+∞≥；{}(,)x x a a >=+∞；{}(,]x x a a =-∞≤；{}(,)x x a a <=-∞；(,)R =-∞+∞。
三、相等函数：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等的条件是当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
四、函数的表示法1解析法：把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式。
区间概念的理解
区间概念的理解区间是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学分析、代数、几何和概率等领域。
在数学中，区间指的是由两个数值界定的一段连续的数值范围。
区间可以是开区间、闭区间或半开半闭区间，它们的区别在于是否包含区间的两个端点。
首先，我们来讨论闭区间。
闭区间是指包含了区间的两个端点的区间。
例如，对于实数集合R来说，闭区间[a, b]表示从a到b的所有实数，包括a和b。
这意味着区间的左端点和右端点都是该区间的元素。
闭区间通常用方括号“[ ]”表示。
接下来，我们来讨论开区间。
开区间是指不包含区间的两个端点的区间。
例如，开区间(a, b)表示从a到b的所有实数，但不包括a和b本身。
开区间的左端点和右端点都不是该区间的元素。
开区间通常用圆括号“( )”表示。
半开半闭区间是指一个端点是开的，另一个端点是闭的区间。
例如，左闭右开区间[a, b)表示从a到b的所有实数，包括a，但不包括b。
与闭区间类似，半开半闭区间的左端点是该区间的元素，而右端点不是。
半开半闭区间通常用“[ )”或“[ )”表示。
区间的长度可以通过计算两个端点之间的差值得到。
例如，闭区间[a, b]的长度为b-a。
区间的长度可以是有限的，也可以是无穷大的。
区间还可以用来描述数轴上的一段连续区域。
在数轴上，从某个数到另一个数的区间就是数轴上这两个数之间的所有点的集合。
例如，闭区间[1, 5]描述了数轴上从1到5的一段区域，包括1和5。
区间还可以通过比较符号来表示。
例如，我们可以使用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号来表示严格或非严格的不等关系。
例如，开区间(a, b)可以表示为{x a < x < b}，表示x的取值范围在a和b之间。
在数学分析中，区间概念常用于定义函数的定义域、连续性和收敛性等性质。
对于一个定义在区间上的函数，我们可以通过研究区间的性质来研究函数的性质。
总结起来，区间是数学中描述数值范围的一种方式。
闭区间包含区间的两个端点，开区间不包含区间的两个端点，而半开半闭区间只包含一个端点。
高考数学-函数的概念及其表示
函数的概念及其表示知识梳理（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④零（负）指数幂的底数不能为零．⑤若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值． ④换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的．⑤反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑥数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑦函数的单调性法．（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．（7）分段函数：定义域不同对应法则不同的函数，解题方法-分段函数分段求。
育英2017-1.2函数的概念2.1-区间来表示定义域与值域
变式11.设 A 2a 1,3a 5, B 3, 22 , 若 A B,
求实数a的取值范围
14
eg1.区间 4,5表示
(A)
4
5
(B)
4
5
(C)
4
5
(D)
4
5
18
eg2.区间 0,5 表示
(A)
0
5
(B)
0
5
(C)
0
5
(D)
0
5
19
eg3.区间 4,3表示
叫做(有界)区间 有界区间的四种情况如下图 其中这两点a,b叫做区间 (左 ,右)端点
a
b
区间的左 端点a 一定小于右端点
a
a
b
b
4
a
b
b,即a<b
其中这两点a,b的距离叫做区间长度,两点a,b间的 区间的长度为 a b
有界区间定义
定义 名称
闭区间
符号
数轴表示
x a x b x a x b
27巩固Biblioteka 习先做课本后练习1.求下列函数的定义域:
x 1 (1) f ( x) 2x 4
1 (4) y 2 x 3x 2
(2) f ( x) 1 x
(5) y 1 x
3
2
(3) f ( x) x x
2
(6) f ( x) ( x 1)
0 2
(7) f ( x) (2 x 1)
10
易混淆知识辨析 8.设集合 A x 1 x 1 6, B x m 1 x 2m 1 ,
若 A B ,求实数m的取值范围
函数区间知识点总结
函数区间知识点总结一、函数和区间的基本概念1. 函数的概念函数是一个输入和一个输出之间的特定关系。
数学上，函数可以表示为f(x) = y，其中x 是输入值，y是输出值。
函数可以用图像、表格、公式等形式表示。
2. 区间的概念在数学中，区间是指由两个数值构成的集合，其中包括这两个数及其之间的所有实数。
区间通常用符号[a, b]、(a, b)、[a, b)、(a, b]来表示。
二、函数的性质1. 奇函数与偶函数奇函数是指满足f(-x) = -f(x)的函数，其图像通常关于原点对称。
偶函数是指满足f(-x) = f(x)的函数，其图像通常关于y轴对称。
2. 周期性周期函数是指满足f(x + T) = f(x)的函数，其中T为正数。
3. 单调性单调递增函数是指在定义域内，随着自变量的增大，函数值也随之增大；单调递减函数则相反。
4. 极值与最值极值是函数在定义域内的最值点，包括最大值和最小值。
5. 奇偶性、周期性、单调性、极值与最值都是函数的重要性质，通过它们可以更好地理解和分析函数的行为。
三、区间的运算1. 区间的加法如果a和b是两个区间，那么a + b = {x + y | x ∈ a, y ∈ b}。
2. 区间的减法如果a和b是两个区间，那么a - b = {x - y | x ∈ a, y ∈ b}。
3. 区间的乘法如果a和b是两个区间，那么a * b = {xy | x ∈ a, y ∈ b}。
4. 区间的除法如果a和b是两个区间，那么a / b = {x/y | x ∈ a, y ∈ b, y ≠ 0}。
以上是关于区间的基本运算，通过这些运算可以更好地理解区间之间的关系。
四、函数的图像1. 函数的图像函数的图像是指在平面直角坐标系中，函数的输入和输出值在坐标系中的对应关系的曲线。
通过图像可以直观地了解函数的性质与特点。
2. 函数的对称性函数的对称性可以通过函数的图像来判断。
奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称。
函数的概念与区间
第三讲 1.4函数和区间知识点归纳：（一）函数的有关概念 1．函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域．注意：○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．],[}|{b a b x a x =≤≤ ),[}|{b a b x a x =<≤ ],(}|{b a b x a x =≤< ),(}|{b a b x a x =<< ],(}|{b b x x -∞=≤ ),[}|{+∞=≤a x a x4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论(1)一次函数：)0()(≠+=k b kx x f 的定义域为： ,值域为： ； (2)二次函数：)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为： ,值域为： ；(3)二次函数：)0()(≠=k xkx f 的定义域为： ,值域为： ；说明：○1 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
函数的概念及其表示(2)
P64-67
• 研究函数时常会用到区间的概念.
• 设, 是两个实数，而且 < ．我们规定：
(1)满足不等式 ≤ ≤ 的实数的集合叫做闭区间，表示为[, ]；
(2)满足不等式 < < 的实数的集合叫做开区间，表示为(, )；
(3)满足不等式 ≤ < 或 < ≤的实数的集合叫做半开半闭区间，分
式．后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间相
依变化的关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了不必要的限
制．如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究．
• 例如，著名的狄利克雷函数：
0, 为无理数
() = ቊ
1, 为有理数
对这个函数，如果用变量观点来解释，那么会显得十分勉强,也说不出的物理意
义是什么．但用集合与对应的观点来解释，就十分自然．从这个意义上来说，高中的
函数定义更具一般性.实际上，初中的函数定义已经渗透了集合与对应的观点．由于用
变量观点描述函数比较生动、直观，所以初中阶段仍然广泛使用着函数的“变量说”
定义．
本节内容小结
• 1、区间的概念
• 2、函数定义域的求法、函数值的求法
使函数解析式有意义的一切取值范围，我们称之为自然定义域．
若没有特别说明，我们一般求函数的定义域都是函数的自然定义域．
• 例2．已知函数 = + 3 +
•
1
，
+2
2
(2)求(−3)，( )的值；
3
• 解： −3 = −3 + 3 +
•
2
3
高一年级数学重要知识点总结
高一年级数学重要知识点总结导读：本文高一年级数学重要知识点总结，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
【一】一丶函数的有关概念1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.注意：1.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.u相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)2.值域:先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(x),(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数y=f(x),(x∈A)的图象.C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4.区间的概念(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示.【二】(一)、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射.2、对于函数的概念，应注意如下几点：(1)掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数.(2)掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式.(3)如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数.3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：(1)确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);(3)将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域.注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起.②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算.(二)、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可.如：①分式的分母不得为零;②偶次方根的被开方数不小于零;③对数函数的真数必须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等.应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分(即交集).(3)已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可.已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域.2、求函数的解析式一般有四种情况(1)根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式.(2)有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法.比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可.(3)若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域.(4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量(如f(-x)，等)，必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式.【三】函数的值域与最值1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积(体积)(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.。
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1.在初中我们学习了哪几种基本函数？ 其函数解析式分别是什么？ 2.初中对函数是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量 x与y，并且对于x的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们 就说x是自变量，y是x的函数.
函数定义:设A，B是非空的数集，如 果按照某种确定的对应关系f，使对于集 合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯 一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数， 记作 y=f(x)，x∈A. 函数y=f(x)，自变量x的取值范围A 叫函数的定义域，与x值相对应的y值叫 做函数值.函数值的集合 f ( x) x A叫函 数的值域。 思考：值域与集合B是何关系？
x
y y 0, y R
二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠0)的定义域、 值域分别是什么？ 2 2 4ac b 4 ac b R y y y y 4a 4a 2 4ac b , 怎样用区间表示? 4a
3.函数 f ( x) 1 | x | 的定义域、值域 是什么？分别怎样表示？
4. 上述集合还有更简单的表示方法吗？
知识探究（一）
思考1：设a，b是两个实数，且a<b，介 于这两个数之间的实数x用不等式表示有哪 几种可能情况？
a x b, a x b, a x b, a x b
满足上述每个不等式的实数x的集合可 看成一个区间.
思考2：如果满足不等式 a x b 的实 数x的集合用符号 [a，b]表示，那么满足其 它三个不等式的实数x的集合可分别用什么符 号表示？
上述知识内容总结成下表：
定义 名称 符号 [ a, b ]
( a, b ) a a a
数轴表示
a b
b
例3
求下列函数的值域：
2
(1) y x 4 x 6, (2) y 5 4x x ,
(2) y 5 4 x x 2 , x 1 x 1 (1) y x 2 4 x 6,
x [1, 5)
x [1,5)
2
(3) y 2 x 2 4 x , (4) f ( x)
{x|a≤x≤b} 闭区间
{x|a<x<b} 开区间
b
{x|a≤x<b} 半开半闭 [ a, b ) 区间
{x|a<x≤b} 半开半闭 ( a, b ] 区间
b
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
知识探究（二）
思考1：变量x相对于常数a有哪几种大小关 系？用不等式怎样表示？
思考2：满足不等式 x a, x a, x a, x a 的实数x的集合也可以看成区间，那么这些集 合如何用区间符号表示？
作业：
课本P44.
6 、7
思考3：将实数集R看成一个大区间，怎样用 区间表示实数集R？
[a，+∞)，(a，+∞)， (-∞，a]，(-∞，a).
（-∞，+∞）
思考4：一次函数y＝kx＋b(k≠0)， R R k , 反比例函数 y (k 0)
,0 0,
x x 0, x R
例题：
练习
将下列集合用区间表示出来：
(1){x | 2 x 1 0}; (2){x | x 4, 或 1 x 2}
例1 求下列函数的定义域：
..
(1) y 2 (2) f ( x)
x 4x ,
2
Байду номын сангаасx 1 . x 1
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ,求函数 f ( x) 的解 析式.