(武汉大学大地测量学课件)第三章 地球重力场及地球形状的基本理论

常数。
设a 和a1 , T 和 T1分别表示两行星轨道的长半径与轨道 运行周期。
4
地球重力场状基本理论
则第三定律表达为：
T 2 = T 12
a3
a
3 1
T 2 × M + m) = a3
T12 M + m 1
a
3 1
a3 = f (M + m )
T2
4π 2
一般可以用来计算行星或卫星的质量。 牛顿万有引力定律： 开普勒定律是牛顿万有引力定律的基础。 天体力学
如果令g与l夹角等于π，则有：
dl = − dW g
水准面之间既不平行，也不相交和相切。
16
地球重力场的基本原理
对于某一单位质点而言，作用其上的重力在数值上等于使 它产生的重力加速度的数值，所以重力即采用重力加速度的量 纲，单位是：
伽(Gal=cms－２)， 毫伽(mGal= Gal/1000=10－５ms－２) 微伽(μGal= mGal/1000=10－８m s－２) 1、地面点重力近似值 980Gal，赤道重力值 978Gal，两 极重力值 983Gal。由于地球的极曲率及周日运动的原因，重 力有从赤道向两极增大的趋势。 2、地球上重力的大小与方向只与被吸引点的位置有关， 理论上应该是常数，但重力是随时间变化而变化，即相同的点
22
地球重力场的基本原理
用球谐函数表达地球引力位（方法2）
勒让德多项式
Pn ( x )
=
1 2 n n!
d n ( x 2 − 1) n dx n
Pn+1( x)
=
2n +1 n +1
xPn (x)
−
n n +1
Pn−1( x)
P1(x) = xP0 (x)
23
地球重力场的基本原理
P0 (cos ψ ) = 1
Mr
=0
∫ v2
=
f r
(R)2(3 cos2ψ
Mr 2
−
1)dm 2
∫ v3
=
f r
(R)3(5 cos3ψ
Mr 2
−
3 cosψ)dm
2
由于 cosψ = xxm + yym + zzm
R⋅r
∫ A =
( ym 2
+
zm2
⎫ )dm⎪
M
⎪
∫ B =
( xm 2
+
z
m
2
)dm
⎪ ⎬
M
⎪
∫ C
=
( xm 2
r
r
l = ( R)2 − 2 R cosψ
rr
1
=
1
(1
+
l
−
)
1 2
ρr
∫ V = f
r
(1
−
1 2
l
+
3 8
l
2
−
5 16
l
3
+
L)dm
n
∑ V = v0 + v1 + v2 + L = vi i=0
20
地球重力场的基本原理
∫ v 0 =
f r
dm
M
=
f
M r
∫ v1 =
f r
R cos ψ dm
⎫
⎪
P1 (cos ψ ) = cos ψ
⎪
P2 (cos
ψ )=
3 cos 2
2ψ
−1 2
⎪⎪ ⎬ ⎪
⎪
P3 (cos
ψ )=
5 cos 2
3ψ
−
3 2
cos
ψ
⎪ ⎪⎭
∫ V n =
f r
(
R r
)n
Pn
(cos
ψ ) dm
24
地球重力场的基本原理
∑ Vn
=
1 r n+1
[ AnPn (cosθ
F
=
f
⋅
M ⋅m r2
P = mω 2ρ
gv
=
v F
+
v P
其它作用力（太阳、月亮）大多数情况下可忽略。
8
地球重力场的基本原理
3.2.2 引力位和离心力位
由理论力学可知，如果某一空间（有限或无限）的 任意一点都有一定力的作用，而力的大小与方向只与该 点的位置有关，则这一空间称为力场。就力场而言，具 有共同的特性，即力场所做的功与路径无关，只与起点 与终点有关。这样的力称为保守力。引力与离心力都是 保守力。
(cos
θ
)
+
n
∑ (An K cos Kλ + Bn K sin Kλ ) Pn K (cos θ )]
K =1
V
=
∞
∑ Vn
n=0
=
∑∞ 1
r n+1
n=0
n
∑
(
Ank
cos
kλ
+
B
k n
sin
kλ
) Pnk
(cos
θ
)
k =0
2 地球正常重力位
W = V + ω 2 r 2 sin 2 θ
2
26
T
ω = 2π
T
2
地球重力场状基本理论
2、地球的公转 地球的公转满足开普勒三大行星运动定律
(1) 行星运动轨迹是椭圆，太阳位于其 椭圆的 一个焦点上
直角坐标方程：
x2 a2
+
y2 b2
=1
e=
a2 − b2 a
极坐标方程： r =
p
1 + e cos f
f 真近点角，p 为焦参数（半通径）
p = b2 = a(1 − e2 ) a
g
g
g
重力位在任意方向的偏导数等于重力在该方向上的
分力：
∂W ∂l
= gl
= g cos(g,l)
15
地球重力场的基本原理
当g与l相垂直时，那么dＷ=0，Ｗ＝常数
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等 位面，也就是我们通常说的水准面。可见水准面有无 穷多个。其中，我们把完全静止的海水面所形成的重 力等位面，专称它为大地水准面。
v = 2π r
T
→
a
=
4π
2r
2
T
a3 = f (M +m)
T2
4π2
6
地球重力场状基本理论
考虑到M>>m
a3 = f (M + m)
T2
4π 2
→
2π
n=
=
T
fM a3
n = 2π =
T
fM a3
注意： f 、 G、 k2 在不同的教材都表示引力常数。
7
地球重力场的基本原理
3.2.1 引力与离心力
=M0
z
m
dm
定义坐标系：x 0 = y 0 = z 0 = 0 ，则有：
v0 =
f r
M
v1
=
f r3
( x ∫ xm dm
M
+
y∫
M
y m dm
+
z ∫ zm dm )
M
=
0
v2
=
f 2r 5
[( y 2
+
z2
−
2x2)A
+
(x2
+
z2
−
2 y 2 )B
+
(x2 + y2 − 2z 2 )C + 6 yzD + 6xzE + 6xyF ]
地球重力场的基本原理
当选取前3项时，将重力位W写成U
∑ ∑ U
=
2 n=0
r
1
n +1
[
An
Pn
(cosθ
)
+
2
(
K =1
An
K
λ λ cos K + B sin K ) K An0 = f ∫ nR n Pn0 (cos θ )dm M
Pn K (cos
θ )] +
ω2
2
r 2 sin
2θ
∫ An0 = f R n Pn0 ( cos θm )dm
A10
,
A11 ,
B11 ,
A
0 2
,
A
1 2
,
B
1 2
,
A
2 2
,
B
2 2
A00 = fM
A10 = A11 = B11 = 0
A20
=
f (A+ B 2
− C)
,
A21
=
B21 =B22
=0
A22 = f
(
B
− 4
A
)
若地球是旋转椭球体，则有转动惯量 A = B ，将系数代入
d (cosθ )k
cos K λ PnK (cos θ ), sin K λ PnK (cos θ )
称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称 为田球函数)
25
地球重力场的基本原理
用球谐函数表示的地球引力位的公式
∑ ∑ V
=
∞
Vn
n=0
=
∞ n=0
1 r n+1
[ An Pn
1 地球引力位的数学表达式 地球惯性矩表达引力位 (方法1)
V
=
f
∫
dm
ρ
M
设地球上的点坐标为: (x, y, z) 与 (θ , λ, r)
地球表面点坐标为: (xm , ym , zm ) 与 (θm , λm , R)
19
地球重力场的基本原理
• 建立空间直角坐标系与球面极坐标系
ρ 2 = r 2 + R 2 − 2 Rr cos ψ = r 2 [1 + ( R ) 2 − 2 R cos ψ ]
第三章 地球重力场及形状的基本理论
1
地球重力场状基本理论
3.1.1 地球的概说（略） 3.1.2 地球运动概说
地球是太阳系中的一颗行星，它有自转和公转运动。 1、地球的自转
地球的自转即地球绕地轴由西向东旋转。 地球的绕地轴旋转360度的时间：太阳日、恒星日。 地球的自转速度：
V = 2π（ R c o s ϕ + h )
在不同的时刻所观测到的重力不相同。
17
地球重力场的基本原理
3.2.4 地球的正常重力位和正常重力
∫ W = f ⋅ dm + ω 2 ( x 2 + y 2 )
Mr
2
要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形 状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分 布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确 地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重
地球重力场的基本原理
3.2.3 重力位
重力是引力和离心力的合力，重力位W是引力位V和离心 力位Q之和：
W =V +Q
∫ W = f ⋅ dm + ω 2 (x2 + y2 )
r2
对三坐标轴求偏导数求得重力的分力或重力加速度分量：
gx
=
−
∂W ∂x
gy
=
−
∂W ∂y
g = − ∂W
z
∂z
= −(∂V ∂x
M
∫ Ank
=
2 (n − k )! (n + k )!
f
M
Rn Pnk ( cos θm ) cos kλmdm
∫ Bnk
=
2 (n − k)! (n + k )!
f
M
R n Pnk ( cos θm ) sin kλmdm
,k
= 1,L , n
27
地球重力场的基本原理
现在需要求系数：
A
0 0
,
3
地球重力场状基本理论
(2) 行星运动在单位时间内扫过的面积相等； 在时间 t 内扫过的面积 s 相等，则面速度
s = π ab = π a2 1 − e2
tT
T
VAB > VCD > VEF
θ AB > θCD > θEF
可根据能量守恒定律导出。 (3) 行星运动的周期的平方与轨道的长半轴的立方的比为
M
+
ym2
)dm⎪⎪⎭
⎫
∫ D = ( y m z m ) dm ⎪
M
⎪
∫ E =
( x m z m ) dm
⎪ ⎬
M
⎪
∫ F
=
M
(
xm
ym
) dm
⎪ ⎪⎭
21
地球重力场的基本原理
理论力学可知：物体的重心为
∫ ∫ ∫ x0
=
1 M
x m dm
M
,
y0
=
1 M
y m dm
M
,
z0 =
x0 =
1 M y0 = z0
= =
ma Mm
f r2
⎪⎫ ⎬ ⎪⎭
a
=
f
⋅M r2
2、对位函数求导：
dV dr
=
−
f
⋅
M r2
, 则有 a = − dV dr
11
地球重力场的基本原理
• 结论： 单位质点的物体在引力场中的加速度等于引力位的
导数，方向与径向方向相反。 • 推论：
位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上 的加速度(或引力)向量的负值。
− dV = dA=
f
⋅
Mm r2 dr
积分则有： V = f ⋅ Mm + C
r
因为r→∞, V=0。所以 C=0 ，则有
取 m=1， V = f ⋅ M r
V = f ⋅ Mm r
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地球重力场的基本原理
地球总体的位函数： V = ∫ dV
(M )
=
f
⋅∫
dm r
1、由牛顿第二定律可知：
F F
力位——正常重力位。
18
地球重力场的基本原理
正常重力位是一个函数简单、不涉及地球形状和密
度便可直接计算得到的地球重力位的近似值的辅助重力 位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力 位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状 (正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球 形状的问题。
ax
=
− ∂V ∂x
,ay
=
− ∂V ∂y
,az
=
− ∂V ∂z
12
地球重力场的基本原理
离心力位
在离心力场中， dQ = Pdl
dQ = ω 2ldl = ω 2 dl 2 ⎯⎯→ Q = ω 2 l 2
2
2
Q = ω 2 ( x 2 + y 2 ) = ω 2 r 2 sin 2 θ
2
2
13
引力位：单位质点受物质M的引力作用产生的位能称为
引力位，或者说将单位质点从无穷远处移动到该点引力 所做的功。即：
V = f ⋅M r
a = − dV dr
9
地球重力场的基本原理
推导如下:
万有引力定律： F
=
f
⋅ Mm r2
假设沿力线方向做功为 dA ，则有
dA
=Hale Waihona Puke Baidu
f
⋅ Mm r2
dr
此功等于位能的减少，
)
+
n
( An K
K =1
cos
Kλ
+
Bn K
sin
Kλ )PnK
(cosθ
)]
ϕ +θ = 900
勒让德多项式中：Pn (cosθ ) 称为n阶主球函数(或带球
函数)， 数)。
Pn
K
(cosθ )
Pnk (cos
称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函 θ ) = sink θ d k pn (cosθ )
5
地球重力场状基本理论
宇宙空间任意两质点，彼此相互吸引，其引力大小与
他们的质量成积成正比，与他们之间的距离平方成反
比。
F
=
k2
M⋅m r2
=
f
M⋅m r2
a
=
F m
=
k2
M r2
在相对运动中，行星相对于太阳运动的相对加速度：
a
=
k
2
(
M r2
+
m r2 )
=
k2
(M + r2
m)
a = v2 , r
+
∂Q ∂x
⎫ )⎪
⎪
= −(∂V ∂y
+
∂Q ∂y
⎪ )⎬
⎪
= −(∂V
+
∂Q
⎪ )⎪
∂z ∂z ⎭
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地球重力场的基本原理
各分力的模：
g = gx2 + gy2 + gz2
方向余弦：
cos( g , x ) = g x , cos( g , y ) = g y , cos( g , z ) = g z