2.3群的同态与群同态基本定理

(5) G 是循环群，则 G 也是循环群.
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定理2
两个代数系统 G 与 G 同态， 若 G 是群，
则 G 也是群.
证明：
G

~
G
，G
是群，有结合律，则
G
也有结合律； 是同态满射，有
a G, a G, st. (a) a (e) (a) (ea) (a),
定义4 称群 G 到商群 G / N 的同态满射
: a aN, a G
为 G 到 G / N 的自然同态.
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定理4 （群同态基本定理）
群 G 与 G 同态， 是 G 到 G 的同态
满射，则 G / Ker G.
证明：取 ： aKer a (a) (a G)

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说明：
定理3说明任何群都同它的商群同态；
定理4说明一个群G 同另一个群 G 同态， 则这个群 在同构意义下是 G 的一个商群.
因此，在同构意义下，定理3与定理4的意 思是：每个群能而且只能同它的商群同态.
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推论1：设
G
与G
是有限群，且
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证明：因为 N < G ，故 N < G 设 (x) (x)N是G到商群的映射，因为
(x1x2 ) (x1x2 )N (x1)(x2 )N (x1)N(x2 )N
又是满射，故是群G到商群的满同态映射
且 KerQ 1(N ) N
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例3
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例4
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二、群同态性质
定理1 群 G 与 G 同态， 是 G 到 G
的同态映射，则
(1) (e) e
(2) (a1 ) (a)1
(3) n是任一整数，则 (an ) ((a))n
(4)如果orda有限，则 ord(a) | orda
证明：取 G (Z, )
: x x mod 4, (x Z )
是 G 到 G 的同态满射，G ~ G 而 G 是群， 因此 G 是群.
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例
G {全体正负奇数}， G {1, 1}
代数运算均为数的普通乘法
: 正奇数
1
负奇数
-1
是 G 到 G 的同态满射，G ~ G.
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例5 例1至例4中的同态映射的核分别是
G, 2Z, R, H
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ห้องสมุดไป่ตู้
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例6
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四、群同态基本定理
定理3 群 G 同它的每个商群 G / N 同态. ( : a aN , a G)
注： Ker N H G, (H) H / N
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例8
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e (e) 是 G 的左单位元； (a1) (a) (a1a) (e) e ,
(a1 ) 是 a (a) 的左逆元
G 也是群.
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例 证明
G {0,1, 2, 3} 关于 a ob (a b) mod 4
做成群.
例 G ( Z , ),G (R,g)
: n (1)n 是 G 到 G 的同态映射
Ker {全体偶数}
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引理1
若 是群 G 到群 G 的同态映射
，则 是单射 Ker {e}.
证明：" "
a G,(a) (ea) (e)(a) (e) e
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二、群同态性质
定理2 群 G 与 G 同态， 是 G 到 G
的同态满射，则
(1) H G H (H ) G (2) H G H (H ) G (3) H G H 1(H ) G (4) H G H 1(H ) G
由群的同态基本定理，
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例4 N G, H G, N H ，则
G/H G/N H/N
证明：

G ~G / N
Ker N H G,
(H) H / N G/ N
G / H G / N H / N
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例7
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G~G
，则 | G | 整除 | G | .
| G || G / Ker | | G |
推论2： 循环群的商群也是循环群.
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五、群的同构定理
定理5 设 是群 G 到群G 的同态满射 ，又 Ker N G, N (N ) ，则
G/N G/N
证明：取 : aN (a)N
近世代数
第二章 群论 §2.3 群的同态和同态基本定理
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一、定义1
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定义2
若存在群 G 到群 G 的同态满射
，则称群 G 与群 G 同态；
若存在群 G 到群 G 的同构映射
，则称群 G 与群 G 同构.
假定 是集合 A 到 A 的一个满射，
n Ker , (n) (e) e 而 是单射
n e, Ker {e}.
" " 若 (a) (b) ，则
(a) (b)1 (ab1 ) e ab1 e a b
是单射.
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引理2
若 是群 G 到群 G 的同态满射 ，则 Ker G.
e (0) 0 mod 4 0
1(e ) {L , 8, 4, 0, 4, 8,L }
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定义3
设 是群 G 到群 G 的同态映射,
e 是 G 的单位元. 称 e 在 G 中的所有
逆象组成的集合为同态映射 的核, 记作
Ker 1(e ) {a G | (a) e }.
证明：
G ~ G,{e } G Ker 1(e ) G
a G,n Ker ,
(ana1 ) (a) (n) (a)1
(a)e (a)1 (a) (a)1 e
ana1 Ker
Ker G.
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G 是群，而 G 不是群.
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三、同态核
思考题1：G ~ G ， (e) e ，那么 1(e ) e ?
例1 G (Z, ) 与 G {0,1, 2, 3}, a ob (a b) mod 4 同态
: x x mod 4, (x Z )
s A ，称 s (s) {(a) | a s} 为
s 在 之下的象；
s A ，称 s 1(s ) {a | (a) a, a s }
为 s 在 之下的逆象.
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例1
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例2
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