热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
专课 题时 综作 述业
与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量 的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函 数求解最值；二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消 元后再用上述方法求解．如 2018 年 T14 就是与解三角形有关的最值问题．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法二：因为
C＝3π，所以
c＝2RsinC＝1×
23＝
3 2.
又因为 c2＝a2＋b2－2abcosC，所以34＝a2＋b2－ab≥a2＋2 b2，故 a2＋b2≤32.
又 a2＋b2＝34＋ab>34，故 a2＋b2＋c2∈32，94.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
3. 解法 1 是从将面积表示为角 C 的形式来加以思考的，而解法 2 则是将面积表示 为边 c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式 a2＋b2＋2c2＝8 中的 a，b 是对称关系．解法 2 则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函 数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法 1 是一种常规的想法，是必须要认真 体会的，而解法 2 就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生 的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．
25 5
解析：解法 1
因为 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋b2－28a－ b a22－b2＝3a2＋4abb2－8
≥3a2ba－b 4，所以 ab≤3－24cosC，从而 S＝12absinC≤3－2s2incoCsC.设 t＝3－2s2incoCsC，则
3t＝2sinC＋2tFra Baidu bibliotekosC＝2 t2＋1·sin(C＋φ)，其中 tanφ＝t，故 3t≤2 t2＋1，解得 t≤255，
所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)．
所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
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专题综述 典型例题 课后作业
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB.
(1) 求角 C 的大小；
(2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围．
解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB，
4－54c2＝12· －54c2－852＋156≤25 5，当且仅当 c2＝85时取等号，故 Smax＝25 5.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 2 以 AB 所在的直线为 x 轴，它的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角
坐标系，则 A－2c，0，B2c，0，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8 得x－2c2＋y2＋x＋2c 2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－54c2，即点 C 在圆 x2＋y2＝4－54c2上，所以 S≤2cr＝2c
4－54c2＝12·
－54c2－852＋156≤2 5
5，当且仅当
c2＝85时取等号，故
Smax＝2
5
5 .
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
【解后反思】 1. 注意到 a2＋b2＋2c2＝8 中 a，b 是对称的，因此将三角形的面积 表示为 S＝12absinC，利用余弦定理将 ab 表示为 C 的形式，进而转化为三角函数来 求它的最值． 2. 将 c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点 C 所满足的 条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件 a2＋b2＋2c2＝8 得到点 C 的轨迹方程， 进而来求出边 AB 上的高所满足的条件．
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
典课 型时 例作 题业
例 1 在△ABC 中，已知 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2＋b2＋2c2＝8， 则△ABC 面积的最大值为________．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
所以 Smax＝255，当且仅当 a＝b＝2 515且 tanC＝ 25时，等号成立．
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 2 以 AB 所在的直线为 x 轴，它的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角 坐标系，则 A－2c，0，B2c，0，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8 得x－2c2＋y2＋x＋2c 2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－54c2，即点 C 在圆 x2＋y2＝4－54c2上，所以 S≤2cr＝2c
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
专课 题时 综作 述业
与三角形有关的最值问题主要涉及求三角函数值最值，边长的最值，面积、向量 的最值．解决这类的问题方法有：一、 将所给条件转化为三角函数，利用三角函 数求解最值；二、 将所给条件转化为边，利用基本不等式或者函数求解最值；三、 建立坐标系，求出动点的轨迹方程，利用几何意义求解最值；四、 多元问题可消 元后再用上述方法求解．如 2018 年 T14 就是与解三角形有关的最值问题．
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法二：因为
C＝3π，所以
c＝2RsinC＝1×
23＝
3 2.
又因为 c2＝a2＋b2－2abcosC，所以34＝a2＋b2－ab≥a2＋2 b2，故 a2＋b2≤32.
又 a2＋b2＝34＋ab>34，故 a2＋b2＋c2∈32，94.
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3. 解法 1 是从将面积表示为角 C 的形式来加以思考的，而解法 2 则是将面积表示 为边 c 的形式来加以思考的．这两种解法都基于一点，即等式 a2＋b2＋2c2＝8 中的 a，b 是对称关系．解法 2 则是从运动变化的角度来加以思考的，这体现了三角函 数与解析几何之间的千丝万缕的关系．解法 1 是一种常规的想法，是必须要认真 体会的，而解法 2 就需要学生能充分地认识知识与知识之间的联系．本题对学生 的知识的应用要求、思考问题、分析问题、解决问题的能力要求都比较高．
25 5
解析：解法 1
因为 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋b2－28a－ b a22－b2＝3a2＋4abb2－8
≥3a2ba－b 4，所以 ab≤3－24cosC，从而 S＝12absinC≤3－2s2incoCsC.设 t＝3－2s2incoCsC，则
3t＝2sinC＋2tFra Baidu bibliotekosC＝2 t2＋1·sin(C＋φ)，其中 tanφ＝t，故 3t≤2 t2＋1，解得 t≤255，
所以 sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即 sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，所以 sin(C－A)＝sin(B－C)．
所以 C－A＝B－C 或 C－A＝π－(B－C)(不成立)，即 2C＝A＋B，所以 C＝π3.
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例 2 在△ABC 中，已知角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB.
(1) 求角 C 的大小；
(2) 若△ABC 的外接圆直径为 1，求 a2＋b2＋c2 的取值范围．
解析：(1) 因为 tanC＝csoinsAA＋ ＋scionsBB，即csoinsCC＝csoinsAA＋＋csionsBB，
4－54c2＝12· －54c2－852＋156≤25 5，当且仅当 c2＝85时取等号，故 Smax＝25 5.
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 2 以 AB 所在的直线为 x 轴，它的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角
坐标系，则 A－2c，0，B2c，0，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8 得x－2c2＋y2＋x＋2c 2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－54c2，即点 C 在圆 x2＋y2＝4－54c2上，所以 S≤2cr＝2c
4－54c2＝12·
－54c2－852＋156≤2 5
5，当且仅当
c2＝85时取等号，故
Smax＝2
5
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热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
【解后反思】 1. 注意到 a2＋b2＋2c2＝8 中 a，b 是对称的，因此将三角形的面积 表示为 S＝12absinC，利用余弦定理将 ab 表示为 C 的形式，进而转化为三角函数来 求它的最值． 2. 将 c 看作定值，这样满足条件的三角形就有无数个，从而来研究点 C 所满足的 条件，为此建立直角坐标系，从而根据条件 a2＋b2＋2c2＝8 得到点 C 的轨迹方程， 进而来求出边 AB 上的高所满足的条件．
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
(2) 解法一：由 C＝π3可得 c＝2RsinC＝1× 23＝ 23， 且 a＝2RsinA＝sinA，b＝2RsinB＝sinB. 设 A＝π3＋α，B＝π3－α，0<A<23π，0<B<23π，知－π3<α<3π. 所以 a2＋b2＋c2＝34＋sin2A＋sin2B＝34＋1－c2os2A＋1－c2os2B ＝74－12cos23π＋2α＋cos23π－2α＝74＋12cos2α. 由－π3<α<π3知－23π<2α<23π，－12<cos2α≤1，故32<a2＋b2＋c2≤94.
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
典课 型时 例作 题业
例 1 在△ABC 中，已知 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2＋b2＋2c2＝8， 则△ABC 面积的最大值为________．
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专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
所以 Smax＝255，当且仅当 a＝b＝2 515且 tanC＝ 25时，等号成立．
第4页
专题综述 典型例题 课后作业
热点难点微专题一 与解三角形有关的最值问题
解法 2 以 AB 所在的直线为 x 轴，它的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的直角 坐标系，则 A－2c，0，B2c，0，C(x，y)，则由 a2＋b2＋2c2＝8 得x－2c2＋y2＋x＋2c 2＋y2＋2c2＝8，即 x2＋y2＝4－54c2，即点 C 在圆 x2＋y2＝4－54c2上，所以 S≤2cr＝2c