函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练

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专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题(原卷版)

专题05 函数的奇偶性(对称性)与周期性问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)若()1ln 1f x a b x=++-是奇函数，则=a _____，b =______． 2．(2022·新高考Ⅱ)已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑()A ．3-B ．2-C ．0D ．13．(2022·全国乙理)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )＋g (2－x )＝5，g (x )－f (x －4)＝7．若y ＝g (x )的图像关于直线x ＝2对称，g (2)＝4．则221()k f k ==∑( )A ．－21B ．－22C ．－23D ．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x + 均为偶函数，则( )A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -= D ．(1)(2)g g -= 【常用结论】1．函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇()⨯÷奇＝偶，偶()⨯÷偶＝偶，奇()⨯÷偶＝奇．结论7：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论8：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论9：函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论10：函数f (x )＝log a x －bx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a (1＋m 2x 2±mx )(a >0且a ≠1)是奇函数．结论11：函数y ＝f (x )是可导的奇函数，则导函数y ＝f ′(x )是偶函数；函数y ＝f (x )是可导的偶函数，则导函数y ＝f ′(x )是奇函数；结论12：导函数y ＝f ′(x )是连续的奇函数，则所有的原函数y ＝f (x )都是偶函数；导函数y ＝f ′(x )是连续的偶函数，则原函数y ＝f (x )中只有一个是奇函数；2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y ＝f (x )满足f (x ＋a )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＝f (－x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝0（y 轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称．推论1：如果函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称．推论2：如果函数y ＝f (x )满足f (x )＋f (－x )＝0，则函数y ＝f (x )的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 轴对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a －x )＝f (x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )若函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f (a ＋x )＝－f (a －x )⇔f (2a －x )＝－f (x )⇔f (2a ＋x )＝－f (－x )(4)原函数与导函数的对称性的关系定理1：可导函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于点(a ，0)中心对称．定理2：可导函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，f (a ))中心对称的充要条件是导函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝a 对称．3．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论10：若函数f (x )可导，并且是周期为T 的周期函数，则f ′(x )也是的周期为T 的周期函数；若函数f (x )可导，其导函数f ′(x )是周期为T 的周期函数，且f (0)＝f (T )，则f (x )也是的周期为T 的周期函数结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．【同类问题】题型一函数的奇偶性与周期性1．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝( )A ．－2B ．0C ．2D ．12．(2021·全国甲)设函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2＋b ．若f (0)＋f (3)＝6，则f ⎝⎛⎭⎫92等于( )A ．－94B ．－32C ．74D ．523．已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，f (x ＋2)是偶函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝x ，则f (－2 022)＋f (2023)＝( )A ．－3B ．－2C ．1D ．04．(多选)(2022·威海模拟)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是偶函数，则( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是奇函数C ．f (x ＋3)是偶函数D ．f (x )＝f (x ＋4)5．(多选)已知f (x )为奇函数，且f (x ＋1)为偶函数，若f (1)＝0，则( )A ．f (3)＝0B ．f (3)＝f (5)C ．f (x ＋3)＝f (x －1)D ．f (x ＋2)＋f (x ＋1)＝16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2 022)＝________．7．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－2，0]上单调递减，下面关于f (x )的判断正确的是( )A ．f (0)是函数的最小值B ．f (x )的图象关于点(1，0)对称C ．f (x )在[2，4]上单调递增D ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称8．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R ，值域是R ；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．9．函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)的值为________．题型二函数的奇偶性与对称性10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是( )A ．y ＝(x －1)f (x －1)B ．y ＝(x ＋1)f (x ＋1)C ．y ＝xf (x )＋1D ．y ＝xf (x )－111．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )的周期为2，在[－1，0]上单调递增，那么f (x )在[1，3]上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增12．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在区间[1，2]上单调递减，令a ＝ln 2，b ＝⎝⎛⎭⎫14－12，c ＝log 122，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是( ) A ．f (b )<f (c )<f (a )B ．f (a )<f (c )<f (b )C ．f (c )<f (b )<f (a )D ．f (c )<f (a )<f (b ) 13．定义在R 上的奇函数f (x )，其图象关于点(－2，0)对称，且f (x )在[0，2)上单调递增，则( )A ．f (11)<f (12)<f (21)B ．f (21)<f (12)<f (11)C ．f (11)<f (21)<f (12)D ．f (21)<f (11)<f (12)14．写出一个满足f (x )＝f (2－x )的偶函数f (x )＝________．题型三函数的周期性与对称性15．(多选)已知f (x )的定义域为R ，其函数图象关于直线x ＝－3对称且f (x ＋3)＝f (x －3)，当x ∈[0，3]时，f (x )＝2x ＋2x －11，则下列结论正确的是( )A ．f (x )为偶函数B ．f (x )在[－6，－3]上单调递减C ．f (x )的图象关于直线x ＝3对称D ．f (2 023)＝－716．已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2 025)＝________．17．已知偶函数f (x )满足f (x )＋f (2－x )＝0，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )是以2为周期的周期函数B ．函数f (x )是以4为周期的周期函数C ．函数f (x ＋2)为偶函数D ．函数f (x －3)为偶函数18．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (1＋x )＝f (1－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x 3－3x ，则f (2 023)等于( )A ．1B ．－2C ．－1D ．219．已知函数f (x )满足：f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且f (x ＋2)＝1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋112，则f ⎝⎛⎭⎫2192的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．620．设函数f (x )为定义在R 上的函数，对∀x ∈R 都有：f (x )＝f (－x )，f (x )＝f (2－x )；且函数f (x )对∀x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫2 0232，b ＝f (log 43)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－14，则a ，b ，c 的大小关系为________．21．(多选)已知奇函数f (x )的定义域为R ，且满足f (2＋x )＝f (2－x )，以下关于函数f (x )的说法正确的为( )A ．f (x )满足f (8－x )＝f (x )B ．8为f (x )的一个周期C ．f (x )＝sin πx 4是满足条件的一个函数 D ．f (x )有无数个零点 22．(多选)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则下列结论错误的是( )A ．f (2 021)＝0B ．2是f (x )的一个周期C ．当x ∈(1，3)时，f (x )＝(1－x )3D ．f (x )＞0的解集为(4k ，4k ＋2)(k ∈Z ) 题型四抽象函数23．设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝________．24．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (1)＝1，且f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，则f (4)＝________．25．(多选)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x ＜0时，f (x )＞0，则函数f (x )满足( )A ．f (0)＝0B ．y ＝f (x )是奇函数C ．f (x )在[1，2]上有最大值f (2)D ．f (x －1)＞0的解集为{x |x ＜1}26．已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)上的增函数，且f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )，f (2)＝1，如果x 满足f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1x －3≤2，则x 的取值范围为________．。

函数的奇偶性、周期性与对称性(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(原卷版)

考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A ．3-B ．2-C ．0D ．11.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+．注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1xmf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-；（2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-．（2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质（1）两个奇函数的和仍为奇函数；（2）两个偶函数的和仍为偶函数；（3）两个奇函数的积是偶函数；（4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。

函数的奇偶性、周期性与对称性-高考数学复习

±1，解得 a ＝0（舍去）或 a ＝2，故选D.
法二

− −1
因为 f （ x ）是偶函数，所以 f （1）－ f （－1）＝－ −
−1
−1
− −1
＝
＝0，所以 a －1＝1，所以 a ＝2.故选D.
−1
目录
高中总复习·数学
解题技法
利用函数的奇偶性求参数值的解题策略
目录
高中总复习·数学
考向3 利用奇偶性求解析式及函数值
【例3】（1）已知偶函数 f （ x ），当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2
π
sin x ，当 x ∈[2，＋∞）时， f （ x ）＝log2 x ，则 f （－）＋ f （4）
3
＝（
）
B. 1
D. 3
目录
高中总复习·数学
解析：∵函数 f （ x ）是偶函数，当 x ∈[0，2）时， f （ x ）＝2 sin
所以 f （ x ）既是奇函数又是偶函数.
目录
高中总复习·数学
（3） f （ x ）＝
36− 2
｜+3|−3
解：由 f （ x ）＝
；
36− 2
｜+3|−3
，可得
36 − 2 ≥ 0，
−6 ≤ ≤ 6，
⇒ቊ
故函数 f （ x ）的定义域为
൝
｜ + 3| − 3 ≠ 0 ≠ 0且 ≠ −6，
1（符合题意）.故选A.
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高中总复习·数学
2. （多选）下列函数中为非奇非偶函数的是（
）
A. y ＝ x ＋e x
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高中总复习·数学
解析：
记 f （ x ）＝ x ＋e x ，则 f （－1）＝－1＋e－1， f （1）＝

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题) (分层精练)(解析)-25年高考数学一轮复习

分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。

高考数学专题《函数的奇偶性、对称性、周期性》填选压轴题及答案

5.已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根，则
6．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()
A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数
C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数
专题03函数的奇偶性、对称性、周期性
【方法点拨】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝ (a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
对于，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，
又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，正确；
对于，函数在，上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6；错误；
对于，在区间，上为增函数且其周期为4，函数在，上为增函数，
又由为函数图象的一条对称轴，则函数在，上为减函数，正确；
2.函数奇偶性、对称性间关系：
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0恒成立，则函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.

函数的定义域值域,单调性,奇偶性,周期性,对称性,综合练习题

函数值域定义域问题： 1的值域求函数x x y-+-=53 2的值域求函数322122+-+-=x x x x y 分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如fex dx c bx ax y ++++=22m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，注意（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式（2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到） 3的值域求函数xx y cos 3sin 1++= 函数单调性问题：1. 若()x x x x f +-++=11lg 21,则不等式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-21x x f ＜21的解集为 2.已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（）.A )10(， .B )2,1( .C )2,0( .D ),2[+∞3.已知函数，讨论函数的单调性；函数奇偶性问题：1判断下列函数奇偶性 <1>32()1x x f x x -=-; <2> 判断()(f x x =-2已知函数21()log 1x f x x x -=-++，求1()2005f -1()2004f +-1()2004f +1()2005f + 3已知定义域为R 的函数12()2x x b f x a+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）任意t R ∈，22(2)(2)0f t t f t k -+-< 成立，求k 的取值范围；函数的对称性问题1.已知函数y f x =+()1的图象过点（3，2），则函数f x ()的图象关于x 轴的对称图形一定过点（） A. （2，-2） B. （2，2） C. （-4，2）D. （4，-2） 2. x ∈R ，恒有)21()21(x f x f --=+成立，当1(0,)2x ∈时,()4x f x =,则3()4f =___________． 3. 若函数f(x)的图象与g(x)=2x-1的图象关于直线y=x+1对称，则函数f(x)的解析式为f(x)=_______________ 函数的周期性问题1 已知函数f （x ）的定义域为R ，则下列命题中：①若f （x －2）是偶函数，则函数f （x ）的图象关于直线x ＝2对称；②若f （x +2）＝－f （x －2），则函数f （x ）的图象关于原点对称；③函数y ＝f （2+x ）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称； 1ln )1()(2+++=ax x a x f )(x f④函数y ＝f （x －2）与函数y ＝f （2－x ）的图象关于直线x ＝2对称. 其中正确的命题序号是 ④ . 2若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=, 且(1,1]x ∈-时()||f x x =,则函数()y f x =的图象与函数lg ||y x =的图象的交点个数为___________ 3 设)(x f 是偶函数，且)1()1(x f x f -=+，当01≤≤-x 时，x x f 21)(-=，则=)6.8(f __。

专题05 函数周期性,对称性,奇偶性问题(解析版)

【详解】因为 f (x 1) 为偶函数，所以 f (x 1) f (x 1) ，所以 f (x 2) f (x) ，因为 f (x 2) 为奇函数，所以 f (x 2) f (x 2) ，
所以 f (x 2) f (x) ，所以 f (x 4) f (x 2) f (x) ，
专题 05 函数周期性，对称性，奇偶性问题
一、结论（同号周期，异号对称.）
1、周期性：
已知定义在 R 上的函数 f (x) ,若对任意 x R ,总存在非零常数T ,使得 f (x T ) f (x) ,则称 f (x)
是周期函数, T 为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下: (1)如果 f (x a) f (x) ( a 0 ),那么 f (x) 是周期函数,其中的一个周期 T 2a
所以 f x 关于 3,0 对称，所以 f x f 6 x 0 ，
因为 f x f 2 x ， f x f 6 x 0 ，
所以 f 6 x f 2 x ，故 f x f x 4 f x 8 ，故 f x 的周期为 8，
因为 f x 关于 x 1 对称，关于 3,0 对称，所以 f x 关于 x 5 对称，
所以 f (x 2) f (x) ，从而 f (x 4) f (x 2) f (x) ， f (x) 是周期函数，且周期为 4，所以 f (2k 1) 0, k Z ，因为 f (x) 的图象关于直线 x 2 对称，也关于点 (1, 0) 对称，所以 f (x) 的图象关于点 (3, 0) 对称，所以 f (2) f (4) 0 ，所以 f (2) f (3) f (4) f (5) 0 ，
所以 f (x) 是以 4 为周期的周期函数，由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 0 ，得 f (2) f (2) ，则 f (2) 0 ，又 f (1) f (2) 2 ，得 f (1) 2 ，由 f (x 2) f (x 2) ，令 x 1 ，得 f (1) f (3) ，则 f (3) 2 ，由 f (x 2) f (x) ，令 x 2 ，得 f (4) f (2) 0 ，则 f (1) f (2) f (3) f (4) 0 ，

函数的对称性、奇偶性与周期性习题

函数的对称性、奇偶性与周期性习题一．求函数值：1.函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =+，若,5)1(-=f 则____))5((=f f2.设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+x f x f ，若2)1(=f ，则=)99(f （）A.13 B .2 C.213 D.132 3.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则___)6(=f4.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则5(())2f f 的值是（） A.0 B.12 C.1 D.525、已知)(x f 是R 上的偶函数，对R x ∈都有f(x ＋6)=f(x)＋f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=6、函数)(x f 在R 上有定义，且满足)(x f 是偶函数，且()02005f =，()()1g x f x =-是奇函数，则()2005f 的值为7.已知函数()f x 为奇函数，且)2()2(x f x f -=+，当02≤≤-x 时，x x f 2)(= 则____)3log 2(2=+f8.(2009山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( C )A.-1B. 0C.1D. 29.在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，则100x =10. 设)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则=)5.7(f （） A. 5.0 B. 5.0- C. 5.1 D. 5.1-二．比较函数值大小：1.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( D ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<2. 已知定义为R 的函数()x f 满足()()4x f x f +-=-，且函数()x f 在区间()∞+,2上单调递增.如果21x 2x <<，且4x x 21<+，则()()21x f x f +的值（）A. 恒小于0B.恒大于0 C ．可能为0 D ．可正可负三．确定函数图象与x 轴交点的个数及与x 轴交点横坐标和的问题1.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在区间[]30,30-上与x 轴至少有___个交点.2.定义在 R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期，若方程0)(=x f 在闭区间[]T T ,-上的根的个数记为n ，则n 可能是( )A 0B 1C 3D 53.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[]2,0上是增函数，若方程()0)(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根432,1,,x x x x ，则____432=+++x x x x4、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（）A 、5B 、10C 、15D 、18三、求函数解析式1.设)(x f 是定义在R 上的函数，R x ∈∀均有0)2()(=++x f x f ，当11≤<-x 时，12)(-=x x f ，求当31≤<x 时，)(x f 的解析式_______2.设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式________3.已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，12)(+-=x x f ，则当[]6,4∈x 时求)(x f 的解析式________四．判断函数奇偶性、对称性及周期性1、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于______对称。

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性训练

函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性训练题型一：单调性的定义及判断1．下列函数在(),0∞-上单调递减的是（）A ．1y x=-B ．2y x =C ．3y x =D ．y x=2．（2024·高三·黑龙江齐齐哈尔·期末）设函数()2f x x x x =-，则()f x （）A ．是偶函数，且在()1,∞+上单调递增B ．是奇函数，且在()1,1-上单调递减C ．是偶函数，且在(),1∞--上单调递增D ．是奇函数，且在(),1∞--上单调递减3．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数2()(0)2x x af x a a =->，且(0)0f =.(1)求a 的值，并指出函数()f x 的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数.题型二：复合函数单调性的判断4．函数()()22log 45f x x x =-++的单调递增区间是（）A ．(),2-∞B ．()2,+∞C ．()2,5D ．()1,2-5．函数()13f x ⎛= ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)3,+∞6．已知函数()()2lg 12f x x ax =-+在[]1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．[)6,+∞B ．[)6,7C ．(],2-∞-D ．(]13,2--题型三：分段函数的单调性7．（2024·高三·云南大理·期中）已知函数()()2,211,282a x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，满足对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(),2-∞B ．13,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(],2-∞D ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．已知函数()252,122,1x ax x f x a x x⎧-+<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩满足对于任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．已知函数()322,0()1202a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]0,210．（2024·高三·内蒙古赤峰·开学考试）已知0a >，且1a ≠，函数()()3,2log 11,2a a x x f x x x -<⎧=⎨--≥⎩在R 上单调，则a 的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭题型四：利用函数单调性求函数最值11．（2024·上海松江·二模）已知02a <<，函数()1241,22,2x a x a x y a x -⎧-++≤=⎨>⎩，若该函数存在最小值，则实数a 的取值范围是.12．（2024·高三·北京东城·期末）设函数()221,,x x af x x a x a⎧-<=⎨+≥⎩①若2a =-，则()f x 的最小值为.②若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是.13．（2024·贵州·模拟预测）已知函数223()2xx f x -++=，则()f x 的最大值是.14．函数25y x =+的最大值为.题型五：利用函数单调性求参数的范围15．（2024·广东揭阳·二模）已知函数()21f x x ax =-++在()2,6上不单调，则a 的取值范围为（）A ．()2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．()4,12D ．(][),412,-∞+∞ 16．（2024·山东·二模）已知函数()221f x x mx =-+在区间[)1,-+∞上单调递增，则()1f 的取值范围是（）．A ．[)7,+∞B ．()7,+∞C ．(],7-∞D ．(),7-∞17．（2024·陕西榆林·一模）已知函数()e e ax xf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,∞+B ．()1,+∞C ．()e,+∞D ．[)2e,+∞18．设函数()1()(2x x a f x +=在区间(0,1)上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．(]2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞题型六：利用函数的单调性比较函数值大小19．已知定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x =-，且当[1,)x ∈+∞时，()e e x x f x -=+,若()2347π2,log 3,sin 5a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b a c>>20．（2024·北京西城·一模）设()11,,2a t b t c t t t t=-=+=+，其中10t -<<，则（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．c b a<<21．已知偶函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且0.35log 2ln 32a b c -==-=，，则()()()f a f b f c ，，的大小关系为()A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f b f c f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f c f b f a >>题型七：函数的奇偶性的判断与证明22．设函数()(),f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是偶函数D ．()()||f x g x 是奇函数23．（2024·重庆·三模）设函数()22xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（）A ．()21f x -+B ．()22f x -+C ．()22f x ++D ．()21f x ++24．（2024·高三·江西）设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则（）A ．()()y f x g x =⋅是偶函数B ．()()y f x g x =⋅是偶函数C ．()()y f x g x =⋅是奇函数D ．()()y f x g x =⋅是奇函数25．（多选题）下列函数中为奇函数的是（）A ．()3f x x=B ．()5f x x=C ．()1f x x x=+D ．()21f x x =26．判断下列函数的奇偶性：(1)()1lg 1x f x x -=+；(2)())lgf x x =.题型八：已知函数的奇偶性求参数27．设函数,1()11,1xx f x x x ⎧≠-⎪=+⎨⎪=-⎩，若()()g x f x a b =++为奇函数，则a b +=28．（2024·陕西西安·模拟预测）函数()52223g x ax x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数，则=a .29．（2024·四川内江·三模）若函数22,0()2,0x ax x f x bx x x ⎧+≥=⎨-<⎩是奇函数，则a b +=.30．设奇函数()cos ,0cos sin ,0a x x c x f x xb xc x ⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则a c +的值为.题型九：已知函数的奇偶性求表达式、求值31．（2024·云南昆明·模拟预测）已知()f x ，()g x 分别为定义在R 上的奇函数和偶函数，()()32f x g x x ax a +=++，则()3f =．32．已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359xf xg x x x +=-++，则()()13f g -+=．33．已知()f x ，()g x 是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=++，则()()12f g +=.34．（2024·黑龙江哈尔滨·）已知()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且满足()()e xf xg x x +=+，则()g x =（）A ．e e 2x x--B ．e e 2x x-+C ．e e 22x x x ---D ．e e 22x x x --+题型十：奇函数的中值模型35．（2024·陕西榆林·三模）已知函数()y f x =为奇函数，且最大值为1，则函数()21y f x =+的最大值和最小值的和为.36．（2024·全国·模拟预测）已知函数()(ln 1xxa f xb xc a=+++，其中0a >且1a ≠，b ∈R ，c Z ∈，则()1f 和()1f -的值一定不会是（）A．2和3-B ．-3和4C ．3和-1D．3437．已知函数())1f x x =+，正实数,a b 满足(2)(4)2f a f b +-=，则242b a a ab b ++的最小值为.38．已知函数())ln1f x x =+，则()()1g x f x =-是（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）函数；若()4f a =，则()f a -=.39．（2024·安徽安庆·三模）若,x y R ∀∈，都有()()()4x y f x f f y ++=+成立，则函数()()()2221x f x x f x g x x +++=在[]2019,2019-上的最大值与最小值的和为.题型十一：利用单调性与奇偶性求解函数不等式40．已知函数2()2e 1x f x x =--+，若()2(2)20f m f m +-+>恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(2,4)41．（2024·大连）设函数3333()sin πe e 3x x f x x x --=+--+则满足()(32)4f x f x +-<的x 的取值范围是（）A ．(3,)+∞B ．(3),-∞C ．(1,)+∞D ．(,1)-∞42．（2024·云南贵州·二模）若函数()f x 的定义域为R 且图象关于y 轴对称，在[)0，+¥上是增函数，且()30f -=，则不等式()0f x <的解是（）A ．()3∞--，B ．()3∞+，C ．()33-，D ．()()33∞∞--⋃+，，43．（2024·辽宁·一模）已知函数()()2log 4162xf x x =+--，若()()121f a f a -≥+成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],2-∞-B ．(][),20,-∞-+∞ C ．42,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．(]4,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭题型十二：函数对称性的应用44．（2024·陕西宝鸡·二模）请写出一个图像关于点()1,0对称的函数的解析式．45．（2024·四川泸州·一模）函数()1xf x x =-的对称中心为．46．已知函数1()1f x x -=-，函数()g x 满足(1)(1)0g x g x -++=，若()f x 与()g x 的图象有6个交点，则所有交点横坐标之和等于.47．下列函数中，其图象与函数2log y x =的图象关于直线2x =对称的是（）A ．()2log 2y x =+B ．()2log 2y x =-C ．()2log 4y x =+D ．()2log 4y x =-48．（2024·高三·陕西汉中·期中）已知函数()()R f x x ∈满足()21f x +为奇函数，若函数sin πy x =与()y f x =的图象的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+∑等于（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m题型十三：函数周期性的应用49．已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =．50．（2024·宁夏银川·一模）若定义在R 上的函数()f x 满足(1)y f x =+是奇函数，(4)()f x f x +=-，(2)2f =，则(1)(2)(3)(30)f f f f ++++=．51．（2024·山东枣庄·一模）已知()2f x +为偶函数，且()()26f x f x ++=-，则()2027f =．52．（多选题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+.若()()036f f +=，则下列关于()f x 的说法正确的有（）A ．()f x 的一个周期为4B ．点()6,0是函数的一个对称中心C ．[]1,2x ∈时，()222f x x =-D ．2025522f ⎛⎫=⎪⎝⎭题型十四：对称性与周期性的综合应用53．（2024·四川南充·三模）已知函数()()f x g x 、的定义域均为R ，函数(21)1f x -+的图象关于原点对称，函数(1)g x +的图象关于y 轴对称，(2)(1)1,(4)0f x g x f +++=--=，则(2030)(2017)f g -=（）A ．4-B ．3-C ．3D ．454．（2024·云南昆明·一模）已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 为偶函数且()()23f x f x ++=，()()102g x g x +-=，则[]91()()i f i g i =+=∑（）A ．21B ．22C ．452D ．47255．（2024·高三·河南濮阳·开学考试）已知函数()f x 的定义域为R ，且()41f x +的图象关于点()0,2中心对称，若()()2240f x f x x +--+=，则()1001i f i ==∑.56．（2024·江西）已知定义在R 上的函数()f x 满足(0)0,(3)4()f f x f x ==且(1)()2f x f x -+=，则23f ⎛⎫=⎪⎝⎭A ．32B ．12C ．23D ．1357．（2024·山东日照·二模）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，()5.54f =，()()()1g x x f x =-，若()1g x +是偶函数，则()0.5g -=（）A ．6-B ．4-C ．4D ．658．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若(21),(2)f x g x --均为偶函数，且当[1,2]x ∈时，3()2f x mx x =-，则(2024)g =.题型十五：类周期与倍增函数59．（2024·江西上饶·一模）已知函数211,[2,0]()12(2),(0,)x x f x x f x x ⎧-⎪+∈-=⎨-⎪-∈+∞⎩,若函数()()21g x f x x m =--+在区间[－2，4]内有3个零点，则实数m 的取值范围是．A ．11|22m m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1|12m m ⎧⎫-<≤⎨⎩⎭C ．1|112m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或D ．11|122m m m ⎧⎫-<<=⎨⎬⎩⎭或。

函数的性质练习（奇偶性、单调性、周期性、对称性）（附答案）（汇编）

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(x f 在区间[6,6]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是() A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(x f ,那么)3120(f A.0B.2C.2D.24、已知112)(x xx f ，那么)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14B.15C.16D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(xf xf 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(x fD.)3(x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(xf x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为 4B. )(x f 的周期为 6C. )(x f 的图像关于直线1x 对称 D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f ,)1()1(x f x f ，当x[1, 1]时，3)(x x f ，则)2013(f A.1B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f ，并且)1(x f 为偶函数. 若3)1(f ，那么)101(f A.1 B.2C.3D.4 9、已知f(x)(x ∈R)为奇函数，f(2)＝1，f (x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于()A.12B ．1C.32D ．2 10、若奇函数f (x)(x ∈R)满足f(3)＝1，f(x ＋3)＝f(x)＋f (3)，则f 32等于()A ．0B ．1C.12D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f(－25)<f(11)<f(80)B ．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f(11)<f(80)<f(－25)D ．f(－25)<f(80)<f(11)12、设f x 为定义在R 上的奇函数，满足2f x f x ，当01x 时f xx ，则7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5C ．1.5D ．1.513、设f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则2f 与223f aa（a R ）的大小关系是（）A ．2f <223f a aB ．2f ≥223f aa C ．2f>223f aaD ．与a 的取值无关14、若函数f x 为奇函数，且当0x时，1f xx ，则当0x 时，有（）A ．f x 0B ．f x 0C ．f x f x ≤0D ．f x －f x15、已知函数2212f xxa x 在区间4,上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥316、已知函数0f x x a x a a ,111)(x x x x g ,)0()0()(22x x xx x x x h ，则,,f x g x h x 的奇偶性依次为（）A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数17、已知函数221,f x xax b b a b R 对任意实数x 都有11f x f x成立，若当1,1x时，0f x恒成立,则b 的取值范围是（）A ．10b B ．2bC ．12b b 或D ．不能确定18、已知函数2223f xxx ，那么（）A ．y f x 在区间1,1上是增函数B ．y f x 在区间,1上是增函数C ．y f x 在区间1,1上是减函数D ．yf x 在区间,1上是减函数19、函数yf x 在0,2上是增函数，函数2y f x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．57122f f fB ．57122f f fC ．75122f f f D ．75122ff f20、设函数f x 是R 上的奇函数，且当0x 时，23xf x，则2f等于（）A ．1B ．114C ．1D ．11421、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在,0上是减函数,且12210x x x x ，,则A.)()(21x f x f B.)()(21x f x f C.)()(21x f x f D.不能确定22、函数y f x 与y g x 的定义域相同，且对定义域中任何x 有0f x f x，1g x g x ，若1g x的解集是0，则函数21f x F xf xg x是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数23、已知函数)(x f 0,10,sin xe x x x x，若)()2(2a f a f ，则实数a 取值范围是A. (1,)),2( B. (1,2) C. (2,1) D. (2,),1()24、已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意x 都有)()1()1(x f x x xf 那么)25(f =A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设y f x 是R 上的减函数，则3y f x 的单调递减区间为25、已知f x 为偶函数，g x 是奇函数，且f x 22g x x x ，则f x 、g x分别为;26、定义在1,1上的奇函数21x m f xxnx ，则常数m，n；27、一般地，家庭用电量y （千瓦）与气温x （℃）有函数关系)(x f y 。

三角函数专题四--三角函数的对称性周期性及奇偶性50套精选一套

三角函数专题四--三角函数的对称性、周期性、奇偶性题型一:三角函数的周期性:①.sin y x =、cos y x =的最小正周期都是π2； ②.()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=③. )cos()sin()(ϕωϕω+++=x A x A x f 的最小正周期都是2||T πω=.④.)tan()(ϕω+=x x f 、)tan()(ϕω+=x x f 、)sin()(ϕω+=x A x f 、)cos()(ϕω+=x A x fx x x x x f ωωωωcos sin cos sin )(22+-=的最小正周期都是ωπ=T .1.求下列函数的周期：①.)42sin(π+=x y , T = ②.33cos cos sin sin 2222x x x xy =+, T =③.sin cos y x x =+, T = ④.x x y 2cos 2sin 3-=,T =2.已知函数22()cos sin 2sin cos f x x x x x =-+,则函数()f x 的最小正周期为3.函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是（）A. π2B. π4C.4π D. 2π 4.函数xy sin =的最小正周期是5.函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos πx y 的最小正周期是6.函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（）A. )(2,Z k k x ∈=ππ B. )(,2Z k k x ∈=ππ C. )(,Z k k x ∈=ππ D. )(2,2Z k k x ∈=ππ7.函数1cos sin xy x-=的周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8.函数)3sin(3π+=ax y 的最小正周期为1，则a =____________9.直线y a =（a 为常数）与正切曲线tan y x ω=（ω为常数且0ω>）相交的相邻两点间的距离是（）A ．B ．2πωC ．πωD ．与a 值有关10.函数x x f sin )(2=对于R x ∈，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则21x x -的最小值为（） A ．4π B ． 2πC ． πD ． π211.若*()sin ,()6n f n n N π=∈，则(1)(2)(102)f f f +++ =题型二: 三角函数的奇偶性奇函数的形式:x A x f ωsin )(=,x x f ωtan )(=. 偶函数的形式: B x A x f +=ωcos )(. 12.下列函数中为偶函数的是（）A ．sin ||y x =B ．2sin y x =C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+ 13.已知函数()sin ,()tan()2x f x g x x ππ+==-，则（）A ．()f x 与()g x 都是奇函数B ．()f x 与()g x 都是偶函数C ．()f x 是奇函数，()g x 是偶函数D ．()f x 是偶函数，()g x 是奇函数 14.下列函数中，周期为1的奇函数是（） A ．x y π2sin 21-= B ．)32(sin ππ+=x y C ．tan2y x π= D ．x x y ππcos sin =15.函数1)4(cos 22--=πx y 是（）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数 16.已知函数()sin 1,2f x x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭则下列命题正确的是（）A ．()f x 是周期为1的奇函数B ．()f x 是周期为2的偶函数C ．()f x 是周期为1的非奇非偶函数D ．()f x 是周期为2的非奇非偶函数17.函数)sin 1lg()sin 1lg()(x x x f +--=是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数18.函数3sin )(++=x b ax x f ,若7)5(=f ，则=-)5(f19.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（） A ．0 B ．4π C. 2πD.π 20.已知函数)cos()sin()(ϕϕ+++=x x x f 为奇函数，则ϕ的一个取值为（） A.0 B.2π C.4π- D.πx21.已知)cos(3)sin()(θθ+++=x x x f 为偶函数，则θtan =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿22.已知偶函数)0,0)(sin(2)(πϕωϕω<<>+=x x f 的最小正周期是π，则)(x f 的单调递减区间为题型三:求三角函数表达式23.函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期上的图像如图所示, 则函数的解析式是 ( ) A. )322sin(2π-=x y B. )342sin(2π+=x y C. )322sin(2π+=x y D. )32sin(2π-=x y 24.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示.则函数()f x 的解析式为( )A.621sin(2)(π+=x x f B.)621sin(2)(π-=x x fC.)62sin(2)(π-=x x f D ．()2sin(26f x x π=+25.函数sin()(0,,)2y A x x R πωϕωϕ=+><∈的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（） A.48sin(4ππ+-=x y B ．)48sin(4ππ-=x yC ．48sin(4ππ--=x yD ．48sin(4ππ+=x y题型四:综合训练26.已知函数2()sin 22sin f x x x =-(1).求函数()f x 的最小正周期. (2).求函数()f x 的最大值及()f x 取最大值时x 的集合.27.已知函数()sin sin(),2f x x x x R π=++∈.(1).求()f x 的最小正周期. (2).求()f x 的的最大值和最小值. (3).若3()4f α=，求sin2α的值.28.已知函数2()2cos cos 1f x x x x =++(1).求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. (2).当[0,]4x π∈时，求函数()y f x =的值域．29.已知函数x x x x f 2sin 3)4sin()4sin(2)(+-+=ππ.(1).求()f x 的最小正周期. (2).求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.30.函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=2,3,cos 42cos ππx x x y 的值域.。

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

函数性质专题函数的奇偶性、周期性、对称性

函数性质专题函数的奇偶性、周期性、对称性第一部分函数的奇偶性一、奇偶函数的定义偶函数奇函数定义设函数f (x )的定义域为I ，如果∀x ∈I ，都有－x ∈I且f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做偶函数且f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )就叫做奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称一、函数的奇偶性常用结论1、奇(偶)函数定义的等价形式①f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数； ②f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数. 2、如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0.如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |).3、在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．二、函数的奇偶性常见题型（一）函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 3－1x； (2)f (x )＝x 2－1 ＋1－x 2 ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x >0，x 2＋2x －1，x <0.跟踪练习1、下列函数中为偶函数的是( )A ．f (x )＝2x ＋1B ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝1x 2 D ．f (x )＝x ＋1x2、函数f (x )＝1x －x 的图像( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称3、已知函数f (x )＝x ·|x |－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数，递增区间是(－∞，0)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(0，＋∞)4、设函数f (x )＝1－x1＋x ，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋15、设函数f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，下列函数必为奇函数的是( )A ．y ＝－|f (x )|B ．y ＝xf (x 2)C ．y ＝－f (－x )D ．y ＝f (x )＋f (－x )6、已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )( )A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数7、已知定义在R 上的函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，则() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数C ．f (x )－1是偶函数D ．f (x )－1是奇函数8、(多选)下列函数是奇函数的是( )A ．y ＝2x 2－3B ．y ＝x 3C ．y ＝x 2，x ∈[0，1]D ．y ＝x9、(多选)下列说法中正确的是( )A ．图象关于坐标原点对称的函数是奇函数B ．图象关于y 轴对称的函数是偶函数C ．函数y ＝x 2在x ∈(0，＋∞)上是偶函数D ．若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝010、(多选)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝f (－x )C ．y ＝xf (x )D ．y ＝f (x )＋x11、(多选)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的有( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|＋g (x )是偶函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数12、(多选)如果f (x )是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为具有奇偶性的函数的是( )A ．y ＝x ＋f (x )B ．y ＝xf (x )C ．y ＝x 2＋f (x )D ．y ＝x 2f (x )13、(多选)函数f (x )的定义域为R ，且f (x )与f (x ＋1)都为奇函数，则( )A ．f (x －1)为奇函数B ．f (x )为周期函数C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋2)为偶函数14、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0；15、判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 3－x 2x －1； (2)f (x )＝x 2－x 3；(3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|；(4)f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R).16、(1)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)已知函数f (x )，x ∈R ，若∀x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＋f (x 1－x 2)＝2f (x 1)·f (x 2)，求证：f (x )为偶函数；(3)设函数f (x )定义在(－l ，l )上，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数．17、已知f (x )是定义在R 上的函数，设g (x )＝f （x ）＋f （－x ）2，h (x )＝f （x ）－f （－x ）2. (1)试判断g (x )与h (x )的奇偶性；(2)试判断g (x )，h (x )与f (x )的关系；(3)由此你能猜想出什么样的结论？（二）根据奇偶性求函数值例2(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，求f (－2)的值.跟踪练习1、(2022·青岛模拟)已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－262、如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A.－2 B ．2 C ．1 D ．03、已知f (x )为奇函数，在区间[3，6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．54、已知f (x )＝ax 3＋bx ＋1(ab ≠0)，若f (2019)＝k ，则f (－2019)＝( )A ．kB ．－kC ．1－kD ．2－k5、已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．36、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (2－x )－f (x )＝0，f (0)＝3 ，则f (10)＝________．7、已知y ＝f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋ax ，且f (3)＝6，则a 的值为________．8、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 9、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________．10、已知f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，则f (1)的值是________．11、若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．（三）根据奇偶性求函数的解析式例3(1)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x －2)，则当x ＜0时，求f (x )的表达式.(2)已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，求f (x )的表达式跟踪练习1、(2022·广东模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2－x －1，则当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝________．2、已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0，f (x )＝2x －2x ＋a ，则a ＝________；当x <0时，f (x )＝_______.3、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，f (x )＝_______.4、已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)画出函数f (x )的图像．5、已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0，2]上的最小值为g (m )．求函数g (m )的解析式；6、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．7、已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25. (1)求函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数；(3)解关于实数t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0.（四）函数奇偶性的应用例4已知定义在(－1，1)上的函数f (x )＝x x 2＋1. (1)试判断f (x )的奇偶性及在(－1，1)上的单调性；(2)解不等式f (t －1)＋f (2t )<0.跟踪练习1、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，则下列说法正确的是( )A.函数f (x )有3个单调区间B ．当x >0时，f (x )＝x (x －1)C ．函数f (x )有最小值14D ．不等式f (x )<0的解集是(－1，1)2、已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112 的大小关系为( )A ．f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112B ．f (－1)<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫112 C ．f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4)<f (－1) D ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112 <f (4) 3、定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 4、若函数f (x )(f (x )≠0)为奇函数，则必有( )A ．f (x )·f (－x )>0B ．f (x )·f (－x )<0C ．f (x )<f (－x )D ．f (x )>f (－x )5、(2022·白银模拟)已知f (x )＝a x －2x (a ≠2)为奇函数，则“m <－12”是“f (m )>0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6、设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)7、如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上( )A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－58、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．29、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)10、设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}11、已知定义在R 上的偶函数f (x )满足在[0，＋∞)上单调递增，f (3)＝0，则关于x 的不等式f (x ＋2)＋f (－x －2)x>0的解集为( ) A ．(－5，－2)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－5)∪(0,1)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－5,0)∪(1，＋∞)12、设f (x )为偶函数，且在区间(－∞，0)内是增函数，f (－2)＝0，则xf (x )<0的解集为( )A ．(－1，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，2)C ．(－2，0)∪(2，＋∞)D ．(－2，0)∪(0，2)13、(多选)(2022·岳阳质检)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数．令f (x )＝x －[x ]，以下结论正确的有( )A ．f (－1.1)＝0.9B ．函数f (x )为奇函数C ．f (x ＋1)＝f (x )＋1D ．函数f (x )的值域为[0,1)14、(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有( )A ．这个函数有两个单调递增区间B ．这个函数有三个单调递减区间C ．这个函数在其定义域内有最大值7D ．这个函数在其定义域内有最小值－715、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________． 16、已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，则a ＋b ＝________.17、若函已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________18、单调递减区间是_______．数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________． 19、已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝1，若f (x ＋a )≤1对x ∈[－1，1]恒成立，则实数a 的取值范围是________．20、若函数f (x －2)为奇函数，f (－2)＝0，且f (x )在区间[－2，＋∞)上单调递减，则不等式f (3－x )>0的解集为________．21、已知实数a ，b 满足(a －1)5＋(b －3)5＝2 020(1－a )3＋2 020(3－b )3，则a ＋b ＝________．22、函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是________．23、(2022·福建质检)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f (x )的结论：①f (x )是周期函数；②f (x )在(0,2)上单调递减；③f (x )满足f (x )＝f (4－x )；其中正确的结论是________(写出所有正确结论的序号)．24、设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成的图形的面积．25、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．26、设函数f (x )＝x 2－2|x －a |＋3，x ∈R .(1)王鹏同学认为，无论a 取何值，f (x )都不可能是奇函数．你同意他的观点吗？请说明你的理由；(2)若f (x )是偶函数，求a 的值；(3)在(2)的情况下，画出y ＝f (x )的图象并指出其单调递增区间．第二部分函数的周期性一、函数周期的定义(1)周期函数：一般地，设函数f (x )的定义域为D ，如果存在一个非零常数T ，使得对每一个x ∈D 都有x ＋T ∈D ，且f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫作周期函数．非零常数T 叫作这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．二、函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0).(2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0). (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0). 三、函数周期性的应用例1定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)等于( )A ．336B ．338C ．337D ．339跟踪练习1、(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝⎛⎭⎫132等于( )A ．－94B ．－14 C.14 D.942、在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A ．0.5B ．1.5C ．2.5D ．3.53、定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x ).若f (2)>1，f (7)＝a ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－3)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)4、(2022·宿州市模拟(一))已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝4x －1，则在(1，3)上，f (x )≤1的解集是( )A ．⎝⎛⎦⎤1，32 B ．⎣⎡⎦⎤32，52 C ．⎣⎡⎭⎫32，3 D ．[2，3)5、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 025)＝( )A ．－3B ．0C ．1D ．36、已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (2＋x )＋f (x )＝0，当x ∈[－2，0]时，f (x )＝－x 2－2x ，则当x ∈[4，6]时，y ＝f (x )的最小值为( )A ．－8B ．－1C ．0D ．17、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－48、已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)9、已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32 ，f (－1)＝1，f (0)＝－2，且f ⎝⎛⎭⎫x －34 为奇函数，则下列说法错误的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )是周期为3的周期函数D ．f (0)＋f (1)＋…＋f (2 021)＝010、函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋4)，若f (2)＝3，则f (2 022)＝( )A ．3B ．－3C ．6D ．2 02211、已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为812、函数f (x )满足f (x )f (x ＋2)＝13，且f (1)＝2，则f (2 023)＝________.13、若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 023)＝________. 14、函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )为定义在R 上的奇函数，则f (2 021)＋f (2 022)＝________.15、已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．16、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－6)＝0，则f (2 022)＝________．17、已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－2)＝2，则f (2 026)＝_______．18、已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2).若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________．19、设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．第三部分函数的对称性一、函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，0对称．(3) f (2a －x )＝－f (x )＋2b ⇔f (x )的图象关于点(a ，b )对称．二、函数对称性的应用例已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.跟踪练习1、(2022·山东师大附中第二次月考)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈[0，3]时，f (x )＝x 2－3x ，则以下关于f (x )的结论错误的是( )A ．周期为6B ．图象关于⎝⎛⎭⎫32，0 对称C ．f (2 021)＝2D ．图象关于x ＝32对称 2、已知函数f (x )的图象关于原点对称，且周期为4，f (3)＝－2，则f (2 021)等于( )A ．2B ．0C ．－2D ．－43、已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则a ＋b 等于( )A ．0B ．－1C ．－2D ．24、(多选)(2022·湖北新高考9＋N 联盟模拟)已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则( )A ．f (x )的图象关于点(2,0)对称B ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称C ．f (x )的周期为4D ．f (x )的周期为85、(2022·承德模拟)已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，且f (－x )＝f (x )，则下列结论正确的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝2对称B ．f (x )的图象关于点(2,0)对称C ．f (x )的周期为4D ．y ＝f (x ＋4)为偶函数6、已知定义在R 上的奇函数f (x )对∀x ∈R 都有f (x ＋2)＝－f (x )，则下列判断正确的是( )A ．f (x )是周期函数且周期为4B ．f (x )的图象关于点(1,0)对称C ．f (x )的图象关于直线x ＝－1对称D ．f (x )在[－4,4]上至少有5个零点7、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝________.8、已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝⎛⎭⎫352＝12，则m ＝______.9、函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2 025)＝______.10、已知函数f (x )满足：①f (0)＝0；②在[1,3]上是减函数；③f (1＋x )＝f (1－x )．请写出一个满足以上条件的f (x )＝_______．11、已知函数y ＝f (x )－2为奇函数，g (x )＝2x ＋1x，且f (x )与g (x )图象的交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 6，y 6)，则y 1＋y 2＋…＋y 6＝________.12、函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＝________．13、若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则a ＝________，函数g (x )＝bx ＋a x，x ∈[－4，－1]的值域为________．。

函数的周期性,奇偶性,对称性经典小题练(含答案)

函数的周期性练习题一．选择题（共15小题）1．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2）且x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，则f（log220）=（）A．1 B．C．﹣1 D．﹣2．设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=﹣，且当x∈[﹣3，﹣2]时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）A．10 B．C．﹣10 D．﹣3．设偶函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（x）=4x，则f（119.5）=（）A．10 B．﹣10 C．D．﹣4．若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=3，则f（8）﹣f（4）的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．25．已知f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当x∈（0，2]时，f（x）=2x+log2x，则f（2015）=（）A．﹣2 B．C．2 D．56．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.58．奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=3x+，则f（log354）=（）A．﹣2 B．﹣ C．D．29．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且周期是4，若f（1）=5，则f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0 D．310．f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（5））=（）A．﹣5 B．C．D．5 11．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=f（x﹣5），且0≤x≤5时，f（x）=4﹣x，则f（1003）=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时f（x）=x2﹣x，则函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f（x+2）=f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）=log2（x+1），则f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．2 D．1 14．已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，则方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数（）A．4B．8C．9D．1015．已知最小正周期为2的函数f（x）在区间[﹣1，1]上的解析式是f（x）=x2，则函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10小题）16．已知定义在R上的函数f（x），满足f（1）=，且对任意的x都有f（x+3）=，则f（2014）=．17．若y=f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，则函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为．18．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2013）的值为．19．定义在R上的函数f （x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f （x）=﹣f （x+），f （1）=1，f （0）=﹣2，则f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2010）的值为=．20．定义在R上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，则f（2011）=．21．定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x）．当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=．22．若函数f（x）是周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）=2，则f （8）﹣f（14）=．23．设f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f（2）＞1，f（2014）=，则实数a的取值范围是．24．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=．25．若f（x+2）=，则f（+2）•f（﹣14）=．一．选择题（共15小题）1．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数又∵f（x﹣2）=f（x+2）∴函数f（x）为周期为4是周期函数又∵log232＞log220＞log216∴4＜log220＜5∴f（log220）=f（log220﹣4）=f（log2）=﹣f（﹣log2）=﹣f（log2）又∵x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+，∴f（log2）=1 故f（log220）=﹣1 故选C2．【解答】解：因为f（x+3）=﹣，故有f（x+6）=﹣=﹣=f（x）．函数f（x）是以6为周期的函数．f（107.5）=f（6×17+5.5）=f（5.5）=﹣=﹣=﹣=．故选B3．【解答】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=﹣，∴f（x+3）=﹣，则f（x+6）=f（x），即函数f（x）的周期为6，∴f（119.5）=f（20×6﹣0.5）=f（﹣0.5）=﹣=﹣，又∵偶函数f（x），当x∈[﹣3，﹣2]时，有f（x）=4x，∴f（119.5）=﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解：f（x）是R上周期为5的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∵f（1）=﹣f（﹣1），可得f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，因为f（2）=﹣f（2），可得f（﹣2）=﹣f（2）=﹣3，∴f（8）=f（8﹣5）=f（3）=f（3﹣5）=f（﹣2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f（﹣1）=﹣1，∴f（8）﹣f（4）=﹣3﹣（﹣1）=﹣2，故选C；5．【解答】解：∵f（x）的周期为4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣1），又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（2015）=﹣f（1）=﹣21﹣log21=﹣2，故选：A．6．【解答】解：由图象知f（1）=1，f（﹣1）=2，∵f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，∴f（2014）+f（2015）=f（1）+f（﹣1）=1+2=3，故选：A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5 故选D8．【解答】解：∵f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是以4为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选：A．9．【解答】解：在R上的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0则：f（﹣x）=﹣f（x）所以函数是奇函数由于函数周期是4，所以f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣5 故选：B 10．【解答】解：∵f（x+2）=∴f（x+2+2）==f（x）∴f（x）是以4为周期的函数∴f（5）=f（1+4）=f（1）=﹣5f（f（5））=f（﹣5）=f（﹣5+4）=f（﹣1）又∵f（﹣1）===﹣∴f（f（5））=﹣故选B11．【解答】解：∵f（x+5）=f（x﹣5），∴f（x+10）=f（x），则函数f（x）是周期为10的周期函数，则f（1003）=f（1000+3）=f（3）=4﹣3=1，故选：C．12．【解答】解：当0≤x＜2时，f（x）=x2﹣x=0解得x=0或x=1，因为f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，故f（x）=0在区间[0，6）上解的个数为6，又因为f（6）=f（0）=0，故f（x）=0在区间[0，6]上解的个数为7，即函数y=f（x）的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7，故选：B．13．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），∴f（2014）=f（2016）=f（0）=log21=0，∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣2015）=﹣f（2015）=﹣f（1）=﹣1．∴f（2014）+f（﹣2015）+f（2016）=0﹣1+0=﹣1．故选A．14．【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数f（x）与y=的图象如下图：由图象可知：函数y=f（x）与y=在区间[﹣3，4]上有10个交点（互不相同），所以方程f（x）=在[﹣3，4]解的个数是10个，故选：D．15．【解答】解：∵函数f（x）的最小正周期为2，∴f（x+2）=f（x），∵f（x）=x2，y=g（x）=|log5x|∴作图如下：∴函数f（x）在实数集R上的图象与函数y=g（x）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选：C二．填空题（共10小题）16．【解答】解：∵对任意的x都有f（x+3）=，∴f（x+6）==f（x），∴函数f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（335×6+4）=f（4）=f（1+3）==﹣5 故答案为：﹣517【解答】解：当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，函数y=f（x）的周期为2，x∈[﹣1，0]时，f（x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于y轴对称的偶函数y=log5|x|．函数y=g（x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在x＞0上有4个交点，由对称性知它们在x＜0上也有4个交点，且它们关于直线y轴对称，可得函数g（x）=f（x）﹣log5|x|的零点个数为8；故答案为8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2），∴f（x+1）=f（x）﹣f（x﹣1）=f（x﹣1）﹣f（x﹣2）﹣f（x﹣1），∴f（x+1）=﹣f（x﹣2），即f（x+3）=﹣f（x），∴f（x+6）=f（x），即当x＞0时，函数的周期是6．∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=﹣f（0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log28=﹣3，故答案为：﹣3．19．【解答】解：由f （x）=﹣f （x+）得f （x+3）=f[（x+）+]=﹣f （x+）=f （x）.所以可得f （x）是最小正周期T=3的周期函数；由f （x）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x，﹣y）．即若y=f （x），则必﹣y=f （﹣﹣x），或y=﹣f （﹣﹣x）．而已知f （x）=﹣f （x+），故f （﹣﹣x）=f （x+），今以x代x+，得f （﹣x）=f （x），故知f （x）又是R上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣1）=1；f （2）=f （2﹣3）=f （﹣1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续3项之和为0．而2010=3×670，于是f （2010）=0；故答案为0．20．【解答】解：由题意知，定义在R上的函数f（x）有，则令x=x+2代入得，∴f（x+4）===f（x），∴函数f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（4×502+3）=f（3），∵当x∈（0，4）时，f（x）=x2﹣1，∴f（3）=8．即f（2011）=8．故答案为：8．21．【解答】解：∵当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，∴f（﹣3）=﹣1，f（﹣2）=0，∵当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，∴f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，f（2）=2，又∵f（x+6）=f（x）．故f（3）=﹣1，f（4）=0，f（5）=﹣1，f（6）=0，又∵2012=335×6+2，故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 012）=335×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f （5）+f（6）]+f（1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为：33822．【解答】解：由题意可得，f（8）=f（8﹣10）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣15）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，故有f（8）﹣f（14）=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，故答案为﹣1．23．【解答】解：解：由f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f（x+3）=f（x），f（﹣x）=﹣f（x），∴f（2014）=f（3×672﹣2）=f（﹣2）=﹣f（2），又f（2）＞1，∴f（2014）＜﹣1，即＜﹣1，即为＜0，即有（3a﹣2）（a+1）＜0，解得，﹣1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得f（﹣14）=f（﹣16+2）=log216=4，∴f（+2）•f（﹣14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共5小题）26．【解答】（1）证明：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为4的周期函数；（2）解：当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）=2（﹣x）﹣（﹣x）2=﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x）=x2+2x，又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）=f（x﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4）=x2﹣6x+8，从而求得x∈[2，4]时，f（x）=x2﹣6x+8；（3）解：f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=﹣1，又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=…=f（2 000）+f（2 001）+f（2 002）+f（2 003）=0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 004）=0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，又f（x）是偶函数则，x∈[﹣1，0]．（2），∵1﹣log32∈[0，1]，∴，即．28．【解答】解：（1）令x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，∴f（﹣x）=2﹣x﹣1．又∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，∴．（2）∵f（x+4）=f（x），∴f（x）是以4为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数f（x）的周期为3，∴f（﹣2014）=f（﹣671×3﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（12﹣1+2）=﹣2，∴f（﹣2014）=﹣2．30．【解答】解；（1）因为奇函数f（x）的定义域为R，周期为2，所以f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1），且f（﹣1）=﹣f（1），于是f（﹣1）=0．…（2分）当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1），f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（2﹣x+2x）=﹣2x﹣2﹣x．…（5分）所以f（x）在[﹣1，0）上的解析式为…（7分）（2）f（x）在（﹣2，﹣1）上是单调增函数．…（9分）先讨论f（x）在（0，1）上的单调性．设0＜x1＜x2＜1，则因为0＜x1＜x2＜1，所以，于是，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x）在（0，1）上是单调增函数．…（12分）因为f（x）的周期为2，所以f（x）在（﹣2，﹣1）上亦为单调增函数．…（14分）。

函数的周期性-奇偶性-对称性经典小题练(含答案)

精品资料欢迎下载函数的周期性练习题一．选择题（共15 小题）1．定义在R 上的函数f（ x）满足f（﹣ x） =﹣ f（x），f（ x﹣ 2） =f（x+2）且 x∈（﹣ 1，0）时， f（x ）=2x+，则f（log220）=（）A． 1B．C．﹣ 1 D．﹣2．设偶函数 f （x）对任意x∈R，都有f（ x+3）=﹣，且当x∈[﹣ 3，﹣ 2] 时， f （x）=4x，则 f （107.5）=（）A．10 B．C．﹣10D．﹣3．设偶函数 f （x）对任意x∈R 都有f（ x） =﹣且当x∈[﹣3，﹣2]时f（ x） =4x，则f（ 119.5） =（）A．10 B．﹣10C．D．﹣4．若 f（x）是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足 f （1）=1，f（ 2） =3，则 f （ 8）﹣ f（ 4）的值为（）A．﹣1B．1C．﹣ 2 D ． 25．已知 f（ x）是定义在 R 上周期为 4 的奇函数，当 x∈（0，2] 时， f（x）x=2 +log2x，则 f（2015）=（）A．﹣2B．C．2 D．56．设 f （x）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣ 2，1] 上的图象，则 f（2014）+f（2015）=（）A．3 B．2 C．1 D．07．已知 f（x）是定义在 R 上的偶函数，并满足：，当 2≤x≤3，f（x）=x，则 f（5.5）=（） A． 5.5 B．﹣ 5.5C．﹣ 2.5D．2.58．奇函数 f（x）满足 f（x+2） =﹣f（x ），当 x∈（0，1）时， f（ x）=3x+ ，则 f（ log3）（）A ．﹣．﹣．D．254 =2B C9．定义在 R 上的函数 f（x ）满足 f（﹣ x ）+f（x）=0，且周期是 4，若 f（1）=5，则 f（2015）（）A．5 B．﹣5 C．0D．310．f （x）对于任意实数 x 满足条件f（x+2）=，若f（1）=﹣5，则f（f（ 5））=（） A ．﹣ 5 B．C．D．511．已知定义在 R 上的函数 f （x ）满足 f（ x+5）=f（x﹣5），且 0≤x≤5 时，f（x ）=4﹣ x，则 f （1003）=（） A ．﹣ 1 B． 0 C．1 D．22﹣ x，则函数 y=f （x）的图象在区间 [0，6] 上与 x 轴的交点个数为（）A．6 B．7 C．8 D．913．已知函数 f （x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，若对于任意的实数 x≥0，都有 f（ x+2）=f（x ），且当 x∈[0 ，2）时，f（ x）=log2（x+1），则 f（2014）+f（﹣ 2015）+f（ 2016）的值为（）A．﹣1B．﹣ 2 C．2D． 1 14．已知 f （x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当x∈[0 ，3）时， f （x ）=|2x2﹣4x+1|，则方程 f （x）=在[﹣ 3， 4] 解的个数（）A．4B．8C．9 D．1015．已知最小正周期为 2 的函数 f（x）在区间 [ ﹣1，1]上的解析式是 f （x）=x2，则函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（ x）=|log5x|的图象的交点的个数是（）A． 3 B．4 C．5 D．6二．填空题（共10 小题）16．已知定义在 R 上的函数 f （x），满足 f（1）= ，且对任意的 x 都有f（x+3）=，则 f（2014）=．17．若 y=f （x）是定义在 R 上周期为 2 的周期函数，且 f （x）是偶函数，当 x∈[0， 1] 时， f（x）=2x﹣1，则函数 g（ x） =f（x ）﹣ log5|x|的零点个数为．则18．定义在 R 上的函数f（ 2013）的值为19．定义在 R 上的函数f（x）满足 f（x）=，．f （ x）的图象关于点（﹣，0）对称，且满足f（x）=﹣f （ x+ ），f （ 1）=1，f （0）=﹣2，则 f （ 1）+f （2）+f （3）+⋯+f （2010）的值为 =．20．定义在R 上的函数f（x）满足：，当x∈（0，4）时， f（ x） =x2﹣ 1，则 f （2011）=．21．定义在 R 上的函数 f （x）满足 f（ x+6）=f（x）．当﹣ 3≤x＜﹣ 1 时， f（x）=﹣（ x+2）2，当﹣ 1≤x＜ 3 时， f （x）=x．则f（1）+f（ 2） +f（3）+⋯+f（2012） =．22．若函数 f（ x）是周期为 5 的奇函数，且满足f（ 1）=1，f （2）=2，则 f （ 8）﹣ f（ 14）=．23．设 f（ x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，若 f（2）＞1，f（2014）=，则实数 a 的取值范围是．24．设 f （x）是周期为 2 的奇函数，当0≤x≤1 时， f（ x） =2x（1﹣x），则=．25．若 f （x+2）=，则f（+2）?f（﹣ 14）=．一．选择题（共15 小题）1．【解答】解：∵定义在 R 上的函数 f（ x）满足 f（﹣ x） =﹣ f（x），∴函数 f（x）为奇函数又∵ f（ x﹣ 2） =f（x+2）∴函数 f（x）为周期为 4 是周期函数又∵ log232＞ log220＞ log2 16∴4＜ log2 20＜5∴f（log220）=f（ log220﹣4）=f（ log2）=﹣f（﹣ log2）=﹣f （log2）又∵ x∈（﹣ 1，0）时， f（x）=2x+ ，∴ f（log2） =1故 f（log220）=﹣1故选 C2．【解答】解：因为 f（x+3）=﹣，故有（f x+6 ）=﹣=﹣=f（ x）．函数 f （x）是以 6 为周期的函数．f（107.5）=f（ 6×17+5.5）=f（ 5.5）=﹣=﹣=﹣= ．故选 B3．【解答】解：∵函数 f（x）对任意 x∈R 都有 f （x）=﹣，∴ f（x+3） =﹣，则 f（ x+6）=f（ x），即函数 f（x）的周期为 6，∴ f（119.5） =f（20×6﹣0.5）=f（﹣ 0.5） =﹣=﹣，又∵偶函数 f （x），当 x∈[﹣3，﹣ 2] 时，有 f（ x） =4x，∴ f（119.5） =﹣=﹣=﹣=．故选：C．4．【解答】解： f（ x）是 R 上周期为 5 的奇函数， f （﹣ x）=﹣f （x），∵f（1）=﹣f（﹣ 1），可得 f（﹣ 1）=﹣f（ 1） =﹣ 1，因为 f （2）=﹣f（ 2），可得 f （﹣ 2）=﹣f （2）=﹣3，∴ f（8）=f（ 8﹣ 5） =f（3）=f（ 3﹣ 5） =f（﹣ 2）=﹣3，f（4）=f（4﹣5）=f （﹣ 1）=﹣1，∴ f（8）﹣ f（4）=﹣ 3﹣（﹣ 1）=﹣2，故选 C；5．【解答】解：∵ f（ x）的周期为 4，2015=4×504﹣1，∴f（2015）=f（﹣ 1），又 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，1所以 f （2015）=﹣f（ 1） =﹣ 2 ﹣log21=﹣2，故选： A．∵f（x ）是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，∴ f（2014）+f（ 2015） =f（1）+f（﹣ 1）=1+2=3，故选： A7．【解答】解：∵，∴==f（x）∴f（x+4） =f（x），即函数 f（ x）的一个周期为 4∴f（5.5）=f（ 1.5+4）=f（ 1.5）∵ f（x ）是定义在 R 上的偶函数∴f（5.5）=f（ 1.5） =f（﹣ 1.5）=f （﹣ 1.5+4） =f（2.5）∵当 2≤x≤3，f（ x） =x∴f（2.5）=2.5∴ f（5.5）=2.5故选D8．【解答】解：∵ f[ （x+2）+2]=﹣f （x+2）=f （x），∴f（x ）是以 4 为周期的奇函数，又∵，∵，∴，∴f（log354）=﹣2，故选： A ．精品资料欢迎下载所以f （2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣ 1） =﹣ f（1）=﹣ 59．【解答】解：在 R 上的函数 f（x ）满足 f （﹣ x） +f（x ）=0则： f（﹣ x） =﹣ f（x ）所以函数是奇函数由于函数周期是4，故选： B10．【解答】解：∵ f （x+2） =∴ f（x+2+2 ）==f（ x）∴f（x ）是以 4 为周期的函数∴f（5）=f（ 1+4）=f（ 1） =﹣ 5f（f（ 5））=f （﹣ 5） =f（﹣ 5+4）=f（﹣ 1）又∵ f（﹣ 1）===﹣∴ f（f （5）） =﹣故选 B11．【解答】解：∵ f （x+5）=f （x﹣5），∴ f（x+10）=f （x），则函数 f（x）是周期为10 的周期函数，则 f（ 1003） =f（1000+3）=f （3）=4﹣ 3=1，故选： C．12．【解答】解：当 0≤x＜2 时， f（x）=x2﹣ x=0 解得 x=0 或 x=1，因为 f （x）是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，故 f（ x） =0 在区间 [0， 6）上解的个数为 6，又因为 f（6）=f（ 0） =0，故 f （x） =0 在区间 [0， 6] 上解的个数为7，即函数 y=f（ x）的图象在区间 [0，6] 上与 x 轴的交点的个数为7，故选： B．13．【解答】解：∵ f （x+2） =f（x），∴ f（ 2014） =f（2016）=f（ 0）=log21=0，∵f（x ）为 R 上的奇函数，∴ f （﹣ 2015）=﹣f （2015）=﹣f （1）=﹣1．∴ f（2014）+f（﹣ 2015）+f（ 2016）=0﹣1+0=﹣1．故选 A ．14．【解答】解：由题意知， f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0， 3）时， f （x）=|2x2﹣4x+1|，在同一坐标系中画出函数 f（ x）与 y= 的图象如下图：由图象可知：函数y=f （x）与 y= 在区间 [﹣ 3， 4] 上有 10 个交点（互不相同），所以方程f（x ）= 在 [﹣ 3，4] 解的个数是 10 个，故选： D．15．【解答】解：∵函数 f （x）的最小正周期为2，∴f（x+2） =f（x），∵f（x ）=x2，y=g（x） =|log5x|∴作图如下：∴函数 f（x）在实数集 R 上的图象与函数 y=g（x ）=|log5x|的图象的交点的个数为5，故选： C二．填空题（共10 小题）16．【解答】解：∵对任意的 x 都有 f（ x+3）=，∴f（x+6） ==f（ x），∴函数 f（x）为周期函数，且周期T=6，∴f（2014）=f（ 335×6+4） =f（4）=f（ 1+3）==﹣5故答案为：﹣517【解答】解：当 x∈[0，1] 时， f（x）=2x﹣ 1，函数 y=f（ x）的周期为 2，x∈[﹣ 1，0] 时，f（ x）=2﹣x﹣1，可作出函数的图象；图象关于 y 轴对称的偶函数 y=log5 |x|．函数 y=g（ x）的零点，即为函数图象交点横坐标，当x＞5 时，y=log5|x|＞1，此时函数图象无交点，如图：又两函数在 x＞0 上有 4 个交点，由对称性知它们在 x＜0 上也有 4 个交点，且它们关于直线 y 轴对称，可得函数 g（x） =f（x）﹣ log5|x|的零点个数为 8；故答案为 8；18．【解答】解：由分段函数可知，当x＞0 时， f（ x） =f（x﹣1）﹣ f （x﹣2），∴f（x+1） =f（x）﹣ f （x﹣1）=f（ x﹣ 1）﹣ f（ x﹣ 2）﹣ f（ x﹣ 1），∴f（x+1） =﹣ f（ x﹣2），即 f（ x+3）=﹣f （x），∴f（x+6） =f（x），即当 x＞ 0 时，函数的周期是 6．∴f（2013）=f（ 335×6+3） =f（3）=﹣f （0）=﹣log2（8﹣0）=﹣log 28=﹣3，故答案为：﹣ 3．19．【解答】解：由 f （ x）=﹣ f （ x+ ）得 f （x+3）=f[（x+ ）+ ]=﹣ f （x+ ）=f 由（x）.所以可得 f （ x）是最小正周期T=3 的周期函数；f （x ）的图象关于点（，0）对称，知（x，y）的对称点是（﹣﹣x ，﹣y）．即若y=f（ x），则必﹣ y=f（﹣﹣x），或y=﹣f（﹣﹣x）．而已知f（x）=﹣f（x+），故f（﹣﹣x）=f（x+），今以 x 代 x+ ，得 f （﹣ x） =f （x），故知 f （x）又是 R 上的偶函数．于是有：f （1）=f （﹣ 1）=1；f （ 2）=f （2﹣3）=f （﹣ 1）=1；f （3）=f （0+3）=f （0）=﹣2；∴f （1）+f （2）+f （3）=0，以下每连续 3 项之和为 0．而 2010=3×670，于是 f （2010）=0；故答案为 0．20．【解答】解：由题意知，定义在 R 上的函数 f（x）有，则令 x=x+2 代入得，∴ f（x+4） ===f（x ），∴函数 f（x）是周期函数且T=4，∴f（2011）=f（ 4×502+3） =f（3），2∵当 x∈（0，4）时， f（x ）=x ﹣1，∴ f（3）=8．即 f（ 2011）=8．故答案为：21．【解答】解：∵当﹣ 3≤x＜﹣ 1 时， f （x）=﹣（ x+2）2，∴f（﹣ 3） =﹣ 1， f（﹣ 2） =0，∵当﹣1≤x＜ 3 时， f （x）=x，∴f（﹣ 1） =﹣ 1， f（ 0）=0，f （1） =1，f （2）=2，又∵ f（ x+6）=f（ x）．故 f（ 3） =﹣ 1， f（4）=0，f（ 5） =﹣ 1， f（ 6）=0，又∵ 2012=335×6+2，故 f（ 1） +f（2）+f（ 3） +⋯+f（ 2 012） =335×[f （ 1）+f （2）+f（3）+f （4）+f （ 5） +f（6）]+f （1）+f（2）=335+1+2=338，故答案为： 33822．【解答】解：由题意可得， f（ 8） =f（8﹣10） =f（﹣ 2） =﹣ f（2）=﹣2，f（14）=f（14﹣ 15） =f （﹣ 1）=﹣f （1）=﹣1，故有 f （8）﹣ f （14） =﹣ 2﹣（﹣ 1）=﹣1，故答案为﹣ 1．23．【解答】解：解：由 f （x）是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，则 f（ x+3）=f（ x），f （﹣ x ）=﹣f （x），∴f（2014）=f（ 3×672﹣2）=f （﹣ 2）=﹣f （2），又 f（ 2）＞ 1，∴f（2014）＜﹣ 1，即＜﹣ 1，即为＜0，即有（ 3a﹣ 2）（a+1）＜ 0，解得，﹣ 1＜a＜，故答案为：．24．【解答】解：∵ f（ x）是周期为 2 的奇函数，当 0≤x≤1 时，f（x）=2x（ 1﹣ x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2× （1﹣） =﹣，故答案为：﹣．25．【解答】解：由题意可得f（+2）=sin=sin（6π﹣）=﹣sin=﹣，同理可得 f（﹣ 14） =f（﹣ 16+2）=log216=4，∴ f（+2）?f（﹣ 14）=﹣×4=，故答案为：三．解答题（共 5 小题）26．【解答】（1）证明：∵ f （x+2）=﹣ f（x），∴f（x+4） =﹣ f（ x+2）=f（x），∴f（x ）是周期为 4 的周期函数；（2）解：当 x∈[﹣2，0] 时，﹣ x∈[0，2]，由已知得 f（﹣ x）=2（﹣ x）﹣（﹣ x）2=﹣ 2x﹣x2，又 f（ x）是奇函数，∴f（﹣ x） =﹣ f（x）=﹣2x﹣x2，∴f（x ）=x2+2x，又当 x∈[2，4] 时， x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x ﹣4）=（x﹣4）2+2（x﹣4），又 f（ x）是周期为 4 的周期函数，∴f（x ）=f （x﹣ 4） =（ x﹣ 4）2+2（x﹣4） =x2﹣6x+8，从而求得 x∈[2， 4] 时， f（x）=x2﹣6x+8；（3）解： f（0）=0， f（2）=0，f（ 1） =1，f （3）=﹣1，又 f（ x）是周期为 4 的周期函数，∴ f（0）+f（ 1） +f （2）+f（ 3） =f（4）+f（ 5） +f（6）+f（7）=⋯=f（2 000） +f（2 001）+f （2 002）+f（ 2 003）=0．∴f（0）+f（ 1） +f （2）+⋯+f（2 004） =0+f（2004）=0．27．【解答】解：（1）当 x∈[﹣ 1， 0] 时，﹣ x∈[0， 1] ，又 f（x）是偶函数则，x∈[﹣ 1， 0] ．（2），∵1﹣ log3 2∈[0， 1] ，∴，即．28．【解答】解：（1）令 x∈[﹣ 1， 0），则﹣ x∈（ 0， 1] ，∴f（﹣ x） =2﹣x﹣1．又∵ f（ x）是奇函数，∴ f（﹣ x） =﹣ f（x），﹣x∴﹣ f（ x） =f（﹣ x）=2﹣1，∴．（ 2）∵ f（ x+4）=f（x），∴ f （x）是以 4 为周期的周期函数，∴，∴，∴．29．【解答】解：∵函数 f （x）的周期为 3，∴f（﹣ 2014） =f（﹣ 671×3﹣1）=f（﹣ 1），∵函数 f（x）是奇函数，∴f（﹣ 1） =﹣ f（1） =﹣（ 12﹣1+2） =﹣ 2，∴f（﹣ 2014） =﹣ 2．30．【解答】解；（1）因为奇函数 f（x）的定义域为 R，周期为 2，所以 f （﹣ 1）=f（﹣ 1+2）=f （1），且 f （﹣ 1）=﹣f （1），于是 f（﹣ 1） =0．⋯（2 分）当 x∈（﹣ 1，0）时，﹣ x∈（ 0， 1），f （x）=﹣f（﹣ x）=﹣（ 2﹣x+2x）=﹣2x﹣ 2 ﹣x．⋯（5 分）所以（f x）在[ ﹣1，0）上的解析式为⋯（7 分）（2） f（x ）在（﹣ 2，﹣ 1）上是单调增函数．⋯（9 分）先讨论 f（x）在（ 0，1）上的单调性．设 0＜x1＜x2＜ 1，则因为 0＜x1＜ x2＜1，所以，于是，从而 f （x1）﹣ f（x2）＜ 0，所以 f（ x ）在（ 0，1）上是单调增函数．⋯（12 分）因为 f （x）的周期为 2，所以 f （x）在（﹣ 2，﹣ 1）上亦为单调增函数．⋯（14分）。

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性(解析版)

函数的性质-单调性、奇偶性、周期性、对称性目录一、常规题型方法1题型一函数的单调性1题型二函数的奇偶性4题型三单调性与奇偶性的综合应用10题型四函数的周期性13题型五函数的对称性18题型六周期性与对称性的综合应用22二、针对性巩固练习26练习一函数的单调性26练习二函数的奇偶性28练习三单调性与奇偶性的综合应用30练习四函数的周期性32练习五函数的对称性34练习六周期性与对称性的综合应用36常规题型方法题型一函数的单调性【典例分析】典例1-1．(2020·天津·高一期末)函数f (x )=log 13-x 2+6x -5 的单调递减区间是( )A.(-∞,3]B.[3,+∞)C.(1,3]D.[3,5)【答案】C 【分析】首先由函数解析式，求其定义域，根据复合函数的单调性，结合对数函数与二次函数的单调性，可得答案.【详解】由f x =log 13-x 2+6x -5 ，则-x 2+6x -5>0，x -5 x -1 <0，解得1<x <5，即函数f x 的定义域1,5 ，由题意，令g x =log 13x ，h x =-x 2+6x -5，则f x =g h x ，易知g x 在其定义域上单调递减，要求函数f x 的单调递减区间，需求在1,5 上二次函数h x 的递增区间，由h x =-x 2+6x -5=-x -3 2+4，则在1,5 上二次函数h x 的递增区间为1,3 ，故选：C .典例1-2．(2022·湖北武汉·高一期中)若二次函数f x =ax 2+a +6 x -5在区间-∞，1 为增函数，则a 的取值范围为( )A.-2，0B.-2，0C.-2，0D.-2，0【答案】A 【分析】根据条件确定二次函数的图象应开口向下，再利用端点值和对称轴比较大小.【详解】当a <0时，-a +62a≥1，解得：a ≥-2，所以-2≤a <0，当a >0时，不满足条件，综上可知：-2≤a <0故选：A典例1-3．(浙江省台州山海协作体2022-2023学年高一上学期期中联考数学试题)已知函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1ax ,x >1 是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围为( )A.1,2B.1,2C.1,+∞D.0,1【答案】A 【分析】根据二次函数和反比例函数的单调性，结合分割点处函数值之间的关系，列出不等式，求解即可.【详解】解：因为函数f x =x 2-2ax +52a ,x ≤1a x,x >1 是定义在R 上的减函数，所以a ≥1a >01-2a +52a ≥a解得1≤a ≤2，即a ∈1,2 .故选：A .【方法技巧总结】1.函数单调性的判断方法有：定义法、性质法、图像法、导数法。

高考数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型命题趋势函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。

满分技巧一、单调性定义的等价形式: 1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>−−x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>−x f x f ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<−−x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<−−x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x −与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x −与()f x 的关系时，只需验证()f x −()f x ±=0及()1()f x f x −=±是否成立. 3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x −与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x −的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x −对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a −=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a −=−（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x x xa a a f x a a a −−−−==++（00a a >≠且）为奇函数； 4、()log ab xf x b x−=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log a f x x =±（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b ++−为偶函数；7、()f x ax b ax b +−−为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=−f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=−f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=−f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=−T a b （≠a b ）； 2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=−f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=−f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=−f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22−=−f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称； 3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=−f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=−f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22−=−f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()−=−f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数； 4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2−b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4−b a . 5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a . （2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a . （3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a . （4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。

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函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54 D ．32．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y ＝x 对称3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．14．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－35．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.7.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值．10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 13＝( ) A ．13 B ．－13 C ．5 D ．812．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________.14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．函数的奇偶性、周期性与对称性专题训练答案A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54C ．54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.] 2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称A [由1＋x 1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )，所以函数y ＝log 21＋x1－x为奇函数，故选A.]3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )对x ∈R 恒成立，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝( )A ．12B ． 2C ．22 D ．1B [由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝212＝2，故选B.]4．已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上( )A ．有最大值4B ．有最小值－4C ．有最大值－3D ．有最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B. 法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]，由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )，即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )max ＝3，故选B.]5．已知f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )＞f (2)，则x的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，1 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1100∪(1，＋∞) C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100 D ．(0,1)∪(100，＋∞)C [法一：不等式可化为：⎩⎨⎧lg x ≥0，lg x ＜2或⎩⎨⎧lg x ＜0，－lg x ＜2，解得1≤x ＜100或1100＜x ＜1，所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1100，100. 法二：由偶函数的定义可知，f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，故不等式f (lg x )＞f (2)可化为|lg x |＜2，即－2＜lg x ＜2，解得1100＜x ＜100，故选C.] 二、填空题6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋m －3是定义在[n ，n ＋6]上的奇函数，则m ＋n ＝________.0 [因为奇函数的定义域关于原点对称，所以n ＋n ＋6＝0，所以n ＝－3，又f (0)＝m －3＝0.所以m ＝3，则m ＋n ＝0.]7．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________. 1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]8．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 [∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (|x |)， ∴f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，再根据f (x )的单调性，得|2x －1|＜13，解得13＜x ＜23.]三、解答题9．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x 成立．(1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． [解] (1)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是以3为周期的周期函数．(2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.10．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x.(1)求当x ＜0时，f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＜－x8.[解] (1)f (x )是奇函数，当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝－f (－x )＝－－x1－3－x＝x1－3－x. (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，x 1－3x ＜－x8，所以11－3x ＜－18，所以13x －1＞18，所以3x －1＜8，解得x ＜2，所以x ∈(0,2)；当x ＜0时，x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x＞－18，所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以原不等式的解集是(－∞，－2)∪(0,2)．B 组能力提升 (建议用时：15分钟)11．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A ．13B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.]12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) A [∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)， ∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4.]13．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________. f (1)＞g (0)＞g (－1) [在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x . 联立方程组解得f (x )＝2－x －2x2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)＞g (0)＞g (－1)．]14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知⎩⎨⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．。