{高中试卷}江苏省上学期苏州大学附属中学高二期初数学试题[仅供参考]
江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初数学试题
苏州大学附属中学高二数学期初考试一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线30x --=的倾斜角为（ ） A. 6π B.3π C.23π D.56π A将一般方程化为斜截式方程，得出斜率即可得出倾斜角.直线30x --=可化为3y x =tan 3k α==6πα=故选：A 2. 某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数为（ ） A. 20 B. 25C. 30D. 35D直接利用分层抽样的比例关系得到答案.根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为200030252400⨯=人， 则高三抽取90302535--=人.故选：D .3. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球” C分析：利用对立事件、互斥事件的定义求解．详解：从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，在A 中，“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误； 在B 中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”能同时发生，不是互斥事件，故B 错误；在C 中，“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生， 但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故C 正确；在D 中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件，故D 错误． 故答案为：C点睛：（1）本题主要考查互斥事件和对立事件的定义，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)互斥事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，对立事件指的是在一次试验中，不可能同时发生的两个事件，且在一次试验中，必有一个发生的两个事件.注意理解它们的区别和联系.4. 下表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据.根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.5A由表中数据求出,x y ，代入线性回归方程即得. 因为线性回归直线过样本中心点(),x y ， 由表中数据求得3456 2.54 4.5114.5,444t tx y +++++++====，代入线性回归方程得110.7 4.50.35,34tt +=⨯+∴=.故选：A . 5. 若直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行，则1l 与2l 间的距离为（ ）A. B.3C. D.3B根据两直线平行求出a 的值，得出两条直线方程，再求直线之间的距离. 由题：直线1:60l x ay ++=与()2:2320l a x y a -++=平行， 则()32a a =-，即2230a a --=，解得3a =或1a =-， 当3a =时，直线1:360l x y ++=与2:360l x y ++=重合； 当1a =-时，直线1:60l x y -+=与22:03l x y -+=平行，3=.故选：B 6. 在圆22x y 2x 6y 0+--=内，过点()E 0,1的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A.B.C.D. B分析：由过圆22260x y x y +--=内一点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，可知最长弦为直径，最短弦为过点()0,1E 且与直径AC 垂直．把圆22260x y x y +--=变形标准方程22(1)(3)10x y -+-=．进而可求圆心为(1,3)P ，半径r =．所以2AC r ==，由点()0,1E ，求得PE ==进而求得BD ===进而可求四边形ABCD的面积为1122S AC BD =⨯⨯=⨯=详解：圆22260x y x y +--=变形为22(1)(3)10x y -+-=． 所以圆心为(1,3)P ，半径r =．因为点()0,1E ，所以PE ==因为过圆22260x y x y +--=内点()0,1E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，所以2AC r ==BD ===．且AC BD ⊥所以四边形ABCD的面积为1122S AC BD =⨯⨯=⨯=．故选B ．点睛：⑴过圆内一点A 的最长弦为过点A 的直径，最短弦为过点A 且与过点A 的直径垂直的弦；⑵ 过圆P 内一点A的最短弦长为7. 在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c，已知a c ==，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（ ） A. 6π B.4π C.4π或34πD.3πB利用正弦定理将原式中边化弦，经化简，可得cos A 的值，根据同角三角函数可得sin A ，最后根据正弦定理求出sin C ，从而求出角C ，舍去不合题意的结果即可. 利用正弦定理，同角三角函数关系，原式可化为：sin cos 2sin 1cos sin sin A B CA B B+=，去分母移项得：sin cos sin cos 2sin cos B A A B C A +=， 所以：()sin sin 2sin cos A B C C A +==，所以1cos 2A =. 由同角三角函数得：3sin A =， 由正弦定理sin sin a c A C =，解得2sin 2C =所以4C π∠=或34π（舍）.故选B. 8. 已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ） A. 7 B. 6C. 5D. 4B由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在A ，B ，C ，D ，E 五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ）A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中B 层人数最多C. 样本中E 层次男生人数为6人D. 样本中D 层次男生人数多于女生人数ABC根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.样本中女生人数为：924159360++++=，男生数为1006040-=，A 正确； 样本中A 层人数为：94010%13+⨯=；样本中B 层人数为：244030%36+⨯=； 样本中C 层人数为：154025%25+⨯=；样本中D 层人数为：94020%17+⨯=； 样本中E 层人数为：34015%9+⨯=；故B 正确； 样本中E 层次男生人数为：4015%6⨯=，C 正确；样本中D 层次男生人数为：4020%8⨯=，女生人数为9，D 错误.故选：ABC . 10. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ） A. 已知a 2=，b ＝2，B ＝45° B. 已知a ＝2，b 6=，A ＝45° C. 已知b ＝3，c 3=，C ＝60° D. 已知a ＝23，c ＝4，A ＝45°BD直接利用三角形的解的情况的判定理的应用和正弦定理的应用求出结果. 解：对于选项A ：由于a 2=，b ＝2，B ＝45°，利用正弦定理a b sinA sinB=，解得sinA 12=，由于a ＜b ，所以A 6π=，所以三角形有唯一解.对于选项B ：已知a ＝2，b 6=，A ＝45°，利用正弦定理a b sinA sinB =，解得3sin 2B =,又b a >,则3B π=或23π，故三角形有两解. 对于选项C ：已知b ＝3，c 3=，C ＝60°，所以利用正弦定理c bsinC sinB=，所以sinB ＝1.5＞1，故三角形无解.对于选项D ：已知a ＝23，c ＝4，A ＝45°，由于a ＞csinA ，即以顶点B 为圆心,a 为半径的圆与AC 射线有两个不同交点，故三角形有两解.故选：BD . 11. 棱长为a 的正四面体ABCD 中，以下说法正确的是（ ）A. 异面直线AB 与CD 所成的角是90B. 侧棱AB与底面BCD 所成的角的余弦为33C. 二面角A BC D--大小的余弦值为13D. 二面角B AC D--大小的余弦值为13-ABC对于A：取CD的中点E，连接AE、BE，作AF BE⊥于点F，即可证得CD⊥平面ABE ，可得CD AB⊥，即可判断选项A；对于B：因为CD⊥平面ABE，可得CD AF⊥，结合AF BE⊥，可得AF⊥平面BCD，即可知ABF∠即为直线AB与底面BCD所成的角，求出BF的长，即可判断选项B；对于C：取BC中点M，连接AM、DM，则AM BC⊥，DM BC⊥，所以AMD∠即为二面角A BC D--的平面角，在AMD中利用余弦定理即可判断选项C；对于D：由选项C可知，二面角B AC D--大小的余弦值为13，即可判断选项D；设正四面体的棱长为a，对于A：取CD的中点E，连接AE、BE，作AF BE⊥于点F，因为AC AD BC DB===，所以AE CD⊥，BE CD⊥，因为AE BE E=，所以CD⊥平面ABE，又AB平面ABE，所以CD AB⊥，所以异面直线AB与CD所成的角是90，故选项A 正确；对于B：因为CD⊥平面ABE，AF⊂平面ABE，所以CD AF⊥，又因为AF BE⊥，BE CD E=，CD BE⊂、平面BCD，所以AF⊥平面BCD，所以ABF∠即为直线AB与底面BCD所成的角，223333a aBF BE===，所以cosBFABFAB∠=3333a==故选项B正确；对于C ：取BC 中点M ，连接AM 、DM ，因为AB AC DC DB ===，所以AM BC ⊥，DM BC ⊥，所以AMD ∠即为二面角A BC D --的平面角，在AMD中，2AM DM a ==，AD a =所以22221212cos 332a a AMD a ⎫⨯-⎪∠===，故选项C 正确； 对于D ：由于正四面体的对称性可知二面角B AC D --大小的余弦值等于二面角A BC D --大小的余弦值，所以二面角B AC D --大小的余弦值为13，故选项D 不正确；故答案为：ABC12. 关于下列命题，正确的是（ ）A. 若点()2,1在圆2222150x y kx y k ++++-=外，则2k >或4k <-B. 已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=与直线y kx =，对于任意R θ∈，总存在k ∈R 使直线与圆恒相切C. 已知圆M ：()()22cos sin1x y θθ++-=与直线y kx =，对于任意的k ∈R ，总存在R θ∈使直线与圆恒相切D. 已知点(),P x y 是直线240x y ++=上一动点，PA ､PB 是圆C ：2221x y y +-=的两条切线，A ､B 是切点，则四边形PACB ACD对于A ，根据点到圆心的距离大于半径解不等式即可；求出M 到直线y kx =的距离，可判断B与C ；求出圆心C 到直线240x y ++=的距离，即可求出()min PA =，从而四边形PACB 的面积的最小值可求. 解：2222150x y kx y k ++++-=的圆心,12k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径，则>2k >或4k <-，故A 正确； 已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=的圆心()cos ,sin θθ-，半径1， 圆心M 到直线y kx =的距离d ==当sin 0θ=时cos 1,|||1d θ=±=≤<，即此时不存在k ∈R 使直线与圆相切，因此B错误；对于任意的k ∈R ，令cos θθ==，则1d =，即对于任意的k ∈R ，总存在Rθ∈使直线与圆相切，故C 正确.()0,1C，半径r =()0,1C 到直线240x y ++=的距离d ==PC 的最PA =()min PA =，四边形PACB 的面积最小值()()min min 1222PAC S PA r =⨯⨯⨯==Rt △故D 正确.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm π，则此圆锥的体积为______3cm .12π先求圆锥的底面半径，再求圆锥的高，然后求其体积． 设圆锥的底面半径为rcm ，高为hcm ， 已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为215cm π，则515r ππ⨯⨯=，得3r =，所以，圆锥的高为4h ==，因此，该圆锥的体积为()22311341233V r h cm πππ==⨯⨯=.故答案为：12π.14. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知a =_____．若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________｡0.030 , 3因为10(0.0350.020.010.005)1,0.03a a ++++=∴=,身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生人数为100(0.030.020.01)1060⨯++⨯=人，其中身高在[140 ，150]内的学生中人数为1000.011010⨯⨯=,所以从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为1018360⨯=人.15. 一船以每小时15km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60︒处；行驶4h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15︒处.这时船与灯塔的距离为_______km .302.由题意画出示意图，求出各角的度数后，由正弦定理即可得解. 解：由题意画出示意图，如图：可得30CAB ∠=，105BCA ∠=，60AC =， 则1803010545B ∠=--=，在ABC 中，由正弦定理得sin sin BC ACCAB B=∠，即122CB =，解得302CB =. 故答案为：302km .16. 设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.[1,1]-由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =212OM ≤，解得2OM ≤，因为点M （0x ,1），所以2012OM x =+≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 在锐角ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 32sin a c A =． （1）确定角C 的大小；（2）若7c =ABC 的面积为332，求+a b 的值． （1）3C π=；（2）5.（1）利用正弦定理边化角，化简即可求解.（2）由三角形面积公式，求得ab ，再结合余弦定理，即可求出+a b . （132csin a A =32sin sin A C A =． ∵sin 0A ≠，∴3sin 2C =．∵ABC 是锐角三角形，∴3C π=．（2）∵3C π=，ABC 33，∴133sin 23ab π=，即6ab =．①∵7c =，∴由余弦定理得222cos 73a b ab π+-=，即227a b ab +-=．②由②变形得2()37a b ab +=+．③将①代入③得2()25a b +=，故5a b +=．18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F .（1）证明：//PA 平面EDB ﹔（2）证明：PB ⊥平面EFD .（1）见详解；（2）见详解.（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，利用中位线定理得出//OE PA ，故//PA 平面EDB ； （2）由PD ⊥底面ABCD ，得PD BC ⊥，结合CD BC ⊥得BC ⊥平面PCD ，于是DE BC ⊥，结合DE PC ⊥得DE ⊥平面PBC ，故而DE PB ⊥，结合EF PB ⊥，即可得出PB ⊥平面EFD . （1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点．又E 为PC 的中点，∴//OE PA ；又OE ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴//PA 平面EDB ；（2）∵PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥；∵底面ABCD 是正方形，∴CD BC ⊥；又PD DC D ⋂=，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ．又DE ⊂平面PCD ，∴DE BC ⊥；∵PD DC =，E 是PC 的中点，∴DE PC ⊥；又PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，PC BC C ⋂=，∴DE ⊥平面PBC ；而PB ⊂平面PBC ，∴DE PB ⊥；又EF PB ⊥，且DEEF E =，DE ⊂平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴PB ⊥平面EFD ．19. 已知圆22:24200C x y x y +---=（1）求圆C 关于直线220x y --=对称的圆D 的标准方程；（2）过点(4,4)P -的直线l 被圆C 截得的弦长为8，求直线l 的方程；（3）当k 取何值时，直线310kx y k -++=与圆C 相交的弦长最短，并求出最短弦长．（1）22(3)(2)25x y -++=；（2）4x =或3440x y ++=；（3）（1）设(,)D m n ，根据圆心C 与D 关于直线对称，列出方程组，求得,m n 的值，即可求解；（2）由圆的弦长公式，求得3d =，根据斜率分类讨论，求得直线的斜率，即可求解；（3）由直线310kx y k -++=，得直线l 过定点()3,1M -,根据CM l ⊥时，弦长最短，即可求解．（1）由题意，圆22:24200C x y x y +---=的圆心(1,2)C ，半径为=5r ，设(,)D m n ，因为圆心C 与D 关于直线对称， 所以1222022221m n n m ++⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，解得3,2m n ==-，则(3,2)D -，半径=5r ， 所以圆D 标准方程为：22(3)(2)25x y -++=（2）设点C 到直线l 距离为d，圆的弦长公式，得8=，解得3d =，①当l 斜率不存在时，直线方程为4x =，满足题意②当l 斜率存在时，设直线方程为4(4)y k x +=-，则23631k d k --==+，解得34k =-， 所以直线的方程为3440x y ++=，综上，直线方程为4x =或3440x y ++= （3）由直线310kx y k -++=，可化为1(3)y k x -=+，可得直线l 过定点()3,1M -,当CM l ⊥时，弦长最短，又由14CM k =，可得4k =-， 此时最短弦长为222||42r CM -=．20. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差 ()°C x 1011 13 12 8 6就诊人数y （人）22 25 29 26 16 12该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？（1）13（2）1830ˆ77y x =-（3）该小组所得线性回归方程是理想的 （1）设抽到相邻两个月的数据为事件．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两个月的数据的情况有5种，∴． （2）由数据求得，由公式，得， 所以关于的线性回归方程为1830ˆ77y x =-． （3）当时，，有； 同样，当时，，有；所以，该小组所得线性回归方程是理想的．21. 如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB=90°，PM ∥BC ，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°．（1）求证：PC ⊥AC ；（2）求二面角M ﹣AC ﹣B 的余弦值；（3）求点B 到平面MAC 的距离．（1）详见解析；（2）；（3）方法1：（1）证明：∵PC BC ⊥，PC AB ⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2）取BC 的中点N ，连MN ．∵//PM CN ，∴//MN PC ，∴MN ⊥平面ABC ．作NH AC ⊥，交PC 的延长线于E ，连接AM ．由三垂线定理得NE MH ⊥，∴MHN ∠为二面角M AC B --的平面角．∵直线AM 与直线PC 所成的角为060，∴在Rt AMN ∆中，060AMN ∠=．在ACN ∆中，．在Rt AMN ∆中，．在Rt NCH ∆中，．Rt MNH ∆中，∵，∴．故二面角M AC B --的余弦值为．（3）作于N ．∵MAC 平面MAC ，∴PC BC ⊥，∴MAC 平面MAC ，∴点N 到平面MAC 的距离为．∵点N 是线段BC 的中点，∴点B 到平面MAC 的距离是点N 到平面MAC 的距离的两倍为．方法2：（1）证明：∵PC BC ⊥，PC AB ⊥，∴PC ⊥平面ABC ，∴PC AC ⊥．（2）在平面ABC 内，过B 作BC 的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设，则．． ∵， 且，∴，得，∴．设平面MAC 的一个法向量为，则由得得∴．平面ABC 的一个法向量为．．显然，二面角M AC B --为锐二面角，∴二面角M AC B --的余弦值为． （3）点B 到平面MAC 的距离． 22. 已知圆22:1O x y +=，圆()()221:231O x y -+-=过1O 作圆O 的切线，切点为T （T 在第二象限）.（1）求1OO T ∠的正弦值；（2）已知点(),P a b ，过P 点分别作两圆切线，若切线长相等，求,a b 关系；（3）是否存在定点(),M m n ，使过点M 有无数对相互垂直的直线12,l l 满足12l l ⊥，且它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等？若存在，求出所有的点M ；若不存在，请说明理由.（113；（2）46130a b +-=；（3）M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （1）连接1O O ，利用1Rt OO T ∆可求1OO T ∠的正弦值.（2）利用直线与圆相切求出过P 且与两圆相切的切线长，整理后可得所求的,a b 关系式. （3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，利用1l 、2l 分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等得到()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，整理后可得关于,m n 的方程组，从而可求M 的坐标.（1）连接1O O ，因为1O T 与O 相切于T ，故1OT O T ⊥. 又2212313OO =+=在1Rt OO T ∆中，1OT =，故113sin 13OOT ∠==（2）因为过(),P a b 作两圆的切线且切线长相等， ()()22222311a b a b -+--=+-46130a b +-=， 故,a b 的关系为46130a b +-=.（3）设1l 的斜率为k 且0k ≠，则1:0l kx y n km -+-=，2:0l x ky kn m +--=，因为它们分别被圆O 、圆1O 所截得的弦长相等且两圆半径相等， 所以O 到直线1l 的距离等于1O 到直线2l 的距离， 222311n kmk kn m k k -+--=++即()23n km m n k -=-+-对无穷多个k 恒成立，所以()()()()22222322320m n k mn m n k n m ⎡⎤---+--+--=⎡⎤⎣⎦⎣⎦对无穷多个k 恒成立. 故()()()()22223023020m n mn m n n m ⎧--=⎪⎪+--=⎨⎪--=⎪⎩，解得5212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或者1252m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故M 存在且其坐标为51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或者15,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
苏州市2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
苏州市2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学2022.11一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1．直线2x π=的倾斜角为A ．不存在B ．2πC ．0D ．π2．等比数列{}n a 中，15116a a ==，，则4a =A ．8-B ．8C ．8±D ．4±3．直线0x y b ++=与线段AB 没有公共点，其中()()1,233A B -，，则实数b 的取值范围是A ．()(),30,-∞-+∞ B ．()3,0-C ．[]3,0-D ．()(),03,-∞+∞ 4．已知等差数列{}n a 公差0d ≠，数列{}n b 为正项等比数列，已知3399a b a b ==，，则下列结论中正确的是A ．22a b >B ．66a b <C ．88a b >D ．1212a b >5．已知(0,0),(2,0),(2,2),(,1)A B C D m --四点共圆，则实数m 的值为A 1B 1C 1-D ．16．n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若613S a =，10a >，则使n n S a >的n 的最大值为A ．2B ．12C ．11D ．107．直线l 按向量()3,1a =-平移后得直线l '，设直线l 与l '之间的距离为d ，则d 的范围是A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[]1,3D ．[]0,108．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足：223n S n n =+，数列{}n b 前n 项和n T 满足：21n n T b =-，记12n b b n b M a a a +++= ，则使得n M 值不超过2022的项的个数为A ．8B ．9C ．10D ．11二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．．9．下述四个结论，正确的是A ．过点(1,1)A 在x 轴，y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=B ．直线0x y k -+=与圆221x y +=相交的充分不必要条件是1k =C ．直线10ax y ++=表示过点()0,1-的所有直线D．过点B 与圆224x y +=相切的直线方程为40x +-=10．对于数列{}n a ，设其前n 项和n S ，则下列命题正确的是A ．若数列{}n a 为等比数列，396S S S ，，成等差，则285a a a ，，也成等差B ．若数列{}n a 为等比数列，则223n n nS S S =⋅C ．若数列{}n a 为等差数列，且5810S S a =<，，则使得0n S >的最小的n 值为13D ．若数列{}n a为等差数列，且1311a a ==，，则{}n a 中任意三项均不能构成等比数列11．设直线()()210,0mx m y m m R m -++=∈≠与圆22(1)(1)2x y -+-=交于,A B 两点，定点()2,0C ，则ABC ∆的形状可能为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列{}n a ，正方形数构成数列{}n b ，则下列说法正确的是A ．12311111n na a a a n ++++=+ B ．1225既是三角形数，又是正方形数C ．12311113320n b b b b ++++<D ．*,m N m ∀∈≥2，总存在*,p q N ∈，使得m p q b a a =+成立三、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知点P 在直线10x y --=上，点()()1,22,6A B -，，则PA PB -取得最小值时点P 坐标为●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●________．14．设正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在,m n a a ，使得14a =，则数列14m n+的最小值为________．15．曲线2221221x y x y x +=-++-所围成图形面积为________．16．在平面直角坐标系xoy 中，A 为直线:20l x y -=上的点，()5,0B ，以AB 为直径的C （圆心为C ）与直线l 交于另一点D ，若ABD ∆为等腰三角形，则点A 的横坐标为________；若C 与()22:510B x y -+= 相交于E F ，两点，则公共弦EF 长度最小值为________．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17．(本小题满分10分)已知直线12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，试分别确定满足下列条件的实数m n ，的值.（1）1l 和2l 相交于点(),1P m -；（2）12//l l ；（3）12l l ⊥，且1l 在y 轴上的截距为1-．18．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足263225n n a a S S =+=，．（1）求9a 的值；（2）设x 为25a a ，的等比中项，数列{}n b 是以25a x a ，，为前三项的等比数列，试求数列{}n b 的通项n b 及前n 项和n T 的表达式．已知点()1,1P -，()22:211C x y a +--= ，过点P 斜率为a 的直线l 交圆C 于A B ，两点．（1）当ABC ∆面积最大时，求直线l 方程；（2）若0a >，在（1）条件下，设点T 为圆C 上任意一点，试问在平面内是否存在定点Q ，使得2TP TQ =成立，若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)设正项数列{}n a 前n 项和为n S ，从条件：①()12311113572121nna a a n a n ++++=++ ，②()241n n S a =+，③11114n n n a a a S +=+=，，任选一个，补充在下面横线上，并解答下面问题．已知正项数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足．（1）求n S ；（2）令1n a n n b a +=⋅，记数列{}n b 前n 项和为n T ，若对任意的*,2n N n ∈≥，均有()2641615n T m n n --+≥恒成立，求实数m 的取值范围．已知圆()22:13D x y +-=，过点()0,1P -的直线l 与圆D 相交于M ，N 两点，且2MN =，圆Q 是以线段MN 为直径的圆．（1）求圆Q 的方程；（2）设()()()0,0,652A t B t t +--，≤≤，圆Q 是ABC ∆的内切圆，试求ABC ∆面积的取值范围．22．(本小题满分12分)已知正项数列{}n a 满足1111122n n n n n a a a a a +++=+=，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：12118n a a a +++<．2022～2023学年第一学期高二期中调研试卷数学参考答案2022.11一、单项选择题：题号12345678答案BCACDCBC二、多项选择题题号9101112答案BDADABBCD三、填空题13.()34--，14.3215.48π+16.3或1-，四、解答题17.(本小题满分10分)解：（1）因为1l 和2l 相交于点(),1P m -，所以P 点在1l 上也在2l 上，于是有280210m n m m ⎧-+=⎨--=⎩，解得17m n =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………………………3分（2）因为12:80:210l mx y n l x my ++=+-=，，12//l l ，所以有2168m mn ⎧=⎨≠-⎩，解得42m n =⎧⎨≠-⎩或42m n =-⎧⎨≠⎩.…………………………………………………………………………6分(3)当0m≠时，由2184m m ⎛⎫⎛⎫-⋅-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知，1l 和2l 不垂直。
江苏省苏州市2018-2019学年高二上学期期中考试数学试卷(解析版)
2018-2019学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.直线x+y+=0的倾斜角为______．2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为______．3.已知A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为______．（写成标准方程）4.直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是______．5.若直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，则m的值为______．6.经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是______．7.圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的方程是______．8.正三棱锥P-ABC中，若底面边长为a，侧棱长为a，则该正三棱锥的高为______．9.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有______．（请将所有正确结论的序号都填上）10.设点A（-2，3），B（3，2）若直线ax+y+2=0与线段AB有公共点，则a的取值范围是______．11.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为______（结果用π表示）．12.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2-2x+2y+1=0的两条切线，A，B为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为______．13.△ABC的一个顶点是A（3，-1），∠B，∠C的平分线分别是x=0，y=x，则直线BC的方程是______．14.已知定点M（0，2），N（-2，0），直线l：kx-y-3k+2=0（k为常数），对l上任意一点P，都有∠MPN为锐角，则k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．16.设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-，0），C（，0），其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．17.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB=BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．18.已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x-y+3=0和l2：2x+y-6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．19.已知等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M-ACB=2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案和解析1.【答案】135°【解析】解：直线x+y+=0的斜率为-1；所以直线的倾斜角为135°．故答案为135°．求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角．本题考查直线的有关概念，直线的斜率与直线的倾斜角的关系，考查计算能力．2.【答案】45°【解析】解：∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，∴D1D⊥平面ABCD，∴直线AD是直线AD1在平面ABCD内的射影，∴∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，在直角三角形AD1AD中，AD1=D1D，∴∠D1AD=45°故答案为：45°在正方体ABCD-A1B1C1D1中，证明D1D⊥平面ABCD，则∠D1AD=α，就是直线AD1平面ABCD所成角，解直角三角形D1AD即可．考查直线和平面所成的角，求直线和平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，把空间角转化为平面角求解，属基础题3.【答案】（x-2）2+y2=18【解析】解：∵A（-1，-3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的圆心C（2，0），半径为AC==3，故圆的方程为（x-2）2+y2=18，故答案为：为（x-2）2+y2=18．先根据条件求出圆心坐标和半径，可得线段AB为直径的圆的方程．本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心坐标和半径，属于基础题．4.【答案】x-y=0【解析】解：当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为1，∴所求直线方程为y=x，即x-y=0．当直线l不过原点时，设其方程+=1，又l经过点（1，1），则可得-=0≠1，此时不存在，故所求直线l的方程为x-y=0．故答案为x-y=0当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，所求直线方程为y=x，当直线l不过原点时，此时a不存在．本题主要考查用点斜式、截距式求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．5.【答案】-7【解析】解：∵直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，∴，解得m=-7．∴m的值为-7．故答案为：-7．由直线l1：（m+3）x+4y+3m-5=0与l2：2x+（m+5）y-8=0平行，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】x-y+1=0【解析】解：易知点C为（-1，0），而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b，将点C的坐标代入马上就能求出参数b的值为b=1，故待求的直线的方程为x-y+1=0．故答案为：x-y+1=0．先求圆心，再求斜率，可求直线方程．明确直线垂直的判定，会求圆心坐标，再求方程，是一般解题思路．7.【答案】（x+2）2+（y+1）2=1【解析】解：（x-2）2+（y-3）2=1的圆心为（2，3），半径为1点（2，3）关于直线x+y-1=0对称的点为（-2，-1）∴圆（x-2）2+（y-3）2=1关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心为（-2，-1），半径为1即圆的方程为（x+2）2+（y+1）2=1故答案为：（x+2）2+（y+1）2=1先求出圆心和半径，然后根据对称性求出圆心关于直线x+y-1=0对称的圆的圆心，而圆对称形状不变，从而半径不变，即可求得圆的方程．本题主要考查了关于直线对称的圆的方程，同时考查了对称点的求解，属于基础题．8.【答案】【解析】解：如图，取BC中点D，连接AD，并取底面中心O，则O为AD的三等分点，且OA=，PA=，在Rt△POA中，求得OP=a，即该正三棱锥的高为，故答案为：．作出底面中心O，利用直角三角形POA容易求出高．此题考查了三棱锥高的求法，属容易题．9.【答案】①④【解析】解：①是正确命题，因为两个平面平行时，一个平面中的线与另一个平面一定没有公共点，故有线面平行；②不正确，因为一条直线平行于两个平行平面中的一个平面，则它与另一个平面的位置关系是平行或者在面内，故不正确；③不正确，因为由m⊥α，m∥n可得出n⊥α，再由β⊥α，可得n∥β或n⊂β，故不正确；④是正确命题，因为两个直线分别垂直于两个互相平行的平面，一定可以得出两线平行．综上，①④是正确命题故答案为①④本题研究空间中线面平行与线线平行的问题，根据相关的定理对四个命题进行探究，得出正误，即可得到答案，①②③由线面平行的条件判断，④由线线平行的条件判断，易得答案本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握线面平行的方法与线线平行的方法是准确判断正误的关键，几何的学习，要先记牢定义与定理，再对应其几何特征进行理解培养出空间形象感知能力，方便做此类题10.【答案】（-∞，-]∪[，+∞）【解析】解：∵直线ax+y+2=0恒过定点（0，-2），斜率为-a，如图，，，∴若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则-a≥或-a≤-．即a≤-或a≥．故答案为：（-∞，-]∪[，+∞）．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了直线系方程的应用，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．11.【答案】5π【解析】解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．此时铁丝的长度最小值为：=5π故答案为：5π．本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．12.【答案】【解析】解：如图，直线3x+4y+8=0与圆x2+y2-2x+2y+1=0相离，化圆x2+y2-2x+2y+1=0为（x-1）2+（y+1）2=1，圆心坐标为C（1，-1），半径为1．连接CA，CB，则CA⊥PA，CB⊥PB，则四边形PACB的面积等于两个全等直角三角形PAC与PBC的面积和．∵AC是半径，为定值1，要使三角形PAC的面积最小，则PC最小，|PC|=，∴|PA|=．∴四边形PACB面积的最小值为2×．故答案为：．由题意画出图形，可知要使四边形PACB面积最小，则P为过圆心作直线3x+4y+8=0的垂线得垂足，由点到直线的距离公式求得PC，再由勾股定理得弦长，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．13.【答案】2x-y+5=0【解析】解：∵∠B、∠C的平分线分别是x=0，y=x，∴AB与BC对于x=0对称，AC与BC对于y=x对称．∴A（3，-1）关于x=0的对称点A'（-3，-1）在直线BC上，A关于y=x的对称点A''（-1，3）也在直线BC上．代入两点式方程可得，故所求直线BC的方程：2x-y+5=0．故答案为：2x-y+5=0分析题意，求出A关于x=0，y=x，的对称点的坐标，都在直线BC上，利用两点式方程求解即可．本题考查点关于直线对称点的求法，直线方程的求法，属中档题．14.【答案】（-∞，）∪（，+∞）【解析】解：由于对于l上任意一点P，∠MPN恒为锐角，故以MN为直径的圆与直线l：kx-y-3k+2=0相离．而MN的中点，即圆心为H（-1，1），则点H到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径MN=，即＞，即（1-4k）2＞2（1+k2），解得k＜，或 k＞，故答案为：（-∞，）∪（，+∞）由题意可得，以MN为直径的圆与直线l：kx-y-2k+2=0相离，故圆心H（-1，1）到直线l：kx-y-3k+2=0的距离大于半径，即＞，由此解得k的范围．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．因为F为正方形ABCD对角线的交点，所长F为AC、BD的中点．在DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B．又EF⊂平面EAC，所以BD1∥平面EAC．（2）由正方形的性质可得AC⊥BD又由正方体的几何特征可得：D1D⊥平面ABCD又∵AC⊂平面ABCD∴AC⊥D1D又∵D1D∩BD=D∴AC⊥平面D1DB∵BD1⊂平面D1DB∴AC⊥BD1【解析】（1）欲证BD1∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD1与平行，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D1D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D1DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD1本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．16.【答案】解：（1）△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0．外接圆的圆心肯定在x=0上．作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M，M即为外接圆的圆心．因为A（0，a），C（，0），故∠MAC=60°，AD=AC=a．△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形．故AM=2a．所以，点M的坐标为（0，-a），圆的半径r=MA=MB=MC=2a．故圆M的方程为：x2+（y+a）2=4a2（a＞0）．（2）假设圆M过某一定点（x，y）．那么当a变化时，圆M仍然过点（x，y），此点不会随着a的变化而变化．那么，现在令a变成了b，即a≠b．有x2+（y+b）2=4b2，两式相减化简得：（2y+a+b）（a-b）=4（a+b）（a-b）．因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4（a+b）．得：y=（a+b）．得出，y是一个根据a和b取值而变化的量．与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾，所以，圆M不过定点．【解析】（1）确定圆心与半径，即可求圆M的方程（2）利用反证法进行判断．本题考查圆的方程，考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）∵E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．∴EF是三角形AA1C1的中位线，∴EF∥AA1，又AA1∥BB1，∴EF∥BB1，∵EF⊄面BCC1B1，BB1⊂面BCC1B1，∴EF∥面BCC1B1．（2）∵AB⊥BC，BC⊥BC1，∴BC⊥面ABC1，∴BC⊥BE，同时BC∥B1C1，∵AB=BC1，E是线段AC1的中点．∴BC⊥AC1，∵AC1∩B1C1=C1，∴BE⊥平面AB1C1【解析】（1）根据线面平行的判定定理，证明EF∥BB1；从而证明EF∥面BCC1B1；（2）根据线面垂直的判定定理证明BE⊥平面AB1C1．本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，要求熟练掌握线面平行和垂直的判定定理．并能灵活应用．18.【答案】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），则，即，解得m=-1，n=2．即A（-1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y-3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．【解析】（1）依题意可设A（m，n）、B（2-m，2-n），分别代入直线l1 和l2的方程，求出m=-1，n=2，用两点式求直线的方程．（2）先求出圆心（0，0）到直线l的距离d，设圆的半径为R，则由，求得R的值，即可求出圆的方程．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，用两点式求直线的方程，属于中档题．19.【答案】解：（1）因为PDCB为等腰梯形，PB=3，DC=1，PA=1，则PA⊥AD，CD⊥AD．又因为面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，故CD⊥面PAD．又因为CD⊂面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．（2）所求的点M即为线段PB的中点，证明如下：设三棱锥M-ACB的高为h1，四棱锥P-ABCD的高为h2当M为线段PB的中点时，=．所以=所以截面AMC把几何体分成的两部分V PDCMA：V M-ACB=2：1．（3）当M为线段PB的中点时，直线PD与面AMC不平行．证明如下：（反证法）假设PD∥面AMC，连接DB交AC于点O，连接MO．因为PD⊂面PDB，且面AMC∩面PBD=MO，所以PD∥MO．因为M为线段PB的中点时，则O为线段BD的中点，即．面AB∥DC，故，故矛盾．所以假设不成立，故当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．【解析】（1）证明平面与平面垂直是要证明CD⊥面PAD；（2）已知V多面体PDCMA ：V三棱锥M-ACB体积之比为2：1，求出V M-ACB：V P-ABCD体积之比，从而得出两多面体高之比，从而确定M点位置．（3）利用反证法证明当M为线段PB的中点时，直线PD与平面AMC不平行．本题主要考查面面垂直的判定定理、多面体体积、线面平行判定以及反证法的应用，属于中等难度题．20.【答案】解：（1）由得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=1，显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，∴ ∴，∴2k（4k+3）=0∴k=0或者，∴所求圆C的切线方程为：y=3或者．即y=3或者3x+4y-12=0．（2）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，所以，设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，又∵MA=2MO，∴设M为（x，y）则整理得：x2+（y+1）2=4设为圆D，∴点M应该既在圆C上又在圆D上即：圆C和圆D有交点，∴1≤CD≤3，∴，由5a2-12a+8≥0得a∈R，由5a2-12a≤0得，综上所述，a的取值范围为：，．【解析】（1）求出圆心C为（3，2），圆C的半径为1，得到圆的方程，切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx-y+3=0，利用圆心到直线的距离等于半径，求解k即可得到切线方程．（2）设圆心C为（a，2a-4），圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1，设M为（x，y）列出方程得到圆D的方程，通过圆C和圆D有交点，得到1≤CD≤3，转化求解a的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用，圆心切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．。
江苏省西安交通大学苏州附属中学高二数学上学期期初测试试题苏教版
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上． 1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲．x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ． 4．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．5．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ． 6．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ． 7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ． 8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ． 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ．11．已知函数()(2)2af x x x x =+>-的图象过点A （3，7），则此函的最小值是 ▲ ． 12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是 ▲ ．13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．（第13题图）EDBA C14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ① 数列}{n a 单调递增； ② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c .16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π()12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．17．（本小题满分16分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．cos sin B b A +=，求角A ；（Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC ，求a 的值．18．（本小题满分16分）已知函数()1x f x a =-（a ＞0且a≠1）． （1）求函数()f x 的定义域、值域；（2）是否存在实数a ，使得函数()f x 满足：对于任意x∈[﹣1，+∞），都有()f x ≤0？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分16分）要制作一个如图的框架（单位：米），要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形，EFCD 是一个等腰梯形，梯形高h=AB ，tan ∠FED=，设AB=x 米，BC=y 米．（Ⅰ）求y 关于x 的表达式；（Ⅱ）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？20．（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n na ab a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nλ+=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数λ的取值范围．西安交通大学苏州附属中学高二数学期初测试1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是 ▲ ．π2．根据表格中的数据，可以判定方程e x﹣x ﹣2=0的一个根所在的区间为 ▲ ．（1，2） x ﹣1 0 1 2 3 e x0.37 1 2.72 7.39 20.08 x+2123453．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ ▲ ．124．如图，已知集合A={2，3，4，5，6，8}，B={1，3，4，5，7}，C={2，4，5，7，8，9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为 ▲ ．{2，8}5．已知π(,π)2α∈，3sin 5α=，则πsin()4α+＝ ▲ ．26．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出P 的值为 ▲ ．47．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数能组成等差数列的概率为 ▲ ．8．已知向量(34)a =-， ，(11)a =-， ，则向量a 在b 方向上的投影为 ▲ ．722- 9．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =．如果△ABC 有两解，那么x 的取值范围 ▲ ．12x <<10．在数列{}n a 中，1=0a ， 1313n n na a a ++=-，则2013a ＝ ▲ ． 3-11．已知函数的图象过点A （3，7），则此函的最小值是▲ ． 6 ．12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是直角三角形13．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ⋅＝ ▲ ．1-14．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n a 的前n 项和.现给出下列命题： ⑤数列}{n a 单调递增；（第13题图）EDBA C⑥ 数列}{1n n a a -+单调递减；⑦ 21111+-=+n n n a a a ； ⑧[].32013=S以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）． 答案：①③④15．（本小题满分14分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a . （Ⅰ）若35b =，且//b a ，求b 的坐标；（Ⅱ）若c 与a 的夹角θ的余弦值为()(9)a c a c +⊥-，求c . 解：（Ⅰ）//b a , 设(,2)b a λλλ==,则222445b λλ=+=, ∴29λ=∴3λ=±∴(3,6)b =或(3,6)b =--.（Ⅱ）cos θ=，5a =， ∴1cos 2a c a c c θ⋅==-． 又()(9)a c a c +⊥-，∴()(9)0a c a c +⋅-=∴22890a c a c -⋅-= ∴25490c c +-= 解得1c =或59c =-（舍） ∴1c =16．（本小题满分14分）已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．。
江苏省苏州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题含解析
2023~2024学年第一学期高二期中调研试卷数学（答案在最后）注意事项学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本卷共4页、包含单项选择题（第1题~第8题），多项选择题（第9题~第12题）.填空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效，作答必须用0．5毫米黑色墨水的签字笔，请注意字体工整，笔迹清楚．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.直线320x y +-=的方向向量为（）A.()1,3- B.()1,3 C.()3,1- D.()3,1【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率得到直线的一个方向向量为()1,k ，再求其共线向量即可.【详解】由题意得直线320x y +-=的斜率为-3，所以直线的一个方向向量为()1,3-，又()()1,31,3-=--，所以()1,3-也是直线320x y +-=的一个方向向量.故选：A.2.等差数列{}n a 中，若39218a a +=，则263a a +的值为（）A.36B.24C.18D.9【答案】B 【解析】【分析】由等差数列通项公式求基本量得5146d a a +==，再由2639532a a a a a +=++即可求值.【详解】令{}n a 的公差为d ，则3911122(2)831218a a a d a d a d +=+++=+=，即5146d a a +==，则2624683953218624a a a a a a a a a +=+++=++=+=.故选：B3.与直线3x﹣4y+5=0关于y 轴对称的直线方程是（）A.3x+4y+5=0 B.3x+4y﹣5=0C.3x﹣4y+5=0D.3x﹣4y﹣5=0【答案】B 【解析】【分析】分别求出直线3450x y -+=与坐标轴的交点，分别求得关于y 轴的对称点，即可求解直线的方程．【详解】令0x =，则54y =，可得直线3450x y -+=与y 轴的交点为5(0,)4，令0y =，则53x =-，可得直线3450x y -+=与x 轴的交点为5(,0)3-，此时关于y 轴的对称点为5(,0)3，所以与直线3450x y -+=关于y 轴对称的直线经过两点55(0,),(,0)43，其直线的方程为15534x y +=，化为3450x y +-=，故选B ．【点睛】本题主要考查了直线方程点的求解，以及点关于线的对称问题，其中解答中熟记点关于直线的对称点的求解，以及合理使用直线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.经过原点和点()3,1-且圆心在直线350x y +-=上的圆的方程为（）A.()()22510125x y -++= B.()()22125x y ++-=C.()()22125x y -+-= D.2252539x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令圆心为(,53)x x -，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程.【详解】由题设，令圆心为(,53)x x -，又圆经过原点和点()3,1-，所以()()()2222253363r x x x x =+-=-+-，整理可得53x =，故圆心为5(,0)3，所以半径平方2259r =，则圆的方程为2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.故选：D5.设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可.【详解】令{}n a 公差为d 且0d ≠的无穷等差数列，且11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，若{}n a 为递减数列，则0d <，结合一次函数性质，不论1a 为何值，存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时0n a <，由于0d ≠，即{}n a 不为常数列，故1()n a dn a d =+-单调递减，即0d <，所以{}n a 为递减数列，必要性成立；所以“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a <”的充分必要条件.故选：C6.已知点()4,3P ，点Q 在224x y +=的圆周上运动，点M 满足PM MQ =，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（）A.πB.2πC.3πD.4π【答案】A 【解析】【分析】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由动点转移法求得M 点轨迹方程，由方程确定轨迹后可得面积．【详解】设(,)M x y ，00(,)Q x y ，由PM MQ =得M 是线段PQ 中点，∴002423x x y y =-⎧⎨=-⎩，又Q 在圆224x y +=上，22(24)(23)4x y -+-=，即223(2)()12x y -+-=，∴M 点轨迹是半径为1的圆，面积为πS =，故选：A ．7.等比数列{}n a 中，123453a a a a a ++++=，222221234515a a a a a ++++=，则12345a a a a a -+-+=（）A.5-B.1-C.5D.1【答案】C 【解析】【分析】由等比数列前n 项和公式写出已知与待求式后，进行比较，已知两式相除即得.【详解】设公比为q ，显然1q ≠±，则由题意得5121012(1)31(1)151a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除得51(1)51a q q +=+，所以551112345[1()](1)51()1a q a q a a a a a q q--+-+-+===--+，故选：C.8.过点()2,0P 作圆2241x y y +-=的两条切线，设切点分别为,A B ，则PAB 的面积为（）A.8B.2C.8D.【答案】A 【解析】【分析】写出圆的标准方程得圆心为(0,2)C，半径r =，进而有||CP =，由圆的切线性质得||||BP AP ==，sin BPC BPC ∠=∠=，2BPA BPC ∠=∠，最后应用倍角正弦公式、三角形面积公式求PAB 面积.【详解】由题设，圆的标准方程为22(2)5x y +-=，圆心为(0,2)C，半径r =，所以||CP =，如下图示，切点分别为,A B，则||||BP AP ===，所以||||sin ||||BC BP BPC BPC CP CP ∠==∠==2BPA BPC ∠=∠，所以15sin sin 22sin cos 4BPA BPC BPC BPC ∠=∠=∠∠=，所以11||||sin 2248PAB S BP AP BPA =∠==.故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9.已知直线:0l x my m ++=，若直线l 与连接()()3,2,2,1A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（）A.2π3 B.π2C.π4D.π6【答案】ABC 【解析】【分析】求出直线l 过的定点，从而求得,AC BC k k ，进而利用数形结合可得直线l 倾斜角的范围，由此得解.【详解】因为直线:0l x my m ++=可化为()10x y m ++=，所以直线l 过定点()0,1C -，又()()3,2,2,1A B -，所以()21130AC k --==---，()11120BC k --==-，故直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，结合图象，可知直线l 的倾斜角范围为π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故ABC 正确，D 错误.故选：ABC.10.设,n n S T 分别是等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的前()*Nn n ∈项和，下列说法正确的是（）A.若15160a a +>，15170a a +<，则使0n S >的最大正整数n 的值为15B.若5nn T c =+（c 为常数），则必有1c =-C.51051510,,S S S S S --必为等差数列D.51051510,,T T T T T --必为等比数列【答案】BCD 【解析】【分析】A 由已知可得129152d a d -<<-，且0d <，再应用等差数列前n 项和公式及0n S >得1201a n d<<-，即可判断；B 由等比数列前n 项和公式有11511n n n b b q T c q q =-=+--，即可判断；C 、D 根据等差、等比数列片段和的性质直接判断.【详解】令{}n a 的公差为d ，则11(1)()n n d a a a dn d =+-=+-，所以151611517122902300a a a d a a a d +=+>⎧⎨+=+<⎩，故129152d a d -<<-，且0d <，使211(1)()0222n n n d dS na d n a n -=+=+->，则1201a n d <<-，而122930a d <-<，即121(30,31)ad-∈，故030n <≤，所以使0n S >的最大正整数n 的值为30，A 错；令{}n b 的公比为q 且0q ≠，则()11115111nnn n b q b b q T c qq q-==-=+---（公比不能为1），所以1511q b q =⎧⎪⎨=-⎪-⎩，即1c =-，B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：51051510,,S S S S S --必为等差数列，51051510,,T T T T T --必为等比数列，C 、D 对.故选：BCD11.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前()*Nn n ∈项和为nS，前()*Nn n ∈项积为nT ，若1132a=，56T T =，则（）A.2q = B.当且仅当6n =时，n T 取得最小值C.()*11N ,11n n T T n n -=∈< D.n n S T >的正整数n 的最大值为11【答案】AC 【解析】【分析】根据56T T =确定6a ，561a q a =求出q 的值确定A ，根据数列项的变化，确定B ，利用等比数列的基本量运算判断C ，根据n n S T >转化二次不等式，从而确定正整数n 的最大值判断D.【详解】对于A ，因为56T T =，所以6651T a T ==，因为56132a q a ==，解得2q =，故A 正确；对于B ，注意到61a =，故15,Z n n ≤≤∈时，01n a <<，7,Z n n ≥∈时，1n a >，所以当5n =或6n =时，n T 取得最小值，故B 错误；对于C ，()()()21111215*221231222N ,11n n n nnn n n n T a a a a a q n n --+++--===⋅=∈< ，()()()()2111011111112105*221112111222N ,11n n n n nn n n n T a a a a q n n -----+++----===⋅=∈< ，所以()*11N ,11n n T T n n -=∈<，故C 正确；对于D ，()1512112n n n a q S q--==-，21122n n n T -=，因为n n S T >，所以211252212n nn -->，即211102212n n n -+->，所以211102212n n n -+->，即211102n n n -+>，所以131322n <<，正整数n 的最大值为12，故D 错误，故选：AC.12.已知圆22:4C x y +=，圆22:860M x y x y m +--+=（）A.若8m =，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B.若9m =，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为()3,4--C.若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则16m >D.若圆M 恰好平分圆C 的周长，则4m =-【答案】AD 【解析】【分析】A 、B 将圆M 化为标准形式，确定圆心和半径，判断圆心距与两圆半径的关系，再求相交弦长判断；C 由题意知两圆相离，根据圆心距大于两圆半径之和及圆的方程有意义求参数范围；D 由题意相交弦所在直线必过(0,0)C ，并代入相交弦方程求参数即可.【详解】A ：8m =时圆22:(4)(3)17M x y -+-=，则(4,3)M，半径r =，而圆22:4C x y +=中(0,0)C ，半径2r '=，所以||5CM =，2||2CM -<<+，即两圆相交，此时相交弦方程为4360x y +-=，所以(0,0)C 到4360x y +-=的距离为65d =，故相交弦长为1625=，对；B ：9m =时圆22:(4)(3)16M x y -+-=，则(4,3)M ，半径4r =，同A 分析知：42||42CM -<<+，故两圆相交，错；C ：若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，则||2CM r r r '>+=+，而圆22:(4)(3)25M x y m -+-=-，即r =所以250162525m m ->⎧⎪⇒<<⎨<⎪⎩，错；D ：若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过(0,0)C ，两圆方程相减得相交弦方程为8640x y m +--=，将点代入可得4m =-，对.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13.若{}n a 是公差不为0的等差数列，248,,a a a 成等比数列，11a =，n S 为{}n a 的前()*Nn n ∈项和，则1210111S S S +++ 的值为___________．【答案】2011【解析】【分析】由等差数列中248,,a a a 成等比数列，解出公差为d ，得到n a ，求出n S ，裂项相消求1210111S S S +++ 的值.【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，248,,a a a 成等比数列，由2428a a a =，则()()()211137a d a d a d +=++，即()()()213117d d d +=++，由0d ≠，得1d =，所以()11n a a n d n =+-=，则有()()1122n n n a a n n S ++==，得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以121011111101111112021211221311S S S ⎛⎫⎛⎫+++=-+-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- .故答案为：201114.平面直角坐标系xOy 中，过直线1:7310l x y -+=与2:430l x y +-=的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为_______________．（写成一般式）【答案】9550x y +-=【解析】【分析】设交点系方程，结合直线过(0,1)求方程即可.【详解】由题设，令直线l 的方程为731(43)0x y x y λ-+++-=，且直线过(0,1)，所以031(043)02λλ-+++-=⇒=，故直线l 的方程为9550x y +-=.故答案为：9550x y +-=15.如图，第一个正六边形111111A B C D E F 的面积是1，取正六边形111111A B C D E F 各边的中点222222,,,,,A B C D E F ，作第二个正六边形222222A B C D E F ，然后取正六边形222222A B C D E F 各边的中点333333,,,,,A B C D E F ，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为_______________．【答案】3414n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据题设分析出前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，应用等比数列前n 项和公式求面积和.【详解】由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为2，故它们面积比为34，所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列，所以前n 个正六边形的面积之和31()344[1()]3414nn S -==--.故答案为：34[1()]4n-16.已知实数,,a b c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点()4,1A ，O 是坐标原点，直线:230l ax by c ++=．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段AM 的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由等差数列的性质及直线方程有:()(3)0l a x y c y +++=，求出直线所过的定点，结合已知M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,22C -，半径为2，问题化为求()4,1A 到该圆上点距离的最小值.【详解】由题设2b a c =+，则:()30l ax a c y c +++=，即:()(3)0l a x y c y +++=，令03303x y x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==-⎩⎩，即直线l 恒过定点(3,3)B -，又OM l ⊥，所以M 在以||OB 为直径的圆上，且圆心33(,)22C -，半径为2，要求AM 的最小值，即求()4,1A 到该圆上点距离的最小值，而52||2CA =，所以min 22AM =-=四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线()1:2120l x a y ---=，()()()2:22130R l a x a y a ++++=∈．（1）若12l l ⊥，求实数a 的值；（2）若1//l 2l ，求12,l l 之间的距离．【答案】（1）1a =-或52；（2【解析】【分析】（1）由两线垂直的判定列方程求参数即可；（2）由两线平行的判定列方程求参数，注意验证是否存在重合情况，再应用平行线距离公式求距离.【小问1详解】由12l l ⊥，则2(2)(1)(21)0a a a +--+=，即22350a a --=，所以(25)(1)0a a -+=，可得1a =-或52.【小问2详解】由1//l 2l ，则22121a a a++=-，可得250a a +=，故0a =或5-，当0a =，则1:220l x y +-=，2:230l x y ++=，此时满足平行，且12,l l=；当5a =-，则1:310l x y +-=，2:310l x y +-=，此时两线重合，舍；综上，1//l 2l 时12,l l18.已知等差数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，又294,90a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）2n a n =（2）()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式和等差数列的通项公式即得.（2）由992n n b a n =-=-，令920n c n =->求出n 的取值范围，再分段求出数列{}n b 的前n 项和nT 【小问1详解】设等差数列的公差为d ，首项为1a ，因为990S =，所以()199599902a a S a +===，所以510a =，由5231046a a d -==-=，解得2d =，又24a =，所以()()224222n a a n d n n =+-=+-⨯=；【小问2详解】992n n b a n=-=-设92n c n =-，{}n c 的前n 项和为n S ，得()279282n n S n n n +-=⨯=-，920n c n =->，得92n <当14n ≤≤时，0n c >，即n n b c =，所以214,8n n n T S n n≤≤==-当5n ≥时，得0n c <，所以n n b c =-，则()()12456n n T c c c c c c =+++-+++ ()()224442328832n n S S S S S n n n n =--=-=--=-+综上所述：()()228,14,N 832,5,N n n n n n T n n n n **⎧-≤≤∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩19.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）设()11n n n b a --=，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）证明见解析（2）4134n n-⨯【解析】【分析】（1）121n n n a a a +=+，取倒数得1112n n n a a a ++=，化简整理即可判断11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）法一：将2n S 转化为()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭的前n 项和，结合（1）中结论即可得解；法二：结合（1）中结论得()1112n n n b -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，应用分组求和及等比数列的前n 项和公式即可得解.【小问1详解】因为1122,13n n n a a a a +==+，所以0n a ≠，所以11111222n n n n a a a a ++==+，所以1111122n n a a +-=-，即11111(1)2n na a +-=-因为11211,1032a a =-=≠，1111121n na a +-=-，所以11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】法一：21234212111111n n nS a a a a a a -=-+-++- 1234212111111111111n n a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+---++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知()1111n n a +⎧⎫⎛⎫⎪⎪--⎨⎬ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以12为首项，12-为公比的等比数列，所以2221111122412133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪- ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭===⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭；法二：由（1）1112n n a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以1112n n a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()111112n nn n n b a ---⎛⎫==--- ⎪⎝⎭所以22211111224120133412n n n n n S ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦⎝⎭=-==⨯⎛⎫-- ⎪⎝⎭．20.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过,,,A B C D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，求动点P 横坐标的取值范围．【答案】（1）2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（2）652,2⎡⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）根据圆所过点的坐标求解圆的方程即可.（2）根据P 是圆M 上一动点，满足24PO PE ≥，设P 点坐标带入化简求解，依据图像即可得出答案.【小问1详解】如图，因为28AB CD ==，,AB CD 间的距离为4，所以()()()()4,0,4,0,2,4,2,4A B C D --，经过,,,A B C D 四点的圆即经过,,A B C 三点的圆，法一：AB 中垂线方程即0x =，BC 中点为()3,2，04242BC k -==--，所以BC 的中垂线方程为()1232y x -=-，即1122y x =+，联立01122x y x =⎧⎪⎨=+⎪⎩，得圆心坐标10,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2216540022MB ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法二：设圆M 的一般方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，代入()()()4,0,4,0,2,4A B C -，4160416024200D F D F D E F -++=⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩解得0116D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；法三：以AB 为直径的圆方程为()()2440x x y +-+=，直线:0AB y =，设圆M 的方程为()()2440x x y y λ+-++=，代入()2,4C ，解得1λ=-，所以圆M 的标准方程为2216524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；【小问2详解】()2,0E -，设圆M 上一点(),P x y ，()(),,2,PO x y PE x y =--=--- ，因为24PO PE ≥，所以()()()224x x y y ---+--≥，即222240x y x ++-≥，由222240x y x ++-≥对应方程为圆()22222240125x y x x y ++-=⇒++=所以P 点在圆()22125x y ++=上及其外部，22221602240x y y x y x ⎧+--=⎨++-=⎩解得122,4x x ==，所以两圆交点恰为()()4,0,2,4B C ，结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为342x =>，所以点P横坐标的取值范围是2,2⎡⎢⎣⎦．.21.平面直角坐标系xOy 中，直线0:3213x y l +-=，圆M ：22128480x y x y +--+=，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得QH 为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224x y +=（2）存在；64,1313H ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用对称求出C 点坐标，即可得到圆C 的标准方程；（2）设P 点坐标，,A B 在以PC 为直径的圆N 上，由圆C 与圆N 求公共弦AB ，得直线AB 过定点T ，Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得QH 为定值．【小问1详解】圆M 化成标准方程为()()22644x y -+-=，圆心()6,4M ，半径为2，设圆心()00,C x y ，圆C 与圆M 关于直线l 对称，直线0:3213x y l +-=的斜率为32-，所以00004263643213022y x x y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⨯+⨯-=⎪⎩，解得0000x y =⎧⎨=⎩，所以()0,0C ，圆C 的方程为224x y +=.【小问2详解】因为P 是直线l 上的动点，设132,32P t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,PA PB 分别与圆C 切于,A B 两点，所以,CA PA CB PB ⊥⊥，所以,A B 在以PC 为直径的圆N上，圆N 的方程()22221331334242t t x t y t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即22132302x y tx t y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由222240132302x y x y tx t y ⎧+-=⎪⎨⎛⎫+-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，作差得AB 方程为1323402tx t y ⎛⎫---= ⎪⎝⎭即()1323402t x y y -+-=令23013402x y y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得1213813x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，设128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点128,1313T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又Q 是AB 中点，所以CQ AB ⊥，则有Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H 是CT 的中点，使得12QH CT =为定值，坐标为64,1313H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22.记首项为1的递增数列为“W -数列”．（1）已知正项等比数列{}n a ，前()*Nn n ∈项和为n S ，且满足：222n n a S +=+．求证：数列{}n a 为“W -数列”；（2）设数列{}()*Nn b n ∈为“W -数列”，前()*N n n ∈项和为n S ，且满足()32*1N n i n i b S n ==∈∑．（注：3333121n i n i bb b b ==+++∑ ）①求数列{}n b 的通项公式n b ；②数列{}()*N n c n ∈满足33n n n b b c =，数列{}n c 是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据： 1.44≈≈）【答案】（1）证明见解析（2）①n b n =；②存在；最大项为31c =【解析】【分析】（1）利用等比数列中,n n a S 的关系求解；（2）利用等差数列的定义以及,n n a S 的关系求解，并根据数列的单调性求最值.【小问1详解】设正项等比数列{}n a 的公比为()0q q >，因为222n n a S +=+，则3122n n a S ++=+，两式相减得3212n n n a a a +++-=，即()()()2112210n n a q q a q q ++--=-+=,因为0,0n a q >>，所以2q =，222n n a S +=+中，当1n =时，有3122=+a a ，即11422a a =+，解得11a =，因此数列{}n a 为“W -数列”；【小问2详解】①因为()32*1N n i n i bS n ==∈∑所以3211b b =，又{}n b 为“W -数列”，所以11b =，且1n n b b +>，所以{}n b 各项为正，当2n ≥，321n i ni b S ==∑①，13211n i n i b S --==∑②，①一②得：3221n n n b S S -=-，即()()311n n n n n b S S S S --=-+，所以21n n n b S S -=+③，从而211n n n b S S ++=+④，④-③得：2211n n n n b b b b ++-=+，即()()111n n n n n n b b b b b b ++++-=+，由于{}n b 为“W -数列”，必有10n n b b ++>，所以11n n b b +-=，()2n ≥，又由③知2221b S S =+，即22122b b b =+，即22220b b --=得22b =或21b =-（舍）所以211b b -=，故()*11n n b b n N +-=∈所以{}n b 是以1为首项，公差是1的等差数列，所以n b n =；②303n n n c =>，所以31113n n c n c n ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，令311113n n c n c n ++⎛⎫=< ⎪⎝⎭，得 2.27n >≈，。
2020-2021学年江苏省苏州中学高二(上)期初数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省苏州中学高二（上）期初数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，，则( )A. B.C. D.2.如果，则的解析式为( )A. B.C. D.3.在中，M 是BC 的中点，，点P 在AM 上且满足，则等于( )A. B. C.D.4.直线是圆C ：的一条对称轴，过点作圆C 的一条切线，切点为B ，则( )A. B.C.D. 15.已知锐角中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若，则的取值范围是( )A.B.C.D.6.如图，体积为V 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分图中阴影部分的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共2小题，共10分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
7.已知函数，则下列说法正确的是( )A. 函数的图象与x轴有两个交点B. 函数的最小值为C. 函数的最大值为4D. 函数的图象关于直线对称8.已知圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，且被y轴截得的弦长为4，当圆心C到直线的距离最小时，圆C的方程为( )A. B.C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
9.已知函数在区间内是减函数，则实数a的取值范围是______.10.已知直线：和直线：，若，且坐标原点到这两条直线距离相等，则ab的值为______.11.如图，已知线段，四边形ABNM的两顶点M、N在以AB为直径的半圆弧上，且，则的取值范围是______.四、解答题：本题共3小题，共45分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.本小题15分在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求证：为定值；若，求的值．13.本小题15分如图，在三棱锥中，，，点M是BC上一点，P是SB上一点，N是SC的中点，且平面求证：；若P为SB中点，求证：平面平面14.本小题15分已知圆：，圆：过点作圆的切线MA，MB，A，B为切点，求直线AB的方程；是否存在定点P，使得过点P有无穷多对互相垂直的直线，分别被圆和圆截得的弦长之比为1：2？若存在，求出点P的坐标；否则，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算，属于基础题.可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，；故选：2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查了配方法求函数解析式，属于基础题．由，运用换元法，令代入可得答案.【解答】解：，令，则，，则，故选3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查向量的数量积、几何应用等.由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM 上且满足，即可求解．【解答】解：是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足，是三角形ABC的重心，，又，，故选4.【答案】D【解析】解：由圆C：，得圆心，则，即，，如图，，可得切线长为，故选：利用对称轴过圆心求得a，从而确定点A，结合图形即得切线长．本题考查了圆的对称性，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5.【答案】C【解析】解：由，余弦定理，可得，正弦定理边化角，得，，，，是锐角三角形，，即，，那么：，可得，则故选：由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去C，可得，利用三角形ABC是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：设大球的半径为R，则小球的半径为：，由题意可得：所以即：故选：根据题意推知小球半径是大球的一半，建立大球体积小球体积和阴影部分的体积的关系，可推知选项．本题考查组合体的体积，空间想象能力，逻辑推理能力，是难题．7.【答案】AB【解析】解：函数，令，解得，可得，或，所以A正确；，所以函数的最小值为，所以B正确，没有最大值，所以C不正确；函数的定义域为：，所以函数的图象不可能关于对称，所以D不正确；故选：求出函数的零点判断A；求解函数的最小值判断B；利用函数的值域判断C；函数的定义域判断本题考查函数的零点与方程根的关系，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】AB【解析】解：设圆心为，半径为r，圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，则其中劣弧所对圆心角为，由圆的性质可得，又圆被y轴截得的写出为4，，，变形为，即在双曲线上，易知双曲线上与直线平行的切线的切点为，此点到直线有最小距离．由，消去y得，解得当时，，当时，即切点为或，半径r为圆的方程为或故选：设圆心为，半径为r，由圆C被x轴分成两部分的弧长之比为1：2，得，再由圆被y轴截得的写出为4，可得，说明在双曲线上，求出双曲线上与直线平行的切线的切点坐标，即圆心坐标，由此可得圆的方程．本题考查圆的标准方程，考查导数的几何意义，解题的关键是圆心到直线的距离的最小值的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】【解析】解：函数在区间内是减函数．由于在区间内单调递增，且，，，故答案为：由题意利用二倍角公式可得在区间内是减函数，再利用二次函数的性质可得，由此求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，二倍角公式的应用，属于中档题．10.【答案】或【解析】解：直线：和直线：，若，则，求得直线、直线和y轴的交点分别为、，直线、直线和x轴的交点分别为、，且坐标原点到这两条直线距离相等，，求得，；或，，或，故答案为：或由题意利用两条直线平行的性质，线段的中点公式，求出a、b的值，可得ab的值．本题考查两条直线平行的性质，线段的中点公式，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】【解析】解：连接OM，ON，则，当线段MN在上运动时，的夹角由到0再到，所以，即可得的取值范围为故答案为：连接OM，ON，则，结合的夹角范围即可求解．本题考查向量数量积的运算，关键是对，的变形，要尽量用知道模和夹角的向量来表示，是一道中档题．12.【答案】解：证明：因为：，所以由正弦定理可得：，①因为A，B为三角形的内角，所以，所以①式两边同时乘以，可得：，所以，得证．因为，所以，可得，因为A为三角形内角，，所以，可得，因为由可得，解得，所以【解析】由正弦定理化简已知等式，由于，可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可求得，从而得解．由已知利用余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，由进而可求的值，进而根据两角和的正切函数公式即可求解的值．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，两角和的正切函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．13.【答案】证明：由平面ASB，平面SBC，且平面平面，可得，又N是SC的中点，可得M为BC的中点，即；由，M为BC的中点，可得，由，M为BC的中点，可得，又，可得平面SAM，由PN为的中位线，可得，则平面SAM，又平面ANP，可得平面平面【解析】由线面平行的性质和平行线的性质，即可得证；由等腰三角形的性质和线面垂直的判定定理，可得平面SAM，再由中位线定理和面面垂直的判定定理，即可得证．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．14.【答案】解：因为，，以为直径的圆的方程：，又圆：，圆和圆的方程相减可得：即直线AB的方程：设P点坐标为，直线的斜率为依题意，则直线的方程为，即，直线的方程为，即因为直线被圆截得的弦长的2倍与直线被圆截得的弦长相等，且圆的半径是圆的半径的2倍，所以圆心到直线的距离的2倍与圆心到直线的距离相等，整理得：或由于关于k的方程有无穷多解，第11页，共11页所以，，或，，解得，，或，，所以所有满足条件的P 点坐标为或 【解析】求出以为直径的圆的方程，是圆与圆的相交弦，将两圆方程相减即可的答案；利用直线的垂直关系，进一步建立点到直线的距离公式的关系式，进一步建立方程组，求出点的坐标．本题考查了直线与圆的位置关系的应用，方程组的解法，点到直线的距离公式的应用．属于中档题．。
江苏省南京航空航天大学苏州附属中学2020-2021学年高二上学期期初调研考试数学试卷Word版
南航苏州附中高二期初调研数学试卷一、选择题1．直线10x ++=的斜率为〔 〕A B ．．-2．假设1sin 3α=，那么cos2α的值为〔 〕 A ．89B ．79-C ．79D ．233．空间直角坐标系O xyz -中，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，那么这两点间的距离为〔 〕A B ．．184．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，假设sin sin 0b A a C -=，那么此三角形为〔 〕A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．在平面直角坐标系中，点()1,0A ，1,2B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,2C -三点共线，那么a 的值为〔 〕 A ．2-B ．12-C ．12D ．2 6．某养路处有一圆锥形仓库用于储藏食盐〔供融化高速公路上的积雪之用〕，已建的仓库的底面直径为12米，高4米，为存放更多的食盐，养路处拟重建仓库，将其高度增加4米，底面直径不变，那么新建仓库比原仓库能多储藏食盐的体积为〔 〕A ．24π米3B ．48π米3C ．96π米3D ．192π米37．α，β均为锐角，假设sin α=，cos β=，那么αβ+的大小为〔 〕A ．3π4B ．π3C ．π4D ．π68．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球〔球心记为O 〕，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，假设晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，那么晷针与点A 处的水平面所成角为〔 〕A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°二、选择题：9．正方体1111ABCD A B C D -中，以下表达正确的有〔 〕A ．直线1AB 与1BC 所成角为60°B ．直线1A C 与1CD 所成角为90°C ．直线1A C 与平面ABCD 所成角为45°D ．直线1A B 与平面11BCC B 所成角为60°10．一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，那么以下表达正确的有〔 〕A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为3C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为4D ．122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为811．过点()2,0作圆222690x y x y +--+=的切线l ，那么直线l 的方程为〔 〕 A ．3460x y +-=B ．4380x y +-=C ．20x -=D ．20x +=12．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6b =，sin 2sin A C =，那么以下四个结论正确的有〔 〕A ．ABC △不可能是直角三角形B ．ABC △有可能是等边三角形C ．当A B =时，ABC △的周长为15D ．当π3B =时，ABC △的面积为三、填空题 13．如表是关于某校高一年级男女生选科意向的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调查，假设在“选修物理的男生〞中抽取了8人，那么n 的值为______．14．直线l 平行于直线30x y -=，且与y 轴交于点()0,2-，那么l 与两坐标轴围成的三角形面积为______．15．从A ，B ，C ，D ，E 五位条件类似的应聘者中征选2人担任秘书职位，那么A 被录用的概率为______． 16．直三棱柱111A B C ABC -中，1AB =，2BC =，90ABC ∠=︒，其外接球的外表积为9π，那么该三棱柱的侧棱长为______．四、解答题17．在ABC △中，边AB 所在的直线方程为32x y +=，其中项点A 的纵坐标为1，顶点C 的坐标为()1,2． 〔1〕求AB 边上的高所在的直线方程；〔2〕假设CA ，CB 的中点分别为E ，F ，求直线EF 的方程．18．为了解一大片经济林的生长情况，随机抽样测量其中20株树木的底部周长〔单位cm 〕，得到如下频数分布表和频率分布直方图：〔1〕请求出频数分布表中a ，b 的值；〔2〕估计这片经济林树木底部周长的平均值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕；〔3〕从样本中底部周长在115cm 以上的树木中任选2株进行嫁接试验，求至少有一株树木的底部周长在125cm 以上的概率．19．如图，在三棱锥A BCD -中，AB AD =，BD CD ⊥，点E 、F 分别是棱BC 、BD 的中点． 〔1〕求证：//EF 平面ACD ；〔2〕求证：AE BD ⊥．20．在①ac =，②sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，假设问题中的三角形存在，求c 的值：假设问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A B =，π6C =，______？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PBC 为正三角形，M ，N 分别为PD ，BC 的中点，PN AB ⊥．〔1〕求三棱锥P AMN -的体积；〔2〕求二面角M AN D --的正切值．22．圆O ：222x y +=，定点()0,1P ，过P 作直线l 与圆O 交于M ，N 两点．〔1〕假设MN =，求直线l 的方程；〔2〕假设13MP PN =，求直线l 的方程； 〔3〕设M '为M 关于x 轴的对称点，直线NM '与MN 分别交x 轴于(),0A a ，(),0B b ，试问乘积ab 是否为定值，请说明理由．。
江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期12月检测数学试题
苏州大学附属中学2020-2021学年高二数学十二月检测一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.2i12i-=+（ ） A. 1 B. −1 C. i D. −iD根据复数除法法则进行计算.2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ----===-++-故选：D 本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题. 2. “2x <”是“220x x -<”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B根据2x <与220x x -<的互相推出情况，确定出2x <是220x x -<的何种条件. 当220x x -<时，02x <<，所以2x <不能推出220x x -<，220x x -<能推出2x <， 所以“2x <”是“220x x -<”的必要不充分条件.故选：B.本题考查充分条件、必要条件的判断，难度较易.注意一个基本事实：小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围.3. 下列不等式中成立的是（ ） A. 若a b >，则22ac bc > B. 若a b >，则22a b > C. 若0a b <<，则22a ab b << D. 若0a b <<，则a bb a> D对于A ，B ，C 通过举反例进行判断，对于D ，作差比较即可 解：对于A ，若a b >，0c ，则22ac bc =，所以A 错误；对于B ，若1,2a b ==-，则2224a b =<=，所以B 错误； 对于C ，若2,1a b =-=-，则2241a b =>=，所以C 错误；对于D ，因为0a b <<，所以0,0,0ab a b a b >+<-<，所以22()()0a b a b a b a b b a ab ab-+--==>，所以a bb a>，所以D 正确，故选：D 此题考查不等式的性质的应用，属于基础题4. 公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233,,a a a --成等差数列，若11a =，则4S =（ ） A. 20- B. 0 C. 7 D. 40A由题设可得21323a a a -=-+，即22303,1q q q q +-=⇒=-=（舍去），应选答案A ． 5. 已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9C利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A p AF x =+=，即1292p=+，解得6p .故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.6. 已知椭圆2211612x y +=上一点P 到其左焦点的距离为6，则点P 到右准线的距离为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 12A求出点P 的横坐标，进而可求得点P 到椭圆右准线的距离.设点P 的坐标为(),x y ，则2211612x y +=，223124y x =-，且44x -≤≤，对于椭圆2211612x y +=，4a =，b =2c ，椭圆2211612x y +=的左焦点为()2,0F -，右准线方程为28a x c==，114422PF x x ====+=+6=，解得4x =，因此，点P 到右准线的距离为844-=.故选：A.本题考查椭圆上的点到准线距离的计算，求出点P 的横坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.7. 设双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2P 是C上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 4D. 8A根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.5ca =，c ∴，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12121||42PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()22212||2PF PF c ∴+=，()22121224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，故选：A.本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.8. 已知数列{}n a 的首项121a =，且满足21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+，则{}n a 的最小的一项是（ ） A. 4a B. 5aC. 9aD. 10aB利用配凑法将题目所给递推公式转化为112325n n a a n n +=+--，即证得25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，由此求得25na n -的表达式，进而求得n a 的表达式，并根据二次函数的对称轴求得当5n =时n a 有最小值.由21(25)(23)41615n n n a n a n n +-=-+-+得1(25)(23)(25)(23)n n n a n a n n +-=-+--由已知得112325n n a a n n +=+--，1725a =--， 所以数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为首项为7-，公差为1的等差数列，7(1)825n a n n n =-+-=--，则(25)(8)n a n n =--，其对称轴10.55.252n ==. 所以{}n a 的最小的一项是第5项.故选：B关键点睛：本题考查根据数列的递推公式求通项公式研究数列的最值问题，解答本题的关键是由递推公式得到112325n n a a n n +=+--，从而可得数列25n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，得到(25)(8)n a n n =--，属于中档题.二、多项选择题。
江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初数学试题
（1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；
（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出 关于 的线性回归方程
；
（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性
回归方程是否理想？
21. 如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为6 0°．
A．样本中女生人数多于男生人数 C．样本中 层次男生人数为6人
B．样本中 层人数最多 D．样本中 层次男生人数多于女生人数
10. 根据下列条件解三角形，有两解的有（ ）
A．已知a
，b＝2，B＝45°
C．已知b＝3，c
，C＝60°
江苏省苏州大学附属中学2020-2021学年高二上学期期初数学试题
B．已知a＝2，b
14. 从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)｡由图中数据可知 三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在
_____．若要从身高在 内的学生中选取的人数应为___
_____｡
15. 一船以每小时
的速度向东航行，船在 处看到一个灯塔 在北偏东 处；行驶 后，船到达 处，看到这个灯塔在北偏东 处.
，A＝45°
D．已知a＝2 ，c＝4，A＝45°
11. 棱长为 的正四面体
中，以下说法正确的是（ ）
A．异面直线 与 B．侧棱 与底面
所成的角是 所成的角的余弦为
C．二面角
大小的余弦值为
D．二面角
2023学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷+答案解析(附后)
2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，则( )A. B. C. D.2.关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.3.设等差数列的前n项和为，公差，且，则( )A. 2B. 3C. 4D. 54.若不等式的解集为，则的值为( )A. B. 0 C. D. 15.已知等比数列中，，，则( )A. B. C. 2 D. 46.已知在数列中，，则的值为( )A. B. C. D.7.已知，，，则的最小值为( )A. B. C. D. 98.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有( )A. “”是“”的充分不必要条件B. “”是“”的既不充分又不必要条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充要条件10.已知等差数列的前n项和为，且，，则( )A. B.当且仅当时，取得最大值C. D.满足的n的最大值为1211.已知a，b均为正实数，且，则( )A. 的最小值为B. 的最小值为2C. 的最大值为D. 的最大值为412.对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”．下列叙述正确的有( )A. 若数列单调递增，则数列单调递增B. 存在数列是常数列，数列不是常数列，则数列不是周期数列C. 若，则数列没有最小值D. 若，则数列有最大值三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“，”的否定是______.14.在等比数列中，已知，则的值为______.15.已知，，，则的最小值为__________.16.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为__________，此数列的通项公式__________四、解答题（本大题共6小题，共70分。
苏州大学附属中学2020-2021学年度第一学期10月月考高二数学试题(含答案解析)
B•由ac1>be1,则疋>0,可得2a>b .
C・不一定成立，例如° =b = -L・
D・a>h9od f即一d > Y ■贝成立.
故选：BD.
【点评】本題考査了不等式的基本性贞.考査了推理能力与卄算能力，屈于基础题.
10.下列命题中错误的是（）
A・若数列｛%｝是等差数列.且务+乞=4+4,（巾、打、S、fwN*）,则E + /T = S+f&
o(l+pf+a(l + py+q(1+p)‘ +a(l + p)
=丿屮门=-^[(l+p)5-(Rp)].
[-(I + p)p
故选，D,
【成评】本题是等比数列在实际生活中的应用思，与毎个人的生活密切相关.具有强烈的生活气息，高考 中非常堇视应用题的考査，同学们在平吋练习中要多加注意此类题型.
8.在数列｛&」中，珂二0. ^=^ + ^(1 + 1).则｛听｝的通项公式为()
B.若以是等比数列S」的前"项的和，则£，%讥，成等差数列；
C.若耳是等比数列｛a”｝的前”坝的和，且S^A^ + Bt（其中4、B是非零常数，”wN*）,则4 + B = 0：
D.若数列9”｝的前”项的和S,二力千如+ c（qb,c为常数〉，则数列匕,｝为等差数列.
11.下列鈿题中真命题有（）
A.若^+^=2,则a"的最大值为2
n
A・aA=InnB・= («-i)Jn(n+1)
C.= nlnnD.a -lnn + n-2
2023-2024学年江苏省苏州市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．直线3x +y ﹣2＝0的方向向量为（ ） A ．（﹣1，3）B ．（1，3）C ．（﹣3，1）D ．（3，1）2．等差数列{a n }中，若2a 3+a 9＝18，则a 2+3a 6的值为（ ） A ．36B ．24C ．18D ．93．与直线3x ﹣4y +5＝0关于y 轴对称的直线方程是（ ） A ．3x +4y ﹣5＝0B ．3x +4y +5＝0C ．3x ﹣4y +5＝0D ．3x ﹣4y ﹣5＝04．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x +y ﹣5＝0上的圆的方程为（ ） A ．（x ﹣5）2+（y +10）2＝125 B ．（x +1）2+（y ﹣2）2＝5C ．（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝5D ．(x −53)2+y 2=2595．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．58．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π610．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ）A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ） A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为1112．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为 ．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 ．（写成一般式）15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 ．16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l 1：2x ﹣（a ﹣1）y ﹣2＝0，l 2：（a +2）x +（2a +1）y +3＝0（a ∈R ）． （1）若l 1⊥l 2，求实数a 的值； （2）若l 1∥l 2，求l 1，l 2之间的距离．18．（12分）已知等差数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，又a 2＝4，S 9＝90． （1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n ＝|9﹣a n |，求数列{b n }的前n 项和T n ． 19．（12分）已知数列{a n }的首项a 1=23，且满足a n−1=2a na n +1． （1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n =(−1)n−1a n，求数列{b n }的前2n 项和S 2n ．20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ． （1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3ni=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ； ②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n33bn，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）2023-2024学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．直线3x+y﹣2＝0的方向向量为（）A．（﹣1，3）B．（1，3）C．（﹣3，1）D．（3，1）解：根据直线方程3x+y﹣2＝0，可得直线的斜率为﹣3，所以直线的一个方向向量为（1，﹣3），又（1，﹣3）＝﹣（﹣1，3），所以（﹣1，3）也是直线的一个方向向量．故选：A．2．等差数列{a n}中，若2a3+a9＝18，则a2+3a6的值为（）A．36B．24C．18D．9解：设等差数列{a n}的公差为d，2a3+a9＝18，则2（a1+2d）+a1+8d＝3a1+12d＝18，即a1+4d＝6，a2+3a6＝a1+d+3（a1+5d）＝4a1+16d＝4（a1+4d）＝4×6＝24．故选：B．3．与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线方程是（）A．3x+4y﹣5＝0B．3x+4y+5＝0C．3x﹣4y+5＝0D．3x﹣4y﹣5＝0解：令x＝0，则y=54，可得直线3x﹣4y+5＝0与y轴的交点(0，54)．令y＝0，可得x=−53，可得直线3x﹣4y+5＝0与x轴的交点(−53，0)，此点关于y轴的对称点为(53，0)．∴与直线3x﹣4y+5＝0关于y轴对称的直线经过两点：(0，54)，(53，0)．其方程为：x53+y54=1，化为：3x+4y﹣5＝0．故选：A．4．经过原点和点（3，﹣1）且圆心在直线3x+y﹣5＝0上的圆的方程为（）A．（x﹣5）2+（y+10）2＝125B．（x+1）2+（y﹣2）2＝5C．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5D．(x−53)2+y2=259解：设圆心C（a，5﹣3a），则由所求的圆经过原点和点（3，﹣1），即√a 2+(5−3a)2=√(a −3)2+(5−3a +1)2，求得a =53，可得圆心为（53，0），半径为√a 2+(5−3a)2=53，故圆的方程为（x −53）2+y 2=259． 故选：D ．5．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为{a n }是公差不为0的无穷等差数列，若“{a n }为递减数列”，可得{a n }的通项公式为一次函数且一次项系数小于0，一定有a n ＜0，即“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充分条件；若“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”，设通项公式为a n ＝pn +q ，则p ＜0，n ∈N +， 即{a n }为递减数列，所以“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的必要条件， 综上所述：“{a n }为递减数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＜0”的充要条件． 故选：C ．6．已知点P （4，3），点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动，点M 满足PM →=MQ →，则点M 的运动轨迹围成图形的面积为（ ） A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解：设M （x ，y ），点P （4，3），点M 满足PM →=MQ →， 可得Q （2x ﹣4，2y ﹣3）， 点Q 在x 2+y 2＝4的圆周上运动， 可得（2x ﹣4）2+（2y ﹣3）2＝4， 即（x ﹣2）2+（y −32）2＝1，点M 的运动轨迹是以（2，32）为圆心，1为半径的圆，点M 的运动轨迹围成图形的面积为π． 故选：A ．7．等比数列{a n }，满足a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝3，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=15，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5的值是（ ）A ．3B ．√5C ．−√5D ．5解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q=3①，a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5． 故选：D ．8．过点P （2，0）作圆x 2+y 2﹣4y ＝1的两条切线，设切点分别为A ，B ，则△P AB 的面积为（ ） A ．3√158B ．√152C ．5√158D ．√15解：由题设，圆的标准方程为x 2+（y ﹣2）2＝5， 圆心为C （0，2），半径r =√5，所以|CP|=2√2，如图所示，切点分别为A ，B ，则|BP|=|AP|=√8−5=√3， 所以sin ∠BPC =|BC||CP|=√52√2，cos ∠BPC =|BP||CP|=32√2，又∠BP A ＝2∠BPC ，所以sin ∠BP A ＝sin2∠BPC ＝2sin ∠BPC cos ∠BPC =2√52√2×32√2=√154，所以S △PAB =12|BP||AP|sin∠BPA =12×√3×√3×√154=3√158． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 9．已知直线l ：x +my +m ＝0，若直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角可以是（ ） A ．2π3B ．π2C ．π4D ．π6解：直线l ：x +my +m ＝0，即x +（y +1）m ＝0，故直线l 过定点C （0，﹣1）， A （﹣3，2），B （2，1）， 则k AC =2−(−1)−3−0=−1，k BC =1−(−1)2−0=1， 直线AC 的倾斜角为3π4，直线BC 的倾斜角为π4，直线l 与连接A （﹣3，2），B （2，1）两点的线段总有公共点， 则直线l 的倾斜角范围为[π4，3π4]．故选：ABC ．10．设S n ，T n 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的前n （n ∈N *）项和，下列说法正确的是（ ） A ．若a 15+a 16＞0，a 15+a 17＜0，则使S n ＞0的最大正整数n 的值为15 B ．若T n =5n +c （c 为常数），则必有c ＝﹣1 C ．S 5，S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列D ．T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列解：令{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝dn +（a 1﹣d ）， 所以{a 15+a 16=2a 1+29d ＞0a 15+a 17=2a 1+30d ＜0，故−292d ＜a 1＜−15d ，且d ＜0，使S n =na 1+n(n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ＞0， 则0＜n ＜1−2a1d ， 而29＜−2a 1d＜30， 即1−2a 1d∈(30，31)，故0＜n ≤30， 所以使S n ＞0的最大正整数n 的值为30，故A 错；令{b n }的公比为q 且q ≠0，则T n =b 1(1−q n )1−q =b 11−q −b 1⋅q n1−q =5n +c （公比不能为1），所以{q =5b 11−q=−1，即c ＝﹣1，故B 对；根据等差、等比数列片段和的性质知：S 5 S 10﹣S 5，S 15﹣S 10必为等差数列，T 5，T 10﹣T 5，T 15﹣T 10必为等比数列，C 、D 对． 故选：BCD ．11．已知等比数列{a n }的公比为q ，前n （n ∈N *）项和为S n ，前n （n ∈N *）项积为T n ，若a 1=132，T 5＝T 6，则（ ）A ．q ＝2B ．当且仅当n ＝6时，T n 取得最小值C ．T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）D ．S n ＞T n 的正整数n 的最大值为11 解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若T 5＝T 6，则a 6=T6T 5=1，又由a 1=132，则q 5=a6a 1=32，则q ＝2，A 正确；对于B ，由A 的结论，当1≤n ≤5时，a n ＜1，a 6＝1，当n ＞6时，a n ＞1，故当n ＝5或6时，T n 取得最小值，B 错误；对于C ，由A 的结论，a 6＝1，则有a n a 12﹣n ＝（a 6）2＝1， 当n ＜6时，11﹣n ＞n ，则有T 11−n T n =a n +1a n +2……a 10﹣n a 11﹣n ＝1，即T n ＝T 11﹣n ，同理：当6≤n ＜11时，也有T n ＝T 11﹣n ， 故T n ＝T 11﹣n （n ∈N *，n ＜11）成立，C 正确； 对于D ，若S n ＞T n ，即a 1(1−q n )1−q＞a 1a 2a 3……a n ，即2n −125＞2n 2−11n 2，当n ＝12时，S 12=212−125=27−132，T 12＝26，此时S n ＞T n ，D 错误．故选：AC ．12．已知圆C ：x 2+y 2＝4，圆M ：x 2+y 2﹣8x ﹣6y +m ＝0（ ） A ．若m ＝8，则圆C 与圆M 相交且交线长为165B ．若m ＝9，则圆C 与圆M 有两条公切线且它们的交点为（﹣3，﹣4） C ．若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则m ＞16D ．若圆M 恰好平分圆C 的周长，则m ＝﹣4解：对于A ，m ＝8时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝17，则M （4，3），半径r =√17． 而圆C ：x 2+y 2＝4中C （0，0），半径r ＝2，所以|CM |=√42+32=5， 故√17−2＜|CM|＜√17+2，即两圆相交，此时相交弦方程为4x +3y ﹣6＝0， 所以C （0，0）到4x +3y ﹣6＝0的距离d =65，故相交弦长为2×√22−(65)2=165，故A 正确； 对于B ，当m ＝9时，圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝16，则M （4，3），半径r ＝4， 类似于A 的分析，可得4﹣2＜|CM |＜4+2，故两圆相交，故B 错误；对于C ，若圆C 与圆M 恰有4条公切线，则两圆相离，可得|CM |＞r +r ′＝2+r ， 而圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25﹣m ，即r =√25−m ，所以{25−m ＞02+√25−m ＜5，解得16＜m ＜25，故C 错误；对于D ，若圆M 恰好平分圆C 的周长，则相交弦所在直线必过C （0，0），两圆方程相减，可得相交弦方程为8x +6y ﹣m ﹣4＝0，将点代入可得m ＝﹣4，故D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡相应的位置上．13．若{a n }是公差不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1，S n 为{a n }的前n （n ∈N *）项和，则1S 1+1S 2+⋯+1S 10的值为2011．解：设数列{a n }是公差d 不为0的等差数列，a 2，a 4，a 8成等比数列，a 1＝1， 故(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)，整理得（1+3d ）2＝（1+d ）（1+7d ），解得d ＝1； 故a n ＝1+（n ﹣1）＝n ， 所以S n =1+2+3+...+n =n(n+1)2， 故1S n=2n(n+1)=2(1n −1n+1)；所以1S 1+1S 2+⋯+1S 10=2(1−12+12−13+...+110−111)=2×1011=2011．故答案为：2011．14．平面直角坐标系xOy 中，过直线l 1：7x ﹣3y +1＝0与l 2：x +4y ﹣3＝0的交点，且在y 轴上截距为1的直线l 的方程为 9x +5y ﹣5＝0 ．（写成一般式）解：联立{7x −3y +1=0x +4y −3=0，解得x =531，y =2231，即直线l 1，l 2的交点（531，2231），由题意设l 的方程为：y ＝kx +1，即2231=531k +1，即k =−95，所以直线l 的方程为y =−95x +1， 即9x +5y ﹣5＝0． 故答案为：9x +5y ﹣5＝0．15．如图，第一个正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1的面积是1，取正六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1各边的中点A 2，B 2，C 2，D 2，E 2，F 2，作第二个正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2，然后取正六边形A 2B 2C 2D 2E 2F 2各边的中点A 3，B 3，C 3，D 3，E 3，F 3，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前n 个正六边形的面积之和为 4[1−(34)n ] ．解：由题设知：后一个正六边形与前一个正六边形的边长比值为√32， 故它们面积比为34， 所以前n 个正六边形的面积是首项为1，公比为34的等比数列， 所以前n 个正六边形的面积之和S =1−(34)n 1−34=4[1﹣（34）n ]． 故答案为：4[1﹣（34）n ]． 16．已知实数a ，b ，c 成等差数列，在平面直角坐标系xOy 中，点A （4，1），O 是坐标原点，直线l ：ax +2by +3c ＝0．若直线OM 垂直于直线l ，垂足为M ，则线段|AM |的最小值为 √2 ．解：因为实数a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a +c ，所以直线l ：ax +2by +3c ＝0为ax +（a +c ）y +3c ＝0，整理得a （x +y ）+c （y +3）＝0，令{x +y =0y +3=0，解得x ＝3，y ＝﹣3， 即直线l 过定点（3，﹣3），设该点为点P ，如图所示，因为OM ⊥l ，所以点M 在以OP 为直径的圆上，该圆的圆心为Q （32，−32），半径为r =12|OP |=3√22， 所以|AM |≥|AQ |﹣r =√(4−32)2+(1+32)2−3√22=√2，当且仅当A ，M ，Q 三点共线时，等号成立， 所以线段|AM |的最小值为√2．故答案为：√2．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知直线l1：2x﹣（a﹣1）y﹣2＝0，l2：（a+2）x+（2a+1）y+3＝0（a∈R）．（1）若l1⊥l2，求实数a的值；（2）若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．解：（1）因为l1⊥l2，可得2（a+2）﹣（a﹣1）（2a+1）＝0，即2a2﹣3a﹣5＝0，解得a＝﹣1或a=−5 2；（2）因为l1∥l2，则2（2a+1）＝（a+2）[﹣（a﹣1）]，且﹣2（2a+1）＝﹣（a﹣1）×3＝0，解得：a＝0或a＝﹣5（舍），所以直线l1的方程为：2x+y﹣2＝0，直线l2的方程：2x+y+3＝0．所以l1，l2之间的距离d=|−2−3|√2+1=√5．18．（12分）已知等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n＝|9﹣a n|，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）等差数列{a n}，前n（n∈N*）项和为S n，又a2＝4，S9＝90．设首项为a1，公差为d，所以{a1+d=49a1+9×82d=90，解得{a1=2d=2．故a n＝2n；（2）由（1）得：b n＝|9﹣a n|＝|9﹣2n|；当n≤4时，T n=7+9−2n2⋅n=8n−n2，当n≥5时，T n＝（b1+b2+b3+b4）﹣（b5+b6+...+b n）＝32﹣（8n﹣n2）＝n2﹣8n+32．故T n={8n−n2(n≤4的正整数)n2−8n+32(n≥5的正整数)．19．（12分）已知数列{a n}的首项a1=23，且满足a n−1=2a na n+1．（1）求证：数列{1a n−1}为等比数列；（2）设b n=(−1)n−1a n，求数列{b n}的前2n项和S2n．证明：（1）因为a n+1=2a n a n +1，a 1=23，所以a n ≠0， 所以1a n+1=a n +12a n =12a n +12，所以1a n+1−1=12a n −12， 因为a 1=23，1a 1−1=12≠0，1a n+1−11a n −1=12， 所以{1a n −1}是以12为首项，12为公比的等比数列； （2）S 2n =1a 1−1a 2+1a 3−1a 4+⋯+1a 2n−1−1a 2n=(1a 1−1)−(1a 2−1)+(1a 3−1)−(1a 4−1)+⋯+(1a 2n−1−1)−(1a 2n−1)． 又{1a n −1}是以12为首项，−12为公比的等比数列， 所以S 2n =12[1−(−12)2n ]1−(−12)=1−(12)2n 3=4n−13×4n ． 20．（12分）如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，以线段AB 的中点为坐标原点O ，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，记经过A ，B ，C ，D 四点的圆为圆M ．（1）求圆M 的标准方程；（2）若点E 是线段AO 的中点，P 是圆M 上一动点，满足PO →•PE →≥24，求动点P 横坐标的取值范围．解：（1）如图，因为AB ＝2CD ＝8，AB ，CD 间的距离为4，所以A （﹣4，0），B （4，0），C （2，4），D （﹣2，4），则经过A ，B ，C ，D 四点的圆即经过A ，B ，C 三点的圆，又AB 中垂线方程为x ＝0，BC 中点为（3，2），k BC =0−44−2=−2， 所以BC 的中垂线方程为y −2=12(x −3)，即y =12x +12，联立{x =0y =12x +12，得圆心坐标M(0，12)， 则MB =√(4−0)2+(0−12)2=√652，所以圆M 的标准方程为x 2+(y −12)2=654；（2）由已知可得E （﹣2，0），设圆M 上一点P （x ，y ），则PO →=(−x ，−y)，PE →=(−2−x ，−y)，因为PO →⋅PE →≥24，所以﹣x （﹣2﹣x ）+（﹣y ）（﹣y ）≥24，即x 2+y 2+2x ﹣24≥0，所以P 点在圆（x +1）2+y 2＝25上及其外部，联立{x 2+y 2−y −16=0x 2+y 2+2x −24=0， 解得x 1＝2，x 2＝4，所以两圆交点恰为B （4，0），C （2，4），结合图形，当圆M 上一点纵坐标为12时，横坐标为x 3=√652＞4，所以点P 横坐标的取值范围是[2，√652]．21．（12分）平面直角坐标系xOy 中，直线l ：3x +2y ﹣13＝0，圆M ：x 2+y 2﹣12x ﹣8y +48＝0，圆C 与圆M 关于直线l 对称，P 是直线l 上的动点．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点P 引圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，设线段AB 的中点是Q ，是否存在定点H ，使得|QH |为定值，若存在，求出该定点H 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）圆M ：（x ﹣6）2+（y ﹣4）2＝4，圆心M （6，4），设圆心C （x 0，y 0），由圆C 与圆M 关于直线l ：3x +2y ﹣13＝0对称，所以{y 0−4x 0−6=233×x 0+62+2×y 0+42−13=0，即{3y 0=2x 03x 02+y 0=0， 解得{x 0=0y 0=0，所以C （0，0），又r ＝2， 故圆C 的方程为x 2+y 2＝4；（2）因为P 是直线l 上的动点，设P(2t ，132−3t)， P A ，PB 分别与圆C 切于A ，B 两点，所以CA ⊥P A ，CB ⊥PB ， 所以A ，B 在以PC 为直径的圆N 上，圆N 的方程x(x −2t)+y[y −(132−3t)]=0， 即x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0，又AB 为圆C 与圆N 的公共弦，由{x 2+y 2−4=0x 2+y 2−2tx +(3t −132)y =0， 作差可得AB 的方程为2tx −(3t −132)y −4=0，即t(2x −3y)+132y −4=0， 令{2x −3y =0132y −4=0，得{x =1213y =813， 设T(1213，813)，则直线AB 过定点T(1213，813)， 又Q 是AB 中点，所以CQ ⊥AB ，所以Q 点是在以CT 为直径的圆上，所以存在点H （613，413）是CT 的中点，使得QH 为定值．22．（12分）记首项为1的递增数列为“W ﹣数列”．（1）已知正项等比数列{a n }，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足：a n +2＝2S n +2． 求证：数列{a n }为“W ﹣数列”；（2）设数列{b n }(n ∈N ∗)为“W ﹣数列”，前n （n ∈N *）项和为S n ，且满足∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1．（注：∑b i 3=b 13+b 23+⋯+b n 3n i=1） ①求数列{b n }的通项公式b n ；②数列{c n }(n ∈N ∗)满足c n =b n 33b n ，数列{c n }是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由．（参考数据：√2≈1.41，√33≈1.44）证明：（1）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），因为a n +2＝2S n +2，则a n +3＝2S n +1+2，两式相减得a n +3﹣a n +2＝2a n +1， 即a n+1(q 2−q −2)=a n+1(q −2)(q +1)=0因为a n ＞0，q ＞0，所以q ＝2，a n +2＝2S n +2中，当n ＝1时，有a 3＝2a 1+2，即4a 1＝2a 1+2，解得a 1＝1， 因此数列{a n }为“W ﹣数列”；解：（2）①因为∑b i 3=S n 2(n ∈N ∗)ni=1所以b 13=b 12，得又{b n }为“W ﹣数列”， 所以b 1＝1，且b n +1＞b n ，所以{b n }各项为正数，当n ≥2，∑b i 3=S n 2n i=1①，∑b i 3=S n−12n−1i=1②，①一②得：b n 3=S n 2−S n−12，即b n 3=(S n −S n−1)(S n +S n−1)，所以b n 2=S n +S n−1③，从而b n+12=S n+1+S n ④，④﹣③得：b n+12−b n 2=b n+1+b n ， 由于{b n }为“W ﹣数列”，必有b n +1+b n ＞0，所以b n +1﹣b n ＝1，（n ≥2），又由③知b 22=S 2+S 1，即b 22=2b 1+b 2，解得b 2＝2或b 2＝﹣1（舍）；所以b 2﹣b 1＝1，故b n+1−b n =1(n ∈N ∗)，所以{b n }是以1为首项，公差是1的等差数列，所以b n ＝n ；②c n =n 33n ＞0，所以c n+1c n =13(n+1n)3＜1， 整理得n √33−1≈2.27，所以当n ≥3时，c n +1＜c n ，即c 3＞c 4＞c 5＞⋯，又c 1=13，c 2=89，c 3=1，所以{c n }中存在最大项，为c 3＝1．。
2023-2024学年江苏省苏州中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（每题5分，共8题。
选对得5分，选错或不选得0分） 1．已知直线l 的方程为x +√3y −1=0，则直线的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．已知等差数列{a n }满足4a 3＝3a 2，则{a n }中一定为零的项是（ ） A ．a 6B ．a 4C ．a 10D ．a 12 3．在等比数列{a n }中，a 2，a 10是方程x 2﹣6x +4＝0的两根，则a 3a 9a 6=（ ） A ．2B ．﹣2C ．﹣2或2D ．3±√54．直线l ：y ＝kx +1与圆O ：x 2+y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |=√2”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知圆x 2+y 2＝4上有四个点到直线y ＝x +b 的距离等于1，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(−√2，√2)B ．[−√2，√2]C ．（﹣2，2）D ．（﹣1，1）6．某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益．如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），则每年应该存入约（ ）万元．（参考数据：1.027≈1.149，1.028≈1.172） A ．5.3B ．4.6C ．7.8D ．67．已知数列{a n }满足a 1=2，a n+1={a n +1，n 为奇数a n +3，n 为偶数，记b n ＝a 2n ﹣1，则（ ）A ．b 1＝3B ．b 2＝8C ．b n +1﹣b n ＝4D ．b n ＝4n +28．已知圆O ：x 2+y 2＝1，点P （x 0，y 0）是直线l ：3x +2y ﹣4＝0上的动点，若圆O 上总存在不同的两点A ，B ，使得直线AB 垂直平分OP ，则x 0的取值范围为（ ） A ．(0，2413)B ．(0，2413]C ．[−1013，2)D ．(−1013，2)二、多选题（每题5分，共4题。
江苏省苏州市高二上学期数学期中考试试卷
江苏省苏州市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）设函数y=f（x）在x=x0处可导，且f′（x0）=1，则 C（x）= 的值等于（）A . 1B .C . 2D . ﹣22. （2分）设a，b是实数，则“a+b0”是“ab0”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2017高一下·汽开区期末) 在等比数列中, 则（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·林芝期中) （）A . -1B . 1C .D .5. （2分） (2019高二上·林芝期中) 若向量＝(1，－2)，＝(x,1)，且⊥ ，则x＝（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2019高二上·林芝期中) △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c＝， ,B ＝120°，则边b等于（）A .B . 2C .D .7. （2分） (2019高二上·林芝期中) 数列的通项公式，则（）A . 9B . 13C . 17.D . 198. （2分）等差数列的前项和，若，则（）A . 8D . 149. （2分） (2019高二上·林芝期中) 已知为等差数列，，则（）A . 5B . 6C . 7D . 810. （2分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，已知，则最大角与最小角的和为（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，A＝45°，b＝4，c＝，那么＝（）A .B . －C .D . －12. （2分） (2019高二上·林芝期中) 已知等比数列满足 , ,则（）C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·四川期中) 若，则 ________．14. （1分） (2015高二下·克拉玛依期中) 曲线y=cosx（0≤x≤ π）与坐标轴所围成的图形的面积为________﹒15. （1分） (2019高一上·安康月考) 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则 ________.16. （1分） (2020高一下·滦县期中) 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，，则的最大值为________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2019高一上·上海月考) 证明：“已知、，若，则.”为真命题.18. （10分）将下列集合用区间表示出来（1） {x|2x﹣1≥0}；（2） {x|x＜﹣4或﹣1＜x≤2}．19. （10分） (2019高二上·林芝期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B；（2）若，，求，．20. （10分） (2019高二上·林芝期中) 等比数列{ }的前n 项和为，已知 , , 成等差数列（1）求{ }的公比q；（2）已知－＝3，求21. （10分）的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.已知 .（1）求角C；（2）若，，求的周长.22. （10分） (2019高二上·林芝期中) 设数列的前项和为，为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省苏州市2020版高二上学期期中数学试卷(理科)D卷
江苏省苏州市2020版高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，它们在第一象限内的交点为，且与轴垂直，则此双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D .2. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知F1 ， F2分别是双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若在双曲线上存在点P满足2| |≤| |，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A . （1， ]B . （1，2]C . [ ，+∞）D . [2，+∞）3. （2分） (2016高二上·陕西期中) 已知向量，，且与互相垂直，则k=（）A .B .C .D .4. （2分）若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆+y2=1的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）A . x2﹣y2=1B . ﹣y2=1C . x2﹣=1D . ﹣=15. （2分）已知p：函数f（x）=x2+mx+1有两个零点，q：∀x∈R，4x2+4（m-2）x+1＞0．若p∧¬q为真，则实数m的取值范围为（）．A . （2，3）B . （-∞，1]∪（2，+∞）C . （-∞，-2）∪[3，+∞）D . （-∞，-2）∪（1，2]6. （2分） (2015高二上·安徽期末) 已知正方体ABCD﹣A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE 的三等分点，且，则等于（）A . + +B . + +C . + +D . + +7. （2分） (2018高二上·合肥期末) 过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，其中B在线段AC之间，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则此抛物线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分）△ABC中，AB=6，AC=8，∠BAC=90°，△ABC所在平面α外一点P到点A、B、C的距离都是13，则P到平面α的距离为（）A . 7B . 9C . 12D . 139. （2分）如图，在中，AC、BC边上的高分别为BD、AE，垂足分别是D、E，则以A、B为焦点且过D、E的椭圆与双曲线的离心率分别为，则的值为（）A . 1B .C . 2D .10. （2分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1为底面的中心，则O1A与上底面A1B1C1D1所成角的正切值是（）A . 1B .C .D . 211. （2分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A . 4B .C .D . 812. （2分） (2016高二上·莆田期中) 已知抛物线x2=y+1上一定点A（﹣1，0）和两动点P，Q，当PA⊥PQ 时，点Q的横坐标的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣3]B . [1，+∞）C . [﹣3，1]D . （﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）二、填空题． (共4题；共4分)13. （1分）命题“∃x∈R，x2+2x+2≤0”的否定是________．14. （1分） (2016高二上·黄陵开学考) 抛物线y2=6x的准线方程为________．15. （1分） (2016高二下·桂林开学考) 已知F1 ， F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，若∠F1PF2=60°，则离心率e的范围是________．16. （1分）(2020·杨浦期末) 己知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2017高二上·安阳开学考) P（x0 ， y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．18. （15分） (2017高三上·伊宁开学考) 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：（1）试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）（2）求异面直线B1D1与C1D所成的角；（3）如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．19. （15分） (2018高一上·北京期中) 已知二次函数满足，．（1）求函数的解析式；（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若函数在区间内至少有一个零点，求实数m的取值范围20. （15分）(2013·广东理) 已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．（1）求抛物线C的方程；（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．21. （5分）如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，∠DAB=60°，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F=2BF．（1）求证：平面AC1E⊥平面BCC1B1；（2）求二面角E﹣AC1﹣C的平面角的余弦值．22. （10分）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为；（2）焦点在坐标轴上，且经过和两点．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题． (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、第11 页共12 页21-1、22-1、22-2、第12 页共12 页。