开n次方根的直式计算与原理

補充教材

開n 次方根的直式計算與原理

范志軒 編輯

壹、二次方根

在10進位的數字中，若要建構開次方根號的直式計算，得要先觀察數字在次方運算下的進位規律，譬如以二次方為例：

一位數字x ：010x <<20100x ⇒<<

二位數字x ：10100x ≤<210010000x ⇒≤<

三位數字x ：1001000x ≤<2100001000000x ⇒≤< ………

n 位數字x ：11010n n x -≤<2(1)221010n n x -⇒≤<

上述的規律顯示：2n 或21n -位數字的平方根為n 位數字，因此若要反向求出二次方根，例如622521 的平方根，可以先觀察到此數為6位數，所以平方根為3位數。 其次，若已知622521 的平方根為3位數，如何決定其值？

二次方根直式計算法

(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每二位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第

二小節，……，以622521為例，共可分成三小節，而每一小節恰可計算出平方根的一位數字

(2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得2a 最接近此節的數字

將第一小節的數減去2a ，連同次一小節的數字下降至下一列

(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()12a b +乘以b 最接近此列上的數 用此列上的數減去()12a b +乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列

62'25'2

149 13252a =7a =取

749 132511

841

41

21

777148b =取8

8

()12a b +=

()1=2a b b

+⨯8

1

10a a =

(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()22a c +乘以c 最接近此列上的數

用此列上的數減去()22a c +乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列

(5) 若此時降下的數字為0，則開二次根號結束，平方根為10010a b c ++

否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位

數為止

計算二次方根的原理 x a β=+

()()2

222x a a a βββ=+=++ ⇒ ()222x a a ββ-=+ 令b βγ=+，代入上式

()()222x a a b b γγ-=+++()()222a b b a b γγ

=++++

⇒()()22

222x a a b b a b γγ--+=++

令c γω=+，代入上式

()()()22222x a a b b a b c c ωω--+=++++()()22222a b c c a b c ωω=++++++

()()()22222222x a a b b a b c c a b c ωω--+-++=+++

…………

重複上述步驟，直到算出所要求的位數為止 由原理對直式運算作檢驗

例如對622521的平方根運算進行觀察

622521()2

700β=+…………觀察兩側數字，估算得700a =

()26225217002700ββ⇒-=⨯+

令80βγ=+，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得80b = ()()262252170027008080γγ⇒-=⨯+++

()()2622521700270080802700280γγ⇒--⨯+=⨯+⨯+

令9γ=，代入上式…………觀察上式兩側數字，估算得9c = ()()262252170027008080270028099⇒--⨯+=⨯+⨯+

()()262252170027008080270028099⇒--⨯+-⨯+⨯+ 622521490000118400141210=---=

49 1325118414121141210777148

8()22a c +=89

15699()2=2a c c +⨯9

c =取()2

1010a b a ⨯+=

故62251的平方根為70070080700809789βγ+=++=++=

貳、三次方根

開三次方根的直式運算

若是仿照求二次方根的原理與步驟，考慮三次方根的求法，可得以下直式求法：

(1) 首先，由小數點位置開始向左或向右每三位數標上一撇，由左至右，分成第一小節，第

二小節，……，而每一小節恰可計算出立方根的一位數字 (2) 由第一小節開始，估算出正整數a ，使得3a 最接近此節的數字並將第一小節的數減去2a ，

連同次一小節的數字下降至下一列

(3) 令110a a =，估算求出正整數b ，使得()221133a a b b ++乘以b 最接近此列上的數並用此列上

的數減去()221133a a b b ++乘以b ，再連同次一小節的數字下降至下一列

(4) 令()21010a b a ⨯+=，估算求出正整數c ，使得()2

22233a a c c ++乘以c 最接近此列上的數，

並用此列上的數減去()2

22233a a c c ++乘以c ，再連同次一小節上的數字降下至下一列

(5) 若此時降下的數字為0，則開三次根號結束，立方根為10010a b c ++

否則令()31010010a b c a ⨯++=，繼續上述步驟，直到降下的數字為0或算出所要求的位

數為止

例如對491169069開立方根，其直式運算如下：

計算三次方根的原理

x a β=+

()()3

332233x a a a a ββββ=+=+++ ⇒ ()332233x a a a βββ-=++

令b βγ=+，代入上式

()()

(

)()2

33233x a a a b b b γγγ-=+++++()()

()()

2

2223333a ab b b a b a b γγγ

=+++++++

⇒()()()()

2

332223333x a a ab b b a b a b γγγ--++=++++ 令c γω=+，代入上式

343 148169131552166170

6916617069

7897a =取3a =8b =取9c =取1

10a a =()221133a a b b b ++=()222233a a c c c ++=()2

1010a b a ⨯+=