专题(七)--四边形的有关计算和证明

专题（七） 四边形的有关计算与证明

四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.

例 (2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：

将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在对角线BD 上的M 点；将△CDF 沿DF 翻折，使点C 落在对角线BD 上的N 点.

(1)求证：四边形BFDE 是平行四边形；

(2)若四边形BFDE 是菱形，AB ＝2，求菱形BFDE 的面积.

【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM ≌△FBN ，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；

(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°，利用锐角三角函数可求出AE 、BE ，进而求出AD 、DE ，即可求出菱形BFDE 的面积.

【解答】(1)∵四边形ABCD 是矩形，

∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD.

由翻折得：BM=AB ，DN=DC ，∠A=∠EMB ，∠C=∠DNF ，

∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°，

∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.

∵AD ∥BC,∴∠EDM=∠FBN ，

∴△EDM ≌△FBN(ASA)，∴ED=BF ，

∴四边形BFDE 是平行四边形.

(2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD=∠FBD.

∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,

∴∠ABE=13

×90°=30°. 在Rt △ABE 中，∵AB=2，

∴

∴∴AD=

∴S △ABE ＝12AB ·

S 矩形ABCD ＝AB ·AD=

∴S 菱形BFDE ＝方法归纳：证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根

据条件选择合适的判定方法加以证明.

1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.

2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.

(1)求证：BF=DF；

(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).

3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.

(1)试说明AC=EF;

(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.

4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.

(1)求证：△DOE≌△BOF.

(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.

5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF ⊥OF于点F.

(1)求证：四边形CDOF是矩形；

(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.

6.(2014·成都)如图，矩形ABCD 中，AD=2AB ，E 是AD 边上一点，DE=1n

AD(n 为大于2的整数)，连接BE ，作BE 的垂直平分线分别交AD 、BC 于点F ，G ，FG 与BE 的交点为O ，连接BF 和

EG.

(1)试判断四边形BFEG 的形状，并说明理由；

(2)当AB=a(a 为常数)，n=3时，求FG 的长；

(3)记四边形BFEG 的面积为S 1，矩形ABCD 的面积为S 2，当

12S S = 1730时，求n 的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)

参考答案

1.证明：∵∠ACB=90°，AE 平分∠BAC ，EH ⊥AB ，

∴CE=EH.

在Rt △ACE 和Rt △AHE 中，AE=AE ，CE=EH ，

由勾股定理，得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.

在△CAF 和△HAF 中，,,AC AH CAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩

，

∴△CAF ≌△HAF(SAS)，∴∠ACD=∠AHF.

∵CD ⊥AB ，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，

∴∠ACD=∠B=∠AHF ，∴FH ∥CE.

∵CD ⊥AB ，EH ⊥AB ，∴CF ∥EH ，

∴四边形CFHE 是平行四边形.

又∵CE=EH ，∴四边形CFHE 是菱形.

2.证明：(1)∵四边形ABCD 和AEFG 都是正方形，

∴AB=AD ，AE=AG=EF=FG ，

∠BEF=∠DGF=90°.

∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，∴BE=DG,

∴△BEF≌△DGF，∴BF=DF.

(2)BE∶CF=

2

.

3.证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，

∴∠AEF=1

2

∠AEB=30°，AE=AB，

∠EFA=90°.

∴∠AEF=∠BAC.

又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB.

∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.

(2)∵△ACD是等边三角形，

∴AC=AD，∠DAC=60°.

由(1)的结论得AC=EF.∴AD=EF.

又∵∠BAC=30°，

∴∠FAD=∠BAC+∠DAC=90°.

又∵∠EFA=90°，∴EF∥AD.

又∵EF=AD，

∴四边形ADFE是平行四边形.

4.(1)证明：∵在□ABCD中，O为对角线BD的中点，

∴BO=DO，∠EDB=∠FBO.

∵∠EOD=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA).

(2)当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形.

理由：∵△DOE≌△BOF，∴BF=DE.

又∵BF∥DE，∴四边形EBFD是平行四边形.

∵BO=DO，∠EOD=90°，

∴EB=DE.∴四边形BFDE为菱形.

5.(1)证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB，

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF.

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴2∠COD+2∠COF=180°，

∴∠COD+∠COF=90°，∴∠DOF=90°.

∵OA=OC，OD平分∠AOC，∴OD⊥AC，AD=DC.∴∠CDO=90°. ∵CF⊥OF，∴∠CFO=90°.

∴四边形CDOF是矩形.

(2)当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.

理由：∵∠AOC=90°，AD=DC，∴OD=DC.

又由(1)知四边形CDOF是矩形，

∴四边形CDOF是正方形.

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形.

6.(1)菱形.

∵FG为BE的垂直平分线，

∴FE＝FB，GB＝GE，∠FEB＝∠FBO.