电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度

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《电磁场与电磁波》第一章矢量分析

ey Ay By
ez Az Bz
显然，矢量的矢积不满足交换律。两个矢量的矢积仍是矢量。
矢积的几何意义设则
A A ex
B Bxex By ey
z
A B y B
A B ez A B sin
A
可见，矢积A×B的方向与矢量A及矢量B构成的平面垂直，由A旋转到B成右手螺旋关系；大小为 A B sin 。

S
E dS
0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
㊀
㊉
二、散度(divergence)
通量仅能表示闭合面中源的总量，不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
如果包围点P的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点P 时, 矢量A通过该闭合面的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即
结合律： ( A B) C A ( B C )
标量乘矢量：
A Ax ex Ay e y Az ez
§1-3 矢量的标积和矢积
一、矢量的标积
A Axex Ay e y Az ez
矢量A与矢量B的标积定义为：
B Bxex By ey Bz ez
则： A A ea ex A cos ey A cos ez A cos 标积的几何意义
y B
设其中
A A ex
B Bxex By ey

Bx B cos By B cos( ) B sin 2
A
x
所以
A B A B cos

04第二章散度与旋度

s in 0
e
e cos cos

图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v

v
A ds
面积分与体积分的相互转换可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋度

矢量函数的旋度

斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散

度

矢量函数的散度高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数

用解析法证明（例）：
ex
e

c o s e s in

e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S

圆柱坐标系中 :
e 1 A
e

《电磁场与电磁波》矢量分析

梯度:增加最快的方向
l M0 g el
方向导数=梯度在该方向上的投影
小结等值面:只能反映标量分布的总体趋势梯度:场中每点变化最快的方向和最大的变化率
求场
解：
在点(0,0.5,1) 处的梯度。
矢量场的通量和散度
矢量线：描述矢量场的线形象直观地描述矢量场
大小：疏密方向：切线方向
矢量线的疏密可定性表征矢量场的大小实际需定量描述，故引入通量
A dS
V 0 V S
对散度作体积分，就得到通量
高斯公式通量=散度的体积积分矢量函数的面积分与体积分的相互转换
S A dS 面
divA lim 1
A dS 点
V 0 V S
体
实现了“面-点-体 ”的转化
矢量场的环量和旋度
通量: 有向曲面上的面积分值，表示体积内的通量源,分布强度用散度来描述
A B AB cos =Ax Bx Ay By Az Bz
Bcosθ:B在A方向上的投影 B
A ex 2ey 3ez
B 4ex 5ey 6ez
A
B cos
A B 14 25 36 32
矢量标量积满足交换律和结合律
AB B A
kA pB kpA B AB+C A B AC
l M0 =0, 沿l方向不变
l M0
几个问题：
1）方向导数是标量？矢量？标量 2）不同方向的变化快慢是一样的？不是
l 方向改变，方向导数值也变 3）方向导数能反映哪方向的变化率最大？不能 4）标量能准确刻画标量场的空间变化率？不能
3 梯度
l M0 g el | g | cos(g, el )
场中的每一点只与一等值面/线对应等值面的稀密程度反映场量的空间分布

2014电磁场与电磁波1(散度旋度亥姆霍兹定理)

( A B) A B
(uA) u A A u
试求原点以外的空间点上电位移矢量D的散度。
q q a r 例：原点处点电荷q产生的电位移矢量 D 2 r 3 4 r 4 r
r xa x ya y za z
q x y z 解： D 3 ax 3 a y 3 az 4 r r r qx qy qz , Dy , Dz Dx 3 3 4 r 4 r 4 r 3 Dx q r 2 3z 2 q r 2 3 x 2 Dy q r 2 3 y 2 Dz , , 5 5 r r r5 x 4 y z 4 4 Dx Dy Dz divD D x y z q 3r 2 3( x 2 y 2 z 2 ) 0 5 r 4
矢量上任一点的切向矢量线元与矢量场之间的关系？方向平行
F dl 0
dl axdx aydy azdz
ax ay az A B Ax Ay Az Bx By Bz
F ax Fx ay Fy az Fz
矢量A Ax a x Ay a y Az a z 矢量B Bx a x By a y Bz a z
散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。
矢量的散度是一个标量。
在场中任意一点M处若 div A 0 ，表明该点有发出通量线的正源。若 div A 0 ，表明该点有吸收通量线的负源。若 div A 0 ，表明该点无源。
div A 0
柱坐标系
divA A 1 ar a az ar Ar a A az Az z r r 1 1 A Az rAr r r r z

电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界条件分析.

通过积分形式的麦克斯韦第三方程可以得到磁感应强度矢量的边界条件：，表明磁感应强度的法向分量在分界面上式连续的。 4.磁场强度的散度：
对于各向同性的磁介质来说，。因为，所以有：。的旋度：
由于，根据上边磁感应强度矢量的旋度表达式得：。表明磁介质中某点的磁场强度的旋度等于该点的传导电流。
存在时变的电磁场时，，表明表明磁场的旋度源是传导电流和时变的位移电流之和。的边界条件：
由磁通连续性原理得到恒定磁场的散度：，结果表明磁感应强度的散度恒为零，自然界中无孤立磁荷存在。的旋度：
由安培环路定理可得到真空中磁感应强度的旋度为：，结果表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源。
当有磁介质存在时，上式变为，为传导电流密度，为磁化电流密度，既考虑磁化电流也是产生磁场的漩涡源。的边界条件：
电磁场与电磁波中七个矢量的散度、旋度和边界
条件分析
《电磁场与电磁波》中共涉及到了七个矢量，它们是电场强度矢量，电位移矢量，磁感应强度矢量，磁场强度矢量，极化强度，磁化强度和电流密度矢量。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件唯一地确定，分析总结它们的散度、旋度和边界条件将有助于我们加深对电磁场与电磁波的基本矢量的认识。
磁介质表面上的磁化电流面密度表达式为：，为磁介质表面法向的单位矢量。则通过上面的表达式可推导出的边界条件是：。这表明磁化强度在分界面切线方向不连续。 7. 电流密度矢量的散度：
根据电荷守恒定律，单位时间内从闭合面内流出的电荷量应等于闭合面所限定的体积内的电荷减少量，即，设定闭合面所限定的体积不随时间变化，将全导数写成偏导数，变为：，应用散度定理。得到，从而得到：。的旋度：
对于各向同性介质，有，因此电位移矢量的旋度为的边界条件：

电磁场与电磁波复习资料

一、名词解释1.通量、散度、高斯散度定理通量：矢量穿过曲面的矢量线总数。

（矢量线也叫通量线，穿出的为正，穿入的为负）散度：矢量场中任意一点处通量对体积的变化率。

高斯散度定理：任意矢量函数A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于该矢量函在限定该体积的闭合面的法线分量沿闭合面的面积分。

2.环量、旋度、斯托克斯定理环量：矢量A沿空间有向闭合曲线C的线积分称为矢量A沿闭合曲线l的环量。

其物理意义随A 所代表的场而定，当 A 为电场强度时，其环量是围绕闭合路径的电动势；在重力场中，环量是重力所做的功。

旋度：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。

斯托克斯定理:一个矢量函数的环量等于该矢量函数的旋度对该闭合曲线所包围的任意曲面的积分。

3.亥姆霍兹定理在有限区域 V 内的任一矢量场，由他的散度，旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面S 上矢量场的分布）唯一的确定。

说明的问题是要确定一个矢量或一个矢量描述的场，须同时确定其散度和旋度4.电场力、磁场力、洛仑兹力电场力：电场力：电场对电荷的作用称为电力。

磁场力：运动的电荷，即电流之间的作用力，称为磁场力。

洛伦兹力：电场力与磁场力的合力称为洛伦兹力。

5.电偶极子、磁偶极子电偶极子：一对极性相反但非常靠近的等量电荷称为电偶极子。

磁偶极子：尺寸远远小于回路与场点之间距离的小电流回路（电流环）称为磁偶极子。

6.传导电流、位移电流传导电流：自由电荷在导电媒质中作有规则运动而形成的电流。

位移电流：电场的变化引起电介质内部的电量变化而产生的电流。

7.全电流定律、电流连续性方程全电流定律（电流连续性原理）：任意一个闭合回线上的总磁压等于被这个闭合回线所包围的面内穿过的全部电流的代数和。

电流连续性方程：8.电介质的极化、极化矢量电介质的极化：把一块电介质放入电场中，它会受到电场的作用，其分子或原子内的正，负电荷将在电场力的作用下产生微小的弹性位移或偏转，形成一个个小电偶极子，这种现象称为电介质的极化。

电磁场与电磁波复习重点

梯度: 高斯定理:A d S ，电磁场与电磁波知识点要求第一章矢量分析和场论基础1理解标量场与矢量场的概念；场是描述物理量在空间区域的分布和变化规律的函数。

2、理解矢量场的散度和旋度、标量场的梯度的概念，熟练掌握散度、旋度和梯度的计算公式和方法(限直角坐标系)。

:u；u；u e xe ye z ，-X；y: z物理意义：梯度的方向是标量u 随空间坐标变化最快的方向;梯度的大小：表示标量 u 的空间变化率的最大值。

散度：单位空间体积中的的通量源，有时也简称为源通量密度,旋度：其数值为某点的环流量面密度的最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向。

斯托克斯定理：■ ■(S?AdS|L )A d l数学恒等式：' Cu )=o ,「c A )=o3、理解亥姆霍兹定理的重要意义：a时，n =3600/ a , n为整数，则需镜像电荷XY平面, r r r.S(—x,y ,z)-q ■严S(-x , -y ,z)S(x F q R 1qS(x；-y ,z )P(x,y,z)若矢量场A在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一地确定，并且矢量场A可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。

A八F u第二、三、四章电磁场基本理论Q1、理解静电场与电位的关系，u= .E d l，E(r)=-V u(r)P2、理解静电场的通量和散度的意义，「s D d S「V "v dV \ D=，VE d l 二0 ' ' E= 0静电场是有散无旋场，电荷分布是静电场的散度源。

3、理解静电场边值问题的唯一性定理，能用平面镜像法解简单问题;唯一性定理表明：对任意的静电场，当电荷分布和求解区域边界上的边界条件确定时，空间区域的场分布就唯一地确定的镜像法：利用唯一性定理解静电场的间接方法。

关键在于在求解区域之外寻找虚拟电荷，使求解区域内的实际电荷与虚拟电荷共同产生的场满足实际边界上复杂的电荷分布或电位边界条件，又能满足求解区域内的微分方程。

电磁场与电磁波散度旋度

第一章矢量分析矢量场和标量场三种常用的坐标系矢量的基本运算标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度亥姆霍兹定理* 标量场的梯度是一个矢量场；* 当a l的方向与梯度方向一致时，方向导数取得最大值。

* 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大方向导数，梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向。

矢量场的散度✧闭合面的通量✧散度的定义✧散度的性质✧高斯散度定理矢量场的矢量线为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概念。

矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量场的方向。

线的疏密代表场的大小。

一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。

电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线的例子。

x y z d F F F dx dy dzF l 求出该微分方程的通解可绘出矢量线zy x F F F式中,C1和C2为任意常数，可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点向空间发散的径向辐射线，这一簇矢量线形象地描绘出点电荷的电场分布状况。

矢量场的通量面元通量反映矢量通过面元的量（如：水量）对于开表面, n 与表面的闭合曲线构成右手螺旋关系。

对于闭合表面, n 为外法向单位矢。

矢量与n 成锐角，通量为正cos d d AdsA s 将曲面的一个面元用矢量d S 来表示，其方向取为面元的法线方向，其大小为d S ，即d S =n dS ,n是面元法线方向的单位矢量。

矢量场的通量矢量的通量ΦS S d dSA S A n 通量的意义：通过曲面S 的量（对于流速场：水流量）通量是个标量。

矢量场的通量闭合面通量Φ的物理意义对于封闭曲面S ，如果 >0，表示净通量线从曲面S 的内部穿出曲面，因为通量线一定是通量正源发出的，所以根据能量守恒原理，可以判断曲面S 内必然包含发出通量线的正源。

反之，如果 <0，则曲面内必然包含吸收通量线的负源。

如果＝0，则曲面内不包含净源。

因此，通量可以是封闭曲面内通量源的判据。

2电磁场与电磁波-第二章

复习
1.通量：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲面 S 的通量，即：
2.散度
当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即
3.散度定理(高斯定理)
某一矢量散度的体积分等于该矢量穿过该体积的封闭表面的总通量.
μo称为真空中的磁导率:
理论上可以认为是孤立电流元I1dl1对另一个孤立电流元I2dl2的安培力。对换1、2则:
可见并不满足牛顿第三定律孤立直流电源不存在。记任何电流元产生的磁场为：
上式为任意电流元产生磁场的定义式，B(或dB)称为磁感应强度或磁通密度，单位为T(特斯拉)或Wb/m2,三者间满足右手螺旋定则.
p r r` dr`
在r=a处E(a)=ρ0a/3ε0,且从球内到球外两个区域的场表示式计算到的E(a)是相同的.
2.7 磁感应强度的矢量积分公式
对于体电流J(r`)和面电流Js(r`),相应的矢量源分别为J(r`)dσ`和JsdS`,相应的比奥-沙伐公式改为:
例2.7.1 计算长度为l直线电流I的磁场
若将微电流放在柱坐标原点，取+Z方向则：
任何直流回路周围空间的磁场分布：
积分号可放到里面
例题2.5.1 求半径为a的微小电流元的磁场.
解:采用球面坐标,圆环面积为ds=πa2,法向单位矢量为ez, 因为磁场圆对称，显然将场点P(r,θ,π/2)置于yoz平面不失普遍性：投影关系：余弦定理：
微电流源长度为：
将这些结果代入2.5.5就可得到磁场的计算公式2.5.6。
远场区r>>a,可用泰勒级数展开：

电磁场旋度散度

电磁场旋度散度电磁场是物质与电磁力相互作用的一种表现形式。

在电磁学中，旋度和散度是描述电磁场性质的两个重要概念。

旋度是矢量场的一个重要特征，表示了矢量场在空间中的旋转程度。

在电磁场中，旋度描述了磁场的旋转特性。

具体而言，旋度表示磁场矢量在单位面积内旋转的速率。

旋度的大小和方向代表了磁场矢量的旋转速率和旋转方向。

当旋度为零时，表示磁场无旋转，磁场线是闭合的。

当旋度不为零时，表示磁场存在旋转，磁场线是开放的。

散度是矢量场的另一个重要特征，描述了矢量场的源和汇。

在电磁场中，散度描述了电场和磁场的源和汇分布情况。

具体而言，散度表示单位体积内的场强变化率。

散度的正负代表了场强源和汇的性质，正值表示场强源，负值表示场强汇。

当散度为零时，表示场强无源无汇，场线是闭合的。

当散度不为零时，表示场强存在源和汇，场线是开放的。

旋度和散度是描述电磁场的两个重要工具，它们可以帮助我们理解电磁场的变化规律和分布情况。

通过研究旋度和散度，我们可以深入了解电磁场的性质和行为，为电磁学的研究和应用提供理论基础和实践指导。

旋度和散度的概念不仅在电磁学中有重要意义，也在其他领域有广泛应用。

例如，在流体力学中，旋度和散度可以描述流体的旋转和流动情况；在地理学中，旋度和散度可以描述大气环流和海洋洋流的变化规律。

因此，旋度和散度的研究不仅对电磁学有价值，也对其他学科的发展和应用具有重要影响。

电磁场的旋度和散度是描述电磁场性质的两个重要概念。

旋度描述了磁场的旋转特性，散度描述了电场和磁场的源和汇分布情况。

通过研究旋度和散度，我们可以深入了解电磁场的性质和行为，为电磁学的研究和应用提供理论基础和实践指导。

旋度和散度的概念在其他领域也有广泛应用，对相关学科的发展和应用具有重要影响。

电磁场与电磁波

14
环量：环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量，以 Γ (gamma) 表示，即沿该曲线的环量，表示，
Γ = ∫ A ⋅ dl
l
可见，可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处的方向保持一致，；处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 Γ > 0；若处处相反，可见，处相反，则 Γ < 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。旋涡特性场的旋涡特性。但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，但是环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能显示源的分布特性。为此，需要研究矢量场的不能显示源的分布特性。为此，分布特性旋度。旋度。
ey Ay By
ez Az Bz ez A B sin θ
2
4. 标量场的梯度
10
5
0
-5
-10 4 2 0 -2 -4 -4
3
4 2 0 -2
方向导数:标量场在某点的方向导数表示标量场方向导数标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。自该点沿某一方向上的变化率。例如标量场 Φ 在 P 点沿 l 方向上的方向 ∂Φ 导数 ∂l 定义为 ∂Φ = lim Φ( P′) − Φ( P) P
8
由物理得知，由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与之比，真空介电常数 ε 0 之比，即，
∫
S
E ⋅ dS =
q
ε0
可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示分布特性散度。源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。

旋度和散度的在电磁场中的物理意义

旋度和散度的在电磁场中的物理意义
电磁场中旋度和散度是不可分离的两个重要概念，它们在物理上有着明确的解释、定义与研究，因而在现在的物理学研究中发挥了重要作用。

旋度是指电磁场的旋转特性，指的是力场上的一个数量，具有旋转对称性，可
以按照一定的旋转方向。

简单来讲，就是指电磁场在一定半径范围内，存在着一个旋转的矢量势能。

旋度可以用来描述电磁场中矢量螺旋状势场的相对强度，主要表现形式是熵值。

散度是指矢量势能在不同半径中的变化情况，是电磁场强度变化的一种测量值。

通过对散度的测量，可以检测电磁场在不同空间尺度的不同分布，从而更好的了解整个能量场结构，更有助于分析电磁现象的特征。

两者是紧密联系的，旋度描述了力场的局地分布，而散度表示了力场在全局上
该如何发生变化。

旋度代表着空间力学视角下的纯发现，而散度却发挥着更全面的功能，它把空间力学视角的描述上升到一个更为普遍的概念，两者相互补充，共同帮助我们更好地去理解电磁场。

电磁场与电磁波期末复习知识点归纳

B(r ) 0
B ( r ) d l I 0 L B ( r ) d S 0
S
安培环路定理
了解电介质的极化和磁介质的磁化： 2.4.1 、电介质的极化电位移矢量
D 0E p
▲
极化面电荷
极化体电荷
▲
ˆ sp ( r ) P ( r ) n p (r) P(r)
dD 量与电场的关系式为：，而传导电流是电荷 Jd dt
di dq 的定向运动形成的， J 或 E 。 ds ds dt 2、所以传导电流只能存在于导体中，而位移电流可以
存在于真空、导体、电介质中。
3、传导电流通过导体会产生焦耳热，而位移电流不会。
★ 麦克斯韦方程组数学表示
★ 电磁场的边界条件总结
2、磁感应强度的法向分量连续； 3、电位移矢量的法向分量的突变量
等于边界上的电荷面密度，
4、磁场强度的切向分量的突变量等于边界电流面密度。
1、E1t E2t
2、B1n B2n
ˆ ( E1 E2 ) 0 n
ˆ B1 B 2 0 n
3、D1n D2n s
B 3、 E 变化的磁场是涡旋电场的旋涡源。与电荷产生的
无旋电场不同，涡旋电场是有旋场，其电力线是无头无尾的闭合曲线，并与磁力线相交链。
D 4、 H J 传导电流和变化的电场都是磁场的旋涡源。磁场是 t
t
有旋场，磁力线是闭合曲线，并与全电流线相交链。
一般情况下 1、电场强度的切向分量连续，
积分形式
微分形式
全电流定律电磁感应定律磁通连续性原理

《电磁场与电磁波》习题参考答案

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。

2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。

3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。

4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。

（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。

（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。

（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。

（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。

（ √ ） 9、习题1.12, 1.16。

第2章电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。

2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。

3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。

4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。

5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。

6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。

7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。

8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。

电磁场与电磁波基础知识总结

电磁场与电磁波总结第一章一、矢量代数 A ∙B =AB cos θA B ⨯=AB e AB sin θA ∙(B ⨯C ) = B ∙(C ⨯A ) = C ∙(A ⨯B )()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系矢量线元x y z =++le e e d x y z矢量面元=++Se e e x y z d dxdy dzdx dxdy体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y2. 圆柱形坐标系矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ体积元dz d d dVϕρρ=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e zz z ρϕϕρρϕ3. 球坐标系矢量线元d l = e r d r e θr d θ+e ϕr sin θd ϕ矢量面元d S = e r r 2sin θd θd ϕ体积元ϕθθd drd r dVsin 2=单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r r θϕθϕϕθ三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度=⋅⎰A SSd Φ0lim∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=⋅⎰A l ld Γmaxn 0rot =lim∆→⋅∆⎰A lA e lS d S3. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A y x z A A A x y z11()z A A A z ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕθθθθθϕxy z∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A x y z x y zA A A 1zzzA A A ρϕρϕρρϕρ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A 21sin sin r r zr r A r A r A ρϕθθθϕθ∂∂∂∇⨯=∂∂∂e e e A4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理⋅=∇⋅⎰⎰A S A SVd dV⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S lSd d四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度00()()lim∆→-∂=∂∆l P u M u M u ll 0cos cos cos ∂∂∂∂=++∂∂∂∂P u u u ulx y zαβγcos ∇⋅=∇e l u u θgrad ∂∂∂∂==+∂∂∂∂e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式∂∂∂∇=++∂∂∂e e e xy z u u u u x y z 1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z u u u u z ρϕρρϕ11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r u u uu r r r zθϕθθ 五、无散场与无旋场1. 无散场()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A2. 无旋场()0∇⨯∇=u -u =∇F 六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系22222222222222222222222222222222∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z zyyyx x x z z z x y zu u uu A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭A e e e z z u u uu zA A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕρρϕρρϕ3. 球坐标系22222222111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u uu r r r r r r θθθϕθϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 222222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ其中1()()4''∇⋅'='-⎰F r r r r V dV φπ1()()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π第二章一、麦克斯韦方程组 1. 静电场真空中：001d ==VqdV ρεε⋅⎰⎰SE S （高斯定理） d 0⋅=⎰l E l 0∇⋅=E ρε0∇⨯=E 场与位：3'1'()(')'4'V dV ρπε-=-⎰r r E r r r r ϕ=-∇E 01()()d 4πV V ρϕε''='-⎰r r |r r |介质中：d ⋅=⎰D S Sqd 0⋅=⎰lE l ∇⋅=D ρ0∇⨯=E极化：0=+D E P εe 00(1)=+==D E E E r χεεεε==⋅P e PS n n P ρ=-∇⋅P P ρ2. 恒定电场电荷守恒定律：⎰⎰-=-=⋅Vsdv dtd dt dq ds J ρ0∂∇⋅+=∂J tρ传导电流与运流电流：=J E σρ=J v恒定电场方程：d 0⋅=⎰J S Sd 0⋅=⎰J l l 0∇⋅=J 0∇⨯J =3. 恒定磁场真空中：0 d ⋅=⎰B l lI μ（安培环路定理） d 0⋅=⎰SB S 0∇⨯=B J μ0∇⋅=B场与位：03()( )()d 4π ''⨯-'='-⎰J r r r B r r r VV μ=∇⨯B A 0 ()()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ 介质中：d ⋅=⎰H l lId 0⋅=⎰SB S ∇⨯=H J 0∇⋅=B磁化：0=-BH M μm 00(1)=+B H =H =H r χμμμμm =∇⨯J M ms n =⨯J M e4. 电磁感应定律() d d in lC dv B dl dt ⋅=-⋅⨯⋅⎰⎰⎰SE l B S +）（法拉第电磁感应定律∂∇⨯=-∂B E t5. 全电流定律和位移电流全电流定律： d ()d ∂⋅=+⋅∂⎰⎰D H l J S lSt∂∇⨯=+∂DH J t 位移电流：d=DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0∂⎧⋅=+⋅⎪∂⎪∂⎪⋅=-⋅⎪∂⎨⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D H J S B E S D S B S lS l SS V Sl tl t V d ρ 0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩D H J BE D B t t ρ()()()()0∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇⋅=⎪⎪∇⋅=⎩E H E H E E H t t εσμερμ 二、电与磁的对偶性e m e m eme e m m e e m mm e 00∂∂⎫⎧∇⨯=-∇⨯=⎪⎪∂∂⎪⎪∂∂⎪⎪∇⨯=+∇⨯=--⎬⎨∂∂⎪⎪∇=∇=⎪⎪⎪⎪∇=∇=⎩⎭⋅⋅⋅⋅B D E H DB H J E J D B D B t t&tt ρρm e e m ∂⎧∇⨯=--⎪∂⎪∂⎪∇⨯=+⇒⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩⋅⋅B E J D H J D B t t ρρ 三、边界条件1. 一般形式12121212()0()()()0n n S n Sn σρ⨯-=⨯-=→∞⋅-=⋅-=（）e E E e H H J e D D e B B2. 理想导体界面和理想介质界面111100⨯=⎧⎪⨯=⎪⎨⋅=⎪⎪⋅=⎩e E e H J e D e B n n S n S n ρ12121212()0()0()0()0⨯-=⎧⎪⨯-=⎪⎨⋅-=⎪⎪⋅-=⎩e E E e H H e D D e B B n n n n 第三章一、静电场分析 1. 位函数方程与边界条件位函数方程：220∇=-∇=ρφφε电位的边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂-=-⎪∂∂⎩s nn φφφφεερ111=⎧⎪⎨∂=-⎪∂⎩s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qCφ两导体间的电容：=C q /U 任意双导体系统电容求解方法：3. 静电场的能量N 个导体：112ne i i i W q φ==∑连续分布：12e VW dV φρ=⎰电场能量密度：12ω=⋅D E e二、恒定电场分析1.位函数微分方程与边界条件位函数微分方程：20∇=φ边界条件：121212=⎧⎪⎨∂∂=⎪∂∂⎩nn φφφφεε12()0⋅-=e J J n 1212[]0⨯-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦耳定律欧姆定律的微分形式： =J E σ 焦耳定律的微分形式： =⋅⎰E J VP dV3. 任意电阻的计算2211d d 1⋅⋅====⋅⋅⎰⎰⎰⎰E lE l J S E SSSU R G I d d σ（L R =σS ） 4.静电比拟法：G C —，σε—2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε2211d d d ⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析 2211⋅⋅===⋅⋅⎰⎰⎰⎰D S E S E lE lS S d d qC Ud d ε1. 位函数微分方程与边界条件矢量位：2∇=-A J μ12121211⨯⨯⨯A A e A A J n s μμ()=∇-∇=标量位：20m φ∇=211221∂∂==∂∂m m m m n nφφφφμμ 2. 电感定义：d d ⋅⋅===⎰⎰B S A lSlL IIIψ0=+i L L L3. 恒定磁场的能量N 个线圈：112==∑Nmj j j W I ψ连续分布：m 1d 2=⋅⎰A J V W V 磁场能量密度：m 12ω=⋅H B第四章一、边值问题的类型（1）狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ （2）纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()∂=∂f s nφ（3）混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()∂==∂f s f s nφφ （4）自然边界：lim r r φ→∞=有限值二、唯一性定理静电场的惟一性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表面电荷分布）下，空间静电场被唯一确定。

电磁场与电磁波名词解释

场：某种物理量在空间的分布。

力线:力线是一簇空间有向曲线,矢量场较强处力线稠密,矢量场较弱处力线稀疏,力线上的切线方向代表该处矢量场的方向.通量：在场区域的某点选取面元，穿过该面元矢量线的总数称为矢量场对于面积元的通量，矢量场对于曲面S的通量为曲面S上所有面积元通量的叠加。

散度：表示在场中任一点处通量对体积的变化率，即该点处在一个单位体积内所穿出的通量，可称为“通量源密度”。

环量：在矢量场A中，矢量A沿某一闭合路径的线积分。

旋度：单位面积内平均环流的极限，可称为“环流密度”高斯散度定理：任意矢量场A的散度在场中任意一个体积内的体积分，等于矢量场A在该体积组成的闭合曲面上的面积分。

斯托克斯定理：任意矢量场A的旋度在场中任意一个面积内的面积分，等于矢量场A在该面积组成的回路C上的线积分。

亥姆霍兹定理：任意矢量场由它的散度、旋度、和边界条件唯一的确定。

电流元：把很短一段通电导线中的电流I与导线长度L的乘积IL称为电流元，是产生磁场的最小单位。

电偶极子：是两个相距很近的等量异号点电荷组成的系统。

电偶极子的特征用电偶极距P＝lq描述，其中l是两点电荷之间的距离，l和P的方向规定由－q指向＋q。

电位移矢量：单位面积上位移穿过的束缚电荷量。

磁偶极子：磁偶极子是指一个面积dS很小的任意形状的平面载流回路。

电位函数：静电场是一个无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数极电位函数。

电解质的极化：在外电场的作用下，电解质的非极性分子的正负电荷中心发生相对位移，极性分子的极矩发生转向，使他们的等效偶极子电矩的矢量和不再为0。

极化强度：电介质极化后形成的每单位体积内的电偶极矩。

静电力：可由能量的空间变化率计算得出。

自感：穿过回路的磁链是由回路本身的电流产生的，则磁链与电流的比值为自感。

互感：在线性媒质中，由回路1的电流I1所产生而与回路2交链的磁链和I1成正比，即；同理，由回路2的电流I2所产生而与回路1交链的磁链和I2成正比，即。