2019年北京市东城区初三二模数学试卷(含答案及解析)

2019年北京东城区初三二模数学试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. A.
B.
C.
D.
若分式
有意义，则的取值范围是（ ）．
2. A.
B.
C. D.
若
，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．
3.主视图左视图
俯视图
A.棱柱
B.圆柱
C.棱锥
D.圆锥
下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．
4. A.
B.
C.
D.
二元一次方程组
的解为（ ）．
5. A. B. C. D.
下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．
不.是.
6.如图，在平面直角坐标系
中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一
方向平移后，若点
的对应点
的坐标为
，则点
的对应点
的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
7. A.米 B.米 C.米 D.米
如图，某地修建高速公路，要从
地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、
两地之间的距离，一架直升飞机从
地起飞，垂直上升
米到达
处，在
处观察
地的俯角为，则、
两地之间的距离约为（ ）．
8. A.
B.
C.
D.
如图，动点
从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设
点
的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所
示，则的值为（ ）．
图
图
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9.分解因式：
．
10.
某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．
甲乙丙丁
11.如果，那么代数式的值是 ．
12.如图所示的网格是正方形网格，点，，，均落在格点上，则
．
13.如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线 相交于点
，则关于的不等式的解集是 ．
14.用一组，的值说明命题“若，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是
错误的，这组值可以是 ， ．
15.如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦
的距离为 ．
16.（1）（2）运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行
了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．
第一次成绩
第二次成绩
甲
乙
在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．
在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．
三、解答题（共68分）
17.（1）（2）下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点
在
上，点
在
上）．
作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；
③连接
．
所以四边形
为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．
证明：∵，
，
∴
．
在 中，．
即．
∴四边形为平行四边形．∵，
∴四边形
为菱形（ ）（填推理的依据）．
18.计算：
．
19.解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
20.（1）（2）关于的一元二次方程
．
求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求
的取值范围．
21.（1）（2）如图，在中，，为中点，，且．
求证：四边形是矩形．连接
交
于点
，若
，
，求
的长．
22.（1）（2）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．
求和的值．设点
是双曲线
上一点，直线与轴交于点，若，结合图象，直
接写出点的坐标．
23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参
观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：
（1）（2）（3）（4）时间（时）频数（人数）频率
合计
．参观时间的频数分布直方图如下：
频数人数时间时
（）
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
这里采用的调查方式是 ．表中
，
， ．
并请补全频数分布直方图．
请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？
24.（1）（2）如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，
．
求证：是⊙的切线．若
，⊙
的半径为
，求
的长．
25.
（1）（2）（3）如图，点是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作
交于点，连接，已知
，，设
，
两点间的距离为
，
的面积
为
．（当点与点
，
重合时，的值为．）
小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
结合画出的函数图象，解决问题：
当
的面积为
时，
的长度约为
．
26.（1）（2）（3）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标．
将抛物线
沿直线
翻折，得到的新抛物线与轴交于点
，若
，，求
的值．
已知
，
，在（）的条件下，当线段
与抛物线
只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
27.如图，
为等边三角形，点是线段上一动点（点
不与，重合），连接，过
点
作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点
逆时针旋转得到线段
，连接
，
．
（1）（2）（3）求证：．延长交
于点
，求证：
为
的中点．若
的边长为，直接写出
的最大值．
28.（1）（2）（3）对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，为直线上任意一点，
如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线之间的“确定距离”，记作（，直线）．已知，．求（，直线）．
⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线），直接写出的取值范围．记函数，的图象为图形．若（，直线），直接写出的值．
2019年北京东城区初三二模数学试卷(详解)
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
2. A.
B.
C. D.
【答案】【解析】若
，则实数在数轴上对应的点的大致位置是（ ）．
C ∵
，∴
点应该在
之间．
故选．
3.主视图左视图
俯视图
A.棱柱
B.圆柱
C.棱锥
D.圆锥
【答案】下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）．
D
1. A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】若分式
有意义，则的取值范围是（ ）．
A ∵
有意义，∴
，解得
．
4. A. B. C. D.
【答案】【解析】
二元一次方程组
的解为（ ）．
A ①②，得，得，①②，得，得
．
故选
．
①
②
5. A. B. C. D.
【答案】A 选项：B 选项：C 选项：D 选项：【解析】下列图形中，是中心对称图形但轴对称图形的是（ ）．
C
是轴对称图形，不是中心对称图形．
是轴对称图形，也是中心对称图形．不是轴对称图形，是中心对称图形．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选 C .
不.是.
6. A.
B. C. D.
【答案】如图，在平面直角坐标系
中，点的坐标为，点的坐标为，将线段沿某一
方向平移后，若点
的对应点
的坐标为
，则点
的对应点
的坐标为（ ）．
B
【解析】∵点坐标为
，点坐标为，
将线段平移至
，
点
的对应点的坐标为
，
∴向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，∴点
的对应点
的坐标为
．
故选：．
7. A.
米 B.米 C.米 D.米
【答案】【解析】如图，某地修建高速公路，要从
地向地修一条隧道（点、在同一水平面上）．为了测量、
两地之间的距离，一架直升飞机从
地起飞，垂直上升
米到达
处，在
处观察
地的俯角为，则、
两地之间的距离约为（ ）．
C
由题意得：
，在中，，
∴米．
故选．
8. A.
B. C.
D.
【答案】如图，动点
从菱形的顶点出发，沿以的速度运动到点．设
点
的运动时间为（），的面积为（）．表示与的函数关系的图象如图所
示，则的值为（ ）．
图
图
B
【解析】
由函数图象知：
，
．
又∵
．
∴，
∴在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∴在中，，，，
由勾股定理得：，
解得．
故选．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
分解因式： ．
9.
【答案】
【解析】
．
10.某校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选出一组，参加区青少年科技创新大赛，表格反映的
是各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差，如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是 ．
甲乙丙丁
【答案】【解析】丙
因为乙组、丙组的平均数比甲组、丁组大，而丙组的方差比乙组的小，
所以丙组的成绩比较稳定，
所以丙组的成绩较好且状态稳定，应选的组是丙组．
11.【答案】【解析】如果
，那么代数式的值是 ．
．
12.【答案】
方法一：方法二：
【解析】如图所示的网格是正方形网格，点
，，，均落在格点上，则
．
量角器量取即可．
∵，，
又∵，，
∴
．
13.【答案】
【解析】如图，在平面直角坐标系
中，若直线与直线 相交于点
，则关于的不等式
的解集是 ．
由图象可得当
时，
．
14.【答案】【解析】用一组，的值说明命题“若
，则一次函数的图象经过第一、二、三象限”是
错误的，这组值可以是 ， ．
; 不唯一，
，
即可．
15.【答案】【解析】如图，，，，为上的点，，，则圆心到弦
的距离为 ．
延长
交与点，连接．
≌
，∴，
∵是直径，
∴
，
∵是的中点，过作，
∴是
的中位线，
∴
．
16.（1）（2）（1）
（2）【答案】（1）（2）【解析】运算能力是一项重要的数学能力．王老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行
了三次运算测试．下面的气泡图中，描述了其中位同学的测试成绩．（气泡圆的圆心横、纵坐标分别表示第一次和第二次测试成绩，气泡的大小表示三次成绩的平均分的高低；气泡越大平均分越高）．
第一次成绩
第二次成绩
甲
乙
在位同学中，有 位同学第一次成绩比第二次成绩高．
在甲、乙两位同学中，第三次成绩高的是 ．(填“甲”或“乙”)．甲
在位同学中，有个同学横的横坐标比纵坐标大，
所以有位同学第一次成绩比第二次成绩高；故答案为：；
在甲、乙两位同学中，
根据甲、乙两位同学的位置可知第一次和第二次成绩的平均分差不多，而甲的气泡大，表示三次成绩的平均分的高，所以第三次成绩高的是甲．故答案为：甲．
三、解答题（共68分）
17.（1）（2）（1）（2）
【答案】（1）（2）【解析】下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．
已知：四边形是平行四边形．求作：菱形（点
在
上，点
在
上）．
作法：①以为圆心，长为半径作弧，交于点；②以为圆心，
长为半径作弧，交
于点
；
③连接
．
所以四边形
为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，
使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹）完成下面的证明．
证明：∵，
，
∴
．
在 中，．
即．
∴四边形为平行四边形．∵，
∴四边形
为菱形（ ）（填推理的依据）．
画图见解析．
；
；一组邻边相等的平行四边形是菱形．
解析见图片，如下图：
∵
，，
∴ ．
即．
∴四边形为平行四边形．∵，
∴四边形为菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形 ）（填推理的依
据）．
18.【答案】【解析】计算：
．
．原式
．
19.【答案】【解析】
解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
原不等式的解集为；画图见解析．，
，
，．
在数轴上表示如图所示：
20.（1）（2）（1）（2）
【答案】（1）【解析】关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根．若方程有一根大于，求的取值范围．
证明见解析．
．
∵
．
（2）
∴方程有两个实数根．
，∴，
∴
，
．∵若方程有一根大于，∴，
∴
．
21.（1）（2）（1）（2）
【答案】（1）（2）【解析】如图，在中，，为中点，，且．
求证：四边形是矩形．连接
交
于点
，若
，
，求
的长．
证明见解析．
．
∵
，
，
∴四边形是平行四边形，∵，为
中点，
∴，
∴，∴四边形
是矩形．∵四边形
是矩形，∴ ，∵，，
∴，，∴，∵，
∴∴
，
∴
．
故答案为：
．
22.（1）（2）（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】在平面直角坐标系中，直线与双曲线的一个交点是．
求和的值．设点
是双曲线
上一点，直线
与轴交于点
，若
，结合图象，直
接写出点的坐标．
，．
或
．把
代入，得，
把代入，
得
．或
．23.年中国北京世界园艺博览会已于年月日在北京市延庆区开展，吸引了大批游客参
观游览．五一小长假期间平均每天入园人数大约是万人，佳佳等名同学组成的学习小组，随机调查了五一假期中入园参观的部分游客，获得了他们在园内参观所用时间，并对数据进行整理，描述和分析，下面给出了部分信息．参观时间的频数分布表如下：
时间（时）
频数（人数）
频率
合计
．参观时间的频数分布直方图如下：
（1）（2）（3）（4）（1）（2）
（3）（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】频数人数时间时
（）
根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
这里采用的调查方式是 ．表中
，
， ．
并请补全频数分布直方图．
请你估算五一假期中平均每天参观时间小于小时的游客约有多少万人？抽样调查
;
;
画图见解析．万人．
同学们随机调查了部分游客，所以是抽样调查．
①由表格中
一组中，人数是
人，频率为
，
得总人数：（人），所以
．
②人，所以．③
人，所以．
解析见图片，如下图：
频数
人数时间时
（）
在样本数据中，小于小时共占
．
所以约占
（万人）．
24.如图，⊙是的外接圆，连接，过点作交的延长线于点，
．
（1）（2）（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】求证：是⊙的切线．若
，⊙
的半径为
，求
的长．
证明见解析．
．
如图，连接
，
∵
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，∴， ∵
是⊙的半径，
∴
是⊙
的切线．
如图，作
于点
，
由（）可知，，
∵，
∴
， 在
中，
，
，
∴，，
在
中，，，
∴，∴，
∴
．25.（1）（2）（3）（1）
【答案】如图，点
是所对弦上一动点，点在的延长线上，过点作
交于点，连接，已知
，，设
，
两点间的距离为
，
的面积
为
．（当点与点
，
重合时，的值为．）
小亮根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小亮的探究过程，请补充完整：
通过取点、画图、测量，得到了与的几组值，如下表：
在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
结合画出的函数图象，解决问题：
当的面积为时，的长度约为 ．
（2）（3）
（1）（2）（3）【解析】画图见解析．或
画图，测量，
时，
，
故面积：．
故答案为：
画出函数图象．
在图象中，可找到当时，或．
故答案为：或．
26.（1）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
试用含
的代数式表示抛物线的顶点坐标．
（2）（3）（1）
（2）（3）
【答案】（1）（2）（3）【解析】将抛物线
沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点
，若
，，求
的值．
已知，
，在（）的条件下，当线段与抛物线
只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
．
．
或
．
∵
，
∴抛物线的顶点坐标为
．
由对称性可知，
点到直线
的距离为，
∴，
∴，
∵，∴
．
的取值范围为：
或
．
27.（1）（2）（3）（1）（2）（3）【答案】如图，
为等边三角形，点是线段上一动点（点
不与，重合），连接，过
点
作直线的垂线段，垂足为点，将线段绕点
逆时针旋转得到线段
，连接
，
．
求证：．延长交
于点
，求证：
为
的中点．若
的边长为，直接写出
的最大值．
证明见解析．
证明见解析．．
（1）（2）【解析】∵线段
绕点逆时针旋转得到线段，
∴是等边三角形，
在等边
和等边中，
，，
，
∴，在
和
中，，
∴≌，
∴
．如图，过点作
交的延长线于点，
∴，∵，，
∴，
∴
，
由（）可知，，，
∵，
∴，∴，∵，
∴，
∴，∴，
在
和中，，
（3）∴，即
为
的中点．
．
28.（1）（2）（3）（1）
（2）（3）
【答案】（1）（2）【解析】对于平面直角坐标系
中的图形
和直线，给出如下定义：为图形上任意一点，
为直线
上任意一点，如果，
两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形和直线
之间的“确定距离”，记作（
，直线
）．已知
，
．
求（，直线）．
⊙的圆心为，半径为，若（⊙，直线
）
，直接写出的取值范围．记函数
，
的图象为图形．若（
，直线
）
，直
接写出的值．．
．
或
．
∵
，
，
∴是等腰直角三角形，
如图，作
于点
，
x
2y
2
4
O ∴点是
的中点．∵，∴（点
，直线
）
．
如图所示，
①当圆在直线右侧时，作
，
x
246
y
–2
2
4O
（3）且时，（⊙，直线），
由题意得为等腰直角三角形，
∴，
∴．
②当圆在直线左侧时，由对称性得，
∴，
综上，．
①当时，如图函数图象，
∴，即，
解得，
∵，即，
将代入中，得．
②当时，如图图象，
∴，即，解得，∴，即，
将代入中，得，
综上所述：或．。