理论力学 非惯性参考系

(2) 平动 + 转动 之间关系: 固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系 rI = R + r d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2 = d2R /dt2 + δ2r /δt2 + (δω/δt ) ×r ω +ω×(ω×r ) +2ω×(δr /δt) ω ω ω r β ω 或 a = a平 + a相 +β×r -ω2 R + 2ω×v相 若等角加速度转动β , 若等角加速度转动β= 0,无平动加速度 a平 = 0, , ω 则:a = a' -ω2 R + 2ω×v'
拉格朗日方程导出惯性力
绕竖直轴转动的坐标系
r r 的作用下, 质点 P 在力 F 的作用下,对于以恒定 角速度 ω O xyz 运动着,现在要求 运动着,
的动力学方程. 此质点相对于坐标系 O xyz 的动力学方程. 为静止坐标系, 选取 O ξηζ 为静止坐标系, O xyz 为转动坐 r 标系, 轴旋转, 轴重合. 标系, ω 绕 ζ 轴旋转,并令 z 轴与 ζ 轴重合. ξ = x cos ω t y sin ω t 坐标变换方程: 坐标变换方程: η = x sin ω t + y cos ω t ζ = z & & ξ = x ωy r r r r r r r r r & ' = r + ω × r = r + ω k × ( x i + y j + zk ) η = y + ω x & r & & & ζ = z & &
第五章 非惯性参考系 §5.1 不同参考系之间速度和加速度的变换 固定坐标 —— 惯性系 动坐标系 —— 非惯性系 动坐标系: 动坐标系: A = Ax i + Ay j + Az k 动坐标 + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt i j k 动相对固定 固定坐标: dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 固定坐标: A
∫
& x
0
& & xd x = & x= =
∫
2a
a
& ω 2 xdx x 2 = 3 ω 2 a 2
3a ω
2 2 v相 + v牵 =
绝对速度: 绝对速度: v =
3ω 2a 2 + 4ω 2a 2
7aω
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z
~ d δ dt δt
例: 质点的位置矢量 r ,求 v , a . r r ω 解: v = dr /dt = δr /δt +ω×r = v 相+ v 牵 a = d2r /dt2 = d(δr /δt +ω×r ) /dt r ω = δ(δr/δt +ω×r) /δt r ω ω r ω +ω×(δr /δt +ω×r) =δ2r /δt2 +δ(ω×r) /δt ω +ω×(δr /δt) + ω×(ω×r ) ω r ) ω =δ2r /δt2 +(δω/δt )×r + ω×(ω×r ) ω ω × + 2ω×(δr /δt) = a 相 + a 牵 + a 科 ω r ) a 相 = δ2r /δt2 a 牵 = (δω/δt )×r + ω×(ω×r ) ω ω × a 科 = 2ω×(δr /δt) ω r )
& & & & & & ξ = x ω y , η = y + ω x, ζ = z 1 & 2 + η 2 + ζ 2 ) = 1 m[( x ω y ) 2 + ( y + ω x ) 2 + z 2 ] & & & & & T = m(ξ 2 2 1 1 2 2 2 & & & & & = m ( x + y + z ) + m ω( xy y x ) + m ω 2 ( x 2 + y 2 ) 2 2 取 x,y,z 为广义坐标 , 上式代入拉格朗日方程 , 有 m&& 2m ω y m ω 2 x = Fx & x & m&& + 2m ω x m ω 2 y = Fy y m&& = Fz z r r r r r r r & m&& + 2m ω × r + m ω × ( ω × r ) = F r
§5.3 拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数
1,若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数 , 只相差一函数f(q,t)的全 的全 微商df/dt,则L1 和 L2 是等价的. 是等价的. 微商 , 证明: 证明:设 L2 = L1 + df(q,t) /dt,只要证明由 1 和 L2 所得 ,只要证明由L 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标. 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ω t t = 1 ln 2 + 3 ω
(
)
可证明,引入非惯性力 ,质点动量定理,角动 质点动量定理, 可证明, 量定理和动能定理的形式都保持不变. 量定理和动能定理的形式都保持不变. 例:角动量定理 : r' v') δ L' / δt = δ(r' × mv' / δt = δ(r' δt × mv' + r' × mδv'/ δt r')/δ v' δv' = r' × ( F + F惯性) 动能定理: v' 动能定理 ∵ m δv'/ δ t = F + F惯性 → m δv' δr / δt = (F + F惯性 ) δr F → m v' δv' = (F + F惯性 ) δr F F → δ(mv'2/2) = (F + F惯性 ) δr F 即: δT = (F + F惯性 ) δr
d L 2 L 2 d L 1 L 1 d df df = + & & & dt q dt q q q dt q dt q dt df f f df 2 f 2f & & Q q+ q+ = ∴ = 2 dt q t q dt q qt d df d f 2 f 2f & = q = q 2 q + qt & dt q dt dt d L 1 L 1 d L 2 L 2 因此, 因此,当 = 0时, =0 & & dt q dt q q q
动坐标系:A = Ax i + Ay j + Az k 动坐标系: 固定坐标:dA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 固定坐标: A + Axdi/dt +Aydj /dt +Azdk /dt i j k 讨论 (1) 仅有转动(角速度ω相对固定坐标系) 仅有转动 角速度ω相对固定坐标系) 角速度 r ω i ∵ dr/dt =ω× r ∴ di /dt = ω× i , dj /dt = ω× j , j dk /dt = ω× k . k A 记 δA/dt = dAx/dt i + dAy /dt j + dAz/dt k 则有: A A ω 则有 dA/dt = δA /δt +ω×A 转动参考系算符变换: ω 转动参考系算符变换:d/dt = δ/δt +ω×
y 例:在光滑水平直管中 Ny ω vz v 的小球. 有一质量为 m 的小球. Nz 此管以匀角速ω 此管以匀角速ω绕通过其 一端的竖直轴转动. 一端的竖直轴转动.开 o x vx 2x 始时, 始时,球距转动轴的距 mω Fc 离为 a , 球相对管的速率 z mg 为零, 为零,而的总长为 2a . 求:(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间. 球从开始运动到离开管口时所需时间. r r r r r r r r r r & 解 :r = x i ,v 相 = x i , ω = ω j , v 牵 = ω × r = ω x k . r 受力: 反约束力: 受力: 重力 - mg j ,反约束力:N y,N z r r r r 2r 2 惯性离心力 - m[ω(ω r ) ω r ] = mω x i r r r r r r & & 科氏力 FC = 2mω × v相 = 2mω j × x i = 2mωx k
2,非惯性系中的拉格朗日函数
§5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力 惯性系中: 惯性系中: m d2rI /dt2 = F 非惯性系: 非惯性系: mδ2r/δt2 =F -m[d2R /dt2+β×r +ω×(ω×r) +2ω×v'] β ω ω ω v' δ δ F = Feff 1,平移力 , - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2,方位力 , - mβ × r β ← 动系转动加速 3,惯性离心力 , - m[ω × (ω × r ) ← 动系相对固定系转动 ω ω 4,科里奥利力 , - 2mω × v' ω ← 质点相对动系运动
O
y 例: 一等腰直角三角形OAB 在 一等腰直角三角形OAB 其自身平面内以匀角速ω 其自身平面内以匀角速ω绕 O 转 点以匀相对速度沿AB边 动.P 点以匀相对速度沿AB边 ω 运动,当三角形转一周时, 运动,当三角形转一周时, P 点 O 走过AB, AB=b,试求P 走过AB,如AB=b,试求P点在 A 时的绝对速度与绝对加速度. z 时的绝对速度与绝对加速度. r r r r r 解: rA = b i + b j , ω = ω k, r bω r r r δrA v A相对 = j , a A相对 = 0. = 2π δt r r r r bω r r δrA r r vA = j ω k × b i + b j) + ω × rA = ( 2π δt r 1 r = ω b i ω b 1 + j 2π
∫
& x
0
& & xd x =
∫
x
a
& ω 2 xdx x 2 = ω 2 ( x 2 a 2 )
& x = ω (x 2 a 2 ) dx (x a )
2 2
= ω dt
∫
2a
dx (x a )
2 2
a
=
∫
t
0
ω dt
2a + ( 2a ) 2 a 2 ln a + (a ) 2 a 2
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度;
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z & & d x dx d x & x x = ω 2x 由(1)得 : && = = dx dt dx & & xd x = ω 2 xdx (4)
dA /dt = δA /δt +ω×A A A ω 运算公式:A × B ×C = B (A C ) – (A B) C A 运算公式: ω×(ω×r ) = ω(ωr ) - ω2 r ω ωr = ω2 (OB - OP) = -ω2 R OB OP 对于角速度ω,角加速度为β 对于角速度ω 角加速度为β β = dω/dt = δω/δt +ω×ω ω ω ω = δω/δt ω 说明角加速度与坐标系无关. 说明角加速度与坐标系无关. B ω R P r
A
P B x
r r r r r 解:rA = b i + b j ,ω = ω k, r bω r r r δrA v A相对 = j ,a A相对 = 0. = 2π δt r r r r r r r 2r a A = a A相对 + 2ω × v A相对 + ω(ω rA ) ω rA r r r r r bω r r r 2 j + ω k[ω k (b i + b j )] ω (b i + b j ) = 2ω k × 2π r r r 2 bω2 r bω2 r 2 ω b + i ω 2b j i ω (b i + b j ) = = π π