理论力学 非惯性参考系
非惯性参考系
r0 (t )
O
K系
x
y
D r0 d r ω r v v 0 ω r Dt dt
x
即：
v v v0 v f
2. 相对于K/系作匀速运动的点，科里奥利力
a Dv D ( v v 0 ω r) Dt Dt
P
z
r(t )
O
K 系
a0 0
z
y
r(t )
在 K 系看，P点受到真实力 F 作用：
F ma 2mω v mω (ω r)
x
r0 (t )
O
K系
x
y
在 K/ 系看，为了能形式上使用牛顿定律，质点P点所受的表 现力必须为零，故质点 P 除了受惯性离心力 fc 作用外，还受到另 一力 fcor 作用：
第3 章
非惯性参考系
§3.1 非惯性参考系、虚拟力
相对运动
静（定）参考系K—相 对观察者静止的参考系 动参考系K’－相对观察 者运动的参考系
三种运动：质点相对于静参考系作绝对运动，相对于 动参考系作相对运动；动参考系相对静参考系作牵连 运动
§3.1 非惯性参考系、虚拟力
平动参考系
设静参考系 K 为惯性系，在 任何时刻，动参考系 K/ 相对于 静参考系作平动，即动参考系的 坐标基矢相对于静参考系是常量。 为了在形式上用牛顿定律 解释物体在系中的运动，必须 认为物体除了受真实力F的作用 外，还受一虚拟力的作用。在 真实力和虚拟力共同作用下， 物体的运动仍满足牛顿定律。
2 2 P P f cos mg m R cos C
Pθ与P的夹角Φ ：
动力学2：非惯性系
Fc v(qv) ω(B) v(qv)
上
Fc
上
ɺ a = a'+ω ×r +ω ×(ω ×r ) + 2ω ×v'.
关键：掌握“绝对、牵连 质点作一般的“相对” 运动 a’≠0 和相对”加速度之间的关 v = v'+ω ×r. 系，从而正确计入惯性力。
aρ = lim aϕ = lim ∆vρ ∆t ∆vϕ ∆t
∆t →0
2’
= −ω2r, = 2ωv'.
径 加 度 ω(r+v’∆t) 向 速 科 加 度 氏 速
∆t →0
ac = 2ω ×v'.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度ωv’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’∆t)，故又产生了横向加速度 ωv’，因而科氏加速度为2ωv’.
位置
ds =v dt
R + µt(v0 +ωR) s = ln −ωRt. µ R R
练习：p516(9.6) 质量为m的质点在光滑的水平桌面上运动， 练习 桌子绕通过原点的竖直轴以匀角速转动。求质点的运动方程。 解1：以地面为参考系（惯性系），质点在桌面内受力 为零，所以 d2x d2 y
dt
2
由于ω=7.29x10-5弧度/秒，很小： 简化 ω
2 2
GMm mω Rcos φ P≈ [1− ] 2 R2 GMm/ R GMm = − mω2Rcos2 φ, R2 2 θ ≈ ω Rsin 2φ / 2g.
• 重量是引力与惯性离心力的合力； • 重量大小小于真正的引力大小； • 重量指向偏离引力指向。
惯性参考系与非惯性参考系
惯性参考系与非惯性参考系(一)教学目的1.正确理解惯性参考系的定义2.正确识别惯性参考系与非惯性参考系3.正确理解惯性力的概念4.知道惯性力不是物体间的相互作用5.会正确运用惯性力计算有关问题(二)教学过程●引入新课前面我们已经学习了经典力学的基础：牛顿运动定律。
请同学们回顾、思考下面几个问题。
问题1：牛顿第一定律的内容是什么？（答：一切物体总保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
）说明：这条定律正确地说明了力与运动的关系：物体的运动不需要力去维持：力是改变物体运动状态（产生加速度）的原因。
问题2：当你和同伴同时从平台跳下，如各自以自身为参考系，对方做什么运动？（答：对方是静止的。
）问题3：在平直轨道上运动的火车中有一张水平的桌子，桌上有一个小球，如果火车向前加速运动，以火车为参考系，小球做什么运动？（答：小球加速向后运动。
）疑问：问题2中，既然对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都的确受到重力的作用。
这怎么解释呢？问题3中，小球加速向后运动，按照牛顿第一定律，小球应受到力的作用，然而小球并没有受到向后的力。
这又怎么解释呢？对这个问题暂时还不能解释，但我们至少能说明一点：并非对一切参考系，牛顿第一定律都成立。
本节课我们就学习关于参考系的知识，板书：§ 3.5惯性参考系与非惯性参考系●进行新课我们以牛顿运动定律能否成立来将参考系划分为两类：惯性参考系和非惯性参考系。
板书：一、两种参考系1．惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，简称惯性系。
中间空出两行。
供后面（1）、（2）两点板书用。
2．非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系。
要判断一个参考系是否为惯性参考系，最根本的方法是根据观察和实验；判断牛顿运动定律在参考系中是否成立。
分析问题2：当你和同伴同时从平台跳下，以地面为参考系，做匀加速运动。
由于人受重力作用，所以人做匀加速运动，这是符合牛顿运动定律的。
非惯性系
径向加速度 科氏加速度
(r+v’t)
t 0
ac 2 v '.
牵连运动改变了相对速度v’方向，因而产生了横 向加速度v’；同时，相对运动又改变了牵连速 度的量值(r变为r+v’t)，故又产生了横向加速度 v’，因而科氏加速度为2v’.
相对于转动参考系作匀速直线运动的质点：
惯性参考系
“静止”参考系 运动
“绝对”
惯性参考系：物体惯性定律成立的参考系。 惯性力 牛顿运动定律 （自由质点相对它静止或作匀速直线运动的参考系。） 非惯性参考系 “运动”参考系 “相对” 运动
主要研究相对于“运动”参考系的运动定 律。
关键：掌握“绝对、牵连和相对”加速 度之间的关系，从而正确计入惯性力。
引力的均匀部分：
可以通过“加速度”被“创造出来” 和 被“消灭掉”;
引力的非均匀部分(即引潮力)：
是时空弯曲的反映， 具有更为本质的意义
定量的计算表明：
海水两端凸起，引潮力反比于 r 3 ！
大潮和小潮
= 2.20
讨论相对于“转动” 转动参考系（一） 参考系相对静止的情 mv2 2 况。 f ma mR . 惯性离心力 惯 R 惯性离心力 v=r f=m2r T
a v ( r ) r ( r ) at r , an v ( r ).
法向加速度
切向加速度
“静止”参考系中，牛顿运动定 律：
F ma m r m ( r ). F m r m ( r ) 0 ma '.
惯性离心力
第三章 非惯性参考系
O'
a
O
fin
图1
at
O系： F 0 , a 0 .
O'系： F 0 , a 0 .
若设想小球受一力
牛顿定律成立。 牛顿定律不成立。
fin mat
于是 F fin ma .
这样，在平动非惯性系中牛顿第二定律也成立 。
如图2所示：当火车加 速前进时，小球在弹力的作 用下，相对于地面加速前进， 而相对于火车静止。即
dvt d dv ' ( r ') dt dt dt d dr ' dv ' at r ' dt dt dt
dA dA d*A 考虑到 eA A A dt dt dt
d dr ' dv ' 于是 a at r ' dt dt dt
比较 ma '
F ' 知:
d F ' F (mat ) (m dt r ') [m ( r ')] (2m v ')
d 从量纲上看 mat ， m r ' ， m ( r ') ， 2m v ' dt
N
a0
fin
mgsin mat cos ma
N mgcos mat sin 0 a gsin at cos 由方程（1）解得 由方程（2）解得 N mgcos +mat sin
滑快对斜面的压力的大小与 N 相等。
1 2
mg
a
x
滑快相对于地面的绝对加速度矢量为
eA '
理论力学简明教程第三章非惯性参考系课后答案
第三章 非惯性参考系不识庐山真面目，只缘身在此山中。
地球的多姿多彩，宇宙的繁荣，也许在这里可以略见一斑。
春光无限，请君且放千里目，别忘了矢量语言在此将大放益彩。
【要点分析与总结】1 相对运动t r r r '=+t t dr dr dr dr dr r dt dt dt dt dtυω'''==+=++⨯ t r υυω''=++⨯()t dv dv d v r a dt dt dtω''+⨯==+222**22()t d r d r d dr r v r dt dt dt dtωωωω'''''=++⨯+⨯+⨯+⨯()2t a a r r v ωωωω''''=++⨯+⨯⨯+⨯t c a a a '=++〈析〉仅此三式便可以使“第心说”与“日心说”归于一家。
（1） 平动非惯性系 (0ω=)t a a a '=+ 即：()t ma F ma '=+-（2） 旋转非惯性系 (0t t a υ==)()2a a r r ωωωωυ''''=+⨯+⨯⨯+⨯2 地球自转的效应（以地心为参考点）2mr F mg m r ω=--⨯写成分量形式为：2sin 2(sin cos )2cos x y z mx F m y my F m x z mz F mg m y ωλωλλωλ⎧=+⎪=-+⎨⎪=-+⎩ 〈析〉坐标系选取物质在地面上一定点O 为坐标原点，x 轴指向南方，y 轴指向东方，铅直方向为 z 轴方向。
2mr F mg m r ω=--⨯ 为旋转非惯性系 ()2F mg mr m r m r m r ωωωω-=+⨯+⨯⨯+⨯在 ,rR ωω条件下忽略 m r ω⨯与 ()m r ωω⨯⨯所得。
正因如此，地球上的物体运动均受着地球自转而带来的科氏力 2m r ω-⨯的作用，也正是它导致了气旋，反气旋，热带风暴，信风，河岸右侧冲刷严重，自由落体，傅科摆等多姿多彩的自然现象。
非惯性参照系非惯性参考系例子
非惯性参照系非惯性参考系例子基本概念编辑非惯性参照系就是能够对同一个单元观测的被施加作用力的观测参照框架和附加非线性的坐标系的统称。
非惯性参照系的一般来说无穷多。
在经典机械力学中，任何一个使得“伽利略相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
比如，一个加速转动的参照系；一个加速振动的参照系；……；一个随机任意加速运动的物理现象等等。
即任何一个成立牛顿第一定律和牛顿第二定律不再使得的参照系。
在经典电磁学中，任何一个使得“爱因斯坦相对性原理”出现异常的参照系都是所谓的“非惯性参照系”。
比如，任何一个使得洛仑兹电磁电磁场定律F=qE+qvXB,或者麦克斯韦泊松方程组不再成立的参照系。
惯性力编辑经典力学对力定义相当简单明了——力是物体对物体的积极作用，不错，相当简单明了！于是，人们认为只有具备资格证书两个或两个以上的物体才有资格谈力，凡是谈到力则一定有施力物体，也有受力物体，这似乎保持一致与人们的沃苏什卡相一致。
可是，当人们坐在车上，并以车为参照系时，我们发现车上的物体居然可以无缘无故这回地加速运动起来，似乎有一个似乎内力作用在物体之上，这是一个什么灵气呢？它具有什么性质呢？施力物体是什么？无论我们怎样努力寻找，始终无法把这个力的手部物体找出来。
为了弄清楚原因，我们下了车，在地面上以地面为斜坡参照系索性来观察一番，这时，我们恍然大悟，原来当车一旦发生加速运动时，车上的物体就会在车上相对于车厢圆周运动起来，物体并没有运动而是保持静止状态，物体并没有受到力的作用，当然我们找不到施力物体了。
可见，在不同参照系上观察物体的基本概念运动，观察的结果时会截然不同！于是，人们把参照系或进行了分类，凡是牛顿第二定律能够适用的参照系称为惯性参照系，反之，牛顿第二定律不适用的参照系称为惯性力非惯性参照系。
牛顿第二牛顿所谓是否适用，我们考虑的因素是力的产生条件，如果具备力的诱发条件，则必然符合牛顿第二定律。
通过总结，人们发现，凡是相对地面静止运动做匀速直线或者的参照系都是惯性参照系，而相对于地面做变速运动的参照系地面是非惯性力参照系；在许多的惯性参照系中，相对地面静止的惯性参照系具有特殊的优点，把它叫做毕竟惯性参照系。
哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇 第2章 非惯性系中的质点动力学
y′
非惯性系中的质点动力学基本方程，或质点相对运动动力 学基本方程
m a r F F Ie F IC
非惯性系中的质点动力学基本方程，其中 F Ie m a e --- 牵连惯性力 F IC m a C --- 科氏惯性力
在非惯性系中，牵连惯性力和科氏惯性力是真实存在的
2 2 2 2 2 2
1 2
m R (1 cos max ) 0
2
R cos max 2 g cos max 2 g R 0
解出
cos max g ( R g )
2
R
2
cos max
g ( R g )
2
R
2
1 2
mv
2 r
1 2
mv
2 r0
W F W Ie
质点相对运动动能定理的积分形式：质点在非惯性系中相 对动能的变化，等于作用于质点上的力与牵连惯性力在相 对路径上所作的功之和。
例 半径为R的环形管，绕铅垂轴z以匀角速度转动，管内有 一质量为m的小球，原在最低处平衡。小球受微小扰动时可能会 沿圆管上升。忽略管壁摩擦，求小球能达到的最大偏角max。
（4）台风、龙卷风的形成。台风基本发生在大约离赤道5个
纬度以上的洋面上。
（5）证明地球自转的傅科摆(1851年Foucault J L发明）。
北半球
在北半球，摆运动的平面缓慢顺时针转动，平面旋转一周的周期为
T 2
sin
为地球自转角速度， 为傅科摆所在地的纬度。
某人水平抛出一个球，如果考虑科氏惯性力，在下述情况下，由抛球的人
a 2
平动非惯性参考系
平动非惯性参考系在物理学中，参考系是用来描述物体运动状态的基础概念。
在经典力学中，通常使用惯性参考系，即相对于静止或匀速直线运动的参考系。
然而，在某些情况下，惯性参考系可能无法满足需求，这时就需要引入非惯性参考系。
本文将介绍其中一种非惯性参考系：平动非惯性参考系。
什么是平动非惯性参考系？平动非惯性参考系是指相对于一个作直线运动的惯性参考系的非惯性参考系。
在平动非惯性参考系中，牛顿定律不再适用，需要使用特殊的非惯性力来修正运动方程。
举个例子，假设一个人在一辆以匀速直线运动的火车里面，他用一个水杯装满了水，当火车开始运动的时候，水杯里的水可能会产生晃动和溢出现象。
这个现象就与平动非惯性参考系有关。
平动非惯性参考系的影响平动非惯性参考系在物理学中的作用范围非常广泛。
例如，在地球上观测天体的运动时，需要考虑地球的自转和绕太阳的公转运动，这种情况也可以视为使用了平动非惯性参考系。
在空间探索中，由于运动速度极高，使用惯性参考系已经无法满足研究需求，因此必须使用一些特殊的在运动中的参考系，如星载非惯性参考系、行星际非惯性参考系等。
平动非惯性参考系和万有引力定律在使用平动非惯性参考系研究天体运动时，需要注意万有引力定律的适用性。
如果使用平动非惯性参考系来分析行星的运动轨迹，会发现惯性力在运动方向上的分量不为0，因此必须使用正确的非惯性力，才能得到准确的结果。
如果将牛顿定律直接应用在平动非惯性参考系中，得到的结果通常是不正确的。
平动非惯性参考系是一种非常重要的物理学概念，它对我们理解天体运动、空间探索等领域的研究具有重要作用。
在进行物理学研究时，我们必须根据不同的情况选择合适的参考系，才能得到准确的结果。
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理(最全)word资料
惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理(最全)word资料惯性参考系与非惯性参考系中的动能定理摘 要动能定理做为高中物理一条重要的规律，并没有提及在不同的参考系中使用的问题。
本文对惯性参考系和非惯性参考系中动能定理的表达式进行了探讨。
关键词：动能定理 惯性参考系 非惯性参考系 表达式质点动能定理的经典表述为：质点的动能的增量等于作用于质点的合力所做的功。
即：微分形式： ⎪⎭⎫⎝⎛=221mv d dW 积分形式：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=vv mv d W d 02021 或： W =k E ∆在高中物理中并没有提及运用动能定理的参考系的选取，而一般情况下也都是选取地面为参考系，那么如果选取其他的参考系动能定理是否依然成立，下面对这个问题进行了探讨。
1． 惯性参考系中的动能定理所谓惯性参考系，就是适用于牛顿运动定律的参考系。
地球或静止在地面上的物体可以认为是惯性参考系，相对于惯性参考系作匀速直线运动的参考系也是惯性参考系。
经典力学认为，牛顿第二定律的数学形式与惯性参考系选取无关，那么作为牛顿第二定律重要推导—动能定律是否也与惯性参考系选取无关呢?在例1中求证，如图1两个参考系，地面为固定参考系O '，光滑木板以速度v 做匀速直线运动，木板为一惯性参考系O 。
一质量为m 的物体，在木板参考系O 中，0t 时刻初速度为1v ，在恒力F 的作用下，在运动方向上发生一段位移s ，1t 时刻速度增加到2v 。
1．1惯性参考系中功的计算功的定义为：r d F dW⋅=a) 在木板参考系即惯性参考系O 中：s F W ⋅=① b) 在地面参考系即惯性参考系O '中：由伽利略变换可知，位移vt s s +='，两参考系中时间相同212v v st +=()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⋅=+⋅='⋅='212v v sv s F vt s F s F W ② 比较①和②可以看到W W '≠，即功的大小与惯性参考系的选取有关。
非惯性参考系讲解
K系 z
z
K系
r (t) r(t) r0(t)
P r
r
Δt 时间后，质点位于Q点
r0 o
y
r (t t) r(t t) r0(t t)
o x
y
x
r (t) r (t t) r (t)
r(t) r0(t)
K系 z
其中：
r (t ) ---质点在K 系中的位移
K系 Q
z Δr Δr
将上式对时间求导，加速度关系为
a(t) a(t) a0(t)
其中：a(t) dv(t) , dt
绝对加速度
a(t) dv(t) , dt
相对加速度
a0 (t )
dv0 (t ) dt
牵连加速度
4
笫三章 非惯性参考系
例3.1 一货车在行驶过程中，遇到5m/s竖直下落的大 雨，车上紧靠挡板水平放有长为l=1m的木板。如果 木板上表面距挡板最高端的距离h=1m，问货车应以 多大的速度行驶，才能使木板不致淋雨？
爱因斯坦于1915年创立了广义相对论的理论基础，其基本 原理之一 等效原理，最初表述是，引力与惯性力实际上是 等效的，即惯性力与引力对一切物理现象的影响都应该是不可 区分的 .
11
笫三章 非惯性参考系
（三）转动参考系、科里奥利力
一、动参考系作匀角速转动 ---科里奥利加速度
1. 速度变换 在K系(地面参考系)中，质点从P 点运动到Q点，O为K系原点 K系固定在一转盘上,转盘相对K
解：为使木板不致 淋湿，雨滴对
货车的速度 v雨 车 的方向与木
lh
板的夹角必须满足下式：
arctg h 450
l
由图知：
v v ctg 5m/s
第三章非惯性参考系
2.平移惯性力
在S系中物体的运动满足牛顿定律：
F
F ma
和m不随参考系变化，即
m
F
m,
: 真实力?
F F
但因 a a ，在S系看来物体的运动不满足牛顿定律，即
F ma
a aO a
F ma ma maO
F maO ma
引入虚拟力 fi maO fi : 平移惯性力?,简称惯性力
度分量使质点走到A′点；
如果没有加速度，此横向分量与径向分量合成，把小球带到B′′点；
然而质点实际上已到达位置B，位移B′′B是由加速度引起的。 在Δt 这一极短时间间隔内可认为加速度均匀，设物体向右方的加 速度为acor，利用匀加速的距离公式，有
s
1 2
acor
t
2
O
两式相比，得
物体相对转盘作曲线运动，表明物体除受惯性离心力外还受其 他惯性力使得其运动方向发生偏转。
若物体相对于转动参考系作相对运动,则由转动参考系的观察者 看来，除了惯性离心力外，物体还受到另一惯性力的作用，此 力称为科里奥利力（法国人G.Coriolis 1835年提出）。
科里奥利力的解析表达式
当质点m 以速度 v′ 沿半径OC相对圆盘作 匀速直线运动，质点同时参与了两个运 动（圆盘的转动和相对圆盘的运动）， 由A点出发运动到圆盘上的B点，由于圆 盘的转动，在S系的观测者看来，质点运 动到了B点。
②地球上自由落体偏东； ③傅科（J.L.Foucalt）摆直接证明地球自转
巴黎国葬院大厅的傅科摆
例题5：讨论自由落体偏东的距离
解：在地球参考系中，需考虑惯性力，忽略较小的惯性离心力， 该质点的运动方程满足
惯性系和非惯性系
惯性系和非惯性系
惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系，简称惯性系； 非惯性系：不适用于牛顿定律的参考系。
判定原则：一个参考系是否为惯性系一般要由实验和观察的结果来判定。 我们习惯于用地球作为惯性系来对一般宏观物体的运动进行研究，这是因为以地球为参考系， 牛顿定律成立。
惯性系和非惯性系
小球受到的合外力不等于零，但是却处于静止状态，如果那位观察者坚信牛顿定律是正确的话， 那么他能够作出的唯一解释是：还有一个未知力作用在小球上，三个力相互平衡。
惯性系和非惯性系
在非惯性系中，若作用在物体上的真实合外力为 F ，物体所受到的惯性力为 Fi ，
则牛顿第二定律可以表示为 F Fi ma 或 F ma0 ma
式中 a0 ——非惯性系相对于惯性系的加速度； a ——物体相对于非惯性系的加速度。
惯性系和非惯性系
惯性参考系：适用于牛顿定律的参考系，简称Байду номын сангаас性系； 非惯性系：不适用于牛顿定律的参考系。
判定原则：一个参考系是否为惯性系一般要由实验和观察的结果来判定。 我们习惯于用地球作为惯性系来对一般宏观物体的运动进行研究，这是因为以地球为参考系， 牛顿定律成立。
大学物理
我们把 Fi 称为惯性力，惯性力的大小为 ma0 ，其方向与卡车加速度 a0 的方向相反。
惯性系和非惯性系
我们把适用于牛顿定律的参考系称为惯性参考系，简称惯性系；而把不适用于牛顿定律的参考系称为非惯性 系。
我们回到卡车上，小球受到的合外力不等于零，但是却处于静止状态，唯一解释是：还有一个未知力 Fi 作 用在小球上，Fi ，G 和 FT 三个力相互平衡。我们把 Fi 称为惯性力，惯性力的大小为 ma0 ，其方向与卡车加速度 a0 的方向相反。
力学竞赛资料惯性参考系与非惯性参考系
惯性参考系与非惯性参考系目的•正确理解惯性参考系的定义•正确识别惯性参考系与非惯性参考系•正确理解惯性力的概念•知道惯性力不是物体间的相互作用•会正确运用惯性力计算有关问题思考问题1：牛顿第一定律的内容是什么？(答：一切物体总保持静止或匀速直线运动状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。
)说明：这条定律正确地说明了力与运动的关系：物体的运动不需要力去维持：力是改变物体运动状态(产生加速度)的原因。
问题2：当你和同伴同时从平台跳下，如各自以自身为参考系，对方做什么运动？(答：对方是静止的。
)问题3：在平直轨道上运动的火车中有一张水平的桌子，桌上有一个小球，如果火车向前加速运动，以火车为参考系，小球做什么运动？(答：小球加速向后运动。
)疑问：问题 2 中，既然对方是静止的，按照牛顿第一定律，他不应受到力的作用，然而每个人都的确受到重力的作用。
这怎么解释呢？问题 3 中，小球加速向后运动，按照牛顿第一定律，小球应受到力的作用，然而小球并没有受到向后的力。
这又怎么解释呢？对这个问题暂时还不能解释，但我们至少能说明一点：并非对一切参考系，牛顿第一定律都成立。
惯性参考系与非惯性参考系我们以牛顿运动定律能否成立来将参考系划分为两类：惯性参考系和非惯性参考系。
•两种参考系•惯性参考系：牛顿运动定律成立的参考系，简称惯性系。
中间空出两行。
•非惯性参考系：牛顿运动定律不能成立的参考系。
要判断一个参考系是否为惯性参考系，最根本的方法是根据观察和实验；判断牛顿运动定律在参考系中是否成立。
分析问题 2 ：当你和同伴同时从平台跳下，以地面为参考系，做匀加速运动。
由于人受重力作用，所以人做匀加速运动，这是符合牛顿运动定律的。
我们生活在地球上，通常是相对地面参考系来研究物体运动的。
伽利略的理想实验以及我们前面做过的研究运动和力的关系的实验，都是以地面作参考系的。
在地面上作的许多观察和实验表明：牛顿运动定律对地面参考系是成立的。
非惯性参照系
s相 s s
一﹑牛顿运动定律的适用范围和适用 条件
对于宏观低速的运动(运动速度远小于光速的
运动),牛顿运动定律是成立的,但对于物体的 高速运动(运动速度接近光速)和微观粒子的 运动,牛顿运动定律就不适用了,要用相对论 观点﹑ 量子力学理论处理.
二﹑惯性系和非惯性系
牛顿运动定律成立的参考系,称为惯性系.
r
的轻线将质量为
m
的小球系于盘心且相对于圆盘静止,即随圆盘一起作匀速圆周运动.从惯性系观察,小球在 线拉力 力
T
作用下作匀速圆周运动,符合牛顿第二定律.以圆盘为参考系观察,小球受到拉
T
的作用,但且 保持静止,没有加速度,不符合牛顿第二定律.所以,相对惯性系作匀速转
动的参考系也是非惯性系,要在这种参考系中保持牛顿第二定律形式不变,在质点静止于 此参考系的情况下,应引入惯性力
方向沿着斜面向下.
讨论:物体静止于A点的条件,先假设物体有下滑趋势,则摩擦力方向向上,由 a 0
有
g a0 tan g a0
再假设物体有上滑趋势,则摩擦力方向向下,由
ma0 cos mg sin (mg cos ma0 sin ) 0 a0 g 得 tan g a0
a1 a2
能相遇两次
a1 a2
(
a1 a2 可能相遇两次
答案
ACD )
总结
相对运动要注意三个相对量,即相对加速度、相对速度 、以及相对位移 如研究对象的对地加速度为 参考系的对地加速度为 则
a 、 速度为 v 、位移为 s a 、 速度为 v 、位移为s
a相 a a
v相 v v
v 2 gh 2 h 2 tan 2
惯性参考系和非惯性参考系
大小：Fi=ma
这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性系S相对
于惯性系S的加速度。
方向：
和非惯性系S相对于惯性系S的加速度a 相反。
2 惯性力是非惯性系观察者虚拟的力，区别于真实的力。
它既无施力物体，又无反作用力。
惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。
5
例题2-7 如图2-8所示，升降机内有一倾角为的
光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，
' r
(x y)i ( y x) j
15
a
d
dt
d[( x
d[(x y)i ]
y)i ]
dt
d(x y)
d[( i
y
பைடு நூலகம்
x)
j]
dt
(x y) di
dt
dt
dt
(xy y)i (x y)j
d[(
y
x)
j]
d
(
y
x)
j
(
y
x)
dj
a
dt
d
dt
xi
(y
dt
x
x)
j
(
赤道的的信风形成 (周衍柏《理论力学》p141) 我们知道，地球的南北两极空气冷，赤道的空气的温
度高。于是北半球的空气向南推进，形成向南的信风。
但是由于科里奥利力向西，结果风吹向西南，形成东
北信风。如图p54
在南半球，形成向南的信风。但由于科里奥利力使得
形成东南信风。如图p54
9
例题2-8 质量为m1的楔块放在光滑水平地面上，
一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加
速度。
a
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§5.2 非惯性系中的动力学方程 惯性力 惯性系中: 惯性系中: m d2rI /dt2 = F 非惯性系: 非惯性系: mδ2r/δt2 =F -m[d2R /dt2+β×r +ω×(ω×r) +2ω×v'] β ω ω ω v' δ δ F = Feff 1,平移力 , - md2R /dt2 ← 动系平动加速 2,方位力 , - mβ × r β ← 动系转动加速 3,惯性离心力 , - m[ω × (ω × r ) ← 动系相对固定系转动 ω ω 4,科里奥利力 , - 2mω × v' ω ← 质点相对动系运动
= ω t t = 1 ln 2 + 3 ω
(
)
可证明,引入非惯性力 ,质点动量定理,角动 质点动量定理, 可证明, 量定理和动能定理的形式都保持不变. 量定理和动能定理的形式都保持不变. 例:角动量定理 : r' v') δ L' / δt = δ(r' × mv' / δt = δ(r' δt × mv' + r' × mδv'/ δt r')/δ v' δv' = r' × ( F + F惯性) 动能定理: v' 动能定理 ∵ m δv'/ δ t = F + F惯性 → m δv' δr / δt = (F + F惯性 ) δr F → m v' δv' = (F + F惯性 ) δr F F → δ(mv'2/2) = (F + F惯性 ) δr F 即: δT = (F + F惯性 ) δr
d L 2 L 2 d L 1 L 1 d df df = + & & & dt q dt q q q dt q dt q dt df f f df 2 f 2f & & Q q+ q+ = ∴ = 2 dt q t q dt q qt d df d f 2 f 2f & = q = q 2 q + qt & dt q dt dt d L 1 L 1 d L 2 L 2 因此, 因此,当 = 0时, =0 & & dt q dt q q q
& & & & & & ξ = x ω y , η = y + ω x, ζ = z 1 & 2 + η 2 + ζ 2 ) = 1 m[( x ω y ) 2 + ( y + ω x ) 2 + z 2 ] & & & & & T = m(ξ 2 2 1 1 2 2 2 & & & & & = m ( x + y + z ) + m ω( xy y x ) + m ω 2 ( x 2 + y 2 ) 2 2 取 x,y,z 为广义坐标 , 上式代入拉格朗日方程 , 有 m&& 2m ω y m ω 2 x = Fx & x & m&& + 2m ω x m ω 2 y = Fy y m&& = Fz z r r r r r r r & m&& + 2m ω × r + m ω × ( ω × r ) = F r
(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度;
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z & & d x dx d x & x x = ω 2x 由(1)得 : && = = dx dt dx & & xd x = ω 2 xdx (4)
2,非惯性系中的拉格朗日函数
∫
& x
0
& & xd x = & x= =
∫
2a
a
& ω 2 xdx x 2 = 3 ω 2 a 2
3a ω
2 2 v相 + v牵 =
绝对速度: 绝对速度: v =
3ω 2a 2 + 4ω 2a 2
7aω
(2) 球从开始运动到离开管口时所需时间
m && = m ω 2 x x (1) 动力学方程: y (2) 动力学方程: m && = N y mg m&& = 2m ω x N ( 3 ) & z z
dA /dt = δA /δt +ω×A A A ω 运算公式:A × B ×C = B (A C ) – (A B) C A 运算公式: ω×(ω×r ) = ω(ωr ) - ω2 r ω ωr = ω2 (OB - OP) = -ω2 R OB OP 对于角速度ω,角加速度为β 对于角速度ω 角加速度为β β = dω/dt = δω/δt +ω×ω ω ω ω = δω/δt ω 说明角加速度与坐标系无关. 说明角加速度与坐标系无关. B ω R P r
(2) 平动 + 转动 之间关系: 固定坐标系中位矢 rI 与动坐标系 r 之间关系 rI = R + r d2rI /dt2= d2R /dt2 + d2r /dt2 = d2R /dt2 + δ2r /δt2 + (δω/δt ) ×r ω +ω×(ω×r ) +2ω×(δr /δt) ω ω ω r β ω 或 a = a平 + a相 +β×r -ω2 R + 2ω×v相 若等角加速度转动β , 若等角加速度转动β= 0,无平动加速度 a平 = 0, , ω 则:a = a' -ω2 R + 2ω×v'
y 例:在光滑水平直管中 Ny ω vz v 的小球. 有一质量为 m 的小球. Nz 此管以匀角速ω 此管以匀角速ω绕通过其 一端的竖直轴转动. 一端的竖直轴转动.开 o x vx 2x 始时, 始时,球距转动轴的距 mω Fc 离为 a , 球相对管的速率 z mg 为零, 为零,而的总长为 2a . 求:(1) 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; 球刚离开管口时的相对速度与绝对速度; (2) 球从开始运动到离开管口时所需时间. 球从开始运动到离开管口时所需时间. r r r r r r r r r r & 解 :r = x i ,v 相 = x i , ω = ω j , v 牵 = ω × r = ω x k . r 受力: 反约束力: 受力: 重力 - mg j ,反约束力:N y,N z r r r r 2r 2 惯性离心力 - m[ω(ω r ) ω r ] = mω x i r r r r r r & & 科氏力 FC = 2mω × v相 = 2mω j × x i = 2mωx k
拉格朗日方程导出惯性力
绕竖直轴转动的坐标系
r r 的作用下, 质点 P 在力 F 的作用下,对于以恒定 角速度 ω O xyz 运动着,现在要求 运动着,
的动力学方程. 此质点相对于坐标系 O xyz 的动力学方程. 为静止坐标系, 选取 O ξηζ 为静止坐标系, O xyz 为转动坐 r 标系, 轴旋转, 轴重合. 标系, ω 绕 ζ 轴旋转,并令 z 轴与 ζ 轴重合. ξ = x cos ω t y sin ω t 坐标变换方程: 坐标变换方程: η = x sin ω t + y cos ω t ζ = z & & ξ = x ωy r r r r r r r r r & ' = r + ω × r = r + ω k × ( x i + y j + zk ) η = y + ω x & r & & & ζ = z & &
∫
& x
0
& & xd x =
∫
x
a
& ω 2 xdx x 2 = ω 2 ( x 2 a 2 )
& x = ω (x 2 a 2 ) dx (x a )
2 2
= ω dt
∫
2a
dx (x a )
2 2
a
=
∫
t
0
ω dt
2a + ( 2a ) 2 a 2 ln a + (a ) 2 a 2
§5.3 拉格朗日函数的不确定性 非惯性系中的拉格朗日函数
1,若两个拉格朗日函数 L1 和 L2 只相差一函数 , 只相差一函数f(q,t)的全 的全 微商df/dt,则L1 和 L2 是等价的. 是等价的. 微商 , 证明: 证明:设 L2 = L1 + df(q,t) /dt,只要证明由 1 和 L2 所得 ,只要证明由L 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标. 出的运动方程相同即可.考虑体系只有一个广义坐标.
A
P B x
r r r r r 解:rA = b i + b j ,ω = ω k, r bω r r r δrA v A相对 = j ,a A相对 = 0. = 2π δt r r r r r r rω × v A相对 + ω(ω rA ) ω rA r r r r r bω r r r 2 j + ω k[ω k (b i + b j )] ω (b i + b j ) = 2ω k × 2π r r r 2 bω2 r bω2 r 2 ω b + i ω 2b j i ω (b i + b j ) = = π π