高中数学 探究导学课型 第一章 集合与函数的概念 1.3 习题课——函数的基本性质 新人教版必修1

【规律总结】利用奇偶性、单调性求最值的方法 (1)利用在对称区间上单调性与奇偶性的关系，由一侧 区间上的最值求另一侧区间上的最值. (2)利用奇偶性，在不同区间上对解析式作互相转化， 从而由一个区间上的最值求另一个区间上的最值.
【巩固训练】若奇函数f(x)当1≤x≤4时的关系式是
f(x)=x2-4x+5，则当-4≤x≤-1时，f(x)的最大值是
【解析】(1)选D.因为f(x)在[-2，-1]上为减函数，最 小值为3，所以f(-1)=3，又因为f(x)为偶函数， 所以f(x)在[1，2]上为增函数，且最小值为f(1)= f(-1)=3.
(2)选C.由已知对任意x∈(0，+∞)，f(x)=aφ(x)+bg(x) +2≤5.对任意x∈(-∞，0)，则-x∈(0，+∞)，且φ(x)， g(x)都是奇函数，有f(-x)=aφ(-x)+bg(-x)+2≤5，即 -aφ(x)-bg(x)+2≤5，所以aφ(x)+bg(x)≥-3，所以 f(x)=aφ(x)+bg(x)+2≥-3+2=-1.
【解析】若定义域为R的偶函数f(x)在[0，+∞)上是增 函数，则f(x)在(-∞，0]上是减函数，且f(-x)=f(x)， 因为f(1)=0，所以f(-1)=f(1)=0，综上当x≤-1或x≥1 时，f(x)≥0，即f(x)≥0的解集为{x|x≤-1，或x≥1}.
习题课——函数的基本性质
类型一：利用奇偶性、单调性比较大小 【典例1】(1)(2016·武汉高一检测)函数f(x)是定义 在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)单调递减.则下列各 式成立的是 ( ) A.f(1)<f(-3) B.f(3)>f(2) C.f(-2)>f(3) D.f(2)>f(0)
(2)选B.因为f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，所以有 f(-x)=f(x)，即(m-1)(-x)2+2m(-x)+3=(m1)x2+2mx+3， 所以4mx=0恒成立，所以m=0，因此f(x)=-x2+3，
又f(x)=-x2+3在(-∞，0]上为增函数，故f(- )3 < f(- )2 <f(-1)，又f( )=f3 (- )，所3 以B正确.
在(0，+∞)上有最大值5，则f(x)在(-∞，0)上有( )
A.最小值-5
B.最大值-5
C.最小值-1
D.最大值-3
【解题指南】(1)先由奇偶性，判断单调性，再由奇偶 性、单调性确定最值. (2)先取x∈(-∞，0)，则-x在(0，+∞)上有最大值，再 由φ(x)，g(x)的奇偶性，确定f(x)的最值.
(2)(2016·长春高一检测)f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数，则f(-1)，f(- )，f( )的大小关系为 ( )
2
3
A.f( )>f(- )>f(-1) B.f( )<f(- )<f(-1)
C.f(-3 )<f( 2 )<f(-1) D.f(-13 )<f( )2 <f(- )
2
3
3
2
【解题指南】(1)根据f(x)是偶函数，所以将f(-3)，f(2)化为f(3)，f(2)，再由单调性判断大小. (2)先由f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函数，确定m的 值，从而得出f(x)的解析式，再根据f(x)的单调性判断 值的大小.
【解析】(1)选C.函数f(x)是定义在R上的偶函数，所 以f(-3)=f(3)，f(-2)=f(2)，当x≥0时，f(x)单调递减， 所以f(2)>f(3)，所以f(-2)>f(3).
函数，则( )
A. <f(-1)<f(2)
B.ff ((-321))<
<f(2)
C.f(2)<f(f -( 1)3 <)
2
D.f(2)<
<ff(( - 13 ))
2
f( 3 )
2
【解析】选D.由f(-x)=f(x)可知f(2)=f(-2)，而f(x)
在区间(-∞，-1]上是增函数，又-2<- 3 <-1，所以
()
A.5
B.-5
C.-2
D.-1
【解析】选D.当-4≤x≤-1时，1≤-x≤4，因为1≤x≤4 时，f(x)=x2-4x+5.所以f(-x)=x2+4x+5，又f(x)为奇函 数，所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-x2-4x-5=-(x+2)2-1. 当x=-2时，取最大值-1.
类型三：利用奇偶性和单调性解不等式 【典例3】(2016·岳阳高一检测)若定义域为R的偶函 数f(x)在[0，+∞)上是增函数，且f(1)=0，求不等式 f(x)≥0的解集. 【解题指南】由f(x)为偶函数，且在[0，+∞)上是增 函数，可得f(-x)=f(x)，且f(x)在(-∞，0]上是减函 数，即可利用单调性解不等式.
【规律总结】利用奇偶性和单调性比较大小的三个步骤 (1)判断：判断所给函数的奇偶性以及给定区间内的单 调性. (2)转化：根据奇偶性将自变量的值转化到同一个单调 区间内. (3)确定：根据函数的单调性，比较函数值的大小.
【巩固训练】1.(2016·郑州高一检测)若对于任意实
数x总有f(-x)=f(x)，且f(x)在区间(-∞，-1]上是增
类型二：利用奇偶性、单调性求最值 【典例2】(1)设f(x)在[-2，-1]上为减函数，最小值 为3，且f(x)为偶函数，则f(x)在[1，2]上 ( ) A.为减函数，最大值为3 B.为减函数，最小值为-3 C.为增函数，最大值为-3 D.为增函数，最小值为3
(2)若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)=aφ(x)+bg(x)+2
f(源自文库2)<
<f(-1)，即f(2)<
<f(2 -1).
f( 3 )
f( 3 )
2
2
2.若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，+∞)上是减函
数，则满足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是
.
【解析】若a≥0，f(x)在[0，+∞)上是减函数，且f(π) <f(a)，得0≤a<π. 若a<0，因为f(π)=f(-π)，则由f(x)在[0，+∞)上是 减函数，得知f(x)在(-∞，0]上是增函数.由于f(-π) <f(a)，得到a>-π，即-π<a<0.由上述两种情况知a∈ (-π，π). 答案：(-π，π)