湘潭大学数学物理方法课件之72数理方程的分类共26页文档
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《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
数理方程 绪论PPT共39页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
浅谈数学物理方法课程的学习PPT课件
得到非平衡态的速度分布函数
量子力学：用薛定谔方程
( 2 2 Zes2 ) E
2
描绘电子在库仑场中的运动
第16页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
1.数理方法是物理学科的重要基础课
数理方法是普通物理与四大力学的“粘合剂” 数理方法是学习专业课的奠基石
材料物理： 热处理 热传导方程 光学、电子科技: 电磁波传播 波动方程
第20页/共53页
二、数学物理方法在物理学中的地位
3.数理方法是培养学生逻辑思维能力和 创造思维能力的重要课程
数学物理方法研究物理问题的三个步骤： ➢导(写)出定解问题 (泛定方程、定解条件) ➢求解 ➢对解答进行分析 其间一系列的过程都不可缺少清晰的逻辑推理和 创造性思维，由此学生分析问题和解决问题的能 力也就自然地得到了训练和培养
第25页/共53页
三、如何学好数学物理方法
1.认真学好先行课
普物 重点:力学、电学、热学 高数 重点:微积分、常微分方程解法
求解方程：
行波法：求解常微分方程的先求通 解再用定 解条件定特解的思想
分离变量法、积分变换法： 均用到化偏微分方程为常微分方程的求解
所有求解方程的过程离不开微分、积分手段。
——萧伯纳
第38页/共53页
三、如何学好数学物理方法
6.学会举一反三，懂得由树木见森林。
第28页/共53页
三、如何学好数学物理方法
例：求解三维无界空间的波动问题 z z
M (x, y, z)
utt u |t0
a 2 u x3
y2z
x x at sin cos y y at sin sin
ut |t0 0
z z at cos
数理方程第1讲-69页PPT资料
F (x 1 ,L ,x n ,u , x u 1,L , x u n,L , x 1 m 1 x 2 m m 2 u L x n m n) 0(1.1)
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
4
方程(1.1)是在自变量x1,x2, …的n维空间Rn 中的一个适 当的区域D内进行考察的，我们要求能找出在D内恒 满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在，那
和时间无关。弦是柔软有弹性的，即它不能抵抗弯矩， 因此在任何时刻弦的张力T总是沿着弦的切线方向。
u
F
△x
Q T
P
a
T
N
O
x
N'
x+△x
x
13
或
综合上述分析，由牛顿第二定律可得
a T si T n si F n x x ttu( 1 . 3 )
又 tanaux ，故 sia n taan ux 1ta2na 1ux2
，薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
3. 线性偏微分方程：如果一个偏微分方程对于未知 函数及它的所有偏导数来说都是线性的，且方程中 的系数都仅依赖于自变量，那么这样的偏微分方程 就称为线性偏微分方程。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
6
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数学物理方法课件第七章
数学物理方法课件第七章第二篇数学物理方程第七章数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+??+??+??++??22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
数理方程总结完整版
该方程是非齐次方程。解决该类方程主要用特征函数法来 解决。以本题为例，来介绍一下特征函数法。
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
1.先求出该题目对应的齐次方程的特征函数， 即时当f（x，t）为零时。该题对应的齐次方 程为左一右一边界条件的齐次的一维波动方 n 程，其特征函数为X(x)=sin x, n 1, 2, 3... l n n 则设u（x，t） = Tn (t ) sin x, f ( x, t ) fn(t ) sin x, l l n 1 n 1 n n ( x) n sin x, ( x) n sin x, n 1, 2, 3... l l n 1 n 1
第二章 分离变量法
本章主要掌握三大类方程的解法，分别是有界弦的
自由振动方程，有限杆上的热传导方程，这两个方 程里包括“左几右几”的边界条件的，齐次或非齐 次边界条件的，齐次或非齐次方程的多种形式。 还有一个就是圆域内或扇形域内的二维拉普拉斯方 程，这类方程相对于比较简单，考试时的类型比较 固定。 1.有界弦的自由振动方程（方程是齐次的）的基本 解：
2 2u 2 u t 2 a x 2 f ( x, t ), 0 x l , t 0, u | x 0 u | x l 0, t 0, u u | t 0 ( x), | t 0 ( x), 0 x l. t
a 2 ( n 1/2) 2 2 t l2
(n 1/ 2) cos x l
④：“左二右二”的齐次边界条件的齐次方程：
2 u 2 u a , 0 x l , t 0, 2 t x u | x 0 0, u | x l 0, t 0, x x
l
数学物理方程举例和基本概念PPT课件
数学物理问题的研究繁荣起来是在十九世纪，许多数学家都对数学物理问题的 解决做出了贡献。如：Fourier（ 1811年） ，在研究热的传播中，提出了三维 空间的热传导方程。他的研究对偏微分方程的发展产生了重大影响。Cauchy 给出了第一个关于解的存在定理，开创了PDE的现代理论。到19世纪末，二阶 线性PDE的一般理论已基本建立，PDE这门学科开始形成。
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。
非齐次
3
2u t 2
a2
2u x 2;2阶 线性源自齐次42u t 2
a2
4u x4
f
x,t;
4阶
线性
非齐次
7 8
u
x
u
v y v
0 ;
0
1阶 线性 齐次
y x
t u
u u
x u
c2
u x
0 0
;
t x x
1阶 非线性 拟线性
5
1
u y
2
2u x2
2
u x
u y
解的稳定性： 当定解条件及方程中的参数有微小变化时，解也只有微小的变 动， 则称该定解问题的解是稳定的，否则称之为不稳定的。
如果一个定解问题的解存在、唯一、且解连续依赖于定解条件中的初始数据 或边界数据，则称该定解问题是适定的，否则称它是不适定的.
注：对不适定问题的研究也是非常有意义的！
例如：在流体力学、电磁学、金属探矿、气象预报等实际问题中. 例如： 对于某物体，希望在某时刻具有一个实际的温度分布，那么在初始
流热量Q2与物体内部的源所产生的热量Q3之和，即
Q1 Q2 Q3 .
⑹ 费克Fick定律：粒子流强度q与浓度的下降率成正比，即q ku
扩散定律 其中，k为扩散系数，负号表示浓度减少的方向。
4数理方程-方程的化简与分类
uf()g()
x at x at
通解 u(x, t) = f(x – at ) + g(x + at )
6/17
自变量的非奇异变换
二阶方程自变量的变换: a11uxx+ 2a12uxy + a22uyy + b1ux+b2uy+cu = f
2u
2u
2u
对二阶线性偏微分
a 1 u x 1 x 2 a 1 u x 2 y a 2 u y 2 y b 1 u x b 2 u y c 0 u
主部
特征方程 : a11(dy)2- 2a12 dx dy + a22 (dx)2 = 0
令 dy
dx
解得: a12 a122a11a22
a 1 2 a 11 12 a 1(2 1 2 ) a 22
a12 =1·(–1)·3–1·[(-1)+3]–3= –8
8u 0 u 0
uf()g()
通解: u f(y x ) g (y 3 x )
14/17
例3. 讨论 x2uxx + 2xyuxy + y2uyy = 0 的类型,并化
t
x
t
x
a
1
a
1
utta2[u 2u u]
uxxu 2u u
5/17
utta2[u 2u u] uxxu 2u u
代入 utt = a2uxx 化简，得
u 0
1( x, y) 2( x, y)
u u a 1 11du eu h uf
数理方程重点总结PPT课件
边界条件（2）
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
Image u(x ,0) 0 由开初时，在 x c 处受到冲量 k 的作用知
u (x ,t)
k
0
c
c
c
对于c 点周围足够小的 0 ，弦段 c , c
x
上的动量改变，即为冲量，于是有
第3页/共51页
第2 题
u (x ,t)
k
M2
M1
l3 6a 2
l
M2 M1 l
l2 6a2
W (x)
1 6a 2
x3
( M2
l第M9页1 /共6l5a212 页)x
M1
再附：直接积分法 解偏微分方程的边值问题
2u x2 y
(1)
x y
u( x,0) x2
(2)
u(1, y) cos y
(3)
解 把（1）式写成
(u) x2y x y
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
将所得到的本征值代入（3）式，得到本征函数
n
X n ( x) An cos( l ) x
(4)
三、基于所得到的本征值，解时间变量T(t) 的方程，然后叠加解。（叠加解）
第17页/共51页
将所得到的本征值代入时间变量的方程，得 T a2T 0 （时间变量的微分方程）
一. 均匀弦的横振动方程
u u( x, t) (振幅)
a2
2u x 2
2u t 2
a2uxx utt
a2 T
—— 一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)
i i( x, t) ,v v( x, t) (电流、电压)
湘潭大学数学物理方法课件之7.2数理方程的分类
数学物理方法
7.4.2 端点的反射 下面研究半无限长弦的自由振动， 即具有一个端点的 问题。 首先考虑端点固定的情况，即定解问题
utt a2uxx 0,(0 x )
（7.4.8）
u t 0 ( x) , (0 x ) (7.4.9) ut t 0 ( x) (7.4.10) u x 0 0 须注意到初始条件里变量 x 0 才有意义。因为在 x 0 的区域上并不存在弦。对于较迟的时间 t x / a ，从而公
数学物理方法
先对 积分，得到
u （7.4.4） f ( ) 其中 f 是任意函数。再对 积分，得到通解
u f ( )d f 2 ( ) f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( x at ) f 2 ( x at )
其中 f1 和 f 2 都是任意函数。
常数 0 , x ( x1 , x2 ) ( x) 0
0, ( x x1 ) 1 x at 1 f ( x) ( )d ( x x1 ) 0 , ( x1 x x2 ) 2a x at 2a 1 2a ( x2 x1 ) 0 , ( x2 x)
从而
f2 ( x at ) f 2 ( X ) ，
与时间 T 无关。 就是说， 函数的图象在动座标系中保持不 变，亦即随着动座标以速度 a 沿 x 正方向移动的行波。
同理， f1 ( x at ) 是以速度 a 沿 x 负方向移动的行波。这 样，偏微分方程描述速度 a 向两向传播的行波。
f1 ( x) f 2 ( x) ( x) af '1 ( x) af '2 ( x) ( x)
湘潭大学数学物理方法课件之72数理方程的分类PPT文档共26页
45、自己的饭量自己知道。——苏联
湘潭大学数学物理方法课件之72数理 方程的分类
11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律ห้องสมุดไป่ตู้允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
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11、用道德的示范来造就一个人，显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律ห้องสมุดไป่ตู้允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
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。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
湘潭大学数学物理方法课件之72数理
方程的分类
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
湘潭大学数学物理方法课件之72数理
方程的分类
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。