2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷(理科)
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
（1）根据以上数据，能否有 60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？ （2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出 5 人赠送营养面膜 1 份，求所抽取 的 5 人中“微信控”和“非微信控”的人数； （3）从（2）中抽选取的 5 人中再随机抽取 3 人赠送价值 200 元的护肤品套装，记这 3 人中 “微信控”的人数为 X，试求 X 的分布列及数学期望． 参考公式： P（K
3
） C．﹣e D．﹣
B．﹣e
2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷的横线上．. 13． （5 分）将函数 f（x）＝sin（2x+φ） （|φ|＜ ）的图象向左平移 个单位后的图形关
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于原点对称，则函数 f（x）在[0， 14． （5 分）若 y （x+
3
10． （5 分）在△ABC 中，BC＝7，cosA＝ ，sinC＝ ﹣λ） A．3
，若动点 P 满足
+（1 ）
（λ∈R） ，则点 P 的轨迹与直线 AB、AC 所围成的封闭区域的面积为（ B．4 C．6 D．12
11． （5 分）如图，在长方形 ABCD 中，AB＝
，BC＝1，E 为线段 DC 上一动点，现将△
3 n *
]上的最小值为
． ．
） （n∈N ）的展开式中存在常数项，则常数项为
15． （5 分）已知等差数列{an}的公差 d≠0，且 a1，a3，a13 成等比数列，若 a1＝1，Sn 是数 列{an}前 n 项的和，则
2
的最小值为
．
16． （5 分）已知抛物线 y ＝4x，过其焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点，M 为抛物线的 准线与 x 轴的交点，tan∠AMB＝ ，则|AB|＝ ．
【河南省许昌、新乡、平顶山】2016年高考二模(理科)数学试卷
A．189 B． 381 C． 93 D． 45
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． {aa | 2} B．{aa | 1} C．{aa | 1} D．{aa | 2}
3．“ a 3”是“直线 ax2 y 3 a 0 和直线 31x() a y a 7 平行”的（ ）
3 2
5．已知焦点在 x 轴上的椭圆方程为 a，随着 a 的增大该椭圆的形状（ ）
A．越接近于圆 B．越扁
河南省许昌、新乡、平顶山 2016 年三市联考高考二模(理科)数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的．)
2
1．复数 z 的共轭复数是（ ）
23 34 32
π x π 2π
9．若函数 f( x ) 4sin x sin2 ( ) cos2x ( 0) 在[] , 上是增函数，则 的取值范围是（ ）
1 1
A． 2 B．1 C． D．
C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆
2 1 a
6．设 axdx(12) ，则二项式 ()x26 的常数项是（ ）
2
1
1 + i
A．1i B．1i C． 1i D． 1i
2．设集合 A x x { 1 2| } , B x x{ a | } ,若 ABA ,则 a 的取值范围是（ ）
- 1 - / 5
11 π 11 π 13 π
A． B． 32 π C． D．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
许昌、新乡、平顶山市届高三下学期第三次模拟考试数学试题及答案(理)
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三下学期第三次模拟考试（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应位置上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．2．问答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号，写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案答在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1．设复数z 1＝－1＋3i ，z 2＝1＋i ，则1212z z z z ＋－＝（ ） A ．－1－i B ．1＋i C ．1－i D ．－1＋i2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优 良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0．8 B ．0．75 C ．0．6 D ．0．453．如图所示的程序框图，当输入n ＝50时，输出的结果是i ＝（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．函数f （x ）＝cos （ωx ＋ ）的部分图象如图所示，则下 列结论成立的是( )A ．f （x ）的递增区间是（2k π－5π12，2k π＋π12），k ∈Z B ．函数f （x －π3）是奇函数C ．函数f （x －π12）是偶函数 D ．f （x ）＝cos （2x －π6）5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．54B ．60C ．66D ．726．经过原点并且与直线x ＋y －2＝0相切于点（2，0）的圆的标准方程是( )A ．22(1)(1)x y －＋＋＝2 B ．422(1)(1)x y ＋＋－＝2C ．22(1)(1)x y －＋＋＝4 D ． 22(1)(1)x y ＋＋－＝47．已知{n a }为等比数列，4a ＋7a ＝2，56a a ＝－8，则1a ＋10a ＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－78．设函数f （x ）对x ≠0的实数满足f （x ）－2f （1x）＝3x ＋2，那么＝( )A ．－（72＋2ln2）B ．72＋2ln2C ．－（72＋ln2） D ．－（4＋2ln2）9．下列命题中，真命题是( ) A ．0x ∃∈R ，使0e x＜0x ＋1成立B ．k ，b ，c ∈R ，3a ＋3b ＋3c ＝3kbc 的充要条件是k ＝b ＝cC ．对x ∀∈R ，使2x＞2x 成立D ．k ，b ∈R ，k ＞b 是k ｜k ｜＞b ｜b ｜的充要条件10．设F 1、F 2分别为双曲线（k ＞0，b ＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足｜PF 2｜＝｜F 1F 2｜,且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝011．在由数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有 A ．372 B ．180 C ．192 D ．30021()f x dx ⎰22221x y a b－＝12．设x ∈（1，＋∞），在函数f （x ）＝ln xx的图象上，过点P （x ，f （x ））的切线在y 轴上的截距为b ，则b 的最小值为( )A ．eB ．e2 C ．2e 2 D ．2e 4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ，y 满足约束条件：则x －y 的取值范围是___________．14．如图，△ABC 中，BD uu u r ＝2DC uuu r ，AE uu u r ＝m AB uu u r ，AF u u u r＝n AC uuu r ，m ＞0，n ＞0，那么m ＋2n 的最小值是__________．15．已知数列{n a }满足k 1＝1，1n a ＋＋(1)nn a －＝2n ，其前n 项和为n S ，则20162016S ＝________。
2016届河南省顶级名校高三第二次联考数学(理)试题
2016届河南省顶级名校高三第二次联考数学（理）试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}23x x A =-≤≤，{}2280x x x B =+->，则A B = （ ）A ．()[),42,-∞--+∞B ．(]2,3C ．(](),34,-∞-+∞D ．[)2,2- 2.已知()()13243z i i i -+-=+（其中i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数），则z 的虚部为（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i - 3.已知1sin 33x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．BC ．13-D ．134.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．223π-B ．423π-C ．53πD ．22π-5.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布()1,1N -的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A ．1193 B ．1359 C ．2718 D ．3413 附：若()2,μσX N ，则()0.6826μσμσP -<X ≤+=，()220.9544μσμσP -<X ≤+=．6.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为（ ） A ．25 B ．1225 C ．1625 D ．457. 设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（ ）A ．252 B ．492C ．12D ．14 8. 已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点()F ,0c -关于直线0bx cy +=的对称点P 在椭圆上，则椭圆的离心率是（ ） ABCD9.据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km 处的热带风暴中心正以20km /h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km 以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（ ）A ．9hB ．10hC ．11hD ．12h10.已知四面体CD AB 的顶点A 、B 、C 、D 在空间直角坐标系中的坐标分别为()1,0,0，()0,1,0，()0,0,1，111,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，则在下列命题中，正确的是（ ） A ．D O ⊥平面C AB B ．直线//OB 平面CD A C ．直线D A 与OB 所成的角是45 D ．二面角D -OB -A 为4511.已知双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点．P 是双曲线在第一象限上的点，直线PO ，2F P 分别交双曲线C 左、右支于另一点M ，N ．若12F 2F P =P ，且2F 60∠M N = ，则双曲线C 的离心率是（ ）ABCD 12.设直线y t =与曲线()23y x x =-的三个交点分别为(),a t A 、(),b t B 、()C ,c t ，且a b c <<．现给出如下结论：①abc 的取值范围是()0,4；②222a b c ++为定值；③c a -有最小值无最大值． 其中正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()1,2a = ，()1,0b = ，()3,4c = ，若λ为实数，()a b c λ+⊥，则λ的值为 ．14.在()()41x y x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则y 的值是 ．15.三棱锥C P -AB 中，平面C PA ⊥平面C AB ，C PA =P =AB =，C 4A =，C 30∠BA = ．若三棱锥C P -AB 的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 ． 16.已知()12n n n a +=，删除数列{}n a 中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{}n b ，则51b = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a b =，又sin A ，sin C ，sin B 成等差数列．（I ）求()cos C B +的值；（II ）若C S ∆AB =，求c 的值．18.某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数（Q A I ）的监测数据，结果统计如下：（I ）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（II ）已知某企业每天的经济损失y （单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0100400,1003002000,300x y x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望．19. 已知在多面体CD S P -AB 中，底面CD AB 为矩形，C 1AB =P =，D 2S A =A =，且//C S A P ，且S A ⊥面CD AB ，E 为C B 的中点． （1）求证：//AE 面D S P ；（2）求二面角D S B -P -的余弦值．20.已知抛物线:E 22y px =（0p >）上一点()0,4x M 到焦点F 的距离05F 4x M =． （I ）求E 的方程；（II ）过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，AB 的垂直平分线l '与E 相交于C ，D 两点，若C D 0A ⋅A =，求直线l 的方程．21.设函数()()1xf x e a x =-+（e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）．（1）若()00f '=，求实数a 的值，并求出函数()f x 的单调区间； （2）设()()x ag x f x e=+，且()()11,x g x A ，()()22,x g x B （12x x <）是曲线()g x 上任意两点，若对任意的1a ≤-，恒有()()()2121g x g x m x x ->-成立，求实数m 的取值范围； （3）求证：())13212nnn n n n ++⋅⋅⋅+-<（n *∈N ）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C ∆AB 内接于O ，C AB =A ，直线MN 切O 于点C ，弦D//B MN ，C A 与D B 相交于点E ． （1）求证：CD ∆ABE ∆A ∽；（2）若6AB =，C 4B =，求AE 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程将圆221x y +=上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ． （I ）写出Γ的参数方程；（II ）设直线:l 3260x y +-=与Γ的交点为1P ，2P ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段12P P 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-．（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围．16届高三第二次联考 理科数学参考答案一、选择题1.A2.A3.B4.A5.B6.C7.A8.D9.B 10.A 11.B 12.C 二、填空题13.311-14.4 15. 18π 16. 5151 三、解答题17.解：（I ） sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，∴sin sin 2sin C A +B =， （1分） 由正弦定理得2a b c +=， （3分）又2a b =，可得23b c =， （4分） ∴2222222416199cos 22423c c c b c a bc c +-+-A ===-⨯， （6分） C πA +B +=，∴C πB +=-A ，∴()()1cos C cos cos 4πB +=-A =-A =． （8分）2=c = （12分） 18.解：（I ）根据题设中的数据得到如下22⨯列联表：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得()22100227638 4.57585153070⨯-⨯K =≈⨯⨯⨯．因为4.575 3.841>，所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．…………………6分 （II ）任选一天，设该天的经济损失为X 元，则()()201001001005x P X ==P ≤≤==，()()651340010030010020x P X ==P <≤==， ()()153200030010020x P X ==P >==， 所以()1330400200056051220E X =⨯+⨯+⨯=．故该企业一个月的经济损失的数学期望为()3016800⨯E X =元．…………………12分19.解：（1）取D S 的中点F ，连接F P ，过F 作Q P ⊥面CD AB 交D A 于Q ，连接QC ，S A ⊥面CD AB ，∴//FQ S A ， F 为D S 的中点，∴Q 为D A 的中点，1FQ 2S =A ，1C 2S P =A ， ∴FQ C =P ，且FQ//C P ，所以C FQ P 为平行四边形，∴F//CQ P ，又 Q//C A E ，Q C A =E ，所以四边形CQ AE 为平行四边形，∴//CQ AE 又F//CQ P ，∴//F AE P ，F P ⊂面D S P ，AE ⊄面D S P ，∴//AE 面D S P ．（2）分别以AB ，D A ，S A 所在的直线为x ，y ，z 轴，以A 点为坐标原点建立空间直角坐标系xyz A -，则()1,0,0B ，()D 0,2,0，()0,0,2S ，()1,2,1P ，()1,2,1S P =- ，()1,0,2S B =- ，()D 0,2,2S =-，设面S BP 与面D S P 的法向量分别为()111,,m x y z = ，()222,,n x y z =，则0S m S m ⎧P ⋅=⎪⎨B⋅=⎪⎩ ，可得111112020x y z x z +-=⎧⎨-=⎩，1111122y z x z ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，取12z =可得()4,1,2m =- ， 0D 0S n S n ⎧P ⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，2222x z y z =-⎧⎨=⎩，取21z =可得()1,1,1n =- 两平面的法向量所成的角的余弦值为cos ,m n m n m n ⋅===． 因为二面角DS B -P -为钝角，该二面角的余弦值为．20.解：（I ）由抛物线的定义，得0F 2p x M =+，又05F 4x M =， ∴00524p x x +=，即02x p =，∴()2,4p M ． ()2,4p M 在抛物线22y px =（0p >）上，∴2416p =，解得2p =-（舍去）或2p =．故E 的方程为24y x =．（II ）由题意可知，直线l 的斜率存在，且不等于0， 故可设l 的方程为()1y k x =-（0k ≠）．由()214y k x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，消去y 并整理，得()2222240k x k x k -++=．其判别式()()224212441610k k k ∆=+-=+>设()11,x y A ，()22,x y B ，则212224k x x k++=， ∴()121242y y k x x k k+=+-=． ∴AB 的中点P 的坐标为2222,k kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()2122412k x x k +AB =++=． 又l '的斜率为1k -，其方程为22212k y x k k k ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，即223x ky k =-++ 由22234x ky k y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，消去x 并整理，得2224430y ky k ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭．其判别式()222222241631630k k k k ⎛⎫⎛⎫∆=++=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 设()33C ,x y ，()44D ,x y ，则344y y k +=-，342243y y k ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． ∴()4223434222244642346k k x x k y y k k k k ++⎛⎫+=-+++=++= ⎪⎝⎭． ∴CD 的中点Q 的坐标为422232,2k k k k ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，-=== C D 0A ⋅A = ，∴C D A ⊥A ，即C D A ⊥A ，∴1Q CD 2A =．又2221Q Q 2⎛⎫AB +P =A ⎪⎝⎭，∴22211Q CD 44AB +P =，即()22222411144k k ⎡⎤+⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦， 化简，得210k -=，解得1k =±．故所求直线l 的方程为()1y x =±-，即10x y --=，或10x y +-=． 21. 解：（I ） ()xf x e a '=-，()010f a '=-=，故1a =．…………1分令()10xf x e '=->得0x >；令()10xf x e '=-<得0x <．…………3分所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞．…………4分（II ）由()()2121g x g x m x x ->-（12x x <）变形得：()()2211g x mx g x mx ->-．…………5分令函数()()F x g x mx =-，则()F x 在R 上单调递增．…………6分∴()()F 0x g x m ''=-≥即()m g x '≤在R 上恒成立．…………7分())2113x x a g x e a a a e '=--≥=-+=+-≥故3m ≤…………8分（III ）由（I ）知1xe x ≥+，取2ix n=-（1i =，3，⋅⋅⋅，21n -）得，212in i e n --≤，即222nin i e n --⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，累加得：()12212312221113212221n nnnn n e e n e e e n n n e ----------⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=< ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴())13212nnn n n n ++⋅⋅⋅+-<，…………12分 22.解：（1）在∆ABE 和CD ∆A 中C AB =A ，CD ∠ABE =∠A ，DC ∠BAE =∠E D//B MN ，∴DC DC ∠E =∠N 直线是圆的切线，∴DC C D ∠N =∠A∴C D ∠BAE =∠A ，∴CD ∆ABE ∆A ∽（2） C C ∠EB =∠B M ，C DC ∠B M =∠B∴C DC C ∠EB =∠B =∠BA ，C CD 4B ==又C C C C C ∠BE =∠BA +∠ABE =∠EB +∠ABE =∠AB =∠A B∴C 4B =BE =设x AE =，易证D C ∆ABE ∆E ∽，∴D DC 42D 63x xE ==⇒E =AB 又C D AE⋅E =BE⋅E ，C 6x E =-，∴()2463x x x ⋅=-，103x =23.解：（I ）设()11,x y 为圆上的点，在已知变换下变为Γ上点(),x y ，依题意，得1123x x y y =⎧⎨=⎩，即1123x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．由22111x y +=，得22123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即曲线Γ的方程为22149x y +=． 故Γ的参数方程为2cos 3sin x ty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．…………5分（II ）由221493260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，解得20x y =⎧⎨=⎩或03x y =⎧⎨=⎩． 不妨设()12,0P ，()20,3P ，则线段12P P 的中点坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所求直线的斜率23k =．于是所求直线方程为()32123y x -=-，即4650x y -+= 化为极坐标方程，得4cos 6sin 50ρθρθ-+=．…………………10分 24.（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩或3323x x x ≥⎧⎨-+-≥⎩ 1x ⇔≤或4x ≥- 11 - ∴原不等式的解集为(][),14,-∞+∞ ．（2）原命题()4f x x ⇔≤-在[]1,2上恒成立 24x a x x ⇔++-≤-在[]1,2上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[]1,2上恒成立30a ⇔-≤≤ ∴a 的取值范围为[]3,0-．。
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣25．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．34136．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．148．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2016年河南省顶级名校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|x2+2x﹣8＞0}，则A∪B）A．（2，3]B．（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）C．[﹣2，2）D．（﹣∞，3]∪（4，+∞）【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+4）＞0，解得：x＜﹣4或x＞2，即B＝（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），∵A＝[﹣2，3]，∴A∪B＝（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞），故选：B．2．（5分）已知（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z 的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【解答】解：（﹣1+3i）（2﹣i）＝4+3i，可得＝＝+1﹣3i＝＝2﹣i，z＝2+i，复数的虚部为：1．故选：A．3．（5分）已知sin（x+）＝，则cos x+cos（﹣x）的值为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：cos x+cos（﹣x）＝cos x+cos x+sin x＝cos x+sin x＝sin（x+）＝，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2π﹣B．2π﹣C．D．2π﹣2【解答】解：由三视图可知该几何体为圆柱挖去一个四棱锥得到的，圆柱的底面半径为1，高为2，棱锥的底面为正方形，边长为，棱锥的高为1，∴几何体的体积V＝π×12×2﹣＝2π﹣．故选：A．5．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000 个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣1，1）的密度曲线）的点的个数的估计值（）附“若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544．A．1193B．1359C．2718D．3413【解答】解：正态分布的图象如下图：正态分布N（﹣1，1）则在（0，1）的概率如上图阴影部分，其概率为×[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]＝×（0.9544﹣0.6826）＝0.1359；即阴影部分的面积为0.1359；所以点落入图中阴影部分的概率为p＝＝0.1359；投入10000个点，落入阴影部分的个数期望为10000×0.1359＝1359．故选：B．6．（5分）某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责．每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到．则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设A表示“甲同学收到李老师所发活动信息”，设B表示“甲同学收到张老师所发活动信息”，由题意P（A）＝＝，P（B）＝，∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为：p（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（A）P（B）＝＝．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12D．14【解答】解：法1：作出不等式组对应的平面区域如图由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）＝2x（5﹣x））≤2（）2＝，当且仅当x＝，y＝5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，法2：设z＝xy，则y＝为双曲线，要使z＝xy最大，则z＞0，∵由图象可知当z＝xy与2x+y＝10相切时，z＝xy取得最大值，∴2x+＝10即2x2﹣10x+z＝0，由判别式△＝100﹣8z＝0，得x＝＝，即xy的最大值为，故选：A．8．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线bx+cy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设P（m，n），由题意可得，∴m＝，n＝﹣，代入椭圆+＝1，解得e2（4e4﹣4e2+1）+4e2＝1，可得，4e6+e2﹣1＝0．即4e6﹣2e4+2e4﹣e2+2e2﹣1＝0，可得（2e2﹣1）（2e4+e2+1）＝0解得e＝．故选：D．9．（5分）据气象部门预报，在距离某码头正西方向400km处的热带风暴中心正以20km/h 的速度向东北方向移动，距风暴中心300km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为（）A．9h B．10h C．11h D．12h【解答】解：设码头为A，风暴中心开始位置为B，码头开始受风暴影响时风暴中心为C，码头结束风暴影响时风暴中心为D，则AB＝400，AC＝AD＝300，∠B＝45°，过A作AE⊥BD于E，则AE＝AB sin B＝200，∴CE＝＝100，∴CD＝2CE＝200，∴码头受风暴影响时间为＝10h．故选：B．10．（5分）已知四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，则在下列命题中，正确的为（）A．OD⊥平面ABCB．直线OB∥平面ACDC．直线AD与OB所成的角是45°D．二面角D﹣OB﹣A为45°【解答】解：在A中：∵四面体ABCD的顶点A，B，C，D在空间直角坐标系中的坐标分别为，O为坐标原点，∴＝（﹣），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，1），＝，＝＝0，∴OD⊥AB，OD⊥AC，又AB∩AC＝A，∴OD⊥平面ABC，故A正确；在B中：∵＝（0，1，0），＝（﹣1，0，1），＝（﹣），设平面ACD的法向量＝（x，y，z），∴，取x＝1，得＝（1，﹣5，1），∵＝﹣5≠0，∴直线OB∥平面ACD不成立，故B错误；在C中：∵＝（0，1，0），＝（﹣），∴cos＜＞＝＝＝﹣，∴直线AD与OB所成的角不是45°，故C错误；在D中：＝（0，1，0），＝（1，0，0），＝（﹣），设平面AOB的法向量＝（a，b，c），则，∴＝（0，0，1），设平面AOD的法向量＝（x1，y1，z1），则，取y1＝1，得＝（0，1，﹣1），cos＜＞＝＝＝﹣，∴二面角D﹣OB﹣A为135°，故D错误．故选：A．11．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，直线PO，PF2分别交双曲线C左、右支于另一点M，N，|PF1|＝2|PF2|，且∠MF2N＝60°，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，|PF1|＝2|PF2|，|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，∵∠MF2N＝60°，∴∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos60°，∴c＝a，∴e＝＝．故选：B．12．（5分）设直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2的三个交点分别为A（a，t），B（b，t），C（c，t），且a＜b＜c．现给出如下结论：①abc的取值范围是（0，4）；②a2+b2+c2为定值；③c﹣a有最小值无最大值．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：令f（x）＝x（x﹣3）2＝x3﹣6x2+9x，f′（x）＝3x2﹣12x+9，令f′（x）＝0得x＝1或x＝3．当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0，当1＜x＜3时，f′（x）＜0．∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在（1，3）上是减函数，在（3，+∞）上是增函数，当x＝1时，f（x）取得极大值f（1）＝4，当x＝3时，f（x）取得极小值f（3）＝0．作出函数f（x）的图象如图所示：∵直线y＝t与曲线C：y＝x（x﹣3）2有三个交点，∴0＜t＜4．令g（x）＝x（x﹣3）2﹣t＝x3﹣6x2+9x﹣t，则a，b，c是g（x）的三个实根．∴abc＝t，a+b+c＝6，ab+bc+ac＝9，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）＝18．由函数图象可知f（x）在（0，1）上的变化率逐渐减小，在（3，4）上的变化率逐渐增大，∴c﹣a的值先增大后减小，故c﹣a存在最大值，不存在最小值．故①，②正确，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为．【解答】解：由题意可得λ+＝（1+λ，2λ）∵（λ+）⊥，∴（λ+）•＝0，代入数据可得3（1+λ）+4×2λ＝0，解之可得λ＝﹣故答案为：．14．（5分）在（x+y）（x+1）4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则y的值是3．【解答】解：∵（x+y）（x+1）4 ＝（x+y）（x4+4x3+6x2+4x+1）＝x5+4x4+6x3+4x2+x+y•x4+4yx3+6yx2+4yx+y，∴展开式中x的奇数次幂项的系数之和为1+6+1+4y+4y＝32，∴y＝3，故答案为：3．15．（5分）三棱锥P﹣ABC中，平面P AC⊥平面ABC，P A＝PC＝AB＝2，AC＝4，∠BAC ＝30°．若三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为18π．【解答】解：∵AB＝2，AC＝4，∠BAC＝30°，∴BC＝＝2，∴三角形ABC的外接圆直径AC＝4，设球心为O，AC的中点为D，球的半径为R，则PD＝2∴R2＝（2﹣R）2+4，则有该三棱锥的外接球的半径R＝，∴该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×（）2＝18π．故答案为：18π．16．（5分）已知a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，则b51＝5151．【解答】解：∵a n＝，∴，，＝6，，，，，，…∵a n＝，删除数列{a n}中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列{b n}，∴b51＝a101＝＝5151．故答案为：5151．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2b，又sin A，sin C，sin B成等差数列．（Ⅰ）求cos（B+C）的值；（Ⅱ）若，求c的值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵sin A，sin C，sin B成等差数列，∴sin A+sin B＝2sin C，（1分）由正弦定理得a+b＝2c，（3分）又a＝2b，可得，（4分）]∴，（6分）∵A+B+C＝π，∴B+C＝π﹣A，∴．（8分）（Ⅱ）由，得，（9分）∴，（10分）∴，解得．（12分）18．（12分）某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数（AQI）的监测数据，结果统计如表：（Ⅰ）若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有8 天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2 列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？（Ⅱ）已知某企业每天的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为y＝试估计该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望．参考公式：K2＝【解答】解：（Ⅰ）根据题设中的数据得到如下2×2列联表：将2×2列联表中的数据代入公式计算，得：K2＝≈4.575．∵4.575＞3.841∴由95%的把握认为：“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”（Ⅱ）任选一天，设该天的经济损失为X元，则：P（X＝0）＝P（0≤x≤100）＝P（X＝400）＝P（100＜x≤300）＝，P（X＝2000）＝P（x＞300）＝∴E（X）＝0×+400×+2000×＝560．∴该企业一个月（按30 天计算）的经济损失的数学期望为30×E（X）＝16800元．19．（12分）已知在多面体SP﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，AB＝PC＝1，AD＝AS＝2，且AS∥CP且AS⊥面ABCD，E为BC的中点．（1）求证：AE∥面SPD；（2）求二面角B﹣PS﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）取SD的中点F，连接PF，过F作FQ⊥面ABCD，交AD于Q，连接QC，∵AS⊥面ABCD，∴AS∥FQ，QF为SD的中点，∴Q为AD的中点，FQ＝AS，PC＝AS，∴FQ＝PC，且FQ∥PC，∴CPFQ为平行四边形，∴PF∥CQ，又∵AQ∥∥EC，AQ＝EC，∴四边形AECQ为平行四边形，∴AE∥CQ，又PF∥CQ，∴AE∥PF，∴PF⊂面SPD，AE⊄面SPD，∴AE∥面SPD．解：（2）分别以AB，AD，AS所在的直线为x，y，z轴，以A点为坐标原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（1，0，0），D（0，2，0），S（0，0，2），P（1，2，1），＝（1，2，﹣1），＝（1，0，﹣2），＝（0，2，﹣2），设面BPS与面SPD的法向量分别为＝（x，y，z），＝（a，b，c），则，即，取z＝2，得＝（4，﹣1，2），，即，取c＝1，得＝（﹣1，1，1），两平面的法向量所成的角的余弦值为：cos＜＞＝＝＝﹣．∵二面角B﹣PS﹣D为钝角，∴该二面角的余弦值为﹣．20．（12分）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过F的直线l与E相交于A，B两点，AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，若＝0，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（x0，4）到焦点F的距离|MF|＝x0．可得x0+＝x0，又16＝2px0，解得p＝2，则E的方程为y2＝4x；（Ⅱ）由题意可得，直线l和坐标轴不垂直，y2＝4x的焦点F（1，0），设l的方程为x＝my+1（m≠0），代入抛物线方程可得y2﹣4my﹣4＝0，显然判别式△＝16m2+16＞0，y1+y2＝4m，y1•y2＝﹣4．可得AB的中点坐标为G（2m2+1，2m），弦长|AB|＝•|y1﹣y2|＝•＝4（m2+1）．又直线l′的斜率为﹣m，可得直线l′的方程为x＝﹣y+2m2+3．过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与E相交于C，D两点，把l′的方程代入抛物线方程可得y2+y﹣4（2m2+3）＝0，可得y3+y4＝﹣，y3•y4＝﹣4（2m2+3）．故线段CD的中点H的坐标为（+2m2+3，﹣），即有|CD|＝•|y3﹣y4|＝•＝，由•＝0，故ACBD四点共圆等价于|AH|＝|BH|＝|CD|，即AB2+GH2＝CD2，可得4（m2+1）2 +（2m+）2+（+2）2＝（）2，化简可得m2﹣1＝0，即m＝±1，可得直线l的方程为x﹣y﹣1＝0，或x+y﹣1＝0．21．（12分）设函数f（x）＝e x﹣a（x+1）（e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．（1）若f'（0）＝0，求实数a的值，并求函数f（x）的单调区间；（2）设g（x）＝f（x）+，且A（x1，g（x1）），B（x2，g（x2））（x1＜x2）是曲线y＝g （x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，恒有g（x2）﹣g（x1）＞m（x2﹣x1）成立，求实数m的取值范围；（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．【解答】解：（1）∵f（x）＝e x﹣a（x+1），∴f′（x）＝e x﹣a，∵f′（0）＝1﹣a＝0，∴a＝1，∴f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＝e x﹣1＞0，得x＞0；由f′（x）＝e x﹣1＜0，得x＜0，∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）．…（6分）（2）由＞m，（x1＜x2）变形得：g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，令函数F（x）＝g（x）﹣mx，则F（x）在R上单调递增，∴F′（x）＝g′（x）﹣m≥0，即m≤g′（x）在R上恒成立，，故m≤3．∴实数m的取值范围是（﹣∞，3]．证明：（3）由（1）知e x≥x+1，取（i＝1，3，…，2n﹣1）得，，即，累加得：．∴．…（14分）请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC是内接于⊙O，AB＝AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AB＝6，BC＝4，求AE．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD又∠BAE＝∠EDC∵BD∥MN∴∠EDC＝∠DCN∵直线是圆的切线，∴∠DCN＝∠CAD∴∠BAE＝∠CAD∴△ABE≌△ACD（2）解：∵∠EBC＝∠BCM∠BCM＝∠BDC∴∠EBC＝∠BDC＝∠BACBC＝CD＝4又∠BEC＝∠BAC+∠ABE＝∠EBC+∠ABE＝∠ABC＝∠ACB∴BC＝BE＝4设AE＝x，易证△ABE∽△DEC∴∴DE＝又AE•EC＝BE•ED EC＝6﹣x∴4×∴x＝即要求的AE的长是[选修4-4：坐标系与参数方程]．23．将圆x2+y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的 3 倍，得曲线Γ．（Ⅰ）写出Γ的参数方程；（Ⅱ）设直线l：3x+2y﹣6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【解答】解：（1）设点（x1，y1）为圆上的任意一点，在已知变换下变为T上点（x，y），根据题意，得，即，根据，得，即曲线T的方程为，所以，曲线T的参数方程为（t为参数）．（2）联立方程组，解得或，不妨设点P1（2，0），P2（0，3），则线段的中点坐标为（1，），所求直线的斜率k＝，于是所求直线方程为：y﹣＝（x﹣1），即4x﹣6y+5＝0，将此化为极坐标方程，得到4ρcosθ﹣6ρsinθ+5＝0．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|①当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）答案与解析一、选择题1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1}B．{x|x≥﹣1}C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．选C2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．选B3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1|C．D．y=（2x+2﹣x）解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．选C4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．选B5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，选B6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，选A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1 即，解得e==+1．选C8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，选D9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm 3）。
河南省许昌市三校2015-2016学年高二下学期第二次联考数学(理)试卷
许昌市三校联考高二下学期第二次考试数学（理）试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若命题p ：x ＝2且y ＝3，则¬p 为( )A. x ≠2或y ≠3B. x ≠2且y ≠3C. x ＝2或y ≠3D. x ≠2或y ＝3 2．若a >b >0，则下列不等式中总成立的是( )A. a ＋1a >b ＋1bB. a ＋1b >b ＋1aC. b a >b ＋1a ＋1D. 2a －b a ＋2b >ab3．等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1>0且q >1”是“对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 4．函数f (x )＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A. (－1,1]B. [1，＋∞)C. (0,1]D. (0，＋∞)5．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12B. ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C. (2,3)D. (－∞，2)∪(3，＋∞) 6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin 〈CM →，D 1N →〉 的值为( )A. 19B. 23C.295D. 4957．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，若恰好被P 点平分，则这条弦所在的直线方程是( )A. 5x ＋3y ＋13＝0B. 5x ＋3y －13＝0C. 5x －3y ＋13＝0D. 5x －3y －13＝08．定义：若椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则其特征折线为|x |a ＋|y |b＝1(a >b >0)．设椭圆的两个焦点为F 1、F 2，长轴长为10，点P 在椭圆的特征折线上，则下列式子正确的是( )A. |PF 1|＋|PF 2|>10B. |PF 1|＋|PF 2|<10C. |PF 1|＋|PF 2|≥10D. |PF 1|＋|PF 2|≤10 9．现有下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log 22≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题是真命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x 0∈R ，x 02－x 0－1≤0，则命题p ∧⌝q 是真命题．则其中真命题为( )A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10.记数列{2n }的前n 项和为a n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式为b n ＝n －8，则b n S n 的最小值为( )A. －3B. －4C. 3D. 411.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为( )A. 12B. 3－12C. 32D. 3－112.函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式 e x ·f (x )>e x＋1的解集是( )A. {x |x >0}B. {x |x <0}C. {x |x <－1或x >1}D. {x |x <－1或0<x <1}第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13.设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1，3]， 则点P 纵坐标的取值范围是__________．14.已知点P (x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为常数)，若z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝______．15.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2， 则cos A 等于_________．16.设F 1、F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．三、解答题（第17～2l 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题， 考生根据要求作答，本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ．(Ⅰ)求证：a 、b 、c 成等差数列； (Ⅱ)若B ＝π3，S ＝43，求b ．18．（本小题满分12分）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n － (n 2＋n )＝0． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)令b n ＝221(2)nn n a ++，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为梯形，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，AD ＝AB ＝1，BC ＝2，CD ＝2．(Ⅰ)求证：平面PBD ⊥平面PBC ；(Ⅱ)设H 为CD 上一点，满足CH ＝2HD ，若直线PC 与平面PBD 所成的角的正切值为63，求二面角H PB C 的余弦值． 20．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y ＝2x 2，直线l ：y ＝kx ＋2交C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．(Ⅰ)证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；(Ⅱ)是否存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N ？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由． 21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝ax＋ln x ． (Ⅰ)若函数f （x ）在区间[1，e ]上的最小值是32，求a 的值； (Ⅱ)当a ＝1时，设F （x ）＝f （x ）＋1＋ln x x ，求证：当x ＞1时，1()2x F x e －＞11x e xe ＋＋．【选做题】请从下面所给的22，23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程选讲】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l：ρ＝－63cos4sinθθ＋，曲线C：35cos55sinxyαα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）．(Ⅰ)将直线l化成直角方程，将曲线C化成极坐标方程；(Ⅱ)若将直线l向上平移m个单位后与曲线C相切，求m的值．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知函数f（x）＝2｜x－1｜－a，g（x）＝－｜2x＋m｜，a，m∈R，若关于x的不等式g（x）≥－1的整数解有且仅有一个值为－3．(Ⅰ)求整数m的值；(Ⅱ)若函数y＝f（x）的图象恒在函数y＝12g（x）的上方，求实数a的取值范围．许昌市三校联考高二下学期第二次考试数学（理）试卷参考答案一、选择题ABACCD DDABDA 二、填空题13．⎣⎡⎦⎤34，3 14．－6 15．－1517 16． 2 三、解答题17．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：由正弦定理得：sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝32sin B ，∴sin A ＋sin A cos C 2＋sin C ＋sin C cos A 2＝32sin B ，∴12sin A ＋12sin C ＋12sin(A ＋C )＝32sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，∴a ＋c ＝2b ，∴a 、b 、c 成等差数列．……………………6分 (Ⅱ)解：∵S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16．又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ，由(Ⅰ)得：a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－48，∴b 2＝16，即b ＝4．……………………12分 18．（本小题满分12分）(Ⅰ)解：由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0． 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .．于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n ．……………………6分(Ⅱ)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，则b n ＝n ＋14n 2(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1(n ＋2)2. T n ＝116⎣⎡ 1－132＋122－142＋132－152＋…＋1(n －1)2－1(n ＋1)2⎦⎤＋1n 2－1(n ＋2)2＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1(n ＋1)2－1(n ＋2)2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564．.……………………12分 19．（本小题满分12分）(Ⅰ)证明：由AD ⊥CD ，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝1，可得BD ＝ 2. 又BC ＝2，CD ＝2，∴BC ⊥BD ．∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥BC ，又PD ∩BD ＝D ，∴BC ⊥平面PBD ，又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBD ⊥平面PBC ．……………………4分 (Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知∠BPC 为PC 与平面PBD 所成的角， ∴tan ∠BPC ＝63，∴PB ＝3，PD ＝1．由CH ＝2HD 及CD ＝2，可得CH ＝43，DH ＝23.以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则B (1,1,0)，P (0,0,1)，C (0,2,0)，H ⎝⎛⎭⎫0，23，0． 设平面HPB 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧HP →·n ＝0，HB →·n ＝0，即⎩⎨⎧－23y 1＋z 1＝0，x 1＋13y 1＝0，取y 1＝－3，则n ＝(1，－3，－2)．设平面PBC 的法向量为m ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧PB →·m ＝0，BC →·m ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－z 2＝0，－x 2＋y 2＝0，取x 2＝1，则m ＝(1,1,2)． 又cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－217．故二面角H -PB -C 的余弦值为217．.………12分20．（本小题满分12分）(Ⅰ)证法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中，得2x 2－kx －2＝0， ∴x 1＋x 2＝k 2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28.∵(2x 2)′＝4x ，∴(2x 2)′|x ＝k4＝k ，即抛物线在点N 处的切线的斜率为k .∵直线l ：y ＝kx ＋2的斜率为k ，∴切线平行于AB . ……………………5分证法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把y ＝kx ＋2代入y ＝2x 2中得2x 2－kx －2＝0，∴x 1＋x 2＝k2.∵x N ＝x M ＝x 1＋x 22＝k 4，∴N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫k 4，k 28. 设抛物线在点N 处的切线l 1的方程为y －k 28＝m ⎝⎛⎭⎫x －k 4， 将y ＝2x 2代入上式得2x 2－mx ＋mk 4－k 28＝0，∵直线l 1与抛物线C 相切，∴Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫mk 4－k 28＝m 2－2mk ＋k 2＝(m －k )2＝0， ∴m ＝k ，即l 1∥AB . ……………………5分(Ⅱ)解：假设存在实数k ，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |.由(1)知y M ＝12(y 1＋y 2)＝12(kx 1＋2＋kx 2＋2)＝12[k (x 1＋x 2)＋4]＝12⎝⎛⎭⎫k 22＋4＝k 24＋2，∵MN ⊥x 轴，∴|MN |＝|y M －y N |＝k 24＋2－k 28＝k 2＋168.∵|AB |＝1＋k 2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2×⎝⎛⎭⎫k 22－4×(－1)＝12k 2＋1×k 2＋16.∴k 2＋168＝14k 2＋1×k 2＋16，∴k ＝±2，∴存在实数k ＝±2，使以AB 为直径的圆M 经过点N . ……………………12分21．（本小题满分12分） 解： (Ⅰ)因 为2()x af x x-'=，且[]1,x e ∈，则 ①当1a ≤时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增，其最小值为(1)1f a =≤，这与函数在[]1,e 上的最小值是32相矛盾； ②当1a e <<时，函数()f x 在[1,)a 上有()0f x '<，单调递减，在(,]a e 上有()0f x '>，单调递增，∴函数()f x 的最小值为3()ln 12f a a =+=，得a =． ③当a e ≥时，()0f x '≤，函数()f x 在[]1,e 上单调递减，其最小值为()12af e e=+≥，与最小值是32相矛盾．综上，a ．……………………5分证明：(Ⅱ)要证1()121x x F x e e xe -+>+，即证1()211x xF x e e xe ->++，……………………6分 当1a =时，1ln ()1ln x F x x x x=+++， 222111ln ln ()x x xF x x x x x--'=-++=，…………7分 令)ln x x x ϕ=-（，则111x x x xϕ-'=-=（）， 当1x >时，()0x ϕ'>, ()x ϕ递增；当01x <<时，()0x ϕ'<, ()x ϕ递减， ∴()x ϕ在1x =处取得唯一的极小值，即为最小值，即()(1)10x ϕϕ≥=>，∴()0F x '>，∴()F x 在0+∞（，）上是增函数，∴当1x >时，()F x 为增函数，…………9分 故()(1)2F x F >=，故()211F x e e >++．令=)(x h 121+-xx xe e ，则11122(1)(1)2(1)()2(1)(1)x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---'+-+-'==++． …………10分∵1>x ，∴01<-x e ，∴0)(<'x h ，即)(x h 在），（∞+1上是减函数， ∴1>x 时，12)1()(+=<e h x h ，所以()2()11F x h x e e >>++，即1()211x x F x e e xe ->++， 所以1()121x xF x e e xe -+>+．……………………12分【选做题】 22．（本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程选讲】 解：（Ⅰ）直线l 的参数方程化为3cos 4sin 6=0ρθρθ++，则由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得直线的直角坐标方程为346=0x y ++．………2分由35cos ,55sin .x y αα=+⎧⎨=+⎩，消去参数α，得22(3)(5)25x y -+-=， 即2261090x y x y +--+=（*），由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入（*）可得曲线C 的极坐标方程为26cos 10sin 90ρρθρθ--+=．………5分 (Ⅱ)设直线l '：34=0x y t ++与曲线C 相切． 由(Ⅰ)知曲线C 的圆心为(3,5)，半径为5，解得=4t -或=54t -，…………………………7分 所以l '的方程为344=0x y +-或3454=0x y +-，即314y x =-+或32742y x =-+． 又将直线l 的方程化为3342y x =--， 所以35=1()22m --=或273=()1522m --=．…………………………10分23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】解： (Ⅰ)由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，所以1122m m x ---+≤≤．……2分 不等式的整数解为－3，则11322m m ---+≤-≤，解得57m ≤≤． 又不等式仅有一个整数解－3，∴6m =．……………………4分(Ⅱ)因为()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，故1()()02f xg x ->，所以213a x x <-++对任意x ∈R 恒成立．……………………5分设()213h x x x =-++，则313()531311x x h x xx x x ⎧--≤-⎪=--<≤⎨⎪+>⎩……………7分 作出()h x 图象得出当1x =时，()h x 取得最小值4， 故4a <时，函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方， 即实数a 的取值范围是(,4)-∞．……………………10分。
河南省许昌、新乡、平顶山市高三数学第二次调研考试试
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学第二次调研考试试题理（扫描版）理科数学参考答案1-6 ADCBDD 7-12 ADBCCD 13．π3 14．47 15．91016．(117．解：（Ⅰ）由题意，411211256426a db q a d b q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩， ………………2分代入得422235624326d q d q ⎧++⋅=⎨++⋅=⎩，消d 得422280q q --=， ………………3分 22(27)(4)0q q +-=，Q {}n b 是各项都为正数的等比数列，2q ∴=所以3d =，131,32n n n a n b -∴=-=⋅ ………………6分………………8分所以n c 最小值为11c =， ………………9分 所以232x x -+≤，解得 2,x ≥或1x ≤所以(,1][2,)x ∈-∞+∞U . ………………12分18.解：（1）………………………2分K 2=100×(50×15-25×10)275×25×40×60≈5.556 ……………4分由于K 2>3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关……6分 （2）设第i 组的频率为P i（i=1,2,…,8),则由图可知：P 1=13000×30=1100，P 2=1750×30=4100 ，P 3=1300×30=10100，可得：第①组1人，第②组4人，第③组10人。
………8分 则X 的所有可能取值为0,1,2,3，3510315()(0,1,2,3),i iC C P X i i C -===0351031524(0)91C C P X C ∴=== 12213051051051033315151545202(1),(2),(3)919191C C C C C C P X P X P X C C C =========…..10分 X ∴的分布列为：()0123191919191E X =⨯+⨯+⨯+⨯= (或由X 服从超几何分布，5()31)15E X ∴=⨯=……………..12分19. 解：不妨设正三角形ABC 的边长为 3 .(1)在图5中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵AE :EB=CF :FA=1:2，∴AF=AD=2，而∠A=600,∴△ADF 是正三角形， 又AE=DE=1，∴EF ⊥AD在图6中，A 1E ⊥EF ，BE ⊥EF ，∴∠A 1EB 为二面角A 1-EF-B 的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角，∴A 1E ⊥BE．……………………….3分 又BE∩EF=E，∴A 1E ⊥平面BEF ，即A 1E ⊥平面BEP ……………………..4分 (2)建立分别以EB 、EF 、EA 1为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系，则E(0,0,0),A 1(0,0,1), 则1(0,0,1)A E =-u u u r,1(2,0,1),(1A B BP =-=-u u u r u u u r(1,PE =-u u u r．设平面A 1BP 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，由1n ⊥u r平面ABP 知，111,n A B n BP ⊥⊥u ru u u r ur u u u r ，即111120,0.x z x -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 令1x =111,y z ==1n =u r．……..8分设平面A 1PE 向量为2222(,,)n x y z =u u r．由2n ⊥u u r 平面A 1PE 知，212,n A E n PE ⊥⊥u u r u u ur u u r u u u r ，即 可得21,0)n =-u u r． 1211121cos ,4||||n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u r ur u u r , 所以二面角B-A 1P-E 余弦值是14………………………………12分20.解：（1）(0,)2p F 当l 的倾斜角为45o 时，l 的方程为2py x =+ 设1122(,),(,)A x y B x y 222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得2220x px p --=1212122,3x x p y y x x p p +=+=++= 得AB 中点为3(,)2D p p …………3分 AB 中垂线为3()2y p x p -=-- 0x =代入得552y p == 2p ∴=……6分 （2）设l 的方程为2P y kx =+，代入22x py =得2220x Pkx P --=21212()222AB y y P k x x P Pk P =++=++=+ AB 中点为2(,)2PD Pk Pk +令2MDN ∠=α 122S AB AB =α⋅=α⋅ S AB ∴=α…………8分 D 到x 轴的距离22PDE Pk =+22212cos 11222PPk DE Pk P k AB +α===-++…………10分 当20k =时cos α取最小值12α的最大值为3π 故S AB 的最大值为3π.……………………12分21. 解：（1）2222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x--++--+--'=--==（x ＞0）…1分 令[]()(1)(1)g x ax a x =----当0a =时，()1g x x =-，x ∈（1，+∞）时，g （x ）＞0⇒()f x '＞0⇒f （x ）单调递增，a ＜0时，由x ＞0，得(1)ax a --＜0，所以x ∈（1，+∞）时，g （x ）＞0⇒()f x '＞0⇒f（x ）单调递增，当a ＞0时，1()()(1)a g x a x x a -⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦，若11a a -=，则12a = 当0＜a ＜12 ， x ∈(1， 1aa- )，()f x '＞0，()f x 单调递增，当a=12 ，f （x ）在（0，+∞）上无递增区间， 当12＜a ≤1时，x ∈( 1a a- ，1)，f ′(x)＞0， ()f x 单调递增， 当a ＞1时，x ∈（0，1）时，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增.a ＞1时, 单调递增区间为（0，1）.…………5分①当11,32a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1121a a a a ---=＞0，于是(0,1)x ∈和1(,)a x a -∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减；1(1,)a x a -∈时，()0,()f x f x '>单调递增；又因为12,aa-<要对任意实数[]2,3t ∈，当(]0,x t ∈时，函数()f x 的最小值为(),f t 只需要(2)(1),f f ≤即1ln 221222a a a --++≤-+，解得112ln 2 1.2ln 21,2ln 21;22a a ≥-≥-∴-≤<Q ……………………7分ln (1)1ln 221ln ln 2;222a a a a a a --+-++⇔+＋≥≥＋………10分综上所述：[)2ln 21,1a ∈-。
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．274．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．35．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．66．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．138．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．159．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x|＞﹣1}，集合B＝{x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【解答】解：由＞﹣1＝，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A＝{x|＞﹣1}＝（﹣1，1），∴∁R A＝（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B＝{x|1＜3x＜9}＝（0，2），∴（∁R A）∩B＝[1，2）．故选：B．2．（5分）实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1B．﹣5C．﹣1D．﹣i【解答】解：＝＝为实数，∴＝0，解得a＝﹣2．∴实数＝﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．（5分）等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81B．81C．﹣81D．27【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2＝9，a5＝243，∴243＝9×q3，解得q＝3．又a1•a7＝，∴a1与a7的等比中项为±a4＝±＝±9×32＝±81．故选：A．4．（5分）以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40＝20；故①错误，②线性回归直线＝x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1＝0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率＝圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P＝0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故选：C．5．（5分）已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3＝0，则＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：＝＝；∴，∴，∴．故选：A．6．（5分）由曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y＝x2﹣2x与直线x+y＝0所围成的封闭图形的面积为＝（）＝故选：D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S＝++…+的值，∵S＝++…+＝＝1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1＝12，∴输出n＝12．故选：C．8．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12B．13C．14D．15【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12＝＝6（a6+a7）＞0，S13＝＝13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．（5分）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2B．8C．D．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1∴该四面体的体积V＝23﹣＝．故选：C．10．（5分）设当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【解答】解：∵当x＝θ时，函数f（x）＝2cos x﹣3sin x＝（cos x﹣sin x）＝﹣（﹣cos x+sin x）＝﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ＝﹣，sinθ＝）取得最小值，则tanθ＝＝﹣，故选：C．11．（5分）已知双曲线﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±3x B．y＝±2x C．y＝±（+1）x D．y＝±（﹣1）x【解答】解：∵过F1作圆x2+y2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|＝|CF2|，∴|BF1|＝2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x＝，y＝∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b＝（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y＝±（+1）x，故选：C．12．（5分）定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]＝0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe x是定值，不妨令t＝f（x）﹣xe x，则f（x）＝xe x+t，又f（t）＝te t+t＝0，解得t＝0，所以有f（x）＝xe x，所以f′（x）＝（x+1）e x，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）﹣x＝xe x﹣（x+1）e x﹣x＝﹣e x﹣x，可得F（﹣1）＝1﹣＞0，F（﹣）＝﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）＝x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）若函数f（x）＝奇函数，则a的值为﹣2．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|＝2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）＝﹣f（x）；即；∴2+x+a＝﹣（2﹣x+a）；∴2+a＝﹣2﹣a；∴a＝﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）若x，y满足约束条件，则的最小值为．【解答】解：＝1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+＝．故答案为．15．（5分）4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×＝，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4＝4+，故答案为：4+．16．（5分）已知数列{a n}的通项公式a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．【解答】解：∵a n＝n22n，则数列{a n}的前n项和S n＝2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n＝22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n＝2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n＝22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n＝2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1＝﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1＝（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n＝（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n＝（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1＝（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n＝（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c＝1+，求△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sin A+sin B＝（cos A+cos B）sin C，所以由正、余弦定理，得a+b＝c…（2分）化简整理得（a+b）（a2+b2）＝（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2＝c2…（4分）故△ABC为直角三角形，且∠C＝90°…（6分）（Ⅱ）解：因为a+b+c＝1+，a2+b2＝c2，所以1+＝a+b+≥2+＝（2+）•当且仅当a＝b时，上式等号成立，所以≤．…（8分）故S△ABC＝ab≤×≤…（10分）即△ABC面积的最大值为…（12分）18．（12分）如图，P A⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP ＝2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【解答】解：以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面P AB，∴是平面P AB的一个法向量，＝（0，2，0）．∵＝（1，1，﹣2），＝（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为＝（x，y，z），则•＝0，•＝0，即，令y＝1，解得z＝1，x＝1．∴＝（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞＝＝，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵＝（﹣1，0，2），设＝λ＝（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又＝（0，﹣1，0），则＝+＝（﹣λ，﹣1，2λ），又＝（0，﹣2，2），∴cos＜，＞＝＝，设1+2λ＝t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞＝＝≤，当且仅当t＝，即λ＝时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y＝cos x在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP＝＝，∴BQ＝BP＝19．（12分）某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P＝＝…（4分）（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）•＝，P（ξ＝1）＝••＝，P（ξ＝2）＝••＝，P（ξ＝3）＝•+•••+•••＝…（8分）随机变量ξ的分布列为…．（10分）随机变量ξ的均值为E（ξ）＝×0+×1+×2+×3＝…（12分）20．（12分）如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足＝2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|＝4，长轴长为6，∴由题意知2a＝6，2c＝4，∴a＝3，c＝2，∵，∴b2＝5…（2分）∴椭圆方程为…（4分）（Ⅱ）设直线AF1的方程为y＝k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…（6分）∵，∴y1＝﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（8分）（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…（10分）＝∴四边形AA1B1B的面积为．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足＝，且a1＝，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max＝f（1）＝0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）＝mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）＝2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）＝，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min＝t（1）＝﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由＝＝•+得：＝，又，知，＝，即有a n＝．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）＝＝ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n＝a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]＝ln（2n+1）﹣ln（20+1）＝，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB＝6，P A＝4，OP＝3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA＝CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA＝r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…（2分）又OP＝3，Rt△OFP中，OF2＝OP2﹣FP2＝9﹣2＝7，…（4分）Rt△OAF中，，…（6分）∴r＝5证明：（Ⅱ）∵CA＝CB，∴∠CAD＝∠B又∵∠B＝∠E，∴∠CAD＝∠E…（8分）∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l 的极坐标方程为ρcos（+θ）＝6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max＝9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）＝|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a＝﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…（2分）当时，，得，所以成立．…（4分）当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（6分）（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|＝|a﹣1|，∴f（x）＝|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…（8分）由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…（10分）。
河南省许昌、新乡、平顶山市高三数学下学期第三次模拟考试试题 理(扫描版)(1)
河南省许昌、新乡、平顶山市2016届高三数学下学期第三次模拟考试试题理（扫描版）平顶山许昌新乡2016届高三第三次调研考试理科数学答案一．选择题：(每小题5分）(1)C (2)A (3)C (4)D (5)B (6)A (7)D (8)A (9)D (10)C (11)C (12)D 二．填空题：(每小题5分）(13) [3,0]-，(14) 3，(15)1009， (16) 1(,2](1,]2-∞---U ． 三．解答题：(17)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵cos sin 3a b C B =+，∴sin sin cos sin 3A B C B C =，∴cos sin sin 3B C B C =，∴tan B =3B π∠=．∵2222cos b a c ac B =+-，∴2230c c --=， ∴3c =． (6)分（Ⅱ）∵2)2sin ())1cos(2)61266A C A C μππππ=---=--+-)cos(2)1)cos(2)163666A A A A π4ππππ=-+---=----2sin(2)13A π=--． …………10分∴由2sin(2)103A π--=，及62A ππ<<，可得4A π=． …………12分(18)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件A ，则1221()(1)(1)(1)23318P A =---=． ……………4分（II ）ξ的可能值得为0，1，2，3，4，5．4121(0)(1)(1),2348P ξ==--=g1344112121(1)(1)(1)(1),223238P C ξ==--+-=g g g g 22213441121127(2)()(1)(1)(1),22322324P C C ξ==--+-=g g g g g33222441121121(3)()(1)(1)()(1),2232233P C C ξ==--+-=g g g g g g4334121121(4)()(1)()(1),2322316P C ξ==-+-=g g g g4121(5)(),2324P ξ===g……………9分所以随机变量ξ的分布列如下：……………10分故117131801234548824316243E ξ=+++++=g g g g g g ．……………12分(19)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ，所以AD PE ⊥． 又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥．因为AD AB A =I ，所以PE ⊥平面ABCD ． (3)分由DA =AB =2，12BC AD =，可得BC =1．因为△PAB 是等边三角形，可求得PE =所以111(12)2332P ABCD ABCD V S PE -=⋅=⨯+⨯= …………6分（Ⅱ）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．则有(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --，，，． 设000(,,),F x y z PF PB =λu u u r u u u r，则)3,1,0()3,,(000--=-λz y x ，所以(0,)F -λ． …………7分设(,,x y z =）n 为平面DEF的法向量，(2,1,0),(0,),ED EF ==-λu u u r u u u r0,0,ED EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n200.x y y z +=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩，即）x 1y 2z ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，(1,∴=-n ． 又平面CDE的法向量为(0,0,1=）m ． …………10分∴1cos ,4m n ==，化简得23210λλ+-=． 解得1λ=-（舍去）或13λ=．所以存在点F ，且13PF PB = ． …………12分(20)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设点P 的坐标为(,)x y ，12=-， …………3分化简得：22184x y +=且x ≠±． 故动点P的轨迹E 的方程为22184x y +=且x ≠± ………… 5分（Ⅱ）设直线AB 的方程为(2)y k x =+，则直线CD 的方程为1(2)y x k=--． ………… 6分由22(2)184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(21)8880k x k x k +++-=． …………7分由韦达定理得：2122821k x x k -+=+，2122821k x x k -=+，所以，221)21k AB k +==+． …………9分同理可得CD =． ………… 10分所以22118AB CD +==． ………… 12分(21)（本小题满分12分）解：（Ⅰ）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+，1x >-，所以 1()111xh x x x -'=-=++． 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减． …………5分（Ⅱ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x xk x +<+-，所以ln 21x x xk x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-，则()()2ln 21x x g x x --'=-． 令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x-'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>， 所以函数()ln 21x x xg x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．所以()()()()()000000min001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--．所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k的最大值是5． ………… 12分(22)（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 证明：（Ⅰ）由已知条件得∠BAE =∠CAD ，∵∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴△ABE ∽△ADC ． (5)分（Ⅱ）∵△ABE ∽△ADC ，∴AB ADAE AC =，即AB ·AC =AD ·AE ． ∵△ABC 的面积S =12AB ·AC sin ∠BAC ，又S =12AD ·AE ，故AB ·AC sin ∠BAC = AD ·AE ，∴sin ∠BAC =1．因为∠BAC 是三角形的内角，所以∠BAC =90°． …………10分（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）当3απ=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ，解得1C 与2C 的交点为（1，0）与12⎛ ⎝⎭，． 所以，1C 被2C 截得的线段的长为1． ………… 5分（Ⅱ）将1C 的参数方程代入2C 的普通方程得22cos 0t t α+=，∴A 点对应的参数12cos 2t t t α+==-，∴A 点坐标为()2sin ,cos sin ααα-． 故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为：2sin ,sin cos x y ααα⎧=⎨=-⎩（α为参数）．因此，A 点轨迹的普通方程为2211()24x y -+=． 故A 点轨迹是以1(,0)2为圆心，半径为12的圆． ………… 10分(24)（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲解：（Ⅰ）当x <0时，原不等式可化为20x x -+<，解得0x >，又∵0x <，∴x 不存在；当102x ≤<时，原不等式可化为20x x --<，解得0x >，又∵102x ≤<，∴102x <<； 当12x ≥时，原不等式可化为211x x --<，解得2x <，又∵12x ≥，∴122x ≤<； 综上，原不等式的解为02x <<． ………… 5分（Ⅱ）∵22|()()||||||1|f x f a x x a a x a x a -<--+=-⋅+-|1||21|x a x a a <+-=-+-|||21|x a a ≤-+-1|2|12(||1)a a <++=+．∴|()()|2(||1)f x f a a -<+． ………… 10分。
河南省八市重点高中高考数学二模试卷(理科).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．274．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．66．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．138．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．159．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为______．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是______．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．2016年河南省八市重点高中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A={x|＞﹣1}，集合B={x|1＜3x＜9}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1]B．[1，2）C．（1，2）D．（0，1）【考点】指、对数不等式的解法；交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解对数不等式和指数不等式化简集合A，B，求出∁R A，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由＞﹣1=，得0＜x+1＜2，∴﹣1＜x＜1，则A={x|＞﹣1}=（﹣1，1），∴∁R A=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），又B={x|1＜3x＜9}=（0，2），∴（∁R A）∩B=[1，2）．故选：B．2．实数（a为实数）的共轭复数为（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣i【考点】复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．【解答】解：==为实数，∴=0，解得a=﹣2．∴实数=﹣1的共轭复数为﹣1．故选：C．3．等比数列{a n}中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A．±81 B．81 C．﹣81 D．27【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列的通项公式可得q．再利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比q，∵a2=9，a5=243，∴243=9×q3，解得q=3．又a1•a7=，∴a1与a7的等比中项为±a4=±=±9×32=±81．故选：A．4．以下四个命题中①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；④概率值为零的事件是不可能事件．其中真命题个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据系统抽样的定义进行判断，②根据回归直线的性质进行判断，③根据正态分布的概率关系进行判断，④根据概率和不可能事件的关系进行判断．【解答】解：①为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为800÷40=20；故①错误，②线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；正确，故②正确，③随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则在（1，2）内取值的概率为0.5﹣0.1=0.4，则在（2，3）内的概率为在（1，2）内取值的概率为0.4；故③正确，④不可能事件的概率为0，但概率值为零的事件是不可能事件不一定正确．比如在几何概型中，往圆形区域内随机扔石子扔到圆心的概率=圆心的面积除以圆的面积圆心面积为零，因此扔到圆心的概率P=0，但是扔到圆心也是可能发生的，不是不可能事件，故④错误，故故选：C5．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若﹣4+3=0，则=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法运算，及共线向量基本定理可得到：，所以便可得到，=3．【解答】解：==；∴，∴，∴．故选A．6．由曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先确定交点坐标，得到积分区间，确定被积函数，求出原函数，即可求得结论．【解答】解：由题意，曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0的交点坐标为（0，0），（1，﹣1）∴曲线y=x2﹣2x与直线x+y=0所围成的封闭图形的面积为=（）=故选D．7．执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】循环结构．【分析】算法的功能是求S=++…+，利用等比数列的前n项和公式即可求得满足条件S的最小的n值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S=++…+==1﹣≥⇒n≥11，∴跳出循环体的n值为11+1=12，∴输出n=12．故选：C．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＞S7＞S5，则满足S n＜0的正整数n的最小值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由于S6＞S7＞S5，可得：a7＜0，a6+a7＞0，判断S12，S13的符号即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S6＞S7＞S5，∴a7＜0，a6+a7＞0，∴S12==6（a6+a7）＞0，S13==13a7＜0，∴则满足S n＜0的正整数n的最小值为13．故选：B．9．某四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是（）A．2 B．8 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．利用正方体与三棱锥的体积计算公式即可得出．【解答】解：如图所示，该几何体为三棱锥A﹣CB1D1．∴该四面体的体积V=23﹣=．故选：C．10．设当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx取得最小值，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】三角函数的最值．【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为f（x）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=），根据当x=θ时，函数f（x）取最小值，可得tanθ的值．【解答】解：∵当x=θ时，函数f（x）=2cosx﹣3sinx=（cosx﹣sinx）=﹣（﹣cosx+sinx）=﹣cos（x﹣θ）（其中，cosθ=﹣，sinθ=）取得最小值，则tanθ==﹣，故选：C．11．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±3x B．y=±2x C．y=±（+1）x D．y=±（﹣1）x【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得∴x=，y=∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，∴双曲线的渐近线方程为y=±（+1）x，故选：C．12．定义在（﹣1，+∞）上的单调函数f（x），对于任意的x∈（﹣1，+∞），f[f（x）﹣xe x]=0恒成立，则方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（）A．（﹣1，﹣）B．（0，）C．（﹣，0）D．（）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，令t=f（x）﹣xe X，得出f（x）=xe X+t，再由f （t）=te t+t=0求出t的值，即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间，即得正确选项．【解答】解：由题意，可知f（x）﹣xe X是定值，不妨令t=f（x）﹣xe X，则f（x）=xe X+t，又f（t）=te t+t=0，解得t=0，所以有f（x）=xe X，所以f′（x）=（x+1）e X，令F（x）=f（x）﹣f′（x）﹣x=xe x﹣（x+1）e x﹣x=﹣e x﹣x，可得F（﹣1）=1﹣＞0，F（﹣）=﹣＜0即F（x）的零点在区间（﹣1，﹣）内∴方程f（x）﹣f′（x）=x的解所在的区间是（﹣1，﹣），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若函数f（x）=奇函数，则a的值为﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】可解1﹣x2＞0得到﹣1＜x＜1，从而有|x﹣2|=2﹣x，这便得到，而由f（x）为奇函数便有f（﹣x）=﹣f（x），这样即可得到2+x+a=﹣（2﹣x+a），从而可求出a的值．【解答】解：解1﹣x2＞0得，﹣1＜x＜1；∴|x﹣2|=2﹣x；∴；∵f（x）为奇函数；∴f（﹣x）=﹣f（x）；即；∴2+x+a=﹣（2﹣x+a）；∴2+a=﹣2﹣a；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．14．若x，y满足约束条件，则的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】做出不等式表示的平面区域，将化成1+，即求过点（1，﹣1）的直线斜率的最小值问题．【解答】解：=1+，做出平面区域如图：有图可知当过点（1，﹣1）的直线经过点C（4，0）时，斜率最小为，∴的最小值为1+=．故答案为．15．4个半径为1的球两两相切，该几何体的外切正四面体的高是4+．【考点】球的体积和表面积．【分析】把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．【解答】解：由题意知，底面放三个球，上再落一个球．于是把球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1，所以可知正四面体的高的最小值为（+1）×4=4+，故答案为：4+．16．已知数列{a n}的通项公式a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．【考点】数列的求和．【分析】两次利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a n=n22n，则数列{a n}的前n项和S n=2+22×22+32×23+…+n2•2n，∴2S n=22+22×23+…+（n﹣1）2•2n+n2•2n+1，∴﹣S n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n﹣n2•2n+1，设数列{（2n﹣1）•2n}的前n项和为T n，则T n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）×2n，2T n=22+3×23+…+（2n﹣3）×2n+（2n﹣1）×2n+1，∴﹣T n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）×2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）×2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴T n=（2n﹣3）•2n+1+6，∴﹣S n=（2n﹣3）•2n+1+6﹣n2•2n+1=（2n﹣3﹣n2）•2n+1+6，∴S n=（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．故答案为：（n2﹣2n+3）•2n+1﹣6．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC．（Ⅰ）求证：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）若a+b+c=1+，求△ABC面积的最大值．【考点】解三角形．【分析】（Ⅰ）由sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，利用正、余弦定理，得a+b=c，化简整理，即可证明：△ABC为直角三角形；（Ⅱ）利用a+b+c=1+，a2+b2=c2，根据基本不等式可得1+=a+b+≥2+=（2+）•，即可求出△ABC面积的最大值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，因为sinA+sinB=（cosA+cosB）sinC，所以由正、余弦定理，得a+b= c …化简整理得（a+b）（a2+b2）=（a+b）c2因为a+b＞0，所以a2+b2=c2…故△ABC为直角三角形，且∠C=90°…（Ⅱ）解：因为a+b+c=1+，a2+b2=c2，所以1+=a+b+≥2+=（2+）•当且仅当a=b时，上式等号成立，所以≤．…=ab≤×…故S△ABC即△ABC面积的最大值为…18．如图，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD=AE=AP=2．（Ⅰ）求二面角A﹣PE﹣D的余弦值；（Ⅱ）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．【考点】用空间向量求平面间的夹角；二面角的平面角及求法．【分析】以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，由题意可得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）易得=（0，2，0）是平面PAB的一个法向量，待定系数可求平面PED的法向量为坐标，由向量的夹角公式可得；（Ⅱ）设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），由夹角公式和二次函数的值域以及余弦函数的单调性可得．【解答】解：以{，， }为正交基底建立空间直角坐标系Axyz，则各点的坐标为B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）（Ⅰ）∵AD⊥平面PAB，∴是平面PAB的一个法向量，=（0，2，0）．∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2）．设平面PED的法向量为=（x，y，z），则•=0，•=0，即，令y=1，解得z=1，x=1．∴=（1，1，1）是平面PCD的一个法向量，计算可得cos＜，＞==，∴二面角A﹣PE﹣D的余弦值为；（Ⅱ）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），又=（0，﹣2，2），∴cos＜，＞==，设1+2λ=t，t∈[1，3]，则cos2＜，＞==≤，当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为．因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值，又∵BP==，∴BQ=BP=19．某农庄抓鸡比赛，笼中有16只公鸡和8只母鸡，每只鸡被抓到的机会相等，抓到鸡然后放回，若累计3次抓到母鸡则停止，否则继续抓鸡直到第5次后结束．（Ⅰ）求抓鸡3次就停止的事件发生的概率；（Ⅱ）记抓到母鸡的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其均值．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，由此能求出抓鸡3次就停止的事件发生的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及其均值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为，抓鸡3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P==…（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）•=，P（ξ=1）=••=，P（ξ=2）=••=，P（ξ=3）=•+•••+•••=…随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P…．随机变量ξ的均值为E（ξ）=×0+×1+×2+×3=…20．如图，F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，又A，B分别是椭圆C上位于x轴上方的两点，且满足=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求直线AF1的方程；（Ⅲ）求平行四边形AA1B1B的面积．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线AF1的方程．（Ⅲ）由，利用弦长公式能求出四边形AA1B1B的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2是椭圆C：的左、右两个焦点，|F1F2|=4，长轴长为6，∴由题意知2a=6，2c=4，∴a=3，c=2，∵，∴b2=5…∴椭圆方程为…（Ⅱ）设直线AF1的方程为y=k（x+2），且交椭圆于A（x1，y1），A1（x2，y2）两点．由题意知，即，△＞0，，①，，②…∵，∴y1=﹣2y2③联立①②③消去y1y2，得．∴直线AF1的方程为…（Ⅲ）∵AA1B1B是平行四边形，∴…=∴四边形AA1B1B的面积为．…21．已知函数f（x）=1﹣x+lnx（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）对任意的x1，x2∈（0，+∞）且x2＜x1是否存在实数m，使得﹣﹣x1lnx1+x2lnx2＞0恒成立；若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由：（Ⅲ）若正数数列{a n}满足=，且a1=，数列{a n}的前n项和为S n，试比较2与2n+1的大小并加以证明．【考点】数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，单调区间，可得f（x）的最大值为f（1）；（Ⅱ）由题意可得恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，求得导数，令导数小于等于0恒成立，运用参数分离和构造函数法，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到所求m的范围；（Ⅲ）结论：＞2n+1．运用构造数列法和等比数列的通项公式，可得a n=．运用对数的运算性质和放缩法，结合裂项相消求和，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：．当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，因此，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减．所以f（x）max=f（1）=0，即函数f（x）的最大值为0；（Ⅱ）若恒成立，则恒成立，设φ（x）=mx2+xlnx，又0＜x2＜x1，则只需ϕ（x）在（0，+∞）上单调递减，故ϕ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得：2m≤，记t（x）=，则，于是可知t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，故[t（x）]min=t（1）=﹣1，因此存在m≤，使恒成立；（Ⅲ）由==•+得：=，又，知，=，即有a n=．结论：＞2n+1．证明如下：因为a n∈（0，1），由（1）知x＞0时x﹣1＞lnx，则x＞﹣1时x＞ln（x+1）．所以a n＞ln（a n+1）==ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）故S n=a1+a2+…+a n＞[ln（21+1）﹣ln（20+1）]+[ln（22+1）﹣ln（21+1）]…[ln（2n+1）﹣ln（2n﹣1+1）]=ln（2n+1）﹣ln（20+1）=，即＞2n+1．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点．（Ⅰ）若AB=6，PA=4，OP=3，求⊙O的半径；（Ⅱ）若C是圆O上一点，且CA=CB，线段CE交AB于D．求证：△CAD～△CEA．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接OA，设OA=r，取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，利用勾股定理求出⊙O的半径；（Ⅱ）利用CA=CB，得出∠CAD=∠B，利用三角形相似的判定定理证明：△CAD～△CEA．【解答】解：（Ⅰ）连接OA，设OA=r取AB中点F，连接OF，则OF⊥AB，∵，∴，∴．…又OP=3，Rt△OFP中，OF2=OP2﹣FP2=9﹣2=7，…Rt△OAF中，，…∴r=5证明：（Ⅱ）∵CA=CB，∴∠CAD=∠B又∵∠B=∠E，∴∠CAD=∠E…∵∠ACE为公共角，∴△CAD∽△CEA…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点O为起点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知点P的极坐标为（2，﹣），直线l的极坐标方程为ρcos（+θ）=6．（Ⅰ）求点P到直线l的距离；（Ⅱ）设点Q在曲线C上，求点Q到直线l的距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）把点P与直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可得出．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，利用点到直线的距离公式及其三角函数的和差公式及其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）点的直角坐标为，即．由直线l，得．则l的直角坐标方程为：，点P到l的距离．（Ⅱ）可以判断，直线l与曲线C无公共点，设，则点Q到直线的距离为，∴当时，d max=9．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x+a|﹣|x+1|．（Ⅰ）当a=﹣时，解不等式：f（x）≤2a；（Ⅱ）若对任意实数x，f（x）≤2a都成立，求实数a的最小值．【考点】带绝对值的函数．【分析】（Ⅰ）对x讨论，分x≤﹣1，当时，当时去掉绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；（Ⅱ）运用绝对值表达式的性质，可得f（x）的最大值，即有|a﹣1|≤2a，解出a的范围，可得a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，不等式化为：，当x≤﹣1时，，得，所以x∈Φ．…当时，，得，所以成立．…当时，，得≤0，所以成立．综上，原不等式的解集为…（Ⅱ）∵|x+a|﹣|x+1|≤|（x+a）﹣（x+1）|=|a﹣1|，∴f（x）=|x+a|﹣|x+1|的最大值为|a﹣1|…由题意知：|a﹣1|≤2a，即﹣2a≤a﹣1≤2a，解得：a≥，所以实数a的最小值为…2016年10月4日。
高考数学第二次大联考模拟试卷 理(含解析)
2016年全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．16．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．27．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BAD=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．6411．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin ∠BAD= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．20．已知椭圆C： +=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A 与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．2016年全国第二次大联考高考数学模拟试卷（新课标Ⅰ）（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}，B={y|y=|x|﹣3，x∈A}，则A∩B等于（）A．{x|0＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|﹣2＜x＜0} D．{x|﹣3＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣x﹣6＜0，x∈R}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），B={y|y=|x|﹣3，x∈A}=[﹣3，0），则A∩B=（﹣2，0），故选：C．2．命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为（）A．∃x0∈R，不等式成立B．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＜0成立C．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立D．∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1＞0成立【考点】全称命题；特称命题．【分析】利用命题的否定定义即可得出．【解答】解：∵命题p：∃x0∈R，不等式成立，则p的否定为：∀x∈R，不等式cosx+e x﹣1≥0成立．故选：C．3．在复平面内复数的模为，则复数z﹣bi在复平面上对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的混合运算；复数求模．【分析】求出b的值，从而求出z﹣bi对应的点所在的象限即可．【解答】解： ===+i，故|z|==，解得：b=6，∴z=﹣1+5i，∴z﹣bi=﹣1+5i﹣6i=﹣1﹣i，故复数z﹣bi在复平面上对应的点在第三象限，故选：C．4．我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书，这就是历来被尊为算经之首的《九章算术》，其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？其意思是：含有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？若π取3，估算小城堡的体积为（）A．1998立方尺B．2012立方尺C．2112立方尺D．2324立方尺【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr=48，∴r=≈8尺．又城堡的高h=11尺，∴城堡的体积V=πr2h=π×64×11≈2112立方尺．故选：C．5．cos54°+cos66°﹣cos6°=（）A．0 B．C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用和差化积公式，诱导公式化简已知即可计算求值．【解答】解：cos54°+cos66°﹣cos6°=2cos cos﹣cos6°=2cos60°cos（﹣6°）﹣cos6°=cos6°﹣cos6°=0．故选：A．6．已知双曲线=1（a＞b＞0）与两条平行直线l1：y=x+a与l2：y=x﹣a相交所得的平行四边形的面积为6b2．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】将直线y=x+a代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，再由两平行直线的距离公式，结合平行四边形的面积公式，化简整理，运用双曲线的离心率公式，计算即可得到所求值．【解答】解：由y=x+a代入双曲线的方程，可得（b2﹣a2）x2﹣2a3x﹣a4﹣a2b2=0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，x1x2=，由弦长公式可得|AB|=•=•=2•，由两平行直线的距离公式可得d=，由题意可得6b2=2••，化为a2=3b2，又b2=c2﹣a2，可得c2=a2，即e==．故选：B．7．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB=4，AB∥CD，∠BA D=45°，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，若在方向上的投影为，则=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立平面直角坐标系，从而利用平面向量的坐标表示化简即可．【解答】解：建立如右图所示的平面直角坐标系，∵，∠BAD=45°，∴设D（x，x），（x＞0），则C（4﹣x，x），G（2，x），E（2，0），F（，），故=（2﹣，），所以在方向上的投影为==，即=，解得，x=1；故CD=4﹣2=2，故=2，故选：B．8．如图所示，函数离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则f（x）=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，令y=0，求出点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，再令y=1，求出点（，1）在函数f（x）的图象上，从而求出φ与ω的值，即可得出f（x）的解析式．【解答】解：根据题意，函数f（x）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线上，令y=0，得﹣x2+x+1=0，解得x=﹣或x=1；∴点（﹣，0）在函数f（x）的图象上，∴﹣ω+φ=0，即φ=ω①；又令ωx+φ=，得ωx=﹣φ②；把①代人②得，x=﹣③；令y=1，得﹣x2+x+1=1，解得x=0或x=；即﹣=，解得ω=π，∴φ=ω=，∴f（x）=sin（x+）．故选：C．9．某程序框图如图所示，若输出S=，则判断框中M为（）A．k＜7？B．k≤6？C．k≤8？D．k＜8？【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=2；第二次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=3；第三次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=4；第四次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=5；第五次执行循环体，S=1，不满足结束循环的条件，故k=6；第六次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=7；第七次执行循环体，S=，不满足结束循环的条件，故k=8；第八次执行循环体，S=，满足结束循环的条件，故退出的循环的条件，应为：k＜8？，故选：D10．已知（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，则（a﹣bx）5展开式所有项系数之和为（）A．﹣1 B．1 C．32 D．64【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意可得ab的方程，解得ab令x=1计算可得．【解答】解：∵（a﹣bx）5的展开式中第4项的系数与含x4的系数分别为﹣80与80，∴a2（﹣b）3=﹣80， a（﹣b）4=80，解得a=1，b=2∴（a﹣bx）5=（1﹣2x）5，令x=1可得（1﹣2x）5=﹣1，∴展开式所有项系数之和为﹣1，故选：A．11．如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的三视图，其体积为，则圆锥的母线长为（）A．B．C．4 D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由三视图求出圆锥母线，高，底面半径．进而求出锥体的底面积，代入锥体体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，圆锥母线l，圆锥的高h==2，圆锥底面半径为r=，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分为S=πr2+r2sin120°=（l2﹣4）+（l2﹣4），因为几何体的体积为V=Sh=，所以S=π+，所以（l2﹣4）+（l2﹣4）=π+，解得l=2故选：A12．已知关于x的方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，则实数a的值为（）A．1 B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】构造函数g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，将方程有唯一解，转化为g（x）=0有唯一解，即可求得a的值．【解答】解：由选项知a＞0，设g（x）=x2﹣2alnx﹣2ax，（x＞0），若方程x2﹣2alnx﹣2ax=0有唯一解，即g（x）=0有唯一解，则g′（x）=2x﹣﹣2a=，令g′（x）=0，可得x2﹣ax﹣a=0，∵a＞0，x＞0，∴x1=（另一根舍去），当x∈（0，x1）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x1）上是单调递减函数；当x∈（x1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x1，+∞）上是单调递增函数，∴当x=x2时，g′（x1）=0，g（x）min=g（x1），∵g（x）=0有唯一解，∴g（x1）=0，∴，∴，∴2alnx1+ax1﹣a=0∵a＞0，∴2lnx1+x1﹣1=0，设函数h（x）=2lnx+x﹣1，∵x＞0时，h（x）是增函数，∴h（x）=0至多有一解，∵h（1）=0，∴方程2lnx1+x1﹣1=0的解为x1=1，即x1==1，∴，∴当a＞0，方程f（x）=2ax有唯一解时a的值为．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数为偶函数，则实数a= ﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义，结合奇函数f（0）=0进行求解即可．【解答】解：函数的定义域为R，若函数f（x）是偶函数，则g（x）=e x+是奇函数，则f（0）=0，即f（0）=1+a=0，则a=﹣1，故答案为：﹣1．14．已知F是抛物线y2=4x的焦点，过该抛物线上一点M作准线的垂线，垂足为N，若，则∠NMF= ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由，利用抛物线的定义可得：x M+1=，解得x M，代入抛物线方程可得：y M．可得：k MF=tan∠MFx，进而得出．【解答】解：∵，∴x M+1=，解得x M=．代入抛物线方程可得： =4×，解得y M=．取y M=．∴k MF==﹣=tan∠MFx，∴∠MFx=．则∠NMF=．故答案为：．15．已知实数x、y满足，则的取值范围是（﹣1，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】易知y=log2x在其定义域上是增函数，从而化为利用线性规划求+的取值范围．【解答】解：由题意作平面区域如下，，的几何意义是点（x，y）与点A（1，1）确定的直线的斜率，易知B（﹣1，0），故==， =﹣1，故﹣1＜≤，故＜+≤2，故﹣1＜log2（+）≤1，故答案为：（﹣1，1]．16．如图，已知点D在△ABC的BC边上，且∠DAC=90°，cosC=，AB=6，BD=，则ADsin ∠BAD= ．【考点】正弦定理．【分析】由已知及，可得AC=CD，由余弦定理可解得CD，进而可求AC，即可得解sinB，由正弦定理即可计算ADsin∠BAD=BDsinB的值．【解答】解：∵∠DAC=90°，=，可得：AC=CD，又∵AB=6，，∴在△ABC中，由余弦定理可得：36=（CD）2+（+CD）2﹣2×CD×（+CD）×，∴整理可得：CD2+2CD﹣90=0，解得：CD=3，AC=6，∵AB=AC=6，∴sinB=sinC==，∴在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠BAD=BDsinB=×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设S n是数列{a n}的前n项和，a n＞0，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，T n=b1+b2+…+b n，求证：．【考点】数列的求和．【分析】（1）通过与S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3）作差，进而可知数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）裂项可知b n=（﹣），进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：∵，S n﹣1=a n﹣1（a n﹣1+3），∴a n= [+3a n﹣（+3a n﹣1）]，整理得：﹣=3（a n+a n﹣1），又∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，又∵a1=a1（a1+3），即a1=3或a1=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为3的等差数列，∴其通项公式a n=3n；（2）证明：由（1）可知==（﹣），∴T n=b1+b2+…+b n=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱）中，BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．（1）求证：平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）设D为AC的中点，求平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C，由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1，故BC1⊥平面A1B1C，从而平面ABC1⊥平面A1B1C；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∵BC1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BC1，又∵AB∥A1B1，∴A1B1⊥BC1，又A1B1⊂平面平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1B1C，又BC1⊂平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面A1B1C．（2）∵BC=CC1=1，AC=2，∠ABC=90°．∴AB=，建立以B为坐标原点，BC，BA，BB1分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则B（0，0，0），C（1，0，0），B1（0，0，1），A（0，，0），C1（1，0，1），D（，，0），设平面ABC1的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（0，，0），则•=x+z=0，•=y=0，令x=1，则z=﹣1，y=0，即平面ABC1的法向量为， =（1，0，﹣1），设平面C1BD的法向量为=（x，y，z），则=（1，0，1），=（，，0），则•=x+z=0，•=x+y=0，令y=1，则x=﹣，z=，即平面C1BD的法向量为， =（﹣，1，），则====﹣则平面ABC1与平面C1BD所成锐角的余弦值是．19．广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物，其兼具文化性和社会性，是精神文明建设成果的一个重要指标和象征.2015年某高校社会实践小组对某小区跳广场舞的人的年龄进行了凋查，随机抽取了40名广场舞者进行调查，将他们年龄分成6段：[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数；（2）求40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值；（3）若从年龄在[20，40）中的广场舞者中任取2名，求这两名广场舞者年龄在[30，40）中的人数X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图先求出年龄分布在[40，70）的频率，由此能求出在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数．（2）利用频率分布图能求出40名广场舞者年龄的中位数和平均数的估计值．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（1）由频率分布直方图得年龄分布在[40，70）的频率为（0.020+0.030+0.025）×10=0.75，∴在40名广场舞者中年龄分布在[40，70）的人数为：40×0.75=30（人）．（2）年龄分布在[20，50）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10=0.35，年龄分布在[50，60）的频率为0.3，∴中位数为：50+=55．平均数的估计值为：25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+65×0.25+75×0.1=54．（3）从年龄在[20，40）中的广场舞者有（0.005+0.010）×10×40=6人，其中年龄在[20，30）中的广场舞者有2人，年龄在[30，40）中的广场舞者有4人，∴X的可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2PEX==．20．已知椭圆C： +=1（α＞b＞0）的右焦点到直线x﹣y+3=0的距离为5，且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）在x轴上是否存在点Q，使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值？若存在，请求出定值，并求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用点到直线的距离公式，以及两点的距离公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，化简整理，再由同角的平方关系，解方程可得m，即可判断存在Q．【解答】解：（1）右焦点F（c，0）到直线x﹣y+3=0的距离为5，可得=5，解得c=2，由题意可得a2+b2=10，又a2﹣b2=8，解得a=3，b=1，即有椭圆方程为+y2=1；（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值．设过Q的直线的参数方程为（t为参数），代入椭圆方程x2+9y2=9，可得t2（cos2α+9sin2α）+2mcosα•t+m2﹣9=0，可得△=（2mcosα）2﹣4（cos2α+9sin2α）（m2﹣9）＞0，t1t2=，t1+t2=﹣，则+=+==，=为定值，即有2（m2+9）=18（9﹣m2），解得m=±，代入判别式显然成立．故在x轴上存在点Q（±，0），使得过Q的直线与椭圆C交于A、B两点，且满足+为定值10．21．已知函数f（x）=2ax2+bx+1（e为自然对数的底数）．（1）若，求函数F（x）=f（x）e x的单调区间；（2）若b=e﹣1﹣2a，方程f（x）=e x在（0，1）内有解，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】（1）若a=，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）根据函数与方程之间的关系转化为函数存在零点问题，构造函数，求函数的导数，利用函数极值和函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：（1）若a=，F（x）=（x2+bx+1）e x，则F′（x）=（2x+b）e x+（x2+bx+1）e x=[x2+（b+2）x+b+1]e x=（x+1）[x+（b+1）]e x，由F′（x）=0得（x+1）[x+（b+1）]=0，即x=﹣1或x=﹣（b+1），①若b+1=1，即b=0时，F′（x）=（x+1）2e x≥0，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，+∞），②若﹣（b+1）＜﹣1，即b＞0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，即x＞﹣1或x＜﹣（b+1），此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣（b+1）），（﹣1，+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，即﹣（b+1）＜x＜﹣1，此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣（b+1），﹣1），③若﹣（b+1）＞﹣1，即b＜0时，由F′（x）＞0得（x+1）[x+（b+1）]＞0，解得：x＞﹣（b+1）或x＜﹣1，此时函数单调递增，单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣（b+1），+∞），由F′（x）＜0得（x+1）[x+（b+1）]＜0，解得：﹣1＜x＜﹣（b+1），此时函数单调递减，单调递减区间为（﹣1，﹣（b+1））；（2）方程f（x）=e x在（0，1）内有解，即2ax2+bx+1=e x在（0，1）内有解，即e x﹣2ax2﹣bx﹣1=0，设g（x）=e x﹣2ax2﹣bx﹣1，则g（x）在（0，1）内有零点，设x0是g（x）在（0，1）内的一个零点，则g（0）=0，g（1）=0，知函数g（x）在（0，x0）和（x0，1）上不可能单调递增，也不可能单调递减，设h（x）=g′（x），则h（x）在（0，x0）和（x0，1）上存在零点，即h（x）在（0，1）上至少有两个零点，g′（x）=e x﹣4ax﹣b，h′（x）=e x﹣4a，当a≤时，h′（x）＞0，h（x）在（0，1）上递增，h（x）不可能有两个及以上零点，当a≥时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1）上递减，h（x）不可能有两个及以上零点，当＜a＜时，令h′（x）=0，得x=ln（4a）∈（0，1），则h（x）在（0，ln（4a））上递减，在（ln（4a），1）上递增，h（x）在（0，1）上存在最小值h（ln（4a））．若h（x）有两个零点，则有h（ln（4a））＜0，h（0）＞0，h（1）＞0，h（ln（4a））=4a﹣4aln（4a）﹣b=6a﹣4aln（4a）+1﹣e，＜a＜，设φ（x）=x﹣xlnx+1﹣x，（1＜x＜e），则φ′（x）=﹣lnx，令φ′（x）=﹣lnx=0，得x=，当1＜x＜时，φ′（x）＞0，此时函数φ（x）递增，当＜x＜e时，φ′（x）＜0，此时函数φ（x）递减，则φ（x）max=φ（）=+1﹣e＜0，则h（ln（4a））＜0恒成立，由h（0）=1﹣b=2a﹣e+2＞0，h（1）=e﹣4a﹣b＞0，得＜a＜，当＜a＜时，设h（x）的两个零点为x1，x2，则g（x）在（0，x1）递增，在（x1，x2）上递减，在（x2，1）递增，则g（x1）＞g（0）=0，g（x2）＜g（1）=0，则g（x）在（x1，x2）内有零点，综上，实数a的取值范围是（，）．[选讲4-1：几何证明选讲]22．如图，过圆O外一点P作圆的切线PC，切点为C，割线PAB、割线PEF分别交圆O于A 与B、E与F．已知PB的垂直平分线DE与圆O相切．（1）求证：DE∥BF；（2）若，DE=1，求PB的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得，∠BED=∠BFE，∠BED=∠DEP，即可证得；（2）由切割线定理，勾股定理，即可计算解得答案．【解答】（1）证明：连接BE，∵DE与圆O相切，∴由弦切角定理可得，∠BED=∠BFE又∵DE垂直平分BP，∴∠BED=∠DEP∴∠BFE=∠DEP，∴DE∥BF；（2）解：由切割线定理，得 PC2=PE×PF=12，∵D为线段BP的中点，DE∥BF；∴PF=2PE，∴PF=2，∵DE=1，DE∥BF，PB的垂直平分线DE与圆O相切．∴DE为Rt△PBF的中位线，∴DE=2，在Rt△PBF中，由勾股定理，可得，PB=2．[选修4-4：极坐标系与参数方程]23．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合，若曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（2）设点Q（1，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求|QA|•|QB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对ρ=6cosθ+2sinθ两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线C的直角坐标方程，将直线的参数方程两式相加消元得出普通方程；（2）求出直线l的标准参数方程，代入曲线的普通方程，利用参数的几何意义得出．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ+2sinθ，∴ρ2=6ρcosθ+2ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．∵直线l的参数方程为（t为参数），∴x+y=3．即直线l的普通方程为x+y=3．（2）直线l的标准参数方程为，代入曲线C的普通方程得t2+3﹣5=0．∴|QA|•|QB|=|t1t2|=5．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数a，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，或或，解得：﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，即有f（x）的最大值为|a+6|，∴或，解得：a≥﹣．。
2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则a6＝（）A．10B．11C．12D．134．（5分）设a∈R，则“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105B．16C．15D．16．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，]C．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）D．[﹣，﹣1]7．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0．（a＞0，b＞0）被圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为4，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知双曲线﹣＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．3D．59．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）A．4B．C．7+D．5+2+10．（5分）已知点P是函数y＝sin（2x+θ）图象与x轴的一个交点，A，B为P点右侧同一周期上的最大值和最小值点，则•＝（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1 11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）将参加中国好声音的500名大众评委编号为001，002，…500，先用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽取的号码为003，那么抽中的20个样本编号由小到大排列，第5个号码是．14．（5分）已知向量＝（x﹣1，2），＝（4，y），若⊥，则点P（x，y）到原点的距离的最小值为．15．（5分）椭圆+＝1的左焦点F在x轴上，直线x＝m与椭圆交于点A，B，若△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．16．（5分）已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，y＝f（x）的导数为f′（x），且当x∈（﹣∞，0]时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对一切恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴所在的直线方程；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab＝2，且a＜b，求a，b的值．18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n＝a+b+c+d）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AMD；（Ⅱ）点E在线段DB上，且＝，求三棱锥M﹣ADE的体积．20．（12分）设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C、D两点，若，求k的值．21．（12分）设函数f（x）＝1nx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（1）当a＝时，求函数（x）的单调区间；（2）当x＞1时，若f（x）﹣x﹣a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ＝α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2；θ＝α﹣，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）＝|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）复数z＝，则＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z＝＝＝1﹣i的共轭复数＝1+i．故选：A．2．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B．∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）在等差数列{a n}中，a9＝a12+6，则a6＝（）A．10B．11C．12D．13【解答】解：在等差数列{a n}中，设首项为a1，公差为d，由a9＝a12+6，得：2a1+16d＝a1+11d+12，即a1+5d＝12．∴a6＝12．故选：C．4．（5分）设a∈R，则“a＝3”是“直线ax+2y+3a＝0和直线3x+（a﹣1）y＝a﹣7平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a＝3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9＝0和3x+2y+4＝0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a＝3或a＝﹣2，a＝﹣2时，两条直线都为x﹣y+3＝0，重合，舍去∴a＝3所以“a＝3”是“直线ax+2y+2a＝0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7＝0平行”的充要条件．故选：C．5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s的值为（）A．105B．16C．15D．1【解答】解：如图所示的循环结构是当型循环结构，它所表示的算式为s＝1×3×5×…×（2i﹣1）∴输入n的值为6时，输出s的值s＝1×3×5＝15．故选：C．6．（5分）已知实数x、y满足约束条件，则目标函数z＝的取值范围是（）A．[﹣，+∞）B．[﹣1，]C．（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）D．[﹣，﹣1]【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图目标函数z＝的几何意义为区域内的点与P（0，﹣2）的斜率，过B（﹣1，﹣1）与（0，﹣2）时斜率为＝﹣1，过C（2，﹣1）与（0，﹣2）时斜率为＝，结合图象可得目标函数z＝的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞），故选：C．7．（5分）若直线2ax﹣by+2＝0．（a＞0，b＞0）被圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为4，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由于（x+1）2+（y﹣2）2＝4，则圆心为（﹣1，2），半径为2，又由直线2ax﹣by+2＝0．（a＞0，b＞0）被圆（x+1）2+（y﹣2）2＝4截得的弦长为4，则直线2ax﹣by+2＝0（a＞0，b＞0）过圆心，即﹣2a﹣2b+2＝0，亦即a+b＝1，则＝．故选：D．8．（5分）已知双曲线﹣＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A．B．C．3D．5【解答】解：抛物线y2＝12x的焦点坐标为（3，0）∵双曲线的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合∴4+b2＝9∴b2＝5∴双曲线的一条渐近线方程为，即∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于故选：A．9．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（）A．4B．C．7+D．5+2+【解答】解：由三视图可知几何体是底面边长为2的正方形的四棱锥，棱锥的高为1，顶点在底面的射影为一边的中点，所以这个几何体的表面积是S＝2×2++2×+＝5+2+．故选：D．10．（5分）已知点P是函数y＝sin（2x+θ）图象与x轴的一个交点，A，B为P点右侧同一周期上的最大值和最小值点，则•＝（）A．﹣1B．﹣1C．﹣1D．﹣1【解答】解：点P是函数y＝sin（2x+θ）图象与x轴的一个交点，A，B为P点右侧同一周期上的最大值和最小值点，设点P，A，B的横坐标分别为a，b，c，则P（a，0）、A（b，1）、B（c，﹣1），且b﹣a＝＝＝，c﹣a＝＝＝，则•＝（b﹣a，1）•（c﹣a，﹣1）＝（b﹣a）（c﹣a）﹣1＝•﹣1＝﹣1，故选：C．11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：若MN∥平面DCC1D1，则|MN|＝＝即函数y＝f（x）的解析式为f（x）＝（0≤x≤1）其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增故选：C．12．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]【解答】解：①当x＝0时，f（x）＝1≥0，对于a∈R皆成立．②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3﹣3x+1≥0，∴，令g（x）＝，g′（x）＝＝，令g′（x）＝0，解得x＝．当0时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0．∴g（x）在x＝时取得最大值，g（）＝4，∴a≥4．③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）＝0，则ax3﹣3x+1≥0，∴a≤．令h（x）＝，则h′（x）＝≥0，∴h（x）在[﹣1，0）上单调递增，∴当x＝﹣1时，h（x）取得最小值，h（﹣1）＝4，∴a≤4．由①②③可知：若函数f（x）＝ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足，解得a＝4．∴a的取值范围为{4}．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）将参加中国好声音的500名大众评委编号为001，002，…500，先用系统抽样方法抽取一个容量为20的样本，若随机抽取的号码为003，那么抽中的20个样本编号由小到大排列，第5个号码是103．【解答】解：∵样本容量为20，首个号码为003，∴样本组距为500÷20＝25，∴对应的号码数为3+25（x﹣1）＝25x﹣22，当x＝5时，25×5﹣22＝103，即第5个数是103．故答案为：103．14．（5分）已知向量＝（x﹣1，2），＝（4，y），若⊥，则点P（x，y）到原点的距离的最小值为．【解答】解：∵⊥，∴•＝0，即4（x﹣1）+2y＝0，即2x+y﹣2＝0，则点P（x，y）到原点的距离的最小值为当P垂直直线时取得最小值，此时最小值为d＝＝，故答案为：．15．（5分）椭圆+＝1的左焦点F在x轴上，直线x＝m与椭圆交于点A，B，若△F AB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是．【解答】解：设椭圆的右焦点E．如图：由椭圆的定义得，△F AB的周长为AB+AF+BF＝AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）＝4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；∴△F AB的周长为AB+AF+BF＝4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△F AB的周长的最大值是4a＝12⇒a＝3；∴e＝＝＝．故答案：．16．（5分）已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，y＝f（x）的导数为f′（x），且当x∈（﹣∞，0]时，不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对一切恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．【解答】解：令F（x）＝xf（x），则F′（x）＝f（x）+xf'（x），当x∈（﹣∞，0]时，不等式f（x）+xf'（x）＜0成立，即F′（x）＜0，则F（x）在（﹣∞，0]为减函数，又由函数y＝f（x）为R上的奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），则F（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝xf（x）＝F（x），故F（x）在R上为偶函数；又由F（x）在（﹣∞，0]为减函数，则F（x）在[0，+∞）为增函数，若|a+1|f（|a+1|）≥sinθf（sinθ）对于一切θ∈[﹣，]恒成立，则有|a+1|≥|sinθ|对于一切θ∈[﹣，]恒成立，而当θ∈[﹣，]时，|sinθ|≤1，则必有|a+1|≥1成立，解可得，a≤﹣2或a≥0，即a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）；故答案为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）17．（12分）已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的对称轴所在的直线方程；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab＝2，且a＜b，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝2cos2x+sin2x＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+1，令2x+＝kπ+，求得x＝+，k∈Z，可得函数f（x）的图象对称轴所在的直线方程为：x＝+，k∈Z．（Ⅱ）在△ABC中，f（C）＝2sin（2C+）+1＝3，∴sin（2C+）＝1．再根据c＝1，ab＝2①，且a＜b，可得C不是最大角，故2C+＝，C＝．∴cos C＝＝，∴a2+b2＝7 ②．由①②求得a＝，b＝2．18．（12分）近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：（Ⅰ）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率；（Ⅲ）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2，你有多大的把握认为心肺疾病与性别有关？下面的临界值表供参考：（参考公式，其中n＝a+b+c+d）【解答】解：（I）在患心肺疾病的人群中抽6人，则抽取比例为＝，∴男性应该抽取20×＝4人…．（4分）（II）在上述抽取的6名学生中，女性的有2人，男性4人．女性2人记A，B；男性4人为c，d，e，f，则从6名学生任取2名的所有情况为：（A，B）、（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f）、（c，d）、（c，e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f）共15种情况，其中恰有1名女生情况有：（A，c）、（A，d）、（A，e）、（A，f）、（B，c）、（B，d）、（B，e）、（B，f），共8种情况，故上述抽取的6人中选2人，恰有一名女性的概率概率为P＝．…．（8分）（III）∵K2≈8.333，且P（k2≥7.879）＝0.005＝0.5%，那么，我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的．…．（12分）19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，将△ADM沿AM 折起，使得平面ADM⊥平面ABCM，E为BD中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面AMD；（Ⅱ）点E在线段DB上，且＝，求三棱锥M﹣ADE的体积．【解答】证明：（1）取AD的中点F，连接EF，MF，CE，则EF∥AB且EF＝AB．又MC∥AB且MC＝AB，∴EF∥MC，EF＝MC，∴四边形EFMC是平行四边形，∴CE∥MF，又CE⊄平面ADM，MF⊂平面ADM，∴CE∥平面ADM．（2）∵AD＝DM＝CM＝BC＝1，∠ADM＝∠BCM＝90°，∴AM＝BM＝，又AB＝2，∴AM2+BM2＝AB2，即AM⊥BM，又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM，∴BM⊥平面ADM，∴V B﹣ADM＝S△ADM•BM＝＝．∵＝，∴E为DB的中点，∴V M﹣ADE＝V E﹣ADM＝V B﹣ADM＝．20．（12分）设椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C、D两点，若，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）设F（﹣c，0），由＝，知a＝c．过点F且与x轴垂直的直线为x＝﹣c，代入椭圆方程有+＝1，解得y＝±，于是＝，解得b＝，又a2﹣c2＝b2，从而a＝，c＝1，所以椭圆的方程为+＝1．（Ⅱ）设点C（x1，y1），D（x2，y2），由F（﹣1，0）得直线CD的方程为y＝k（x+1），由方程组消去y，整理得（2+3k2）x2+6k2x+3k2﹣6＝0．根据根与系数的关系知x1+x2＝﹣，x1x2＝．因为A（﹣，0），B（，0），所以•+•＝（x1+，y1）•（﹣x2，﹣y2）+（x2+，y2）•（﹣x1，﹣y1）＝6﹣2x1x2﹣2y1y2＝6﹣2x1x2﹣2k2（x1+1）•（x2+1）＝6﹣（2+2k2）x1x2﹣2k2（x1+x2）﹣2k2＝6+．由已知得6+＝7，解得k＝±21．（12分）设函数f（x）＝1nx+x2﹣（a+1）x（a∈R）．（1）当a＝时，求函数（x）的单调区间；（2）当x＞1时，若f（x）﹣x﹣a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝时，f（x）＝lnx+x2﹣x，（x＞0），f′（x）＝，令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，∴f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减；（2）当x＞1时，若f（x）﹣x﹣a（a＞0）恒成立，等价于lnx＜a（x﹣1）恒成立，（x＞1，a＞0），令h（x）＝lnx，m（x）＝a（x﹣1），，只需直线m（x）＝a（x﹣1）的斜率a＞h′（1）＝1即可，∴a＞1．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）P A•PD＝PE•PC；（2）AD＝AE．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴P A•PE＝PD•PB（2分）又∵P A、PB分别是⊙O1的切线和割线∴P A2＝PC•PB（4分）由以上条件得P A•PD＝PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD＝∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD＝∠AED又∠CAD＝∠ADE，∴∠AED＝∠ADE∴AD＝AE（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（2）已知射线l1：θ＝α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2；θ＝α﹣，且射线l1与曲线C1交于O，P两点，射线l2与曲线C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2＝4，展开可得：x2+y2﹣4x ＝0，利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ＝0，∴C1极坐标方程为ρ＝4cosθ．曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ＝4sinθ．（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1＝4cosα．点Q极坐标为，即．则＝＝．∵，∴，当，即时，|OP|•|OQ|取最大值4．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）＝|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，即|x﹣a|≤4，可得﹣4≤x﹣a≤4，∴x﹣4≤a≤x+4，∵﹣2≤x≤3，∴﹣1≤a≤2；…（5分）（Ⅱ）∵f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤|x﹣2a|﹣|x|≤2|a|，∵存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤2a﹣1．a≥0时，﹣2a≤2a﹣1，解得a≥；a＜0时，2a≤2a﹣1，矛盾，舍去；综上，a≥…（10分）。
河南省八市重点高中2016届高三数学下学期第二次质量检测试题 理(扫描版)
河南省八市重点高中2016届高三数学下学期第二次质量检测试题理（扫描版）河南省八市重点高中质量检测试题理科数学参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则.2． 对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3． 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4． 只给整数分数.选择题不给中间分. 一、选择题（每小题5分）1. B2. C3. A4. C5. A6. D7. C8. B9. C 10. C 11. C 12. A 二、填空题（每小题5分）13. -2 14. 4315. +4316. 21(23)26n n n +-+- 三、解答题17. 解：（Ⅰ）因为sin A +sin B =（cos A +cos B ）sin C ，由正、余弦定理，得a +b =22222222bc a c a b bc ca ⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭c (2)分化简整理得（a +b ）（a 2+b 2）=（a +b ）c2因为a +b ＞0，所以a 2+b 2=c 2……………………………………………………………4分 故ΔABC 为直角三角形. 且∠C =90° ……………………………………………………6分（Ⅱ）因为a +b +c a 2+b 2=c 2，所以a +b（ 当且仅当a =b 时，上式等号成立……8分故S ΔABC =12ab ≤12×2⎝⎭……………………………………………………………10分 即ΔABC 面积的最大值为14……………………………………………………………12分18. 解：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)． (2)分（Ⅰ）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD →是平面PAB 的一个法向量，AD →＝(0,2,0)． 因为PC →＝(1,1，－2)，PD →＝(0,2，－2)． 设平面PED 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·PC →＝0，m ·PD →＝0， 即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令y ＝1，解得z ＝1，x ＝1.所以m ＝(1,1,1)是平面PCD 的一个法向量． …………………………………………4分 从而cos 〈AD →，m 〉＝AD →·m |AD →||m |＝33，所以二面角A PE D --的余弦值为33………………………………………………6分 （Ⅱ）因为BP →＝(－1,0,2)，设BQ →＝λBP →＝(－λ，0,2λ)(0≤λ≤1)， 又CB →＝(0，－1,0)，则CQ →＝CB →＋BQ →＝(－λ，－1,2λ)， 又DP →＝(0，－2,2)，从而cos 〈CQ →，DP →〉＝CQ →·DP →|CQ →||DP →|＝1＋2λ10λ2＋2. 设1＋2λ＝t ，t ∈[1,3]， …………………………………………………………………6分 则cos 2〈CQ →，DP →〉＝2t 25t 2－10t ＋9＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －592＋209≤910………………………………8分当且仅当t ＝95，即λ＝25时，|cos 〈CQ →，DP →〉|的最大值为31010.因为y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值． ……10分又因为BP ＝12＋22＝5，所以BQ ＝25BP ＝255 …………………………………12分19. 解：（Ⅰ）由题意，抓到母鸡的概率为13，抓鸡 3次就停止，说明前三次都抓到了母鸡，则抓鸡3次就停止的事件发生的概率为P ＝313⎛⎫⎪⎝⎭＝127 …………………………………4分（Ⅱ）依题意，随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 05·5113⎛⎫- ⎪⎝⎭＝32243，P (ξ＝1)＝C 15·13·4113⎛⎫- ⎪⎝⎭＝80243， P (ξ＝2)＝C 25·213⎛⎫ ⎪⎝⎭·3113⎛⎫- ⎪⎝⎭＝80243，P (ξ＝3)＝C 33·313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋C 23·213⎛⎫ ⎪⎝⎭·113⎛⎫- ⎪⎝⎭ ·13＋C 24·213⎛⎫ ⎪⎝⎭·2113⎛⎫- ⎪⎝⎭·13＝1781…………………8分 随机变量ξ的分布列为.10分随机变量ξ的均值为E (ξ)＝32243×0＋80243×1＋80243×2＋1781×3＝13181 …………………12分20．解：（Ⅰ）由题意知26a =，3,4a ∴== ，所以25b = (2)分所以椭圆方程为22195x y += ……………………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线1AF 的方程为(2)y k x =+，且交椭圆于11122(,),(,)A x y A x y 两点.由题意知22(2)195y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即225209250y y k k ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭1222059k y y k +=+ ① 21222559k y y k -⋅=+ ② …………………………６分 122AF BF =，所以122y y =- ③联立①②③消去12y y得k =所以1AF的方程为2)y x + ………………………………………………８分（Ⅲ）因为11AA B B 是平行四边形，111212122AA B B AA F S S FF y y ∆==⋅- ……………………………………………………10分1242y y =-==所以四边形11AA B B的面积为 ……………………………………………………12分21. 解析：（Ⅰ）由题意得：11()1x f x x x-'=-=. 当)1,0(∈x 时，()0f x '>， 当),1(+∞∈x 时，()0,f x '< 因此，()f x 在（0，1）上单调递增，在（1，+∝）上单调递减所以max ()(1)0f x f ==，即函数()f x 的最大值为0. …………………………………3分 （Ⅱ）若22211122ln ln 0mx mx x x x x --+>恒成立， 则22222111ln ln mx x x mx x x +>+恒成立， 设2()ln x mx x x ϕ=+，又0＜2x <1x , 则只需)(x ϕ在(0,+∝)上单调递减，故)('x ϕ=2mx +1+ln x ≤0在(0,+∝)上成立，得：2m ≤xxln 1+- ………………………5分记t (x )= x x ln 1+-,则2'ln )(xx x t = 于是可知t (x )在（0，1）上单调递减，在（1，+∝）上单调递增， 故[]min ()(1)1t x t ==- 因此存在m ≤12-,使22211122ln ln 0mx mx x x x x --+>恒成立 …………………………7分（Ⅲ）由11n a +=22)1(n n n a a a +=21·n a 1+21得:111-+n a = 2111n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又211=a 知，111-+n a =12n⎛⎫⎪⎝⎭，n a =11212--+n n . ……………………………………………………9分 结论：2e n S＞12+n……………………………………………………………………10分 证明如下：因为n a ∈（0，1），由⑴知x ＞0时x-1＞ln x ,则x ＞-1时x ＞ln(x +1).所以n a ＞ln(n a +1)=1212ln 1++-n n =ln (12+n )-ln(121+-n )故 n n a a a S +++= 21 ＞[ln(121+)-ln(120+)]+[ln(122+)-ln(121+)]…………[ln(12+n)-ln(121+-n )]= ln(12+n)-ln(120+)=)212ln(+n 即2e n S ＞12+n…………………………………………………………………………12分 选做题22. 证明：（Ⅰ）连接OA ，设OA =r取AB 中点F ，连接OF ，则OF ⊥AB,AB PA AF ===PB FP ∴==. ………………………………………2分又3,OP =Rt OFP ∆中，222927,OF OP FP =-=-= ……………………4分Rt OAF ∆中，22222725,r OA AF OF ==+=+= ………………………………6分5r ∴=（Ⅱ）CA CB CAD B =∴∠=∠B E CAD E ∠=∠∴∠=∠ 又 (8)分∠ACE 为公共角,CAD ∴∆∽CEA ∆ ………………………………………………………………………10分23. 解：（Ⅰ）点2,3P π⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标为2cos ,2sin 33ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即(1, ………2分由直线l cos 63πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得()1cos 62ρθθ=.则l的直角坐标方程为：120x -= ………………………………………………4分 点P 到l 的距离131242d +-== …………………………………………………………5分 （Ⅱ）可以判断，直线l 与曲线C 无公共点，设)Q θθ …………………………………………………………………6分 则点Q到直线120x -=的距离为6cos 1262d πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭==………………………………………8分所以当cos 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max 9d = …………………………………………………10分 24. 解：当a =21-时，不等式化为：1121-≤+--x x11 （Ⅰ）当x ≤-1时,1121-≤++-x x ,得123-≤, 所以Φ∈x . ………………………………………………………………………………2分 当211≤<-x 时，1121-≤---x x ,得41≥x ， 所以2141≤≤x 成立. ………………………………………………………………………4分 当21>x 时, 1121-≤---x x ,得21-≤0， 所以21>x 成立. 综上，原不等式的解集为1|4x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ ……………………………………………………6分 （Ⅱ）∵1()(1)x a x x a x +-+≤+-+1-=a ∴ 1)(+-+=x a x x f 的最大值为1-a ……………………………………………8分 由题意知：1-a ≤2a 解得：a ≥31 所以实数a 的最小值为13………………………………………………………………10分。
【河南省许昌、新乡、平顶山】2016年高考二模(理科)数学试卷-答案
17．解：（Ⅰ）由题意，411211256426a d b q a d b q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩g g ， 代入得422235624326d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩g g ，消d 得422280q q --=， ∴22()(0)274q q +-=，∵{}n b 是各项都为正数的等比数列， ∴2q = 进而3d =，∴31n a n =-，2132n bn -=g（Ⅱ）记213221n n c n -=+g ，则21121320(21)(23)n n n n c c n n -+--=>++g g∴n c 最小值为11c =， ∵22321nb x x n -+≤+对任意*n ∈N 恒成立， ∴232x x -+≤， ∴2x ≥，或1x ≤18．解：(1)把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：利用时间充分 利用时间不充分总计走读生 50 25 75 住宿生 10 15 25 总计 60 40100…22100(50152510) 5.55675254060k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于23841k >.，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关… (2)设第i 组的频率为P i (i =1，2，…，8)，则由图可知：111303000100P =⨯=，21430750100P =⨯=，311030300100P =⨯=， ∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．则x 的所有可能取值为0，1，2，3，3510315()(0,1,2,3)i iC C P x i i C -====， ∴0351031524(0)94C C P x C ===， 1251031545(1)91C C P x C ===，2151031520(2)91C C P x C ===，305103152(3)91C C P x C ===…19．解：不妨设正三角形ABC 的边长为3． （1）在图1中，取BE 的中点D ，连结DF ． ∵::1:2AE EB CF FA ==， ∴2AF AD ==．而60A ∠=o ， ∴ADF △是正三角形． 又1AE DE ==， ∴EF AD ⊥．在图2中，1A E EF ⊥，BE EF ⊥， ∴1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角． 由题设条件知此二面角为直二面角， ∴1A E BE ⊥，又BE EF E =I ，∴1A E BEF ⊥平面，即1A E BEP ⊥平面．（2）由（1）知，即1A E BEP ⊥平面，BE EF ⊥．以E 为原点，以EB 、EF 、1EA 分别为x 、y 、z 轴建立如图3所示的坐标系如图， 则1(0,0,1)A ，(2,0,0)B，F，P ．∴1(2,0,1)A B =-u u u r，11)A P =-u u u r，11)A F =-u u u u r．设111(,,)m x y z =u r ，222(,,)n x y z =r分别是平面1A BP 和平面1A PF 的法向量，由1100m A B m A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩u r u u u r g u r u u u r g得11111200x z x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩． 取11y =，得m =u r．由1100n A F m A P ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u u rg u r u u u r g得2222200z x z -=+-=⎪⎩．取21y =，得n =r ， 所以7cos(,)8||||m n m n m n ==u r ru r r g ur r ． 820．解：（1）抛物线C ：20)2(x py p =>的焦点为F ，(0,)2F ， 当l 的倾斜角为45o 时，l 的方程为2p y x =+ 设11)(,A x y ，22(),B x y ，由222p y x x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220x px p =﹣﹣，122x x p +=，12123y y x x p p +=++=，得AB 中点为3(,)2D p p AB 中垂线为3()2y p x p -=--， 0x =代入得553y p ==．∴2p =（2）设l 的方程为1y kx =+，代入24x y =得2440x kx --=，21212||2()444AB y y k x x k =++=++=+，AB 中点为22,2()1D k k +令2MDN α∠=，12||||2S AB AB αα==g g ， ∴||SAB α= D 到x 轴的距离2|2|1DE k =+，22||21cos =122||2DE k k AB α+=+当20k =时cos α取最小值1，α的最大值为π． 21．解：（1）22111()(1)a ax x a f x a x x x x --++-'=--=>，令()[(1)](1)g x ax a x =----当0a =时，()1g x x =-，,)(1x ∈+∞时，()()00()g x f x f x '>⇒>⇒单调递增，0a <时，由0x >，得10()ax a --<，所以,()1x ∈+∞时，()()00()g x f x f x '>⇒>⇒单调递增， 当0a >时，1()[1()()]ag x a x x a-=--， 若11a a -=，则12a = 当102a <<，1)(1,a x a -∈，0()f x '>，()f x 单调递增，当12a =，()f x 在(0,)+∞上无递增区间，当112a <≤时，,)(11a x a-∈，)0(f x '>，()f x 单调递增， 当1a >时，1()0,x ∈时，)'(0f x >，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为(1,)+∞；当102a <<时，单调递增区间为(11,)a a -；当12a =时，无单调递增区间；112a <≤时，单调递增区间为(1,1)a a -；当1a >时，单调递增区间为(0,1)．（2）由题知函数∴221(1)()11()aa x x a a f x a x xx ----'=--=．①当11(,)32a ∈时，11210a aa a ---=>， 于是1()0,x ∈和,)(1ax a-∈+∞时，0()f x '<，()f x 单调递减；1)(1,x a a -∈时，0()f x '>，()f x 单调递增；又因为12a a-<，要对任意实数3[]2,t ∈，当,(]0x t ∈时，函数()f x 的最小值为()f t ，只需要()2)(1f f ≤，即ln2211222a a a -+≤-++-，12ln212a -≤<2ln21a ≥-解得．∵12ln212≥-， ∴12ln212a -≤<；②当12a =时，11aa-=，221(1)2()x f x x --'=， 在,()0x ∈+∞上，恒有0()f x '≤，有且仅有0()1f '=，故()f x 在(0)+∞,上单调递减，显然成立．③当112a <<时，10a a ->，11210a a a a ---=<， 于是1()0,ax a -∈和,()1x ∈+∞时，0()f x '<，()f x 单调递减；1()1,a x a-∈时，0()f x '>，()f x 单调递增；要对任意实数3[]2,t ∈，当,(]0x t ∈时，函数()f x 的最小值为()f t ，只需要(2)(1)af f a≤-， 即1193(1)1ln22ln n2l 22ln a a a a a a a a ----++≥-+⇔+≥+；令191,(,1)2()l 2na a a a g a -+∈=， 9(31)(32)22(1()(1))1g a a a a a a --'+=-=-， 所以()g a 在12(,)23上单调递减，在2(,1)3上单调递增减，23()()3ln2ln232g a g ≥=->+，所以此时恒定满足题意。
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2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数z=的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．5．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆6．（5分）设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．607．（5分）如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．189 B．381 C．93 D．458．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3+2πC．D．+9．（5分）若函数f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）10．（5分）若函数f（x）=x2+a|x﹣|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣4，0]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]11．（5分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f （x）的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．[1，e） D．（0，+∞）二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2﹣a2，A=，则B=．14．（5分）高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为．15．（5分）设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．16．（5分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若﹣x2+3x ≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．18．（12分）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？K2=参考列表：（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F 旋转时，求的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣ax++1 （a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．设f（x）=|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．2016年河南省许昌、新乡、平顶山三市联考高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016•许昌二模）复数z=的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【解答】解：复数z===1﹣i的共轭复数=1+i．故选：A．2．（5分）（2016•许昌二模）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）（2016•许昌二模）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y=a ﹣7平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：当a=3时，两条直线的方程分别是3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，此时两条直线平行成立反之，当两条直线平行时，有但即a=3或a=﹣2，a=﹣2时，两条直线都为x﹣y+3=0，重合，舍去∴a=3所以“a=3”是“直线ax+2y+2a=0和直线3x+（a﹣1）y﹣a+7=0平行”的充要条件．故选：C．4．（5分）（2016•许昌二模）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．5．（5分）（2016•许昌二模）已知焦点在x轴上的椭圆方程为，随着a的增大该椭圆的形状（）A．越接近于圆B．越扁C．先接近于圆后越扁D．先越扁后接近于圆【解答】解：由，表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：2﹣＜a＜2+，由于a在不断的增大，所以对函数y=a2+1，（2﹣＜a＜2+）为单调递增函数，即短轴中的b2在不断增大．离心率e=，（2﹣＜a＜2+），令f（a）=4a﹣a2﹣1，（2﹣＜a＜2+），由二次函数性质可知，（2﹣，2）单调递增，（2，2+）单调递减，∴e随着a的增加，先增加后减小，∴随着a的增大该椭圆先越扁后接近于圆，故选：D．6．（5分）（2016•许昌二模）设a=（1﹣2x）dx，则二项式（x2+）6的常数项是（）A．240 B．﹣240 C．﹣60 D．60【解答】解：a=（1﹣2x）dx=（x﹣x2）|=2﹣22=﹣2，则二项式（x2﹣）6展开式的通项公式C6r2r﹣6（﹣2）r x12﹣3r，令12﹣3r=0，解的r=4，则展开式中常数项为C6424﹣6（﹣2）4=60，故选：D．7．（5分）（2016•许昌二模）如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．189 B．381 C．93 D．45【解答】解：由程序框图知：第一次循环k=1，S=3；第二次循环k=2，S=2×3+3=9；第三次循环k=3，S=2×9+3=21；第四次循环k=4，S=2×21+3=45；第五次循环k=5，S=2×45+3=93；第六次循环k=6，S=2×93+3=189，满足S＞30k，跳出循环，输出S=189．故选：A．8．（5分）（2016•许昌二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3+2πC．D．+【解答】解：由三视图知：几何体是长方体、圆柱、三棱锥的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为2、1、2；圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的高为2，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，∴几何体的体积V=2×1×2+π×12×2+××1×1×2=4++=+．故选：D．9．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx（ω＞0）在[﹣，]上是增函数，则ω的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，]C．[1，+∞）D．[，+∞）【解答】解：∵f（x）=4sinωx•sin2（+）+cos2ωx=4sinωx•+cos2ωx=2sinωx（1+sinωx）+cos2ωx=2sinωx+1，∴[﹣，]是函数含原点的递增区间．又∵函数在[﹣，]上递增，∴[﹣，]⊇[﹣，]，∴得不等式组得，又∵ω＞0，0＜ω≤，ω的取值范围是（0，]．故选：B10．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=x2+a|x﹣|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．[﹣2，0]B．[﹣4，0]C．[﹣1，0]D．[﹣，0]【解答】解：f（x）=x2+a|x﹣|=，要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，则：，得﹣1≤a≤0，∴实数a的取值范围是[﹣1，0]，故选：C．11．（5分）（2016•许昌二模）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：若MN∥平面DCC1D1，则|MN|==即函数y=f（x）的解析式为f（x）=（0≤x≤1）其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增故选C12．（5分）（2016•许昌二模）若函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（e，+∞）B．（0，e） C．[1，e） D．（0，+∞）【解答】解：函数f（x）=2e x﹣ax2+（a﹣2e）x，可得f（1）=2e﹣a+a﹣2e=0，即有x=1为f（x）的一个零点，当x≠1时，由2e x﹣ax2+（a﹣2e）x=0，得a=有两个不同的实数根．设g（x）=，由y=e x﹣ex的导数为y′=e x﹣e，当x＞1时，y′＞0，y=e x﹣ex递增；当x＜1时，y′＜0，y=e x﹣ex递减．即有x=1处，y=e x﹣ex取得最小值，且为0，即e x﹣ex≥0，当x＜0时，x2﹣x＞0，g（x）＞0；当0＜x＜1时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．由g′（x）=，可设h（x）=x2e x﹣3xe x+e x+ex2，显然当x＜0时，h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，0）递增；又h（x）=xe x（x+﹣3+），再令m（x）=x+﹣3+，m′（x）=1﹣+=（x﹣1）（），即0＜x＜1时，m（x）递减；x＞1时，m（x）递增．则m（x）＞m（1）=0，h（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即有g′（x）＞0在（0，1）∪（1，+∞）恒成立，则g（x）在（0，1），（1，+∞）递增，画出函数y=g（x）的图象，可得a＞0时，函数y=g（x）的图象和直线y=a有两个交点．综上可得，a＞0时，f（x）=e x﹣ax2+（a﹣e）x有三个不同的零点．故选：D．二、填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．（5分）（2016•许昌二模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知ac=b2﹣a2，A=，则B=．【解答】解：∵ac=b2﹣a2，A=，∴sinAsinC=sin2B﹣sin2A，∴=sin2B﹣，化为=，化为cosB+sinB=4sin2B﹣1，又sin2B+cos2B=1，联立解得，sinB=．∴B=．14．（5分）（2016•许昌二模）高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，从中选出4名学生进入学生会，则这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率为．【解答】解：高二年级的5个文科班级每班派2名同学参加年级学生会选举，共有10名学生，从中选出4名学生进入学生会共有=210种不同情况；其中这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级有：•••=120种不同情况，故这4名学生中有且只有两名学生来自同一个班级的概率P==，故答案为：15．（5分）（2016•许昌二模）设x，y满足约束条件，若x2+9y2≥a恒成立，则实数a的最大值为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x2+9y2，则z＞0，即=1，则对应的曲线是焦点在x轴上的椭圆，由图象知当直线x+y=1与椭圆相切时，z最小，将y=1﹣x代入z=x2+9y2，整理得10x2﹣18x﹣9﹣z=0，则判别式△=182﹣4×10（9﹣z）=0，解得z=，即z的最小值为，则a≤，则a的最大值为，故答案为：16．（5分）（2016•许昌二模）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是1＜e＜．【解答】解：由题意，F（c，0），B（0，b），则直线BF的方程为bx+cy﹣bc=0，∵在线段BF上（不含端点）存在不同的两点P i（i=1，2），使得△P i A1A2（i=1，2）构成以线段A1A2为斜边的直角三角形，∴，∴e4﹣3e2+1＜0，∵e＞1，∴e＜∵e＞1，∴1＜e＜．故答案为：1＜e＜．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016•许昌二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=2，b1=3，a3+b5=56，a5+b3=26．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若﹣x2+3x≤对任意n∈N*恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，（2分）代入得，消d得2q4﹣q2﹣28=0，∴（2q2+7）（q2﹣4）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2进而d=3，∴（6分）（Ⅱ）记，则（10分）∴c n最小值为c1=1，（12分）∵对任意n∈N*恒成立，∴﹣x2+3x≤2，∴x≥2，或x≤1（14分）18．（12分）（2016•许昌二模）某校高二年级共有学生1000名，其中走读生750名，住宿生250名，现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组：①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），…得到频率分布直方图（部分）如图．（Ⅰ）如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表；并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关？K2=参考列表：（Ⅱ）若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的100名学生，完成下列2×2列联表如下：…（2分） K 2=≈5.556 …（4分）由于K 2＞3.841，所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关…（6分）（2）设第i 组的频率为P i （i=1，2，…，8）， 则由图可知：P 1=×30=，P 2=×30=，P 3=×30=，∴第①组1人，第②组4人，第③组10人．…（8分） 则X 的所有可能取值为0，1，2，3，，∴，…..（10分）∴X 的分布列为：．…..（12分）19．（12分）（2016•晋中模拟）在正三角形ABC中，E、F、P分别是﹣AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）．（1）求证：A1E⊥平面BEP；（2）求二面角B一A1P一F的余弦值的大小．【解答】解：不妨设正三角形ABC 的边长为3．（1）在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2．…（2分）而∠A=60°，∴△ADF是正三角形．又AE=DE=1，∴EF⊥AD．…（4分）在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．…（6分）（2）由（1）知，即A1E⊥平面BEP，BE⊥EF．以E为原点，以EB、EF、EA1分别为x、y、z轴建立如图3所示的坐标系如图，…（7分）．…（8分）∴．…（9分），…（10分），．…（11分），．…（12分），．…（13分）因为二面角B﹣A1P﹣F为钝角，．…（14分）20．（12分）（2016•许昌二模）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，过F 的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q（0，5）．（1）求p的值；（2）以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧的长度为S，当直线l绕F 旋转时，求的最大值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，，当l的倾斜角为45°时，l的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得x2﹣2px﹣p2=0，x1+x2=2p，y1+y2=x1+x2+p=3p，得AB中点为…（3分）AB中垂线为，x=0代入得．∴p=2…（6分）（2）设l的方程为y=kx+1，代入x2=4y得x2﹣4kx﹣4=0，，AB中点为D（2k，2k2+1）令∠MDN=2α，，∴…（8分）D到x轴的距离|DE|=2k2+1，…（10分）当k2=0时cosα取最小值，α的最大值为．故的最大值为．…（12分）21．（12分）（2016•许昌二模）已知函数f（x）=lnx﹣ax++1 （a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当a∈（，1）时，若对任意t∈[2，3]，在x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）（x＞0），令g（x）=﹣[ax﹣（1﹣a）]（x﹣1）当a=0时，g（x）=x﹣1，x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）单调递增，a＜0时，由x＞0，得ax﹣（1﹣a）＜0，所以x∈（1，+∞）时，g（x）＞0⇒f'（x）＞0⇒f（x）单调递增，当a＞0时，，若，则当0＜a＜，x∈（1，），f'（x）＞0，f（x）单调递增，当a=，f（x）在（0，+∞）上无递增区间，当＜a≤1时，x∈（，1），f′（x）＞0，f（x）单调递增，当a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．综上所述，当a≤0时，单调递增区间为（1，+∞）；当0＜a＜时，单调递增区间为（1，）；当a=时，无单调递增区间；＜a≤1时，单调递增区间为（，1）；当a＞1时，单调递增区间为（0，1）．（2）由题知函数∴．①当时，＞0，于是x∈（0，1）和时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；又因为，要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要f（2）≤f（1），即，解得a≥2ln2﹣1．∵，∴；②当时，，在x∈（0，+∞）上，恒有f'（x）≤0，有且仅有f'（1）=0，故f（x）在（0，+∞）上单调递减，显然成立．③当时，，于是和x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；要对任意实数t∈[2，3]，当x∈（0，t]时，函数f（x）的最小值为f（t），只需要，即；令，，所以g（a）在上单调递减，在上单调递增减，g（a）≥＞ln2+，所以此时恒定满足题意．综上所述：a∈[2ln2﹣1，1）．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016•大名县模拟）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB （2分）又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB （4分）由以上条件得PA•PD=PE•PC（5分）（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．（6分）由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE（8分）又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016•许昌二模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线C2的参数方程为（β为参数），以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；（Ⅱ）已知射线l1：θ=α（0＜α＜），将射线l1顺时针旋转得到射线l2：θ=α﹣，且射线l1与曲线C1交于O、P两点，射线l2与曲线C2交于O、Q两点，求|OP|•|OQ|的最大值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数可得：曲线C1的普通方程为（x﹣2）2+y2=4，展开可得：x2+y2﹣4x=0，利用互化公式可得：ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1极坐标方程为ρ=4cosθ．曲线C2的参数方程为（β为参数），消去参数可得：曲线C2的普通方程为x2+（y﹣2）2=4，展开利用互化公式可得C2极坐标方程为ρ=4sinθ．（2）设点P极点坐标（ρ1，4cosα），即ρ1=4cosα．点Q极坐标为，即．则==．∵，∴，当，即时，|OP|•|OQ|取最大值4．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016•许昌二模）设f（x）=|x﹣a|，（a∈R）．（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当﹣2≤x≤3时，f（x）≤4成立，即|x﹣a|≤4，可得﹣4≤x﹣a≤4，∴x﹣4≤a≤x+4，∵﹣2≤x≤3，∴﹣1≤a≤2；…（5分）（Ⅱ）∵f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤|x﹣2a|﹣|x|≤2|a|，∵存在实数x，使得f（x﹣a）﹣f（x+a）≤2a﹣1成立，∴﹣2|a|≤2a﹣1．a≥0时，﹣2a≤2a﹣1，解得a≥；a＜0时，2a≤2a﹣1，矛盾，舍去；综上，a≥…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：沂蒙松；lcb001；wdnah；maths；铭灏2016；whgcn；清风慕竹；csyzlg；刘老师；豫汝王世崇；sxs123；刘长柏；zlzhan；qiss （排名不分先后）菁优网2017年5月13日。