勾股定理中四种重要的数学思想
勾股定理
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（四）例题讲解： 如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上， A 这 AO 的距离为 2.5m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m， 那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗? 学生合作交流，讨论回答： 要求梯子底端是否也外移 0.5m，就是求 BD 的长，而 BD=OD-OB，只需先求出 OD、OB 的长即可，于是把 O 实际问题转化成了直角三角形问题。
图形探究 猜想 证明 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 即： 例题 练习
a 2 + b 2 = c 2 其中 a 、 b 是两直角边， c 是斜边
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九、教学反思： 教学反思： 数学来源于生活，来源于实践，让生活中处处有数学的思想走进我们 的课堂，进一步加强“书本世界”与“生活世界”的联系，改变学生学习 数学苍白无味的状态，给数学课堂增加“营养” 。让学生根据数学上的问题 到现实世界中去寻找生活素材，让数学贴近生活，用具体、生动、形象、 可感知的实例来解释数学问题，使学生体会到数学的价值。本节课在内容 上关注生活素材，让学生在具体的情境中发现、利用勾股定理。 新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学中 来，充分展现自己的个性，施展自己的才华，使学生在参与和体验的过程 中真正成为学习的主人，养成勇于探索、敢于实践的个性品质。在本节课 的设计上，教师引导学生主动探究勾股定理的内容，发挥学生的主动性。
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在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知 识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
七、教学过程
（一）情景引入：
图片引入：1955 年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上 的图案是根据一个著名的数学定理设计的。邮票上的图案 是对数学上一个非常重要的定理的说明，它是初等几何中 最精彩的，也是最著名和有用的定理。我们一起观察这枚 邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有何发现？如果该 图片中小方格的面积看作 1，可以发现三个正方形的面积之 间有怎样的关系？ 该图片不仅给学生带来美感，也激发他们的学习兴趣， 产生学习的渴望，振奋精神投入课堂之中。
勾股定理的应用中蕴含的数学思想
勾股定理的应用中蕴含的数学思想摘要：掌握基本数学思想和方法能使数学更容易理解和记忆。
本文阐述了勾股定理应用中所蕴含的四种数学思想，从而使复杂的问题简单化。
关键词：勾股定理；数学思维；数形结合作者简介：孙洪强，任教于贵州省遵义县第山盆中学。
在教学中，我们必须充分重视数学思维的培养，并注意各种思维方式的应用，通过具体的，解决数学问题的独立探索和专研，领会数学思维的规律和方法，提高数学思维的严密性、灵活性等思维品质，达到举一反三、概括迁移、融会贯通的效果。
勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常把有关的已知量与未知量在图形中表示出来，这就是说，利用勾股定理解决问题时要用到“数形结合思想”，即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化勾股定理是数学中的一个重要定理，在利用勾股定理解题时，常常涉及到一些常用的数学思想。
下面从今年的中考试题择例说明：一、数形结合的思想数形结合思想即在研究问题时把数和形结合考虑或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题的简单化，抽象问题具体化∴BC=BF+FH=PF+FH+PH=8+10+6=24。
选C。
二、方程思想方程思想是指对所求问题通过列方程（组）求解的一种思维方法，中考中用方程思想求解的题目随处可见。
例2、（长沙市）如图2，Rt△ABC中，，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E。
（1）求证：△AOC≌△AOD；（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S。
解：第（1）问，与勾股定理无关，在这里不解答。
在解答（2）时可以直接利用（1）的有关结论。
三、分类思想数学中的分类讨论就是把所研究的对象按可能出现的情况不重复、无遗漏地分别加以讨论，从而获得完整的问题的解答。
数学勾股定理论文
数学勾股定理论文勾股定理是数学史上一个伟大的定理,同时也是一个历史悠久的定理.下面店铺给你分享数学勾股定理论文，欢迎阅读。
数学勾股定理论文篇一数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁.灵活运用数学思想，能够有效地提高分析问题和解决问题的能力，增强应用数学知识的意识.在《勾股定理》这一章中，蕴含着许多重要的数学思想，现举例介绍如下.一、方程思想在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.二、化归思想化归思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题变换形式，变化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决.例3如图3，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm.点B 与点C的距离为5cm，一只蜗牛如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需爬行的最短路程是多少?分析：由于蜗牛是沿着长方体的表面爬行的，故需把长方体展开成平面图形.根据两点之间线段最短，蜗牛爬行的较短路程有两种可能，如图4、图5所示.利用勾股定理容易求出两种图中AB的长度，比较后即可求得蜗牛爬行的最短路程是25cm.说明：这里通过长方体的展开图，把立体图形转化为平面图形，把求蜗牛爬行的最短路程问题化归成利用勾股定理求两点间的距离问题.例4如图6，是一块四边形的草地ABCD，其中∠A = 60O，∠B =∠D = 90O，AB = 20m，CD = 10m，求AD、BC的长(精确到0.1m，≈1.732).(2004年天津市中考题)分析：图中无直角三角形，怎么办?联想到含30O角的直角三角形，因而延长AD、BC交于点E，则∠E = 30O，AE = 2AB = 40m，CE = 2CD = 20m. 由勾股定理得DE == m，BE == m，所以AD = 40≈22.7m，BC = 20≈14.6m.说明：本题充分利用已知图形的特点，通过构造新图形，将四边形问题巧妙地转化成了直角三角形问题.三、数形结合思想数形结合，就是抓住数与形之间本质上的联系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而达到迅速解题的目的.例5在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高?(2005年福建省龙岩市中考题)分析：依题意画出示意图7，D为树顶，AB = 10m，C为池塘，AC = 20m. 设BD = (m)，则树高AD = ( +10)m.因为AC + AB = BD + DC，所以DC = (30)m. 在Rt△ACD中，由勾股定理可得方程202 + ( + 10)2 = (30)2，解得 = 5，所以 +10 = 15，即树高15m.说明：勾股定理本身就是数形结合的一个典范，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边“数”的关系.利用勾股定理解决实际问题，关键是利用数形结合思想将实际问题转换成直角三角形模型，再利用方程来解决.四、分类讨论思想在解题过程中，当条件或结论不确定或不惟一时，往往会产生几种可能的情况，这就需要依据一定的标准对问题进行分类，再针对各种不同的情况分别予以解决.最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学方法.例6 一直角三角形的两边长分别为3cm、4cm，则第三边的长为______.分析：此题中已知一个直角三角形的两边长，并没有指明是直角边还是斜边，因此要分类讨论，答案是5cm或cm.例7“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC，现可直接测量到∠A = 30O，AC = 40米，BC = 25米，请你求出这块花圃的面积. (2003年黑龙江省中考题)分析：由于题目中没有明确告诉我们△ABC的形状，故需分两种情况讨论.在图8中，S△ABC=10 (20 + 15)米2;在图9中，S△ABC= 10(2015)米2.说明：此类问题由于题目中没有图形，常需分类讨论，解答时极易因考虑不周而导致漏解，希望同学们用心体会.五、整体思想对于某些数学问题，如果拘泥常规，从局部着手，则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考，就能开阔思路，较快解答题目.例8已知一个直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，那么这个三角形的面积为______.分析：设这个直角三角形的两条直角边长为，斜边为，则= 3013 = 17，于是( + )2 = 2 + 2 + 2 = 172 = 289，由勾股定理知2 + 2 = 289，即132+ 2 = 289，所以 = 60，故所求三角形面积S == 30cm2.说明：我们要求的是面积，即，不一定要分别求出和的值，只要从整体上求出即可.例9 如图10所示，在直线上依次摆放着七个正方形.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1 + S2 + S3 + S4 = ______.(2005年浙江省温州市中考题)分析：根据已知条件可知AC = EC，∠ABC = ∠CDE = 90O，由角的互余关系易证∠ACB =∠CED，这样可得△ABC ≌ △CDE，所以BC = ED，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + DE2.由S1 = AB2，S2 = DE2，AC2 = 1，有S1 + S2 = 1，同理可得S3 + S4 = 3，所以S1+ S2 + S3 + S4 = 1+3 = 4.说明：本题不是直接求出S1，S2，S3，S4，而是借助勾股定理求得S1 + S2，S3 +S4，体现了整体思想在解决问题中的灵活应用.数学勾股定理论文篇二数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法.它能使人领悟到数学的真谛，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导和调控的作用.日本数学教育家米山国藏认为，学生在进入社会以后，如果没有什么机会应用数学，那么作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻在人脑中的数学精神和数学思想方法，会长期地在他们的生活和工作中发挥重要作用.灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，事半功倍.下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明.一、分类思想例1.(2013年贵州黔西南州)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( )点评：本题的易错点是受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为4的边当作直角边，从而误选A，犯了考虑问题不全面的错误.二、方程思想例2.(2013年山东济南)如图1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为()A.12mB.13mC.16mD.17m分析：观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆8m处，可过绳子末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为未知数，进而运用勾股定理列方程求解.解：如图2，设旗杆的高度为x，则AC=AD=x，AB=x-2，BC=8.在Rt△ABC中，由勾股定理，得(x-2)2+82=x2.解得x=17m，即旗杆的高度为17m，答案选D.三、整体思想例3.(2013年江苏扬州)矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为____________.分析：设矩形的两邻边长分别为a、b(a>b)，则依据题意有a-b=2，a2+b2=16.而矩形的面积等于ab，关键要设法将两个等式转化为含有ab的式子.解：设矩形的两邻边长分别为a、b (a>b)，则a-b=2.五、数形结合思想例5.(2013年湖南张家界)如图4，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10，0)、(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动.当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________.分析：易知OD=5，要使△ODP为腰长为5的等腰三角形，可以点O为圆心，OD为半径作圆;也可以点D为圆心，OD为半径作圆.解：由C(10，0)可知OD=5.(1)以点O为圆心，OD为半径作圆交边六、构造思想例6.同例3分析：根据已知条件，联想到证明勾股定理的弦图，本例便有如下巧妙解法.数学勾股定理论文篇三正确的数学思想是成功解题的关键所在.在运用勾股定理解题时，若能正确把握数学思想，则可使思路开阔，方法简便快捷.下面列举在应用勾股定理时经常用到的数学思想，供同学们参考.一、方程思想◆例1如图1，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且点C落到E点，则CD等于( ).A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm分析：由题意可知，ΔACD 和ΔAED关于直线AD对称，因而有ΔACD ≌ΔAED .进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，DE⊥AB.设CD=ED=xcm，则在ΔDEB中，由勾股定理可得DE2+BE2=BD2.又因在ΔABC中，AB2=AC2+BC2=62+82=100,得AB=10.所以有x2+(10- 6) 2=(8- x)2,解得x=3.故选B.二、转化思想◆例2如图2，长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm.现有一小虫从A出发，沿长方体表面爬行，到达C处，问小虫走的路程最短为多少厘米?分析：求几何体表面最短距离问题，通常可将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.对于此题，可将该长方体的右表面翻折至前表面，使A、C两点共面，连结AC，线段AC的长度即为最短路程(如图3).由勾股定理可知AC2=32+42=52，即小虫所走的最短路程为5cm.三、分类讨论思想◆例3在ΔABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.分析：三角形中某边上的高既可在三角形内部，也可在三角形的外部，故此题应分两种情况来考虑.当BC边上的高AD在ΔABC的内部时，如图4，由勾股定理得BD2=AB2-AD2，得BD=9;CD2=AC2-AD2，得CD=16，则BC=BD+CD=9+16=25;当BC上的高AD在ΔABC的外部时，如图5，同样由勾股定理可求得CD=16，BD=9，这时，BC=CD-BD=16- 9=7，故BC的长为25或7.四、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想.这里不再举例，请同学们在平时的练习中仔细体会.。
勾股定理中蕴含的数学思想
勾股定理中蕴含的数学思想河北张家口市第十九中学 贺峰数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。
在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析：一、 特殊到一般的思想例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。
析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长为2n 。
说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。
二、 分类思想例2 如果三条线段的长分别为6cm 、xcm 、10cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x ＝_______。
析解：本题分两种情况解答（1）当以6cm 、xcm 为直角边，10cm 为斜边时，102＝62＋x 2，x ＝±8（舍负）（2）当6cm 、10cm 均为直角边时，62＋102＝x 2，x ＝±234（舍负）因此，x 为4或34。
说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。
三、 整体思想例3 如图2，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中斜边AB ＝2，求这个三角形的面积。
析解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 BC 2＋AC 2＝22 即(BC ＋AC )2－2BC ²AC ＝4 又由已知得BC ＋AC ＝ 6 所以(6)2－2 BC ²AC ＝4解得BC ²AC ＝1所以S ＝12BC ²AC ＝12说明：若要直接求出BC 与AC 的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S ＝12BC ²AC B C A 图2 图1联想到运用整体思想（将BC ²AC 视为一个整体），问题便可顺利获解。
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法
在勾股定理的教学中渗透数学思想方法东莞东华初级中学 陈佩弟《全日制义务教育数学课程标准》指出:“通过数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法.”数学思想方法是数学的生命和灵魂,是数学知识的精髓,是把知识转化为能力的桥梁.因此,在数学教学活动中,教师应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,为学生的持续学习和发展作好奠基.勾股定理是平面几何有关度量的最基本、最重要的定理,也是中考的重要考点之一,其中蕴涵着多种数学思想,现小结如下:一.勾股定理与数形结合思想所谓数形结合思想,就是抓住数与形之间本质上的联系,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化,从而达到迅速解题的目的.勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系,它是把三角形有一个直角的“形”的特征,转化为三边“数”的关系,因此它是数形结合的一个典范.例1:(课本P76习题18.2 T5)△ABC 中,AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线AD=12cm.求AC 思考与分析:解答本题一定要先根据题意画出相应的图形,求出BD=CD=5cm ，再将题目所给的数据标在图上,得到如图,因此很容易就想到本题的解答思路是:先利用勾股定理的逆定理说明∠ADB=90°,从而∠ADC=90°,再用勾股定理即可求得AC解: ∵AD 是BC 边上的中线∴BD=CD=21BC=21×10=5cm （由形到数） ∵169144251252222=+=+=+AD BD1691322==AB∴222AB AD BD =+∴△ADB 为直角三角形,且∠ADB=90°（由数到形）∴∠ADC=180°-∠ADB=90°∴△ADC 为直角三角形 （由数到形） ∴131695122222==+=+=CD AD AC cm （由形到数）B C D 13 12 5 5反思:此题综合运用了勾股定理及逆定理,充分体现了由形到数,再由数到形的数形结合的思想,从中你可以体会到数形结合的奥妙.二.勾股定理与分类讨论思想分类讨论思想是指在解题过程中,当条件或结论不确定或不唯一时,往往会产生几种可能的情况,这就需要依据一定的标准对问题进行分类,再针对各种不同的情况分别予以解决,最后综合各类结果得到整个问题的结论.分类讨论实质上是一种“化整为零,各个击破,再积零为整”的数学方法.例2:(课本P76习题18.2 T3)小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?思考与分析:观察数据80、60、100,根据勾股定理的逆定理可以判断出小明所走的路线形成了一个直角三角形,即小明向东走的80m 是一直角边,转了90°角后走的60m 是另一直角边,最后走的100m 是斜边.因此得到本题的关键是弄清楚转的90°是往哪个方向转的.情况不确定,故须分类讨论:如果往右转90°,则向南走;如果往左转90°,则向北走.从而得到答案是向南或北走.本题若利用数形结合的思想,根据题意画出如图,思考起来会更直观.教师在讲解本题时也可以先让学生做课本P76练习 T3:A 、B 、C 三地的两两距离如图所示,A 地在B 地的正东方向,C 地在B 地的什么方向?这样设计的目的是让学生经历由易到难的过程,通过类比学习,明白这两题的本质是:一题是明确给出图形,情况唯一;另一题没有给图,情况不唯一,须 分类讨论.还有一道常考题:直角三角形的两条边长分别为3和4,则第三边长为 ,学生审题不清,或容易受到定势思维的影响而漏掉一种情况.教师也可以让学生先做:直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则第三边长为 .对比学习,学生印象更深刻反思:当已知条件中没有给出图形时,应认真读句画图,避免遗漏情况;另在直角三角形中,已知两边长但不明确是直角边还是斜边时,应分类讨论.A B C 12km13km5km北 南南 北三.勾股定理与方程思想方程思想就是指在解决数学问题时,从分析问题的数量关系入手,通过设未知数,把问题中的已知量与未知量之间的数量关系联系起来,从而建立方程或方程组的数学模型,然后求解方程或方程组使问题得以解决.用方程思想分析、处理问题,思路清晰,解题灵活、简便.例3:(课本P81复习题18 T7)一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少?（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题.其中的丈、尺是长度单位,1丈=10尺.）思考与分析:本题若想直接在Rt △ABC 中运用勾股定理求AB 是行不通的,因为只知道一条边BC 的长,AC 的长不知道,但AC 与AB 有关系AC+AB=10,因此可设AB 为x 尺,则AC 为（10-x ）尺,利用勾股定理可列出方程()222103x x -=+,解得x=4.55反思:勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程,所以,在利用勾股定理求线段的长时常常利用列方程来解决.勾股定理表达式中有三个量,当无法已知两个量求第三个量时,应采用间接求法,灵活地寻找题中的数量关系,利用勾股定理列方程.四.勾股定理与转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题,将特殊的问题转化为一般的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将综合的问题转化为基本的问题等一种解题的手段.如解方程（组）问题中,高次转化为一次,多元转化为一元;在几何问题中,将多边形转化为三角形,将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4:(课本P81复习题18 T8)已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁从A 点爬到B 点的最短路程是多少厘米?（结果保留小数点后1位）思考与分析:我们知道蚂蚁在圆柱表面爬行的路线是一条曲线,目前学生还无法用所学的知识求曲线的长,另外,在一个曲面上,最短的路线怎样走更是无从知道.但我们知道在平面几何中有一个结论“两点之间,线段最短”,因此我们可以借助平面展开的方法,把圆柱的侧面展开成一个矩形如图,AB 即为所求.通过分析可知AC 对应圆柱的高10cm,BC 是底面圆的周长的一半即为π6,根据勾股定理得 ()m AB 3.2136100610222≈+=+=ππ 反思:在立体图形的表面讨论最短距离,应先将立体图形转化为平面图形,再利用“两点3尺 Ax10-x B A ●C之间,线段最短”及勾股定理求解.本题还可以拓广到在正方体、圆锥、长方体中求最短距离.还应明确的是圆柱、正方体、圆锥的展开方式只有一种,而长方体的展开方式不只一种,须分类讨论,再通过比较得出最后的答案.五.勾股定理与整体思想 整体思想是指对于某些数学问题,如果拘泥常规,从局部着手,则难以求解;如果把问题的某个部分或几个部分看成一个整体进行思考,就能开阔思路,较快解答题目.例5.在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图）.已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,求4321S S S S +++思考与分析:本题不可能具体求出1S 、2S 、3S 、4S 的值,但我们可以利用三角形全等和勾股定理分别求出21S S +、32S S +、43S S +解:易证Rt△ABC ≌ Rt△CDE∴ AB = CD∵222CE DE CD =+∴222CE DE AB =+∵32S AB =,42S DE =,32=CE ∴343=+S S同理可得121=+S S∴4314321=+=+++S S S S反思:化分散为集中的整体策略是数学解题的重要方法,利用整体思想,不仅会使问题化繁为简、化难为易,而且有助于培养学生的创造性思维能力.六.勾股定理与类比思想类比思想是数学学习的一种重要发现式和创造性思维.它是通过两个已知事物在某些方面所具有的共同属性,去推测这两个事物在其他方面也有相同或类似的属性,从而大胆猜想得到结论.例6.（1）如图①,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个正方形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请说明132S S S =+（2）如图②,分别以Rt △ABC 的三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,132S S S =+仍然成立吗?请说明理由.（3）如图③,分别以Rt △ABC 的三边为边向外作三个等边三角形,其面积分别用1S 、2S 、3S 表示,请你确定1S 、2S 、3S 之间的关系并加以证明.古人云: “授人以鱼,不如授人以渔.”数学教师不仅要教会学生解题,更重要的是让学生学会解题的方法,让学生具备独立分析和解决问题的能力,从而达到举一反三的目的,这是二十一世纪现代素质教育的要求.因此,在数学课堂教学中,需要我们教师有意识的将这些数学思想方法加以点拨并渗透,这对学生来说是终生受益的.。
勾股定理教学中体现的数学思想
勾股定理教学中体现的数学思想丹阳市华南实验学校 夏青梅随着新课程标准的逐步实行与推广，数学教学在培养学生基础知识和基本技能的同时，应更加注重培养学生的思维能力。
本文以勾股定理的教学为例，谈谈新课程中体现的数学思想，与广大同仁共同探讨。
勾股定理是数学中的至宝，在古今中外数学发展史上，是一个最基本最重要的定理。
在运用勾股定理解决实际问题时，常会遇到一些疑难问题，若能结合运用一些数学思想方法，转换思维角度，便可使思路开阔，方法简捷。
现举例说明：一、化归思想所谓化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个简单的问题，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”，它具有不可逆转的单向性。
例1、 已知△ABC 中∠B=60°，∠C=45°，AB=4，求BC 的值。
评析：△ABC 为斜三角形，利用化归思想可通过化斜三角形为直角三角形，从而利用勾股定理得以解决。
过A 点作BC 边上的高AE ，将△ABC 分成两个特殊的直角三角形ABE 与ACE ，根据勾股定理由AB=4，∠B=60°，先分别求出BE=2，AE=22，再由∠C=45°得AE=CE ，求出CE=22，从而得到BC 的值为22+2。
本题将一个较复杂的问题转化归结为一个简单的基本的问题，从而得到解决。
例2、八（1）小刚同学代表学校在北京参加航模比赛，这天小刚与老师、同学兴冲冲来到机场，却遇到了一个大问题：机场规定旅客随机携带的物品的长、宽、高不得超过一米，而小刚的飞机模型却有1.6米长，飞机模型不能折断、拆卸，托运又来不及，怎么办呢？正当老师与同学们发愁的时候，小刚灵机一动，利用课堂上学到的知识将飞机模型完整地带上了飞机。
同样聪明的你，想到什么办法吗？并请你讲出其中的道理。
评析：这是一个生活实际问题，我们可以将它转化归结为一个数学问题。
先在底面ABCD 的直角三角形ABD 中利用勾股定理由AB=AD=1，求出对角线BD=2；再在对角平面D ’DBB ’的直角三角形DBD ’中，由DD ’=1, BD=2，求出BD ’=3，又因为3≈1.7＞1.6 ，因而便可判断能将飞机模型完整地带上了飞机。
勾股定理应用中的数学思想
勾股定理应用中的数学思想勾股定理是平面几何有关度量的最基本定理之一，它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，揭示了直角三角形的一个重要的三边关系．在勾股定理的探索和应用过程中，蕴含着丰富的数学思想．下面试举几例：一、方程思想方程思想是初中数学中一种常用的数学思想，它通过设未知量、寻找相等关系建立方程模型，运用方程的有关知识沟通“已知”和“未知”之间关系的思想，即方程思想．例1、如图1，△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求BC 边上的高AD ．分析：本题的图形是由一条公共边AD 的两个直角三角形（Rt △ABD 和Rt △ACD ）组成的图形，我们一般称为复合三角形．求解复合三角形的基本思路是抓住公共边，利用公共边相等来建立方程．解析：设DC=x ，则BD=14- x ．根据勾股定理得 AD 2=152-（14- x ）2， AD 2=132- x 2∴152-（14- x ）2=132- x2225-（196-28x + x 2）=169- x 2225-196+28x -x 2=169- x 228x=169-225+196 28x=365-225 28x=140 x=5在Rt △ACD 中 AD 2= AC 2-CD 2=132-52= 144 ∴ AD=12 二、数形结合思想数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的．例1．如图2有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC•沿直DABC图1线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 长．解析：本题关键在于观察图形，明确折叠前、后的两个图形是全等的，特别要注意△DEB 仍是直角三角形．通过Rt △ABC ，∠C=90°，AC=6，BC=8 利用勾股定理可求出 AB=10．由题意知△ACD ≌△AED ⇒∠AED=∠C=90°⇒∠DEB=90°，且DE=CD ，AC=AE=6，设CD=x ，则DE=x ，而EB=10-6=4，抓住Rt △DEB 的三边关系，利用勾股定理就可以求出．在Rt △DEB 中，BD 2=DE 2+BE 2（8-x ）2=x 2+42， 64-16x+x 2=x 2+16， 16x=48， 解得x=3（cm ）． 即CD 的长是3 cm. 三、分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，也是一种重要的数学思想．例3.在一个直角三角形中，已知有两条边的长分别为3和4，求以第三条边为边长的正方形的面积．解析：此题中并没有说明第三条边是直角边还是斜边，所以需要分类讨论，设第三条边的长为x ．（1）当x 为斜边时，根据勾股定理得x 2=32+42=52=25，所以第三条边为边长的正方形的面积是25．（2）当x 为直角边时，根据勾股定理得x 2=42-32=16-9=7，所以第三条边为边长的正方形的面积是7．因此，以第三条边为边长的正方形的面积是25或7. 四、转化思想转化思想是把未知的问题转化到在已有知识范围内可解问题的一种重要的思想方法．数学的解题过程，就是图3AMG C DEH FB从“未知”向“已知”、从“复杂”到“简单”的化归转换过程．在本章中，求长方体、圆柱等立体图形表面的最短距离时，通常都是把其侧面展开成平面图形，然后根据“两点之间，线段最短”，利用勾股定理求解．例4. 如图3是一个长8 m、宽6m、高5m的长方体形仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎、B（宽的三等分点）处有一只蚊子，请你帮壁虎设计爬到蚊子处的最短路线，并说明理由．解析：解决立体图形中最短距离问题的关键是把利用转化思想，把陌生的立体图形转化到熟悉的平面图形，再利用“两点之间，线段最短”求解，壁虎要从A点爬到B点，有两条路线可走：（1）如图a，经过CDEF面后进入CFGH面到达B点．在Rt△ABE中，BE=4+5=9m，AE=6m，根据勾股定理得AB2=AE2+BE2=62+92=117 .(2)如图b，经过CDEF面后进入EFGM面，在Rt△ABN中，EN=FB=4m，AN=AE+EN=6+4=10m， BN=FE=5m，所以AB2=AN2+BN2=102+52=125. 显然125＞117,所以壁虎趴到蚊子处的最短路线是沿着图a中的线段AB．图aHCD EFGAB图bG CDFAB。
勾股定理中的数学思想方法.docx
勾股定理中的数学思想方法山东李敏数学思想是数学知识的精髓，又是把知识转化为能力的桥梁，如果能正确把握数学思想方法, 在解题时可思路开阔，方法简便、快捷，下面就勾股定理屮的数学思想方法归纳如下，供同学们在复习时参考，一、方程思想例1、（课本题）在我国古代数学著作《九章算术》中记载看〈池葭出水〉的一道趣题：有一个正方形的池子，边长为1丈，池中心有一株芦苇，露出水面1尺，将芦苇拉至池边，它的末端正好与水面一样平，水有多深？芦苇有多长？求解此题（“丈”和“尺”都是旧制长度单位，现已停止使用，1丈二10尺，1米二3尺）分析、由图1和题意，我们可抽象出图2,在图2屮AC为水深，BC为水面宽的一半，AD 和AB都等于芦苇的长度，AABC为直角三角形解、设水深AC=x尺，芦苇长为AB=（x+l）尺，D 在RtAABC中，根据勾股定理得：X2+52=（X+1）2解得：x=12所以水池的深度为12尺，芦苇长为13尺点评、方程虽然是代数中的内容，但是很多儿何图形的计算问题，都可以转化为方程问题来解决，本题虽然只有一条直角三角形的边，但题意中包含看另二条边的关系，因此我们可以从这一数量关系入手就可以利用勾股定理列出方程，通过方程使问题得以解决.二、转化思想例2、如图3,有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米，在图柱下底面的A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A处相对的B处的食物，沿着圆柱的侧面爬行的最短距离是多少？（兀取3.）分析、木题看上去是一个曲面上的路线最短问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图转化为平面上的路线最短问题，使曲转化为直，如图4是圆柱的侧面展开图，其一边长为圆柱的高, 另一边长为圆柱的底面周长，显然，蚂蚁沿AB线爬行时，其爬行的路线最短,解、画出圆柱的侧面展开图，如图4, 根据题意，蚂蚁在A处，食物在B处，AB为蚂蚁爬行的最短路线，IL AC=12,1BO- X2 n X3=92在RtAABC中，根据勾股定理AB2=AC2+BC2=122+92= 152所以蚂蚁爬行的最短路线AC=15厘米点评、本题将曲面上的问题，转化为平面上的问题，充分体现了，转化思想在解题屮的应用.三、整体思想例3、(课本题)已知a 、b^ c 分别是RtAABC 的两条直角边和斜边，且a+b 二14, c=10,贝§ S AABC = ____________分析，一般的想法，耍求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b,则S AABC 即可求 出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S AABC =-^，那么只要2求出ab 这一整体就可以了.解、由 a+b=14,两边平方得：a 2+2ab+b 2=196,根据勾股定理，a 2+b 2=c 2因此、S AABC 二—ab =48 2点评、整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定 程度上，体现了解题者的目标意识.四、数形结合思想例4、用四个全等的直角三角形可以拼成如图5所示的正方形，这个 图形我们称之为“弦图”，利用这个“弦图”，你能验证:a 2+b 2=c 2 吗？把你的验证过程写下来，并与同伴进行交流.分析、显然，图5以c 为边长的正方形的面积有两种不同的表示方法解、由图可知;S 正方形=4X —ab+ (b-a) 2=a 2+b 22 2 S 正方形二c 所以、a 2+b 2=c 2点评、数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识 转化为形彖的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视. 所以ab= 196-（/+沪） 2所以,"豊=196-10； =48。
勾股定理中隐含的数学思想
．
■
图 １
一
对数学 问题进行 分情况讨 论求解 ，可使解 题准确 ，从而 避
例 ４ 下面是数学课堂的一个学 习片断 ，阅读后 ，请 回答 下
免产生漏解现象出现．
面 的问 题 ．
学 习勾 股定理有 关 内容后 ，张老 师请 同学们交 流讨 论这 样
解 析 ：由题 意可 知 ＋ｂ ＝１ ，（ 一ｂ ｚ ： ３ ０ ）＝１
一
、
课 堂提 问 表 象
思 维起源于 问题 ，没有 问题 就没有思维 ． 数学课堂 中每天都 的研究 调查和实 际操作策 略等方 面的研究较 少 ，已有 的成果被
在 思考问题 ，解决 问题 ，但 这些问题 中的含金量 有多少 呢？有 引入 到具体 的数 学教学 实践时 ，在操作 中就 难免会 出现许 多误 下 效 性多大 呢？结合 笔者听课 经历 ，发 现一部分 教师根 据数学 内 区． 面就课 堂教学 提问中存在 的误 区进行分析与探究． 容设计 问题的意识 比较差 ，有效 提问很少 ． 这种现状直 接导致课 堂 教学 效率低下 ，急需 改观．
陈 同金 （ 西省赣 州 中学） 江
摘 要 ：数学 思想方法对 于打好 “ 双基 ”和加 深对知识 的理
根据完全平方公式 （ —ｂ ２ ａ ｎ ）＝ａ —２ｂ＋ｂ 可得 １ ３—２ｂ＝１ ａ ，
所 以 ２６＝１． ｎ ２ 所 以 （ ＋ｂ ２ ａ ０ ）＝ａ ＋２ｂ＋ｂ ＝１ ３＋１ ２＝２ ． ５
想 ，构造直角三角形 ，再利用勾股定 理求解．任何一个数学 问题
二 、 整体 思 想
对 于数 学问题 ，从 大处着 眼 ，从整 体人手 ，可使 问题 变难 都 是通过数或形 的逐步 转化 ，化 归为一个 比较熟悉 、比较容易
勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起着重要的作用．它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，把数与形统一起来，在现实世界中有着广泛的应用．勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=； 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b c 222+=，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理揭示了直角三角形三边关系的重要性质；它的逆定理则是从三角形三边关系判定三角形是否是直角三角形的一个方法．学习《勾股定理》这一章，除了掌握上述两个定理之外，还应了解：这一章中蕴含着哪些重要的数学思想方法？在运用勾股定理解题时，若能正确地把握数学思想，则可思路开阔，方法简便快捷，下面举例说明，供同学们参考． 一、数形结合思想勾股定理本身就是数形结合的定理，它的验证和应用，都体现了数形结合的思想． 例1．如图1是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依次类推，若正方形1的边长为64cm ，则正方形的边长为 cm ．析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．例2．有一直立标杆，它的上部被风吹折，杆顶着地，离杆脚20cm ，修好后又被风吹杆，因新断处比前次低了5cm ，且标杆顶着地处比前次远10cm ，求标杆的高．析解：依题意作图如2，数形结合求解，设第一次吹折后下段AB 的长为xcm ，上段BC 的长为ycm ，第二次折后下段AD 的长为（x-5）cm ，上段DE 的长为（y+5）cm ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-22222230)5()5(20x y x y只要求出x+y 的值即求出标杆的高而不必单独求x 与y 的值．②-①得10（x+y ）=500∴x+y=50故标杆的高为50cm评析：利用三边的平方关系或辅助线或生活常识可获得直角三角形，进而可求边长或面积．数形结合思想是数学中的重要思想方法，它可以使抽象的知识转化为形象的图形，从而处理起来，更直观、容易，应引起同学们的重视．二、方程思想例3．在印度数学家拜·斯加罗的著作中，记载了一个有趣的“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺声红莲；图1出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”，请你用学过的数学知识回答这个问题．析解：此诗的大意是：在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面0.5尺，忽然一阵狂风把荷花吹在水中淹没了，最后荷花垂直落到湖底，到了秋天，渔翁发现，落到湖底的荷花离根部有2尺远，如图，你知道这个湖的水深是多少尺吗？解答过程应该是这个样子的：设水深为x 尺，根据勾股定理，可得2222(0.5)x x +=+，所以x=3.75，故这个湖的水深是3.75尺． 三、转化思想例4．如图3所示，有一根高为2m 的木柱，它的底面周长为0.3m ，为了营造喜庆的气氛，老师要求小明将一根彩带从柱底向柱顶均匀地缠绕7圈，一直缠到起点的正上方为止，问：小明至少需要准备多长的一根彩带？分析与解：（1）将一张直角三角形的纸片在铅笔上缠绕七圈，将纸片展开，发现彩带的长相当于直角三角形的斜边长（如图4），可以利用勾股定理求出彩带的长．∵BC 为木柱的高，∴2m BC =.又∵木柱的底面周长为0.3m ，∴AC 的长为0.37 2.1m ⨯=．在Rt ACB △中，由勾股定理，得222AB AC BC =+，因此彩带的长为 2.9m AB =．（2）在木柱上均匀地缠绕7圈，相当于将木柱分成相等的七段，在每一段木柱上由底向正上方缠绕一根彩带，其侧面展开图是一个矩形，对角线的长为每段彩带的长（如图5）．∵EF 为木柱的17，∴2m 7EF =. 又∵DE 为木柱展开后的底面周长，∴0.3m DF =. 在Rt DEF ∆中，由勾股定理，得222DE DF EF =+， ∴29m 70DE =，因此，彩带的长为7 2.9m DE ⨯=． 评析：遇到一些空间问题，通过动手实际操作一下，建立实物模型，这是建立空间概念的良好训练方法；而对实际问题进行分解、转化是数学解题中常用的思路．四、分类讨论思想例5．如图6是一块长、宽、高分别为6厘米、4厘米、3厘米的长方题木块．一只蚂蚁要从木块的一定点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）．A .)323(+厘米B .97厘米C .85 厘米D .9厘米分析：这个问题是个空间问题，应该把他平面化．所以将长方体展开是解决本题的关键．分类一：我将长方体相邻两侧面展开可得图7，由图7，可得222310AB +==109． 分类二：我展开的图形和小敏的不一样，我的展开图如图8，根据图8可得22267AB +==85．分类三：我还有一种展开的方法，请大家看图9，这个时候我可得22294AB +==97． 评析：同学们思考的都非常有道理，通过比较我们可以发现沿图8的爬行路径路程最短，所以85=AB 厘米．故选C ．五、整体思想例6：（课本题）已知a 、b 、c 分别是Rt △ABC 的两条直角边和斜边，且a+b=14，c=10，则S △ABC =分析：一般的想法，要求直角三角形的面积，先求出其两条直角边a 、b ，则S △ABC 即可求出，但这样求a 、b 非常繁杂，甚至在现阶段不可能，如果注意到：S △ABC =ab 21，那么只要求出ab 这一整体就可以了．解、由a+b=14，两边平方得：a 2+2ab+b 2=196， 所以ab=()219622b a +- 根据勾股定理，a 2+b 2=c 2 所以，ab=21962c -=2101962-=48 因此S △ABC =ab 21=48例7：如图10，BC 长为3厘米，AB 长为4厘米，AF 长为13厘米．求正方形CDEF 的面积．分析：一般的想法，要求出正方形的面积，先求出其边长CF ；要求出CF ，先要求出AC ．好，现在我们就顺着这个思路来求．在Rt ABC △中，222223425AC AB BC =+=+=，所以5AC =，在Rt FAC △中，22222135194F C A F A C =+=+=，FC为多少？数不够用了！我们再去看一下题目，是让求正方形的面积，正方形的面积为2FC ，何必去求FC ，只要求出2FC 这个“整体”就可以，原来正方形的面积为194，我们已经求出来了！（解答过程请同学们完成） 评析：整体思想，有时可以便问题直奔主体，少走弯路，使问题的解决方便、快捷，在一定程度上，体现了解题者的目标意识．。
第十七章 勾股定理(单元解读)八年级数学下册(人教版)
教材内容 ---教学目标定位
1.经历股定理及其逆定理的探索过程;知道这两个定理的联系与区别能运用 这两个定理解决一些简单的实际问题. 2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会运用这两个定理解决一些几 何问题. 3.通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题， 知道原命题成立时其逆命题不一定成立. 4.通过对我国古代研究勾股定理成就的介绍，培养民族自豪感:通过对勾股 定理的探索和交流，培养数学学习的信心.
知识结构
◆本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的 逆定理及其应用.在第二节中结合勾股定理逆定理的内容展开，穿插介绍了 逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立.
知识结构
勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个 判定定理.教科书按照先性质后判定的顺序，第一节安排了对于勾股定理的 观察、计算、猜想、证明及简单应用的探究过程，第二节勾股定理逆定理 的安排也是设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的完整过程.展现 了“从特殊到一般”的研究几何图形的基本思路和定理课观察→计算→猜 想→证明的基本流程.
教材内容 ---地位和作用
◆勾股定理既是对直角三角形性质的丰富与深化，又是学习锐角三角函数 的基础;是“以形求数、以数溯形”的重要工具;在解决面积问题、三角形 问题、四边形问题圆的问题中都有勾股定理的“倩影”. ◆勾股定理的证明和应用历来都是中考命题的重点.近年来各地中考中有关 勾股定理方面的命题主要有以下几个方面:利用股定理解决门框是否能通过 的问题、利用勾股定理解决梯子移动的问题、利用勾股定理解决芦苇倾斜 的问题、利用勾股定理在数轴上表示无理数、利用勾股定理建立方程、折 叠问题、最短路径问题等。尤其是“利用勾股定理建立方程解决问题”几 乎在每个省份的考查中都有体现.
勾股定理中的数学思想
ＢＣ＝ ＢＤ＋ＣＤ＝１ ９＝ ５． ６＋ ２
数学 思想 总结 如下 ：
二 堡星塑
侧 ， 如 图 １ 有 一 张 直 角 三 角 形 纸 片 ＡＢＣ， 直 角 边 ， 两 ＡＣ＝ ｍ ， ＝ ＯＣ １ △ ＢＣ 折 叠 ， 点 Ｂ 与 点 Ａ 重 合 ， ５ａ ＢＣ Ｉ ｎ． 将 使 折
痕 为 ＤＥ， Ｃ 的 长 为 （ 则 Ｄ ） ．
侧 ７ （ ０ ５ ． 宁 市 课 改 实 验 区 ） 图７． ２０ 年 南 如 ＥＧ／ ＡＦ． 你 从 下 面 三 ／ 请
个 条件 中选 两个 作 为 已知 条件 ． 一个 作 为 结论 ， 证 明你 的结论 （ 需 另 并 只 写 出一 种情 况 ） ．
①Ａ ＝ Ｂ ＡＣ， ， ＝ Ｆ， Ｂ ＝ Ｃ ② Ｊ Ｄ ③ Ｅ Ｆ． Ｅ 已知 ： ／ ＥＧ／ ＡＦ，
ｃ 三 Ｂ Ｌ
图 １
Ａ ５ ｍ ．２
２
Ｂ堕 。 ｍ
．
ｃ
．
ｍ
４
Ｄ．
４
ｍ
２
六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 呋 六 六 六
证 明过 程 略．
注 ： 试 中解题 时 ， 用 写 出一 种情 况 ， 条 件 与结论 须 对应． 考 只 且
所 ｓ ｛ｃＤ２５２５ 以 ・＝ｘｘ＝ｏ Ａ ２１１．
所 ｓ ｛ ｃＤ２ ｘ＝． 以 ・：ｘ１４ Ａ １７２２
《勾股定理》中的数学思想
庭雹） ） ０国 学圆阁
浙江 杨 燕
角 三 角形 的 两 直 角 边 长 分 别 为 ａ， 。 边 长 为 ｃ ｂ斜 ，
形 的 三 边 长 ａ， ｃ满 足 ｎ ＋ ６ ｂ， 一 ｃ 。那 么这 个 三
角三 角形 三边 关 系 的重要 性质 ； 的逆 定理 则 是 它 从 三 角形 三边关 系 判定 三 角形是 否是 直 角三 角形 的一 个 方法 ． 学 习《 勾股 定 理 》 一章 ， 了掌 握 上 述 两个 定 理 之 外 ， 应 了 解 ： 这 除 还 这 … 章 中蕴含着 哪 些重 要的 数学 思 想方 法 ？ 主 要 的数学 思 想方 法 ， 至 包括 以下 两 点 ：
—
积 一 Ｅ３・ Ｈ ・ ｉＬ ＥＤ 如 果 ＥｏＨ 一 ３ 。 则 Ａ Ｃ 的面 积 一 ｌ Ｆ ｓ ｎ ｌＨ． ０， Ｂ Ｄ
告磁 ・ Ｈ， Ｆ 这说明， 当时农民承租土地时是受到极大损失的． ”
余育 以上 ３条 性质是 所 有 四边形 都 具有 的 ， 学 习四边 形的 过 程 在
中应ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ好 好掌握 它们．
考
例 １ （ Ｏ ５年 江西 省 中考题 ）如 图 １ 正 ２Ｏ ，
方形 网格 中， 个 小 正方 形 的边 长 为 １则 网榕 上 的 每 ，
＼
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三角形 ＡＢＣ 中， 长 为无理 数 的边 数是 （ 边
（ Ａ） ０
（ Ｃ） ２
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分析
本 题 由网格 中直 角三 角 形 求 ＡＢ，
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勾股定理中的数学思想方法
勾股定理中的数学思想方法作者：祁静来源：《初中生世界·八年级》2014年第12期勾股定理是数学中几个重要定理之一，其中蕴含了多种数学思想方法，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学知识，而熟练地运用这些思想则可提高独立分析问题、解决问题的能力.现将常见的数学思想列举如下.一、方程思想方程思想是初中数学中的一种基本的数学思想方法.在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往要应用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，则需要列方程解决.【点评】勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程，所以在利用勾股定理求线段的长时常常利用解方程来解决. 勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段的长时需要明确的思路.二、数形结合思想所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，从而达到迅速解决问题的目的.例2 在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树直奔离树20 m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，距离以直线计算，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？【分析】根据题意画出图形，再在直角三角形中运用勾股定理构建方程求解.解：如图2所示，【点评】在一些求值计算题中，有些题目没有给出图形，当画出符合题意的图形不唯一时，要注意分情况进行讨论，避免遗漏.四、转化思想转化思想是指将陌生的问题转化为熟悉的问题，将繁杂转化为简单，将综合转化为基本的一种解题手段.如在几何题中，将多边形转化为三角形，将空间图形转化为平面图形等都是转化思想的具体体现.例4 已知长方体的长BC=2 cm，宽AC=1 cm，高AA′=4 cm. 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近？最短路程是多少？【分析】在长方体上爬行，从A点爬到B′点至少需要经过两个面，因此蚂蚁爬行路线是曲线或折线，不易计算其长度，将长方体沿棱打开，则从A点爬到B′点的距离是线段AB′的长度.解：根据题意，如图6所示，最短路径有以下三种情况：答：最短路径为（1）所示的5 cm.【点评】在立体图形的表面讨论最短距离，求解的基本步骤是：（1）将立体图形转化为平面图形，长方形通常有几种不同的展开方式，而正方体、圆柱、圆锥通常只有一种；（2）连接两点，利用“两点之间线段最短”，求得两点之间线段长度，通过比较，得出答案.（作者单位：江苏省镇江市外国语学校）。
勾股定理中四种重要
勾股定理中四种重要的数学思想1 方程思想1.1 求距离长度问题例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？ 分析：在Rt △ABC 中，只有BC 边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解.1.2 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D 落边BC 上，交BC 与点F.已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.分析：Rt △AEF,是Rt △AED 沿边AE 边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC 边长，构造直角三角形，找出EC 边所在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.2 数形结合思想 2.1 方位问题：方位问题是勾股定理实际运用的重要体现.也是数形结合的典型列子.例3：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性.如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A 的正南方向220km B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h 的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.分析：根据图形找出距离A 点最近的台风中心的位置,求出距离就可以判断是否收到影响,影响的风力.根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围,构造直角三角形,根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长. (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级.图2 E D A BC F3 分类思想例4 在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.分析:可以对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状.例5 有一个面积为160m²的等腰三角形草地，测得它的一边长为20m.现要给这块三角形草四周围上低矮栅栏，则栅栏的长度为____m.图64 转换思想例6 一长方体礼盒如图9所示，其中A A 'B 'B,C C 'D 'D 面为边长为10的正方形,BC=20.在底部A 处有壁虎，C '处有一蚊子，壁虎急于捕捉到坟子充饥.(l)试确定壁虎所走的最短路线;(2)若立方体礼盒的棱长为10cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到坟子，求壁虎的每分钟至少 爬行多少厘米(保留整数)?B'C'CA'C例7 有一圆柱物体，如图所示，一只蚂蚁要从A 点绕物体的外壁爬行，正好到A 的正上方相对的B 点处，问蚂蚁爬行的最短路径是多少.（已知物体的地面半径是2m ，高是4m.）分析：解此题的关键是利用转换思想，把圆柱体的侧面展开，得到一个矩形，找出对应的A,B 点在展开图中的位置利用两点间的线段最短与勾股定理知识作答.以上四中数学思想是勾股定理解题中最重要的数学思想，它们不仅可以相互独立使用，而且在许多问题解决中都是相互联系的，概括这些思想，有助于我们更好地使用这些数学思想去解决问题，提高解决问题能力。
勾股定理蕴含的数学思想方法等思政育人因素
勾股定理蕴含的数学思想方法等思政育人因素勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的一条基本几何定理，也被称为毕氏定理。
该定理表明，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的蕴含了很多重要的数学思想方法和思政育人因素，具体如下：
数学思想方法：勾股定理是通过几何图形的分析与推导得出的，它体现了数学思维的逻辑性和严谨性。
在证明过程中，需要运用到几何图形的构造、角度的计算、相似三角形的性质等数学方法。
这种推导证明方法强调了严密的逻辑推理和精确的数值计算，培养了学生的逻辑思维和数学推理能力。
抽象思维：勾股定理的应用不仅局限于直角三角形，而是可以推广到各种类型的三角形。
这要求学生在解决问题时具备抽象思维的能力，将具体情况进行抽象化，找出问题的共性并推导出普遍的结论。
通过运用勾股定理解决实际问题，学生能够培养抽象思维的能力，提高分析和解决问题的能力。
实用价值：勾股定理在日常生活中有很广泛的应用，如测量直角三角形边长、确定平面位置等。
通过学习勾股定理，学生可以掌握一种实用的数学工具，提高实际问题的解决能力，培养科学精神和实践能力。
合作与创新：在学习勾股定理的过程中，学生可以进行小组讨论和合作，共同研究问题，互相启发，提高解决问题的效率和质量。
勾股定理中的数学思想
勾股定理中的数学思想勾股定理是平面几何相关胸怀的最基本定理 ,它从边的角度进一步刻画了直角三角形的特点 .同学们在学习时 ,不单要灵巧运用该定理及逆定理 ,并且还要注意在解题中蕴涵着丰富的数学思想 .比方数形联合思想、转变思想、方程思想等 .现举出几例进行剖析 ,供同学们参照 .一、数形联合思想例 1. 在直线L上挨次摆放着七个正方形(如图1所示),已知斜搁置的三个正方形的面积分别是1、2、3, 正搁置的四个正方形的面积挨次是S1、S2、S3、S4 ,则 S1 +S2 +S3 +S4 =. 312S4 S2 S3S1L图 1剖析 :经过察看图形 ,能够看出正放着正方形面积与斜搁置的正方形之间关系为 : S 1 +S2 =1;S 2 +S3 =2; S 3 +S4 =3; 这样数形联合可把问题解决.解: S1代表的面积为 S1的正方形边长的平方 , S2代表的面积为S2的正方形边长的平方 , 所以 S1 +S2 =斜搁置的正方形面积为1; 同理 S3 +S4 =斜搁置的正方形面积为 3, 故 S1 +S2 +S3 +S4 =1+3=4.二、转变思想例 2. 如图 2,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高为 20cm,点 B 离点 C 的距离是5cm,一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 C,需要爬行的最短路径是多少 ?剖析:蚂蚁其实是在长方体的侧面上爬行,假如将长方体的侧面睁开 (如图 2-1),依据“两点之间线段最短 .”所以求得的路径就是侧面睁开图中线段 AC 之长 ,但睁开方式有 3 种,这样经过侧面睁开图把立体图形转变为平面图形,结构成直角三角形,利用勾股定理即可求解 .解:如下图 ,把长方体睁开后获得如图 2-1、图 2-2 、图 2-3 三种情况 , 蚂蚁爬行的路径为睁开图中的 AC长 , 依据勾股定理可知 :2222 2在图 2-1 中 ,AC =AB BC =30 5 =925图 2-3 中, AC 2 = AD2CD 2=252102=725于是 , 依据上边三种睁开情况中的 AC长比较 , 最短的路径是在图 2-2 中, 故蚂蚁从 A 点爬行到点 C,最短距离为 25cm.三、方程思想例 3. 如图 3, 铁路上 A、B 两点相距 25km,C、 D两点为乡村， DA⊥AB于 A，CB ⊥AB于 B，已知 DA=15km， CB=10km。
勾股定理的数学思想
勾股定理中的数学思想《勾股定理》是欧氏几何中的瑰宝。
在运用勾股定理解决实际时，若能结合运用一些数学思想，则可使思路开阔、方法简捷。
下面举例说明。
1. 整体思想例1 如图1，已知Rt △ABC 的周长为62+，其中斜边2=AB ，求这个三角形的面积。
图1分析：若要直接求出a 与b 的值，要用二次方程求解较繁。
但由ab S 21=联想到运用整体思想（将ab 视为一个整体），问题便可顺利获解。
解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得2222=+b a 即42)(2=-+ab b a 又由已知得6=+b a 所以42)6(2=-ab解得1=ab 所以2121==ab S 2. 转换思想例2 有一立方体礼盒如图2所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥。
图2（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米（保留整数）分析：求几何体表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转换成平面图形，于是问题可迎刃而解。
解：（1）若把礼盒的上底面A’B’C’D’竖立起来，如图3所示，使它与立方体的正面（ABB’A’）在同一平面内，然后连结AC’，根据“两点间线段最短”知，线段AC’就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线。
图3（2）由（1）得，△ABC’是直角三角形，且40'20==BC AB ，。
根据勾股定理，得22''BC AB AC +=)(7.44402022cm ≈+=壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行90厘米（只入不舍）。
3. 分类思想例3 在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高线AD=12。
试求BC 的长。
分析：由于三角形的高线随其形状的不同而改变，其中锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，所以必须分两种情况讨论。
解：由于三角形的形状不确定，所以求BC 的长可以从以下两方面考虑：（1）如图4，当BC 边上的高线在△ABC 内部时，由勾股定理，得图4912152222=-=-=AD AB BD1612202222=-=-=AD AC CD所以25169=+=+=CD BD BC（2）如图5，当BC 边上的高线在△ABC 外部时，同理可得图5169==CD BD ，此时7916=-=-=BD CD BC综上所述，BC 的长为25或7。
勾股定理证明方法及论文
勾股定理论文初一（5）班庞博睿一、勾股定理的概述勾股定理是数学中极其重要的一个定理，是几何学中的明珠，充满了魅力，它揭示了直角三角形中三条边之间的关系，而且应用十分广泛。
勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，也是每年中考必考的重要知识点之一。
古今中外有不少数学家、物理学家，甚至有画家、政治家等都在寻求它的证明方法. 传说古希腊的毕达哥拉斯在找到一种证明方法后，欣喜若狂，便杀了100头牛来祭神，表示庆祝，所以勾股定理也被称为“百牛定理”.。
勾股定理是几何证明方法最多的一个定理，现在已经找到400多种证明方法，其中我们聪明睿智的祖先找到的就有200多种。
因此，勾股定理被说成是中国几何学的根源. 中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源都与勾股定理有密切的关系。
我国伟大的数学家华罗庚将勾股定理称为茫茫宇宙星际交流的“语言”，因为数学是一切有智慧生物的共同语言，所以我们有更多的理由要学好它。
学习勾股定理时，应抓住三大关键：一是勾股定理及其逆定理的证明方法；二是勾股定理及其逆定理的应用；三是怎样寻找勾股数。
对于第二个问题，又应抓住四个方面：一是勾股定理在几何计算中的应用；二是勾股定理在几何证明中的应用；三是勾股定理及其逆定理的综合应用；四是勾股定理在代数证题中的应用。
勾股定理是我国最早证明的几何定理之一，是中华数学的精髓。
几千年以来，有无数古今中外的学者对它进行了证明. 其中包括汉代的赵爽、魏晋时期的刘徽、美国总统伽菲尔德、著名画家达•芬奇……在初中数学中常常提到的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、方程思想、整体思想. 在勾股定理的应用中，渗透了上述四种数学思想！中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。
尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
二﹑勾股定理的证明方法 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形。
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透
例谈五种数学思想在《勾股定理》教学中的渗透作者：曾祥华来源：《中学教学参考·理科版》2014年第01期数学思想方法是人们对数学知识内容本质的认识，是人们学习和应用数学知识过程中思维活动的向导.勾股定理是数学中的一个重要定理，因此在教学过程中要注意渗透以下五种思想，从而提高学生的解题能力.一、方程思想方程思想是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，运用定义、公式、性质、定理和已知条件、隐含条件，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，从而使问题得到解决的思想方法.在勾股定理教学中，教师要注重培养学生方程思想，让学生学会设直角三角形的一边为x，再用x的代数式表示其他边，然后根据“勾2+股2=弦2”列出方程，最后解决问题.【例1】如图1，△ABC是直角三角形，DE是AB的垂直平分线，若AC=4cm，BC=3cm，求CE的长.解：设CE=xcm，∵AC=4cm，∴AE=AC-CE=（4-x）cm，通过以上设计的例题教学，一方面增强了学生探究的兴趣，另一方面也训练了学生如何将实际问题转化为数学问题，即建模的能力.如此设计例题教学符合建构主义学习观，符合高中阶段学生的思维特征，能促进学生创造性思维能力的培养，让例题教学的质量更高.四、化归思想化归思想是指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决问题的一种方法.教育家波利亚曾经说过：“解数学题转化是关键，就是把那些陌生的、较为困难或复杂抽象的数学问题，通过某种转化方式转化为某些熟悉的、已经解决的或容易解决的数学问题.”因此，教师在教学过程中要注意渗透转化思想，从而提高学生应用勾股定理解决实际问题的能力.【例4】如图4，一块长、宽、高分别是6cm、4cm、3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是（）.连接EF，在Rt△EBF中，根据勾股定理得BE2+BF2=EF2.∵∠DCE=45°，∴∠2+∠4=∠4+∠3=45°，即∠DCE=∠ECF，∴△CDE≌△CFE，∴DE=EF，∴DE2=AD2+BE2.勾股定理这章蕴含了多种数学思想，而数学思想是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识，是数学教学的灵魂.因此，教师在勾股定理教学中要注意数学思想的渗透，让学生掌握这些基本的数学思想方法，从而提高他们的解题能力.。
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勾股定理中四种重要的数学思想摘要：本文主要针对勾股定理中的主要四种数学思想:方程思想、数形结合的思想、分类思想、转换思想，进行讨论、介绍.关键字：勾股定理方程思想数形结合思想分类思想转换思想勾股定理又称毕达哥拉斯定理，它是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一.它不仅在数学中，而且在其他自然科学、实际的生产生活中也被广泛地使用.数学思想是数学的“灵魂”，数学思想遍及数学学习的各个角落，总结概括数学思想有利于透彻地理解所学的知识,有利于在数学学习中提高我们分析问题和解决问题的能力,形成用数学解决问题的意识.而在勾股定理这一章节的学习过程中我们同样可以发现其中蕴含着多种的数学思想. 本文主要介绍其中主要的四种数学思想.1 方程思想“方程”历来是数学研究的重要内容之一，也是研究数学重要的工具.对于众多数学问题的求解，方程常常可以充当由已知探索未知的桥梁而发挥巨大的作用.运用方程的观点去考察问题，运用方程的思想去分析问题，能有效地沟通知识间的纵横联系，发现各种数量之间的关系.有助于解题思路的寻求与优化.勾股定理本身就是反应了直角三角形中三边的关系.所以在勾股定理的应用中最常见也是最基本的一类问题就在直角三角形中已知两边求第三边的问题，或是关于此类问题的变形题.而方程思想在勾股定理关于此类问题的求解过程中都得到了广泛的运用．1.1 求距离长度问题例１：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？分析：在Rt△ABC中，只有BC边的长度，利用勾股定理求一边的长度，还要知道另一边的长度.因此可以通过设立未知量，建立方程求解.解:设：水的深度为AB为x 尺，则芦苇的长度AC(AD)为（x+1）尺.依题意可以得到如图1所示的图形∵在Rt△ABC中，BC=5尺，根据勾股定理可得方程（x+1）²=x²+5²解得 x=12 ∴ x+1=13则水的深度为12尺，芦苇的长度为13尺. 图11.2 折纸问题例2 如图所示，把一个长方形（四个角都是直角，对边相等）折叠，恰好点D落边BC上，交BC与点F.已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长.分析：Rt△AEF,是Rt△AED沿边AE边折叠的，所以就可以通过折叠中对称的性质得到许多的等量，在矩形中的折叠可以得到许多的直角三角形.要求EC边长，构造直角三角形，找出EC边所在的直角三角形，在根据勾股定理，找出所需的量以及各个量之间的关系.在已知量与为质量之间建立方程关系.解：由题意，得AF=AD,DE=EF.在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=AD=10cm，ED ABC∴6==(cm).∵BC=10cm，∴CF=10－6=4(cm).设CE=xcm，则DE=(8－x)cm，∴EF=DE=(8－x)cm，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得方程4²+x²=（8－x）²解得 x=3，故EC的长为3cm2 数形结合思想数形结合是数学解题中常用的一种数学方法，它也是一种数学思想.使用数形结合的方法，很多问题都能迎刃而解，且解法简捷.所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过“数”与“形”之间相互结合，相互渗透、相互转化,将反映问题的抽象数量关系与直观图形结合起来,也是将抽象思维与形象思维有机的结合起来的一种解决数学问题的重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，将数量关系和空间形式巧妙结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，发现问题中所隐含的条件。
它是数学的规律性与灵活性的有机结合.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系——如果在直角三角形三边的两直角边长分别为a，b，斜边为c，那么a²+b²=c².定理的本身实现了由“形”的特点与“数”特点的结合.因此不管是在定理本身的证明还是在定理的应用都经常运用到数形结合的思想.2.1 方位问题：方位问题是勾股定理实际运用的重要体现.也是数形结合的典型列子.例3：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏性.如图所示，据气象部门观测，距沿海某城市A的正南方向220km B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C 处移动，且台风中心风力不变.若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响.分析：根据图形找出距离A点最近的台风中心的位置,求出距离就可以判断是否收到影响,影响的风力.根据题意可以在图形上直观得找到所受影响的范围,构造直角三角形,根据勾股定理就可以求出范围及影响的时间.(1)该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；(2)若会受到台风影响，则台风影响该城市持续时间有多长.(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级.解：（1）作AD⊥BC于D,AD为城市A距台风中心的最短距离，在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220km.∴AD=12AB=110km.由题意知，当点A距离台风（12－4）×20=160（km）时，将会受到台风的影响，故该城市会受到台风的影响.（2）由题意知，当A点距台风中心不超过160km时，将会受到台风的影响，则以A点为圆心，以160km 长为半径画弧，交BC于E、F两点，此时AE=AF=160km，当台风中心从E移到F处时，该城市都会受到台风影响，由勾股定理得==EF=2DE=∴这次台风影响该城市的时间为15=h）.（3）当台风中心位于D时A市受这次台风影响的风力最大，最大风力为12－11020=6.5（级）.3 分类思想分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分.不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想.因此分类思想既是一种逻辑方法，也是一种数学思想.数学中的分类思想主要是依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的思想.当解决数学问题时,由于研究问题过程中出现了不同情况,因而需对不同情况进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答.利于提高学生严密的逻辑推理能力和良好的思维品质.通过分类讨论,常能化繁为简,更清楚地暴露问题的本质.应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简.在勾股定理中，主要应用分类思想来进行对三角形形状的分类讨论或对已知边或点所在的位置进行分类讨论，完整地求解。
例4 在△ABC中，AB=13,AC=15,高AD=12,则△ABC的周长为多少.分析:可以对三角形的形状进行分类,不同的形状高线的位置不同:锐角三角形的高线在三角形的内部，钝角三角形的高线在三角形的外部，而BC求解随高线位置的不同而不同.所以必须分类来讨论三角形的形状.解：(1)如图4，如果该三角形是锐角三角形时当BC边上的高线在△ABC 内部时，如图所示：∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°，∴△ADB与△ADC为直角三角形.在Rt△ADB中,AB=13,AD=12，根据勾股定理得BD²=AB²－AD²∴==5在Rt△ADC中，AC=13,AD=12,根据勾股定理得DC²=AC²－AD²∴=∴BC=BD+DC=5+9=14.△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+14=42（2）如图5，如果该三角形是钝角三角形时,BC边上的高线在△ABC外部时，同理可得：BC=BD－DC=9－5=4△ABC的周长=AB+BC+CA=13+15+4=32. C图4 图5例5 有一个面积为160m ²的等腰三角形草地，测得它的一边长为20m.现要给这块三角形草四周围上低矮栅栏，则栅栏的长度为____m.分析：要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类.避免造成漏解.本题只给出了等腰三角形的一条边长,结果随已知边位置的不同而不同,所以，可以先对已知的边长进行分类：该边可以为等腰三角形的底，也可以为等腰三角形的腰;其次，对三角形的形状进行分类：当已知边为等腰三角形的腰时，这边上的高既可以在形内，也可以在形外.要完整的给出答案就要根据不同的情况进行分类.避免造成漏解.解:(1)如图6，当已知边为等腰三角形的底时，BC=20m.作AD ⊥BC 于D ，∵ABC S ∆=160m ²， ∴ 高AD=16(m). ∵ BD=12BC=10(m)，在Rt △ADB 中，由勾股定理可求得:AB=20+ (2)当已知边为等腰三角形的腰时，①若腰上的高在形内，如图7，AB=AC=20 m ，∵ABC S ∆=160m ²,∴高BD=16m ，在Rt △ABD 中，由勾股定理可求得AD=12m ，∴ CD=8m ，在Rt △BCD 中，由勾股定理有BC=从而栅栏的长为40+②若腰上的高在形外，如图8，AB=AC=20m ，∵ABC S ∆=160m ²，∴高BD=16m ，在Rt △ABD 中，由勾股定理知AD=12m,从而DC=32m.∴在Rt △BCD 中，由勾股定理有BC=，所以栅栏的长度为40+(m) 综上所述，答案应填入20+40十40+. 4 转换思想转换也是数学中的一种常用重要思维方法,它是分析问题和解决问题的一种重要思想,它能将未知的问题转化为已知的问题,把抽象的问题转化为具体的问题,把复杂的问题转化成简单的问题.勾股定理研究的是平面直角三角形中三边之间的关系.但在学习过程中时常会遇到立体图形上的问题，这时就要考虑到运用转换的思想，把立体图进行展开等变化，形成熟悉的平面图形，再利用平面几何的知识进行求解.例6 一长方体礼盒如图9所示，其中A A 'B 'B,C C 'D 'D 面为边长为10的正方形,BC=20.在底部A 处有壁虎，C '处有一蚊子，壁虎急于捕捉到坟子充饥.(l)试确定壁虎所走的最短路线;(2)若立方体礼盒的棱长为10cm ，壁虎要在半分钟内捕捉到坟子，求壁虎的每分钟至少爬行多少厘米(保留整数)?分析：求长方体表面两点间的最短距离时，就可以应用转换的思想通将长方体表面展开，把立体图形转换成平面图形，就可以利用平面几何的知识于进行求解.解：(1)若把礼盒的上底面A ，B ',C ',D '竖立起来，如图9所示，使它与立方体的正面(ABB C ')在同一平面内，然后连结A C '，根据“两点间线段最短”知，线段A C '就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△AB C '是直角三角形，且AB=10,B C '=15， 根据勾股定理，得A C '26.93（cm ）壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，它至少每分钟爬行约54厘米.B 图6 图7 图8B'C'CA'C例7 有一圆柱物体，如图所示，一只蚂蚁要从A 点绕物体的外壁爬行，正好到A 的正上方相对的B 点处，问蚂蚁爬行的最短路径是多少.（已知物体的地面半径是2m ，高是4m.）分析：解此题的关键是利用转换思想，把圆柱体的侧面展开，得到一个矩形，找出对应的A,B 点在展开图中的位置利用两点间的线段最短与勾股定理知识作答.解：把圆柱体沿AD 边展开，形成一个矩形，A,B 点在矩形中的位置如图所示. 连接AB ，根据“两点间线段最短”，则线段AB 就是蚂蚁爬行的最短路径.∴在Rt △DAB 中,AD=4m,BC=2π,根据勾股定理 AB=AD ²+BC ²=16+4π²≈5.34m以上四中数学思想是勾股定理解题中最重要的数学思想，它们不仅可以相互独立使用，而且在许多问题解决中都是相互联系的，概括这些思想，有助于我们更好地使用这些数学思想去解决问题，提高解决问题能力。