函数的性质之奇偶性

第二讲：函数的性质之奇偶性

一、奇偶性的基本概念

例一、判断下列函数的奇偶性

（1）、()2212－＋－＝x x x f （2）、()＝x f 1

11

122＋＋＋－＋＋x x x x

0 x 322＜，＋＋x x

（3）、()＝x f

，

3 0＝x ，－＋－322x x 0＞x

（4）、设函数()x f 是奇函数、()x g 是偶函数，且这两个函数的定义域都是R 。则下列结论正确的是（——）

A 、()()x g x f 是偶函数

B 、()()x g x f 是奇函数

C 、()()x g x f 是奇函数

D 、()()x g x f 是奇函数

变式练习一、（1）判断函数()22＋－＝a x x f 在][a a x 242，

－∈的奇偶性 （2）、若函数()()()

a x x x

x f －＋＝

12为奇函数，则a 的值为——。

（3）、若二次函数()＝x f 232＋＋bx x 在区间[]432＋，

－a a 上是偶函数，则b a ＋的值是——。

二、奇偶性的运用

（求函数值）、例一、已知函数()()x g x f 、分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()123＋＋＝－x x x g x f 。则()()11g f ＋的值为——。 变式练习一、函数()4357＋＋＋＋＝dx cx bx ax x f ，且()21＝f ，则()1－f 的值为——。

（最值）例二、已知函数()x f ＝()1

122

＋＋x x 的最大值是M ，最小值是n 。

则M ＋n 的值是——。

变式练习二、已知函数()533＋＋＝bx

ax x f 在区间][37－，

－上的最大值是9，最小值是3。则()x f 在][73，

上的最小值与最大值分别是多少？ 变式练习三、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数且当0＜x 时，

()232＋＋＝x x x f ，若当[]31，∈x 时，()m x f n ≤≤恒成立，则n m －的最小值

是——。

（求解析式）例三、已知定义在R 上的奇函数()x f 当0＞x 时满足

()1322＋－＝x x x f ，则()x f 在R 上的解析式为——。

变式练习四、已知函数()21x b ax x f ＋＋＝

是定义在)(11，－上的奇函数且⎪

⎭

⎫

⎝⎛21f ＝5

2

，则函数()x f 的值域是——。

（图像）例四、已知函数()x f 是偶函数，函数()x g 是奇函数。它们的

定义域都是][11，

－。且他们在][10，上的图像如图所示： 则不等式

()()

0≤x g x f 的解集为——。

变式练习五、已知函数()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，

()()

2223a 22

1

－－＋－＝

a x a x x f 。如果对R x ∈都满足()()1－x f x f ≥。则实数a 的取值范围是—

—。

A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡61

61，－ B 、⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

6666

，－ C 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡31

31，－ D 、⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡

3333

，－ 三、单调性与奇偶性的综合利用

（大小比较）例一、已知()x x x x f ＋＋－＝3

2132

4，则()1232＋＋x x f 与()2

x f 的大小关系为——。

（解不等式），例二、已知偶函数())[∞＋，在区间0x f 上单调递减，且()02＝f ，则不等式()12－x f 的解集是——。

变式练习一、已知()x f 是定义在)()(∞⋃∞＋，，－00上的奇函数，且()62＝f ，

若对于任意两个不相等的正数21x x 、，都有

()()02

12112＜－－x x x f x x f x ，则

()03＞－x

x f 的解集为——。 022≥x x x ，＋

变式练习二、已知函数()＝x f

022＜，－x x x

若()()a f f ＞－22a 1，则实数a 的取值范围为——。

变式练习三、已知()R x x x x f ∈，＋＝33

1，若至少存在一个实数x 使得

()()

012＜－＋－ax f x a f 成立，则a 的取值范围为——。

四、奇偶性的新定义问题

例一、定义两种运算b a b a b a b a －＝，－＝⊗⊕22，则()()

222⊗⊕x x

x f －＝

是

()——

A 、奇函数

B 、偶函数

C 、既奇又偶函数

D 、非奇非偶函数

课后作业：

1、函数()x f 的定义域为][a a ，

－，则下列命题错误的是()

—— A 、()()x f x f －＋一定是偶函数 B 、()()x f x f －－一定是奇函数

B 、()x f 2一定是偶函数 D 、()2x xf 一定是奇函数

2、设a 是常数且0＜a ，()x f y ＝是定义在R 上的奇函数，当0＜x 时，

()22

－＋＝x

a x x f ，若()12－a x f ≥对一切都成立0≥x ，则a 的取值范围为

——。

3、已知定义在)(11，－上的偶函数()x f y ＝单减区间是)[10，，则关于x 的不

等式()()x f x f －＜－112的解集为——。

4、已知()x f ＝a x x ＋－－1是定义在R 上的奇函数，则a 的值为—。—