一般矩形面积公式

一般矩形面积公式的证明

定理：矩形面积公式S=ab a 为长，b 为宽。

证：令S=f(a,b),显然当a 扩大p 倍时(p 是正整数),面积扩大p 倍，因为可以用p 个小矩形填充大矩形。

∴f(pa,b)=pf(a,b)

把a 用p a 来代，得：f(a,b)=pf(p a ,b) 即f(p a ,b)=p

1f(a,b) ∴f(q p a,b)=q 1f(pa,b)=q

p f(a,b) ∴对任意有理数r,有f(ra,b)=rf(a,b)

当α为无理数时，作一有理点列r n →α(n →∞),f(αa,b)=f(n n r lim ∞→a,b)

∵f(a,b)关于(a,b)是连续的（这是显然的）

∴f(n n r lim ∞→a,b)=lim ∞→n f(r n a,b)=lim ∞→n r n f(a,b)=αf(a,b),即f(αa,b)=αf(a,b)

综上，对任意k>0,有f(ka,b)=kf(a,b)

又∵a 与b 位置是对等的

∴对任意k>0,也有f(a,kb)=kf(a,b)

∴对任意m,n>0,有f(ma,nb)=mf(a,nb)=mnf(a,b)

令a=b=1,则f(m,n)=mnf(1,1)

上式对任意m,n>0均成立，所以f(a,b)=abf(1,1)

令f(1,1)=c,S=f(a,b)=cab

实际中，为使问题简化，常令c=1,即人为规定长宽均为1的矩形面积为1，所以有S=ab 证毕。 有了矩形面积公式，其它任何图形都可以通过微积分转化为求矩形面积之和。