切线的判定定理

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二、几何符号表达:
O r
l A
∵ OA是半径,OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线( × ) 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线( × ) 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线( × )
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时,要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些?
直线l
与圆有唯一公共点 与圆心的距离等于圆的半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
2. 常用的添辅助线方法? ⑴直线与圆的公共点已知时,作出过公共点的半径,
再证半径垂直于该直线。(连半径,证垂直) ⑵直线与圆的公共点不确定时,过圆心作直线的垂
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知:O为∠BAC平分线上一点,OD⊥AB于D,以O为圆心,OD为
半径作⊙O。
D
B
求证:⊙O与AC相切。
A
O
证明:过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC,OD⊥AB ∴ OE=OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ AC是⊙O的切线。
E C
小结
例1与例2的证法有何不同?
切线的判定
复习
1.直线和圆有哪些位置关系? 2.什么叫相切? 直线与圆只有一个的公共点 3.我们学习过哪些切线的判断方法?
第三种判定切线的方法
一、切线的判定定理 :经过半径的外端并且垂直于这条半 径的直线是圆的切线。
利用判定定理时,要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
求证:AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
练习
如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P,
PE⊥AC于E。
A
求证:PE是⊙O的切线。
证明:连结OP。 ∵AB=AC,∴∠B=∠C。 ∵OB=OP,∴∠B=∠OPB,
O
E
B
PC
∴∠OPB=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC,
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为:连半径,证垂直。
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为:作垂直,证半径。
练习
如图,△AOB中,OA=OB=10,∠AOB=120°,以O为圆心, 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
判定直线 与圆相切的方法有____种:两
(1)根据定义,由交点 的个数来判断;
直线与圆只有一个的公共点
(2)根据性质,由圆心与直线的距离判断。
圆心到直线的距离d与半径r 相等
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线,你现在会有多少种方法?
有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d=r时直线是圆的
切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB。
求证:直线AB是⊙O的切线。
Байду номын сангаас
分析:由于AB过⊙O上的点C,所以连接OC,只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明:连结OC(如图)。 ∵ OA=OB,CA=CB,
A
C
B
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。
∴ AB⊥OC。
∵ OC是⊙O的半径
线段,再证明这条垂线段等于圆的半径。(作垂直, 证半径)
直线和圆的位置关系
O
O
O
l
l
l
(1)直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交; 这时直线叫做圆的割线.
(2)直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切; 这时直线叫做圆的切线. 唯一的公共点叫做切点.
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
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