切线的判定定理

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(完整)圆切线证明的方法

切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．【例1】如图1，已知AB 为⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD ＝OB ,点C 在圆上，∠CAB ＝30º．求证:DC 是⊙O 的切线．思路:要想证明DC 是⊙O 的切线，只要我们连接OC ，证明∠OCD ＝90º即可．证明：连接OC ，BC ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90º．∵∠CAB ＝30º，∴BC ＝21AB ＝OB ．∵BD ＝OB ，∴BC ＝21OD ．∴∠OCD ＝90º．∴DC 是⊙O 的切线．【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．【例2】如图2，已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC ．求证：CD 是⊙O 的切线．思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O 的切线，只要证明∠ODC ＝90º即可．图1图2证明：连接OD ．∵OC ∥AD ，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA ＝OD ，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．又∵OB ＝OD ，OC ＝OC ，∴△OBC ≌△ODC ．∴∠OBC ＝∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC ＝90º．∴∠ODC ＝90º． ∴DC 是⊙O 的切线．【例3】如图2,已知AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的切线互相垂直，垂足为D ．求证:AC 平分∠DAB ．思路：利用圆的切线的性质--与圆的切线垂直于过切点的半径．证明：连接OC ．∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD ．∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ．∴∠1＝∠2． ∵OC ＝OA ，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3． ∴AC 平分∠DAB ．【评析】已知一条直线是某圆的切线时,切线的位置一般是确定的．在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线．【例4】如图1,B 、C 是⊙O 上的点，线段AB 经过圆心O ，连接AC 、BC ，过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD =2∠B ．AC 是⊙O 的切线吗？为什么？解：AC 是⊙O 的切线．理由：连接OC , ∵OC =OB ， ∴∠OCB =∠B ．图3 OABCD2 31∵∠COD是△BOC的外角,∴∠COD=∠OCB+∠B=2∠B．∵∠ACD=2∠B，∴∠ACD=∠COD．∵CD⊥AB于D,∴∠DCO+∠COD=90°．∴∠DCO+∠ACD=90°．即OC⊥AC．∵C为⊙O上的点，∴AC是⊙O的切线．【例5】如图2,已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径,D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．证明:连接OC,则OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC=∠CAO=∠ACＯ,∴AE∥CO,又AE⊥DE，∴CO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E．∵AB=AC，OB=OC．∴AO为∠BAC角平分线，∠DAO=∠EAO∵⊙O与AB相切于点D，∴∠BDO=∠CEO=90°．∵AO=AO∴△ADO≌△AEO，所以OE=OD．∵OD是⊙O的半径,∴OE是⊙O的半径．∴⊙O与AC边相切．【例7】如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.求证：EF与⊙O相切.证明：连结OE,AD。

切线长定理

如图PA、是的两条切线，如图、PB是⊙O的两条切线，的两条切线 A、B为切点，连结为切点，、为切点连结OP 图中除了PA=PB，，图中除了
1
A 切线长定理 O
C
3
P
B ∠APO= ∠BPO 相等吗？（1）若连结交OP于C，∠PAB和∠PBA相等吗？）若连结AB交于，和相等吗相等有怎样的关系？（2）OP和AB有怎样的关系？）和有怎样的关系 OP⊥AB ，OP平分平分AB ⊥ 平分相等的角有哪些？（3）连结、OB，则图中和∠1相等的角有哪些？）连结OA、，则图中和∠ 相等的角有哪些 ∠APO，∠BPO，∠OBC ，，相等的角有哪些？（4）图中和∠3相等的角有哪些？）图中和∠ 相等的角有哪些 ∠BAP，∠AOP，∠BOP ，，什么关系？（5）图中∠AOB和∠APB什么关系？）图中∠ 和什么关系 ∠AOB+∠APB=1800 ∠
3、一个直角三角形的斜边的长为10cm，内切圆的、一个直角三角形的斜边的长为，半径为1cm，则三角形的周长是半径为，则三角形的周长是--------------
切线长定理
如图:直角三角形的两直角边分别如图直角三角形的两直角边分别径为: 练径为: 习是a，b,斜边为c 则其内切圆的半 b,斜边为c 斜边为
D B
切线长定理
切线长定理
1、确定圆的条件是什么？、确定圆的条件是什么？ 1.圆心与半径圆心与半径 2.不在同一直线上的三点不在同一直线上的三点
2、叙述角平线的性质与判定、
性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。性质：角平线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

切线的证明方法

切线的证明方法如下：
1、用判定定理，这是证明切线最多见的方法，也就是如果直线和圆之间有交点，连接交点和圆心，得出半径，只要证明这条半径和这条直线是垂直的就行了。

2、当不确定直线和圆的交点个数或是交点所处的位置的时候，能够通过圆心作出直线的垂线，然后证明从圆心到直线的距离和圆的半径相等就行了。

在几何中，切线是指一条刚好碰触到曲线上某个点的直线。

当切线经过曲线上的某个点，也就是切点的时候，切线的方向和曲线上这个点的方向一样。

在平面几何里面，把和圆只有一个公共交点的直线称作圆的切线。

在高等数学中，对一个函数而言，假设函数的某个地方有导数，那么这里的导数就是经过这里的切线的斜率，这个点和斜率所构成的直线就是这个函数的一个切线。

切线的性质定理是：圆的切线垂直于经过这个切点的圆的半径，经过圆的半径的不是圆心的一端，而且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线。

切线的判定定理是：一条直线如果和一个圆有交点，而且连接交点和圆心的直线和这条直线是垂直的关系，那么这条直线就是圆的切线。

切线的判定定理

例2.如图所示，O为∠BAC平分线上一点， OD⊥AB于D，以O为圆心，以OD为半径作⊙O， C 求证：⊙O与AC相切． E
A O D B
证明：过点O作OE⊥AC,交AC于点E ∵O为∠BAC平分线上一点，且OD⊥AB ， ∴OD=OE 又∵OE⊥AC ∴ ⊙O与AC相切
练习2.如图， △ABC中,AB=AC,AO⊥BC于O， OE ⊥AC于E,以O为圆心,OE为半径作⊙O. 求证：AB是⊙O 的切线.
相交
d＜r
相切
d＝r
相离
d＞r
r
r r d
d
d
1. 已知一个⊙O和它的一条半径OA，如何过这条半径的外端点A画出圆的切线？动手试一试！
2.已知一个⊙O,试画出它的一条切线
切线的判定定理: 经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 几何应用 ∵OA⊥L ∴L是⊙O的切线
下面各图中，直线l是⊙O的切线吗?
图1
图2
图3
图4
图5
总结：切线的判定定理中的两个条件“经过半径的外端”“垂直于这条半径”缺一不可
练习 AB=AC，∠C=45°，以AB为直径作 ⊙O ，求证：AC是⊙O的切线 B
O
C
A
例1 直线AB经过⊙O上的点C,且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. 证明: 连接OC ∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形, OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线
A
证明：过点O作OF⊥AB，交AB于点F ∵AB=AC,AO⊥BC ∴△ABC为等腰三角形， AO是∠BAC的角平分线又∵OE⊥AC，OF⊥AB
B O C
F

圆切线判定定理的证明

圆切线判定定理的证明引言：圆是几何学中常见的基本图形之一，研究圆的性质和定理对于解决几何问题非常重要。

本文将探讨圆切线判定定理的证明过程。

一、圆切线的定义在几何学中，圆切线是指与圆相切且只与圆相交于切点的直线。

圆切线与圆的切点只有一个，这是圆切线与其他直线的区别之一。

二、圆切线判定定理的描述圆切线判定定理可以描述为：如果一条直线与圆相交于圆上的一点，并且直线通过该点的切线，那么这条直线就是圆的切线。

三、证明过程为了证明圆切线判定定理，我们需要使用一些基本的几何定理和性质。

1. 定理一：半径垂直于切线根据圆的性质，半径与圆上任意一点的连线垂直于圆的切线。

这一定理是我们证明圆切线判定定理的关键。

2. 定理二：圆心角的性质圆心角的度数是圆上两条弧所对的角的度数。

根据圆心角的性质，圆心角的度数是其所对的弧所占整个圆的度数的一半。

3. 定理三：切线与半径的夹角由于切线与半径垂直，所以切线与半径的夹角为90度。

基于以上几个定理，我们可以开始证明圆切线判定定理。

证明：设圆C的圆心为O，半径为r。

直线l与圆C相交于点A，并且直线l通过点A的切线。

1. 连接OA，得到AO为半径r。

2. 由定理一可知，直线l与半径OA垂直。

3. 由定理三可知，直线l与半径OA的夹角为90度。

4. 假设直线l不是圆C的切线，即直线l与圆C有第二个交点B。

5. 连接OB，并作OB的垂直平分线，交圆C于点M。

6. 由于OM为半径，所以OM=r。

7. 由定理二可知，∠OMB是圆心角，所以∠OMB的度数是弧AB 的度数的一半。

8. 由于直线l与圆C相交于点A和B，所以弧AB的度数小于360度。

9. 由于∠OMB的度数是弧AB的度数的一半，所以∠OMB的度数也小于180度。

10. 由于直线l与圆C的交点B在弧AB的内部，所以∠OMB是一个锐角。

11. 由于直线l与圆C的交点B在弧AB的内部，所以直线l与圆C 的交点B的连线OB不是半径。

12. 由于OB不是半径，所以直线l不是圆C的切线。

圆的切线判定与性质

切线。 3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。
〖例1〗
已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。
求证：直线AB是⊙O的切线。
分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，只要证明
O
AB⊥OC即可。
证明：连结OC(如图)。 ∵ OA＝OB,CA＝CB,
O l
r
O
r l
O l
r
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
切线判定有以下三种方法: 1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。 2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的
A
C
B
∴ AB⊥OC(三线合一)
∵ OC是⊙O的半径
∴ AB是⊙O的切线。
〖例2〗
已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。
D
B
求证：⊙O与AC相切。
A
O
证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC， OD⊥AB于点D ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE也是半径 ∴ AC是⊙O的切线。
O
E
B
PC
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。
练习3
如图AB是⊙O的直径.AE是弦, EF是⊙O的切线,E是切点,AF⊥EF, 垂足为F,AE平分∠FAB吗?

关于圆的切线的各种定理

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线几何语言：∵l⊥O A，点 A 在⊙O 上∴直线l 是⊙O 的切线（切线判定定理）切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径几何语言：∵OA 是⊙O 的半径，直线l 切⊙O 于点 A∴l⊥O A（切线性质定理）推论 1 经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角几何语言：∵直线PA 、PB 分别切⊙O 于A、B 两点∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO （切线长定理）证明：连结OA 、OB∵直线PA 、PB 分别切⊙ O 于A、B 两点∴OA ⊥AP 、OB ⊥PB∴∠OAP= ∠OBP=90 °弦切角（即图中 ∠ ACD) 等于它所夹的弧弧的读数的一半等于完整，图中没有连结 1/2 所夹的弧的圆心角 OC] ( 弧 AC) 对的圆周角等于所夹的 [注，由于网上找得的图不是很几何语言： ∵∠ ACD 所夹的是弧 AC∴∠ ACD= ∠ABC=1/2 ∠ COA=1/2 弧 AC 的度数 ( 弦切角定理）推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等几何语言： ∵∠ 1 所夹的是弧 MN ， ∠ 2 所夹的是 PQ ，弧 MN = 弧 PQ∴∠ 1= ∠ 2证明：作 AD ⊥EC∵∠ ADC=90 °∴∠ ACD+ ∠ CAD=90 °在△OPA 和△OPB 中：∠OAP= ∠OBPOP=OPOA=OB=r∴△OPA ≌△OPB （ HL ）∴PA=PB ，∠APO= ∠BPO弦切角概念顶点在圆上，一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角．它是继圆心角、圆周角之后第三种与圆有关的角．这种角必须满足三个条件：（1））顶点在圆上，即角的顶点是圆的一条切线的切点；（2））角的一边和圆相交，即角的一边是过切点的一条弦所在的射线；（3））角的另一边和圆相切，即角的另一边是切线上以切点为端点的一条射线。

切线的判定与性质

切线的判定与性质【知识要点】1．直线与圆的三种位置关系在图中，图(1)、图(2)、图(3)中的直线l 和⊙O 是什么关系?2.切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对定理的理解：①经过半径外端；②垂直于这条半径．注意：定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可．（如图）3.切线的判定方法判定一条直线是圆的切线的三种方法：(1)定义：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。

(2)数量关系：即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．(3)图形位置关系（判定定理）：．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。

4.切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：对于切线性质定理的两个推论：①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个【典型例题】例1．下列说法正确的是（）（1）与直径垂直的直线是圆的切线；（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．A 、（1）（2）（3）B 、（2）（3）（5）C 、（2）（4）（5）D 、（3）（4）（5）例2．如图所示，PBC 是⊙O 的割线，A 点是⊙O 上一点，且PC PB PA ⋅=2．求证：PA 是⊙O 的切线．例3．如图所示，已知：梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠A=︒90，腰BC 是⊙O 的直径，且BC=CD+AB ．求证：AD 和⊙O 相切．例4．如图所示，已知：两个同心圆O 中，大圆的弦AB 、CD 相等，且AB 与小圆相切于点E ．求证：CD 是小圆O 的切线．例5．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，C 为弧AD 的中点，过C 作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点．求证：CE 与⊙O 相切．例6．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5，若以AB 为直径为⊙O 与DC 相切于点E ，则DC= 。

切线的判定和性质

（打印3份）圆----切线的性质和判定（11月12）A、知识点、方法归纳总结知能点1：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的识别方法有三种：（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线辅助线的作法：证明一条直线是圆的切线的常用方法：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“连半径，证垂直。

”知能点2：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

辅助线的作法：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。

记为“见切线，连半径，得垂直。

”中考考点点击：切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，填空、选择、作图、解答题较多。

B、证明圆的切线方法及例题一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F.求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4.∴BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD.求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900.⌒ ⌒即OA ⊥PA.∴PA 与⊙O 相切.说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用. 变式练习：如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切.例3 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上.求证：DC 是⊙O 的切线证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ，∴△OBC 是等边三角形. ∴∠CBO=600. OB=BC. ∵OB=BD ， ∴BC=BD.∴∠CDO=300∴∠OCD=180°-300-600=900. ∴OC ⊥CD.∴DC 是⊙O 的切线.变式练习：如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.求证：CE与△CFG的外接圆相切.二、若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”例4 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.证明一：连结DE，作DF⊥AC，F是垂足.∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.∵DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=900.∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）∴DF=DE.∴F在⊙D上.∴AC是⊙D的切线变式练习：已知：如图，AC ，BD 与⊙O 切于A 、B ，且AC ∥BD ，若∠COD=900. 求证：CD 是⊙O 的切线.C 、作业部分1、如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则∠PCA=（）A ．30° B ．45° C ．60° D ．67.5°2、O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB .若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .3、如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.4、如图，已知AB是⊙O的直径，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：直线CD为⊙O的切线；（2）当AB＝2BE，且CE＝3时，求AD的长．5如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F，且D为弧EF的中点．求证：BC与⊙O相切；6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，求CD ：DE 的值7、如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．EB8、如图，⊙ O经过点B、D、E，BD是⊙ O的直径，∠C＝90°，BE 平分∠ABC. (1)试说明直线AC是⊙ O的切线；(2)当AE＝4，AD＝2时，求⊙ O的半径及BC的长．9、如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦，过点C作CD⊥AB 与点D，将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处，AE交⊙O于点F ,连接OC、(1）求证：CE是⊙O的切线。

3.81切线长定理—知识讲解(基础)

3.81切线长定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.【要点梳理】要点一、切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.要点二、切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段.2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.要点三、三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)内心在三角形内部.【典型例题】类型一、切线长定理1．如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C，⊙O的半径长为6 cm，PO＝10 cm，求△PDE的周长．【答案与解析】连结OA，则OA⊥AP．在Rt△POA中，PA＝22OAOP-＝22610-＝8（cm）．由切线长定理，得EA＝EC，CD＝BD，PA＝PB，∴△PDE的周长为PE＋DE＋PD＝PE＋EC＋DC＋PD，＝PE＋EA＋PD＋DB＝PA＋PB＝16（cm）．【总结升华】本题考查切线长定理、切线的性质、勾股定理．注意：在有关圆的切线长的计算中，往往利用切线长定理进行线段的转换．2．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.【答案与解析】连结OD 、CD ，AC 是直径，∴OA=OC=OD ，∴∠OCD=∠ODC ， ∠ADC=90°，∴△CDB 是直角三角形.∵E 是BC 的中点，∴DE=EB=EC ，∴∠ECD=∠EDC ，∠ECD+∠OCD=90°， ∴∠EDC+∠ODC=90°，即OD ⊥ED ， ∴DE 是⊙O 切线.【总结升华】自然连接OD ，可证OD ⊥DE. 举一反三：【变式】已知：如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .求证：DA 为⊙O 的切线.OFD CBA3421OFD CBA【答案】连接AO .∵ AO BO =，∴ 23∠=∠.∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ . ∴ DB ∥AO .∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.类型二、三角形的内切圆3．已知：如图，△ABC 的三边BC=a ，CA=b ，AB=c ，它的内切圆O 的半径长为r ．求△ABC 的面积S ．【答案与解析】设内切圆与三角形的三边AB 、AC 、BC 分别交于D 、E 、F ，连接OE 、 OF 、OD 、AO 、BO 、CO. ∴△ABC=△AO B +△AO C +△BO C=12r(a+b+c). 【总结升华】考虑把△ABC 的面积分割成3个以圆的半径为高的三角形面积的和，从而求出△ABC 的面积. 举一反三：【变式】已知如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，求△ABC 的内切圆⊙O 的半径r.【答案】连结OA 、OB 、OC ，∵△ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB=5. 则S △AOB +S △COB +S △AOC =S △ABC ，即11115+4+3=34=12222r r r r ⨯⨯⨯⨯⨯，类型三、与相切有关的计算与证明4．如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.G FEDCBA【答案与解析】（1）结论：GD 与O 相切证明：连接AG ∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥ ∴123B ∠=∠∠=∠，∵AB AG =，∴3B ∠=∠，∴12∠=∠ 在AED ∆和AGD ∆12AE AGAD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩654321F EDCBA∴AED AGD ∆∆≌，∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切∴90AED ∠=︒，∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥∴GD 与A 相切（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG ==∵AD BC ∥，∴46∠=∠，∴1562B ∠=∠=∠∴226∠=∠ ，∴630∠=︒ ∴10AD =.【总结升华】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力.判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明.第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解.【巩固练习】一、选择题1. 下列说法中，不正确的是 ( )A ．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C ．垂直于半径的直线是圆的切线D ．三角形的内心到三角形的三边的距离相等2．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（） A.21（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.31（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r 3. 在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（）A ．与x 轴相交，与y 轴相切B ．与x 轴相离，与y 轴相交C ．与x 轴相切，与y 轴相交D ．与x 轴相切，与y 轴相离4. 如图所示，⊙O 的外切梯形ABCD 中，如果AD ∥BC ，那么∠DOC 的度数为( ) A.70° B.90° C.60° D.45°第4题图第5题图5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，PA =23,∠APO =30°，则O ⊙的半径为（）A.1B.3C.2D.46．已知如图所示，等边△ABC 的边长为2cm ，下列以A 为圆心的各圆中，半径是3cm 的圆是( )二、填空题7．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点分别为点D 、E 、F ，若∠DEF=52o，则∠A 的度为________．第7题图第8题图第9题图8．如图，一圆内切于四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为________． 9．如图，已知⊙O 是△ABC 的内切圆，∠BAC=50o，则∠BOC 为____________度．10．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P ____度．第10题图第11题图11．如图，PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，若∠ABC=32°，则∠P 的度数为 .12．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6m 和8m.按照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道，则O 到三条支路的管道总长（计算时视管道为线，中心O 为点）是________．O（第12题图）三、解答题13. 已知：如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE ⊥BC 于点E ．求证：DE 为⊙O 的切线.OEDCBA14．已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B 在⊙O 上，且.OA AB AD == 求证：BD 是⊙O 的切线；FE DCBAO15. 已知：如图，PA ，PB ，DC 分别切⊙O 于A ，B ，E 点．(1)若∠P=40°，求∠COD ；(2)若PA=10cm ，求△PCD 的周长．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C.【解析】经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2.【答案】A.【解析】连结内心与三个顶点，则△ABC 的面积等于三个三角形的面积之和，所以△ABC 的面积为21a ·r ＋21b ·r ＋21c ·r ＝21（a ＋b ＋c ）r ． 3.【答案】C ；【解析】求圆心到坐标轴的距离d 与圆的半径r 比较即可. 4.【答案】B ；【解析】由AD ∥BC ，得∠ADC+∠BCD=180°，又AD 、DC 、BC 与⊙O 相切，所以∠ODC=21∠ADC ，∠OCD=21∠BCD ，所以∠ODC+∠OCD=21×180°=90°，所以∠DOC=90°. 故选B.5.【答案】C ；【解析】连结OA ，则∠OAP=90°，设OA=x,则OP=2x,由勾股定理可求x=2,故选C. 6.【答案】C ；【解析】易求等边△ABC 的高为3cm 等于圆的半径，所以圆A 与BC 相切，故选C. 二、填空题 7．【答案】76°；【解析】连接ID,IF ∵∠DEF=52°， ∴∠DIF=104°，∵D 、F 是切点， ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC ，∴∠ADI=∠AFI=90°， ∴∠A=1800-1040=76°.8.【答案】52；【解析】提示：AB+CD=AD+BC. 9.【答案】115°；【解析】∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=130°，∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ， ∴∠OBC+∠OCB=65°，∴∠BOC=1800-650=115°.10．【答案】60°；【解析】连结OA 、OB ，则∠AOB=120°，在四边形OAPB 中，∠P=360°-90°-90°-120°=60°. 11．【答案】26°；【解析】连结OA ，则∠AOC=64°，∠P=90°-64°=26°. 12．【答案】6m ．【解析】在直角△ABC 中，BC =8m ，AC =6m ．则AB =22BC AC +=2286+=10．∵中心O 到三条支路的距离相等，设距离是r ．△ABC 的面积=△AOB 的面积+△BOC 的面积+△AOC 的面积即：12AC •BC =12AB •r+12BC •r+12AC •r 即：6×8=10r+8r+6r ∴r=4824=2．故O 到三条支路的管道总长是2×3=6m．三、解答题13.【答案与解析】如图，连接OD ． ∵ D 为AC 中点， O 为AB 中点，∴ OD 为△ABC 的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE 于点D. ∴ DE 为⊙O 的切线． 14.【答案与解析】连接OB .∵,OA AB OA OB ==，∴OA AB OB ==.∴ABO ∆是等边三角形.∴160BAO ∠=∠=︒.∵AB AD =，∴230D ∠=∠=︒. ∴1290∠+∠=︒. ∴DB BO ⊥ .又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 . 15. 【答案与解析】（1）∵PA，PB,DC 分别切圆O 于A,B,E 点∴OC 与OD 就是△PCD 的两个外角的平分线∴∠COD=90°-12∠P=90°-20°=70° （2）∵PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于E ，∴PA=PA=10cm ，CA=CE ，DE=DB ，∴△PCD 的周长=PD+DE+EC+PC=PD+DB+CA+PC=PA+PB=20cm ．故答案为20 cm ．231F E DCB A4O。

切线的三个性质

切线的三个性质
一、切线的性质与切线的判定
1.切线性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。

②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

2.切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

二、切线的判定定理与切线的性质定理的区别
切线的判定定理是在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他结论时使用，两者在使用时不要混淆。

三、常用辅助线
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”。

初中数学切线的性质和判定

图29－3
线的性质和判定
解析 (1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小； (2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得 PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．
┃ 切线的性质和判定
切线的性质和判定
中考预测
如图 29－6，△ABC 内接于⊙O，∠B＝60°，
CD 是⊙O 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，
且 AP＝AC.
(1)求证：PA 是⊙O 的切线；
(2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
图29－6
切线的性质和判定
解
(1)证明：连接 OA, ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
切线的性质和判定
[方法点析] 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．
┃ 切线的性质和判定
回归教材
切线问题中必需的半径
教材母题
如图 29－5，设 AB 是⊙O 的直径，如果圆上点 D 恰使∠ADC＝∠B，那么直线 CD 与⊙O 相切吗？若相切，请给出证明．
∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×10 3×5＝25 3(cm2)．
切线的性质和判定
[方法点析] (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
切线的性质和判定
探究四三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径．

切线的判定方法三种

切线的判定方法三种
三种判定方法：
1、和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

2、和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：
（1）切线和圆只有一个公共点；
（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于经过切点的半径；
（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心；
（6）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

切线定理公式及证明

切线定理公式及证明
证切线有三种办法
①与圆只有一个交点的直线（不太常用）
②有已知交点，连半径，证垂直（根据切线判定定理）
③无已知交点，作垂直，证半径（根据直线与圆的位置关系，d=r) 第一题
已知交点d，所以想到连半径
所以只要证明od⊥de即可
因为od=ob，所以∠odb=∠b
因为ac=ab，所以∠c=∠b
所以∠odb=∠c
所以od‖ac
因为de⊥ac，所以∠dec=90°
根据内错角相等
∠eod=∠dec=90°
所以od⊥ed
所以de是圆o的切线
第二题
已知交点c，所以连接oc，然后证垂直
此题一步全等即可证明oc⊥pc
连接od、oc
则od=oc
在△pod和△poc中
od=oc
op=op
pd=pc
所以△pod≌△poc（sss）∠c=∠d
因为pd是切线，
所以od⊥pd
所以∠d=90°
则∠c=∠d=90°
所以oc⊥pc
所以pc是圆o的切线。

切线的判定定理

切线的判定定理切线判定有两种方法，分属于几个类型。

切线的判定方法1：明确切点时，连接圆心和切点，再证垂直．题型一：已知角平分线，证切线的方法。

例：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）．方法指导：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD∵AD⊥DC ∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线题型二：利用圆的半径相等和互余定理，证切线。

例：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．方法指导：连接OD。

∵OA＝OD ∴∠A＝∠ADO ∵∠CBD=∠A ∴∠ADO＝∠CBD ∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∴∠ADO+∠CBD＝90°∴BD与⊙O相切。

1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O 的切线；（2）若OC/AC=2/3，且OC=4，求PA的长和tanD的值．2．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1/2，AD=3，求直径AB的长．题型三：已知垂径定理，证切线的方法。

例：已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB与CD交于E，CE=DE，过B作BF∥CD，交AC的延长线于点F，求证：BF是⊙O的切线．方法指导：∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，CE=DE∴AB⊥CD∵BF∥CD ∴AB⊥BF ∴BF是⊙O的切线．题型四：已知直角三角形斜边的中线，证切线的方法。

切线的判定及性质

l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
（有交点，连半径，证垂直）
半径）
（无交点，作垂直，证
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。即“连半径，得垂直”。
再见教科书第60页第3、
6题
2
M
A
D
O
E
N
4.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外
一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA。
若∠P=400，当∠B等于_2_5_0_时，PA与⊙O
A
相切。
PC
O
B
B
解：∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=450
O
∴∠BAC=900
即AB⊥AC
C
A
∵ AB是⊙O的直径
∴ AC是⊙O的切线
（1）证明：连接OC ∵CD是切线， ∴OC⊥CD, ∵BD⊥DF, ∴OC∥BD, ∴∠OCB=∠CBD, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBD=∠OBC ∴BC平分∠ABD.
切线的性质和判定
切线的性质和判定
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
切线的定义：直线与圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线。
（1）根据切线的定义，和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
（2）根据数量关系，到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
l PA
这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾。
所以假设OA与l不垂直不成立。
圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理:
圆的切线垂直于过切点的半径。
切线得出垂直
定理的几何符号表达： O.
∵ 直线 l 切⊙O于点A

切线的判定定理

直线和圆的位置关系判定方法
直线和圆的位置图形公共点个数圆心到直线距离 d与半径r的关系相交 r •d
O
相切
O
相离 r• d 0
O
r d
•
l
2
1
d<r
交点
d=r
切点
d>r
无无
公共点名称
直线名称
割线
切线
1、定义：与圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线.
2、数量关系：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
B
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并 OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
证明：连结OC CA=CB ∵ OA=OB，
O A C B
∴ AB⊥OC于C ∴ 直线AB是⊙O的切线
练一练
1、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于
点A、C，∠BAD＝∠B＝30°，边BD交
圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？
F A E
B
O
C
切线的判定方法：
1、定义：和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、数量关系：与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 3、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
中考链接
2010北京中考试题
3、如图：在∆ABC中，AB=AC，AE平分 ∠BAC交AB于点E，BM平分∠ABC交AE 于点M，经过B 、M两点的⊙O交BC于点 G，交AB于点F，FB恰好为⊙O的直径. C 求证：AE与⊙O相切.
分析：由于AB过⊙O上的点C，所
以连接OC，只要证明AB⊥OC 即可。
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并 OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。证明：连结OC 在△ AOC和△BOC中 ∵ ∴

2.2切线长定理

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
探究问题1：经过平面上一个已知点，作已知圆的切线会有怎样的情形？
A
P · O P· · O P· · O
问题2、经过圆外一点P，作已知⊙O的切线可以作几条？
A
O
P
B
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
A
1
解：
(1) OA⊥PA , OB⊥PB , OP⊥AB (2) △OAP ≌△ OBP , △OCA≌△OCB
△ACP≌△BCP. (3) 设 OA = x cm , 则 PO = PD + x = 2 + x (cm)
在 Rt△OAP 中，由勾股定理，得 PA 2 + OA 2 = OP 2 即：4 2 + x 2 = (x + 2 ) 2 解得 x = 3 cm ∴ 半径 OA 的长为 3 cm.
O B P
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，
它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
几何表述
∵PA、PB分别切⊙O于点A、B ∴PA = PB ,∠OPA=∠OPBAO NhomakorabeaP
B
例1、已知，如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点.
直线 OP 交 ⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C. （1）写出图中所有的垂直关系；（2）写出图中所有的全等三角形. （3）如果 PA = 4 cm , PD = 2 cm , 求半径 OA 的长. A E O C D P
∴周长为24cm
结论拓展1、
已知：两个同心圆PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、 C、D为切点。求证：AC=BD