上海高中数学-复数讲义
数学：13.1《复数的概念》课件(沪教版高二下)
4.1 复数的概念
王新敞
奎屯
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教学目的： 1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i 2.理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律
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3.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、 虚部) 4.理解并掌握复数相等的有关概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复 数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中 的地位和作用 教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念 是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的. 在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 授课类型：新授课
证明：若复数所对应的点位于第四象限， m 2 m 6 0 m 3或m 2 则 2 即 m m 2 0 1 m 1
不等式解集为空集
所以复数所对应的点不可能位于第四象限.
y
满足|z|=5(z∈C) 的复数z对应的点在 复平面上将构成怎 样的图形？ –5 设z=x+yi(x,y∈R)
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a
概念辨析
一一对应
y
直角坐标系中的点Z(a,b) （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共18张ppt)
复数的分类
实数(b 0)
1、复数z=a+bi
虚数(b
0)
纯虚数(a 0，b 0) 非纯虚数(a 0，b
0)
2. 复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
虚数集 复数集C 纯虚数集 实数集
决卡丹问题与邦贝利问题： 5、“虚数不虚”
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
复数的概念
x2 10x 40=0 x 5 15, x 5 15
意大利数学家卡尔丹 （G.Candano,1501-1576）
(5 15) (5 15) 10, (5 15) (5 15) 40
一元二次方程的根有三种情形
问：对照前两种情形，第三种显得不太和谐， 能否有一种比较和谐的状态？
只存在于“想象之中”。 -1 i a (a 0) ?
- ai
思考？
这个例子告诉我们 -1只是个记号，我们
用 i 来表示 i 2 1，不能说明负数就可以
参与平方根运算了。
2、探究复数的一般形式
复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数(complex number),
通常用字母z表示。 全体复数所形成的集合叫做复数集(complex set)，
用！
同学们你们发现什么？
负数 赋予意义
今天我们遇到了负数开平方这个超越实数
复 范围的问题，就是希望引入的数的平方为负数，
但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入 那么多，只要引入平方为多少就行了呢？
？2 负数
数 的 引
1777年欧拉提出 i 用来表示 i2 = 1
入
他用了“imaginary”一词的首字母，本意是它
上海高考数学复数知识点
上海高考数学复数知识点复数，作为高考数学中的一个重要概念，广泛应用于各个数学分支中。
对于上海高考来说，对复数的理解和应用是考生必备的数学知识之一。
本文将全面介绍上海高考数学中的复数知识点，帮助考生更好地掌握这一内容。
一、复数的引入1. 实数的不完备性在高中数学中，我们知道实数是由有理数与无理数构成的。
然而，即便是把这两类数合并在一起，仍然有些问题无法解决。
例如，方程x²=-1在实数范围内无解，这就引出了复数的概念。
2. 复数的定义复数由实部和虚部构成，形如a+bi。
其中，a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用平面上的点表示，实部对应的是点在实轴上的投影，虚部对应的是点在虚轴上的投影。
二、复数的运算1. 加法和减法复数的加法就是实部相加，虚部相加。
例如，(3+2i)+(5+4i)=8+6i。
减法同理，即实部相减，虚部相减。
2. 乘法和除法复数的乘法则是根据分配律展开进行计算。
例如，(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
复数的除法可以通过有理化的方法进行，具体推导与实数的除法类似。
3. 共轭复数一个复数的共轭复数由实部保持不变，虚部变号得到。
例如，对于复数a+bi，它的共轭复数为a-bi。
共轭复数的应用十分广泛，例如求复数的模、求复数的平方等等。
三、复数的性质和定理1. 关于复数的模复数的模是指复数到原点的距离，记作|z|。
对于复数a+bi，它的模为√(a²+b²)。
复数的模具有非负性、三角不等式和模的性质等特点。
2. 欧拉公式欧拉公式是数学中一条重要的公式，被广泛应用于各个领域。
它的表达形式为e^(ix)=cos(x)+isin(x)，其中e表示自然对数的底，i为虚数单位，x为实数。
3. 复数根的性质对于复数z的n次方根，一共有n个解。
这些解在平面上均匀分布在一个圆周上，称为复数单位圆。
复数根的求解可以利用欧拉公式和三角函数理论来处理。
第9章 复数(单元复习课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)
＋
cosπ6＋isinπ6
2＋…＋
cosπ6＋isinπ6
n －1＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
n
1－
cosn6π＋sin
nπ 6
1－ cosπ6＋sinπ6 ＝
1－
cosπ6＋sin
π 6
，
当 n＝12 时，上述复数为 0，即可回到原点．
2a＝2，
a＝1，
由复数相等的条件得，
∴
∴z＝1＋i，故选 A.
a2＋b2＝2b， b＝1.
(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝32＋＋2ii2，则zz12＝(
)
A．－4＋3i
B．3＋4i
C．3－4i
D．4－3i
(2)D (2)zz12＝2－33＋i22i＋i2 ＝2－33＋i23i－32－i22i＋ i2 ＝－13i133＋4i＝4－3i.]
i的幂有周期性，周期为4.
i i2 1 i3 i i4 1
2.复数的相关概念
(4)复数相等：
设a,b, c, d R. ①a bi c di a c且b d; ②a bi 0 a b 0.
作用：将复数问题转化为实数问题．
注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数. ②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小. 如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小.
一个探险家无意中得到一张藏宝图，图上画着一座海 岛，海岛上有两座宝塔A和B，以及一座寺庙，藏宝图用一种 比较特别的方式指出了宝藏的位置．
从寺庙开始沿直线走向宝塔A，到达后记下距离并向左转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处做一记号．再回到 寺庙，同样沿直线走向宝塔B，到达后记下距离并向右转 90°，沿直线走相同的距离，然后在停止处再做一记号，两个 记号连线的中点就是宝藏所在的位置．
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的扩展与复数的概念 课件(共20张PPT)
复数的代数形式 通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
实部 虚部
i 其中 称为虚数单位。
Real part Imaginary part
数系的扩展
复数的分类
复数的概念
复数z=a+bi
(aR,bR)
实数(b 虚数(b
0) 0)
纯 虚 数 (a0， b0) 非 纯 虚 数 (a0， b0)
复数集、虚数集、实数集、 纯虚数集之间的关系
R C
复数集
虚数集
纯虚数集
实数集
数系的扩展
复数的概念
课堂练习1：说出下列复数的实部与虚部.并 指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?
复数 实部
4
4
2-3i 2
4i+3 3
-6i
0
i 2 1
isin 0
32i2 1
虚部 实数
0√
3
4
6
0√ 0√ 0√
虚数 纯虚数
√ √
√
数系的扩展
复数的概念
课堂练习2：
判断下列结论是否正确？
（1）a,bR，则a+bi是虚数
（2）bR，则bi是纯虚数
（3）z=a 不是虚数
（4）z=a+bi (a,bN)是虚数
数系的扩展
复数的概念
例1:当m为何实数时，复数 z m 2 m 2 (m 2 1 )i
是 （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数 (4)0
2 .当 实 数 x , y 为 何 值 时 ， 复 数 z = x 2 - y 2 + ( 2 x y - 6 ) i 等 于 8 ？
算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结 合律和分配律)仍然成立。
沪教版高中数学高二下册-13.3复数几何意义的简单应用 课件PPT
【教学目标】
1、会利用复数几何意义求复数的模 2、会用复数关系式描述复平面上简单的几何图形 3、通过学习,体会数形结合思想，让学生在实践中学习观察、 类比、分析、归纳的思维方法
复数几何意义的简单应用
y
b
Z(a,b)
O
a
x
复习提问 巩固旧知
1、复数的几何意义
复数 zabi 一一对应 一一对应
解：（1 ）（2,－2） （2 ）（-2,0） （3）（0，1）
5、满足下列条件的复数z所对应的点表示什么 样的图形？
（1） |z|=1
（2） |z| <1 （3）|z-1-i|=1
解(1)以原点为圆心，以1为半径的圆
(2)以原点为圆心，以1为半径的圆面（不包括圆周）
(3)以(1,1)为圆心，以1为半径的圆
（ 以 ( c , 0 ) 为 焦 点 ， 长 轴 长 为 2 a 的 椭 圆 ）
5 ,z cz c 2 a (2 c 2 a 0 )
（ 以 ( c , 0 ) 为 焦 点 ， 长 轴 长 为 2 a 的 双 曲 线 ）
巩固提高
1，若复数z满足|z|=1，|z-2|范围是____1_, _3 _ _
3、两个复数 z 1 , z 2 在复平面
上对应的两点 Z 1 , Z 2间的距离
表示为： z1 z 2
O
a
x
例 如 z 2 表 示 复 数 z 所 对 应 的 点 Z 与 _ (_ _ 2_ ,_ 0_ )_ 的 距 离
复习提问 巩固旧知 4、写出下列复数对应的点：
（1） 2-2i （2）-2 （3）i
常用的复数方程的轨迹：
1, z r(r 0)
沪教版高中数学高二下册第十三章13.1复数的概念 课件 (共26张PPT)
思考？
i是虚数单位，3是实数， 将3与i进行加、减、乘、除运算， 会产生哪些形式的“新数”？
3 i,3 i,i 3,i 3,3i, i 等 3
这些“新数”能用一种 统一的形式表示吗？
a bi
16:02
复数的概念
定义：把形如a+bi的数叫做复数 （a,b 是实数）
其中i叫做虚数单位 复数全体组成的集合叫复数集，记作C
(2x 1) i y (3 y)i
2x 1 (3 y) 1 y
x
1 2
y 1
令y b（i b R且b 0) 代入（2x 1) i yi (3 y)
(2x 1) i bii (3 bi)
(2x 1) i bi2 (3 bi)
(2x 1) i b 3 bi
2 z m2 m 6 m2 2m 15 是虚数. m3
解：
2
m2
2m
15
0
m 3 0
m
5
m
3
0
m 3 0
m 5且m 3 m 3
m 5且m 3
m 5且m 3时,复数z是虚数.
3 z m2 m 6 m2 2m 15 是纯虚数. m3
m2 2m 15 0
《说数》
自然数
有理数
整数
实数
13.1复数的概念
提出问题
一元二次方程ax2 bx c 0,当=b2 -4ac 0时， 在实数范围内没有实数根.
回顾
x 1 0
2x 1 0
x2 2 0
负整数 分数
无理数
解决问题
一元二x 2次+方1程 x02 -x-21----0-x没12有实数根1．
思考？ 我们能否将实数集进行扩充，使得在
沪教版(上海)数学高二下册-13.1复数的概念(课件)
解：由已知得：
x x
y 2x5 2y 3x y
x
y
3 2
2、已知 2x 1 i y 3 yi 其中x，
y∈R，求x与y
• 解：根据复数相等的定义，得方程组
2x 1 y
• 1 3 y
得
x
5 2
y 4
课堂练习：
1、(2015年高考)若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是 虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于( C ) A.{－1} B.{1} C.{1，－1} D.∅
整数集
有理数集
实数集
分数
，
无理数
，
开 方，
+×
+× ÷
+×
+×
，
，
，
，
乘
乘
乘
乘
方
方
方
方
，
，
，
减
减
减
法
法
法
，
，
÷
，
探究问题二：数系扩充中，有什么共同特点？
①增添了新元素； ②原有的一些基本关系和运算法则在新数集里 仍能运用； ③新数集解决了原数集一些不能解决的问题.
类比推理的数学思想
自然数 整数 有理数 实数
是：
(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数 (4) 0
五、复数相等
探究问题四：如何定义两个复数相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a,b,c,d ∈R,
,则 a+bi = c+di 反之,也成立.
转化化归和方程的思想，变未知为已知。
例题赏析(学生探究)
例2、已知 (x y) (x 2y) i (2x 5) (3x y) i 其中 x, y R ,求 与 ．
沪教版高中数学高二下册-13.3(3)复数几何意义的简单应用 课件(共13张PPT)
A2
Ox
例3：已知复数z满足|z+1|+|z-1|=4。 （1）复数z在复平面上对应的点的集合是什么图形？ （2）求|z-3|的最值。
解（1）由条件知复数z对应的点的集合是以 (1,0),(-1,0)为焦点，长轴长为4的椭圆。
（2）|z-3|表示复数z对应的点到点（3，0）的距离， 结合图形，由平几知识得|z-3|min=1，|z-3|max=5.
（D）射线
今天我们探索研究了什么？你有什么收获?
在所阅读的书本中找出可以把自己引到深处的东西，把其他一切统统抛掉，就是抛掉使头脑负担过重和会把自己诱离要点的一切。 生活总是让我们遍体鳞伤，但到后来，那些受伤的地方一定会变成我们最强壮的地方。 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 当一个女人喜欢一个男人时，她最喜欢听他说谎言；当一个女人厌恶一个男人时，她最希望听他讲真话。 说穿了，其实提高成绩并不难，就看你是不是肯下功夫积累——多做题，多总结。 生活远没有咖啡那么苦涩，关键是喝它的人怎么品味！每个人都喜欢和向往随心所欲的生活，殊不知随心所欲根本不是生活。 作者不一定能写到老，但是他一定应该学到老。 征服自己，就能征服一切。 不可压倒一切，但你也不能被一切压倒。 乐观者在灾祸中看到机会，悲观者在机会中看到灾祸。 时间告诉我，无理取闹的年龄过了，该懂事了。 得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 炫耀是需要观众的，而炫耀恰恰让我们失去观众。 让珊瑚远离惊涛骇浪的侵蚀吗？那无异是将它们的美丽葬送。 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰 战士的意志要象礁石一样坚定，战士的性格要象和风一样温柔。 读书给人以快乐、给人以光彩、给人以才干。 世界原本就不是属于你，因此你用不着抛弃，要抛弃的是一切的执着。万物皆为我所用，但非我所属。 好习惯的养成，在于不受坏习惯的诱惑。 人生应该树立目标，否则你的精力会白白浪费。
(完整版)上海高中数学-复数讲义
复数一、知识点梳理： 1、i 的周期性：44n+14n+24n+34ni =1，所以，i =i, i =-1, i =-i, i =1 n Z4n 4n 1 4n 2 4n 3IIIiC a bi | a,b R 叫做复数集。
3、 复数相等：a bi cdi a c 且b=d ； a bi 0 a 0且b=0实数(b=0)4、 复数的分类：复数Za bi 七—一般虚数(b 0,a 0)虚数(b 0)纯虚数(b 0,a 0)虚数不能比较大小，只有等与不等。
即使是3 i,6 2i 也没有大小。
uu uu r ------- r5、 复数的模：若向量OZ 表示复数 乙则称OZ 的模r 为复数z 的模，z |a bi | ,a 2 b 2 ；积或商的模可利用模的性质(1) z 1 L z nZ 1 Z 2 L Z n ,(2)引Z 2Z 2Z 26、 复数的几何意义：复数z a bi a,b R一一对应复平面内的点Z(a,b)一一对应uu复数Z a bi a,b R平面向量OZ , 7y 轴叫做虚轴.，实轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数&复数代数形式的加减运算 复数 Z 1 与 Z 2 的和：z 1+z 2=(a +bi )+( c +di )=( a +c )+( b +d ) i . a, b, c, d R 复数 Z 1 与 Z 2 的差：z 1- z 2=( a +bi )-( c +di )=( a - c )+( b - d ) i . a, b, c, d R 复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义： 复数乙=a +bi ，Z 2=c +di a,b,c,d R ； OZ = OZ 1 +OZ 2 =(a ，b )+( c ,d )=( a +c , b +d ) = (a +c )+( b +d ) iuu u uuur ujur复数减法的几何意义：复数Z 1-Z 2的差(a - c )+( b - d )i 对应•由于Z 2Z 1 OZ 1 OZ 2,两个复数的差Z — Z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应 9.特别地，z ABz B —Z A , z AB AB z B z A 为两点间的距离。
上海市高二下学期复数的概念及其运算
上海市高二下学期复数的概念及其运算【学习要点】1.把形如)(R b a bi a ∈+、的数叫做双数，用字母z 表示，即=z )(R b a bi a ∈+、， 其中a 叫做双数z 的实部，记作z Re ，b 叫做双数z 的虚部，记作z Im ，i 叫 做虚数单位，规则：12-=i . 双数全体所组成的集合叫做双数集，用字母C 表 示. 双数包括实数和虚数，规则12-=i .2.双数bi a z +=，事先0=b ，双数z 为实数；事先0≠b ，双数z 为虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数.3.假设两个双数bi a z +=1和di c z +=2相等，那么c a =且d b =.4.共轭双数：实部相等虚部相反的两个双数互为共轭双数，双数z 的共轭双数用 z 来表示，假定bi a z +=，那么bi a z -=.5.关于双数bi a z +=，我们把22b a +叫做双数z 的模.记z ，即=z 22b a +. 特别地，z z =.6.双数加减法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i d b c a z z )()(21±+±=±.7.双数乘除法：设bi a z +=1，di c z +=2，那么i ad bc bd ac z z )()(21++-=⋅；8.双数的乘方：n m n m z z z +=⋅，mn n m z z =)(，n n n z z z z 2121)(⋅=⋅.我们规则10=z ，)0(1≠=-z zz n n ，特别地，14=n i ；i i n =+14；124-=+n i ；i i n -=+34.9.双数的开方：它是乘方的逆运算，设bi a z +=1，di c z +=2，且满足21z z n=，即di c bi a n+=+)(，那么称1z 是2z 的一个n 次方根. 特别地，i ±是1-的一个立方根，1的立方根是1、i 2321±-. 10.双数的模的运算性质：①2121z z z z ⋅=⋅；②)0(22121≠=z z z z z ；11.共轭双数运算性质：①2121z z z z +=+，2121z z z z -=-；②)0(22121≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z z z ；【例题解说与训练】例1.双数i 43+，i 2-，i ，2π，0，i 2.(1)指出它们哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？ (2)求出上述双数的模及它们的共轭双数. 〖变式训练1〗1.请说出双数i i 31,5,32--+的实部和虚部.2.双数 72+，618.0，i 72，0，i ，2i ，85+i ，i 293-中为实数的有 ，为虚数的有 ，为纯虚数有 .3.命题：①假定C z z ∈21,，且21z z =，那么21z z ±=；②假定R b a ∈,，且b a >， 那么bi ai >；③与自身共轭的双数一定是实数.其中正确的序号为 .例2.实数m 取何值时，双数i m m m m m z )65(3222++++-+=是〔1〕实数？〔2〕虚数？〔3〕纯虚数？〖变式训练2〗1.实数m 区分取什么值时，双数()i m m z 11-++=是(1)实数？(2)虚数？(3) 纯虚数？2.假定双数()()i m m m m 36522-++-为纯虚数，试务实数m 的值. 3.R b a ∈,,指出不等式i b a b i a b a )62(5)(2-++-->--+-成立的条件. 例3.计算：〔1〕)43()2()65(i i i +---+-=〔2〕)20182017()54()43()32()21(i i i i i -++-+-+-+- = 〖变式训练3〗 1.计算：〔1〕)65()43()21(i i i +--++=〔2〕i i i i i i i i 2018201765432-+⋅⋅⋅+-+-+-=2.命题：①假定两个虚数1z 、2z 的和是实数，那么1z 、2z 是共轭双数；②假定1z 、2z 是共轭双数，那么1z -2z 是纯虚数； 假定双数0=+z z ，那么z 是纯虚数.其中正确的序号是 .3.两个双数1z 和2z ，它们之和是i )21()12(-++，它们之差是+-)12( i )21(+，求1z 、2z .例4.双数1z 、2z 满足121==z z ，且i z z 232121+=+.求1z 、2z 的值. 〖变式训练4〗1.双数i z +=21，i z 212+=，那么双数12z z z -=在复平面内所表示的点位于〔 〕(A)第一象限 (B)第二象限 (C )第三象限 (D)第四象限2.复平面上三点C B A 、、区分对应双数i i 25,2,1+ ，那么由C B A 、、所构成的 三角形是〔 〕(A)直角三角形 (B)等腰三角形 (C)锐角三角形 (D)钝角三角形 3.设双数z 满足2=z ，求i z -的最大值及此时的双数z . 例5.1z 、2z 是双数，1)31(z i +为纯虚数，iz z +=212，且252=z ，求2z . 〖变式训练5〗1.双数z 满足i z i 34)21(+=+，那么z = .2.双数21iz i-=+在复平面内对应的点位于 ( ) 〔A 〕第一象限 〔B 〕第二象限 〔C 〕第三象限 〔D 〕第四象限3.假定将双数2i i +表示为a bi +(,a b R ∈)的方式，那么ab的值为( )（A ）2- 〔B 〕21- 〔C 〕2 〔D 〕21例6.设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且21<<-ω. （1）求z 的值及z 的实部的取值范围； （2）设zzu +-=11，求证：u 为纯虚数； （3）求2u -ω的最小值.〖变式训练6〗1.假定双数z 同时满足条件：①6101≤+<zz ；②z 的实部、虚部都是整数.求z . 2.假定双数z 满足1=z ，求证：R zz∈+21. 3.设C z ∈，求满足R zz∈+1且22=-z 的双数z . 例7.〔1〕201832ii i i +⋅⋅⋅+++= .〔2〕i 24143-的平方根是 . 〖变式训练7〗1.100432100432ii i i i +⋅⋅⋅++++= .2.i 247-的平方根是 .3.计算：n 为奇数时，求nn i i i i 22)11()11(+-+-+的值. 例8.设ω是1的立方虚根. (1)求ω；(2)求证：ωω=2； (3)求证：012=++ωω. 〖变式训练8〗1.ω是1的立方虚根，那么2018321ωωωω+⋅⋅⋅++++= . 2.ω为13=x 的一个虚根，那么)1)(1)(1)(1(842ωωωω++++= . 3.012=++x x ，那么504030x x x ++的值为= .例9.〔1〕双数4523213)23()()43(-++=i i z 的模为= .〔2〕设双数z 满足1=z ，求22+-z z 的最大值和最小值，并求相应的z .〖变式训练9〗1.双数2105)31()21()247()43(i i i i i z +--+---=的模为= . 2.假定C z z ∈21,，2121z z z z +是〔 〕（A ）纯虚数 〔B 〕实数 〔C)虚数 〔D 〕不能确定3.假定双数21,z z 满足31=z ，52=z ，721=-z z ，求21z z .例10.设双数21,z z 满足关系式02121=++z A z A z z ，其中A 为不等于0的双数. 求证：〔1〕221A A z A z =++；〔2〕Az Az A z A z ++=++2121. 〖变式训练10〗1.〔1〕C z z ∈21,，11=z ，求21211z z z z ⋅--的值；〔2〕假定双数321,,z z z 的模均为3，求321321111z z z z z z ++++的值. 2.21,z z 为非零双数，且满足2121z z z z -=+，求证：221⎪⎪⎭⎫⎝⎛z z 一定为正数.3.设双数21,z z 满足01222121=+-+⋅iz iz z z . 〔1〕假定i z z 212=-，求1z 和2z ； 〔2〕假定31=z ，求证：i z 42-为常数.。
沪教版高中数学高二下册 -13.1复数的概念 课件
讨 论？
复数集C和其它数集（N，Z，Q，R）之间有什 么关系？请用文氏图表示.
练习1
1.指出下列复数是实数还是虚数，对于虚数，它 们的实部和虚部分别是什么？
1 2i e
2i
2i2
1.5i
0
2.判断下列命题是否正确：
（1）自然数是有理数，但不是复数；
（2）34的i实部等于3，虚部等于 ;4i
（3）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数.
你
(1596—1650 ) (1707—1783 )
5 15 (1501—1576 1)00年
虚数
140年
i 1831年
高斯 (1777－1855)
abi
知识运用
例1：求当 m为何数时，复数 zm 2m 2(m 24)i
立。（3）0 i 0 ,0 b b i(b iR )
2.复数：形如 ab(ia,bR)的数
全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字 母C表示。定义了复数的加法和乘法运算后的复数集 叫做复数系（域）。
复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
zabi(aR,bR)
实部 虚部 （Re z ） (Im z)
作业布置
练习册：13.1 A组
思考题：
在实数集中，两个实数之间存在几 种关系？那么在复数集中，两个复数之 间呢？
谢 谢 指 导！
8 、环境和条件不是学习的决定因素，只有人的内因最重要，不能借口学习条件不好而不努力学习。 15 、是战士就应该奋勇杀敌，是勇士就应该无所畏惧，要成功就得努力，去拼搏才能胜利，这里是你们驰骋的天地，勇士们，擦亮你们的眼 睛，亮出你们的宝剑，活出属于你们的精彩吧! 3 、太上，不知有之;其次，亲而誉之;其次，畏之;其次，侮之。信不足焉，有不信焉。 10 、要想壮志凌云，就须脚踏实地。 18 、须交有道之人，莫结无义之友。饮清静之茶，莫贪花色之酒。开方便之门，闲是非之口。 9 、祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。孰知其极?其无正也。正复为奇，善复为妖。人之迷，其日固久。 6 、经历过人生的风风雨雨，才能够丰富自己的阅历，理解人生的真谛。 10 、如果你想在这个世界上获得成功，当你进入某个沙龙时，你必须让你的虚荣心向别人的虚荣心致敬。 14 、人生就是生活的过程。哪能没有风、没有雨?正是因为有了风雨的洗礼才能看见斑斓的彩虹;有了失败的痛苦才会尝到成功的喜悦。 3 、成功就像一座平衡的秤，一边是努力，一边是快乐;付出的多，收获的也多。 20 、不要看不起任何人，因为弱小者在受到侮辱时也会报复。得罪了别人，哪怕他非常弱小，都可能会成为你成功的障碍。
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∴或。 【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再 利用条件，但运算复杂。 (4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。 解：∵|u|=||•|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。 【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。 例4：已知z=1+i，a，b为实数， (1)若ω=z2+3－4,求|ω|; (2)若，求a，b的值。 解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。 （2）由条件，∴，∴。 【思维点拨】利用复数的充要条件解题。 例5：设且是纯虚数，求的最大值。 解：令z=x+yi（x，y∈R），则，∵是纯虚数， －1 P O 1/2 x y ∴，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,－1)的最大距离。 ∴max=|PA|=。 练习：
（1）当时，方程有两个实根 。 （2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。 此时有 且。
注意两种题型： 虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相 等求解。但仍然适用韦达定理。 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法： （1）当时， (2)当时， 已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。 实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对 * m n m+n m n mn z1,z2,z3∈C及m,n∈N 有: z z =z , (z ) =z , n n n (z1z2) =z1 z2 . 复数的除法：(a+bi)(c+di)== ，分母实数化是常规方法 12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两 个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共 轭虚数； ，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。 ， 13、熟记常用算式：，，，， 14、复数的代数式运算技巧： （1）① ② ③ ④ （2）“1”的立方根的性质： ① ② ③ ④ ⑤ 15、实系数一元二次方程的根问题：
1． 2．.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（ D ） A．0 B．2 C． D．5 3.设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝（ ） C
（A）–ω （B）ω2 （C） （D） 4.复数的共轭复数是（B ） A． B． C． D． 5.若复数满足方程，则 （ ） D A. B. C. D. 6. 设、、、，若为实数，则 (C ) (A) (B) (C) (D)
（1）当时， ①即，则 ②即，则 （2）当时，
二、典例分析： 例1．（1）复数等于( ) A.1－i B.1+i C.－1+ i D.
－1－i 解析: 复数=，选C． （2）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ． 解：已知； （3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是 A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0 解析：（1）复数=为实数，∴，选D； （4）已知（ ） (A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i 解析：，由、是实数，得， ∴，故选择C。 （5）设为实数，且，则 。 解析：， 而 所以，解得x＝－1，y＝5， 所以x＋y＝4。 点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。 例2：（1）计算： 答案： （2）设复数z满足关系，求z； 解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得 由复数相等可得：，解得，所以 设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。 （3）若，解方程 解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。 例3：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 2 2 2 解：令z=x+yi（x，y∈R），则x +(y+1) －[x +(y－1)2]=1，∴y=1/4。 故选A。 （2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值； 解：|z|的最大值为，最小值为； （3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。 解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，
复数
一、知识点梳理： 1、i的周期性： i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做 复数集。NZQRC. 3、复数相等：； 4、复数的分类： 虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。 5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模， ； 积或商的模可利用模的性质（1），（2） 6、复数的几何意义： 复数 复平面内的点 ， 7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其 中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 ，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 8、复数代数形式的加减运算 复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 复数的加法运算满足交换律和结合律 数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)= (a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i 复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应 由于，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量 对应. 9. 特别地， zB－zA.，为两点间的距离。 z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的轨迹是一个 圆；， z对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。 10、显然有公式： 11、复数的乘除法运算： 复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
7.如果复数是实数，则实数（ ） B A． B． C.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ） C A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆 10.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ． 11.已知 C (A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i 12、复数的虚部为 （A）3 （B）－3 （C）2 （D） －2 解析:复数=,所以它的虚部为－2，选D. 13、在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 解：故选D； 点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较 基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。 14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z [解]原方程化简为, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i, ∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±, ∴原方程的解是z=-±i. 15、已知，对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范 围。 解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，对成立。 当，即时，不等式成立； 当时。综上得。 【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。