八年级寒假班-01-一次函数的概念及图像(教案教学设计导学案)

初二数学寒假班

1、一次函数的概念

（1）一般地，解析式形如（，是常数，且）的函数叫做一次函数；

（2）一次函数的定义域是一切实数；

（3）当时，解析式就成为（是常数，且），这时y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的特例；

（4）一般地，我们把函数（为常数）叫做常值函数．它的自变量由所讨论的问题确定．

【例1】（1）一次函数（），当_________时，y是x的正比例函数，所以正比例函数是一次函数的_________情况．

（2）已知函数y =（a2）x+12b是一次函数，则a__________，b_____________．【难度】★

【答案】（1）；特殊；（2）；取任意实数．

【解析】（1）当时，是正比例函数；

（2）对于，当，b为任意函数时为一次函数．

【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、常值函数之间的关系．

【例2】下列函数中，哪些是一次函数?

（1）；（2）；（3）；

（4）；（5）；（6）．

【难度】★

【答案】（1）、（2）、（6）．

【解析】对于，当，b为任意函数时为一次函数，故答案为（1）、（2）（6）．

【总结】本题考察了一次函数的定义．

【例3】根据变量x，y的关系式，判断下列函数是什么函数？

（1）；（2）；（3）．

【难度】★

【答案】（1）一次函数；（2）反比例函数；（3）正比例函数．

【解析】略．

【总结】本题考察了正比例函数、一次函数、反比例函数的关系．

【例4】已知一个一次函数，当自变量时，函数值为；当时，．求这个函数的解析式．

【难度】★

【答案】．

【解析】设，

把代入，得：，解得：，

所以这个函数的解析式为：．

【总结】本题考察了用待定系数法求函数的解析式．

【例5】已知一次函数，

（1）求，；

（2）如果f（a）= 4，求实数a的值．

【难度】★

【答案】（1）－4，；（2）15．

【解析】（1），；

（2），，解得：．

【总结】本题考察了根据解析式求函数值．

【例6】已知一次函数，求实数m的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】由已知，得：，解得：．

【总结】本题考察了一次函数的定义．

【例7】已知一次函数的图像经过点、，求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】设，把代入，

得：，解得：，

．

【例8】已知两个变量y与x的关系式是，当y是关于x的一次函数时，那么函数是否经过点与点？

【难度】★★

【答案】一次函数不经过点（3，5），经过点（－1，－1）；

【解析】由已知得：，解得：，∴．

当时，，故一次函数不经过点（3，5）；

当时，，故一次函数经过点．

【总结】本题考察了一次函数的概念以及如何判定点是否在函数图像上．

【例9】已知y与x的关系式是（其中a是常数），那么y是x的一次函数吗?请说明．【难度】★★★

【答案】当时，y是x的一次函数；

当时，y =3，y不是x的一次函数，是常值函数；

【解析】略；

【总结】本题考察了一次函数的概念．

【例10】已知一次函数解析式为，求实数m的值．

【难度】★★★

【答案】或或．

【解析】由已知得：或者或，

解得：或或．

【总结】本题考察了一次函数的概念，由于题目中已含有一次项，故要从多个角度考虑．

1、一次函数的图像：

一般地，一次函数（，是常数，且）的图像是一条直线．一次函数的图像也称为直线，这时，我们把一次函数的解析式称为这一直线的表达式．

画一次函数的图像时，只需描出图像上的两个点，然后过这两点作一条直线．

2、一次函数的截距：

一条直线与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距，一般地，直线（）与y轴的交点坐标．直线（）的截距是b．

3、一次函数图像的平移：

一般地，一次函数（）的图像可由正比例函数的图像平移

得到．当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位．

（函数平移口诀简记为：“上加下减，左加右减”）

4、直线位置关系：

如果，那么直线与直线平行．

反过来，如果直线与直线平行，那么，．

【例11】在下面平面直角坐标系中，利用描点法画下列一次函数的图像：（1）；（2）．

并根据所画的图像求出两个函数交点坐标．

【难度】★

【答案】如图，交点坐标为（0，）．

【解析】如图，两个函数交于y轴，

将代入任意函数得：，

∴交点坐标为（0，）．

【总结】本题考察了一次函数的图像和交点坐标的求法．

【例12】若一次函数函数图像过原点，求a的值，并在坐标系中画出函数的图像．

【难度】★

【答案】；图像如右图．

【解析】由已知得：，∴，

图像如图．

【总结】本题考察了一次函数的概念和图像．

【例13】写出下列直线的截距：

（1）；（2）；

（3）y4=2（x3）；（4）yx=0．

【难度】★

【答案】（1）4；（2）；（3）2；（4）0．

【解析】（1）由已知得：截距为4；（2）化简得：，截距为；

（3）化简得：，截距为2；（4）化简得：，截距为0．

【总结】本题考察了截距概念，注意写截距时要带着前面的符号，截距可正可负可为0．

【例14】若一次函数y = k(x+1)2的图像在y轴上的截距是4，求这个一次函数的解析式．【难度】★

【答案】．

【解析】化简得：，∴，解得：