概率论与数理统计心得

浅谈概率论、数理统计
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我认为概率论的核心思想就是利用已有的数学工具去研究不确定的现从而总出其一般化的规律。

而数理统计则是以概率论为理论基础，基于有效的观测，收集，整理，分析带有随机性的数据来研究随机现象。

研究随机现象数量规律的数学分支。

随机现象是指这样的客观现象但我们观察它时，所得的结果不能预先确定，而只是多种可能结果中的一种。

在自然界和人类社会中，存在着大量的随机现象。

例如，掷一硬币，可能出现正面或反面；测量一物体长度，由于仪器及观察受到环境的影响，每次测量结果可能有差异；在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。

这些都是随机现象。

随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件又通称随机事件。

事件的概率则是衡量该事件发生的可能性的量度。

虽然在一次随机试验中发生某个事件是带有偶然性的，但那些可以在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律性。

人们在长期实践中已逐步觉察到某些这样的规律性，并在实际中应用它。

例如，多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于一常数，并且诸测量值大都落在此常数的近旁，越远则越少，因之其分布状况呈现“中间大、两头小”及某种程度的对称性（即近似于正态分布）。

大数律及中心极限定理就是描述和论证这些规律性的。

在实际中，人们往往还需要研究在时间推进中某一特定随机现象的演变情况，描述这种演变的就是概率论中的随机过程。

例如，微小粒子在液体中因受周围分子的随机碰撞而形成不规则的运动（即布朗运动）也是一随机过程。

研究随机过程的统计特性，计算与过程有关的某些事件的概率，特别是研究与过程样本轨道（即过程的一次实现）有关的问题，是现代概率论的主要课题。

总之，概率论与实际有着密切的联系，它在自然科学、技术科学、社会科学、军事和工农业生产中都有广泛的应用。

我认为在概率的发展史中，随机变量的引入是一个重大的进步，将研究对象有随机事件发展为随机变量，使其得以用数学的语言来表述，将工科数学分析的成果应用于此，将其函数化，并利用微积分的方法来研究。

这大大的提高了概率论的深入性及广度性。

首先我们将随机变量分为两类，离散型，连续型。

对于离散型，在描述其分布的时候，我们还可以利用分布列的形式来简单的描述，如二项分布，泊松分布等。

但是对于像灯泡的寿命这类非离散型的变量，他的取值有无限种可能，无法用分布列来表示，也无法确定他在一个点上发生的概率，并且研究一点也没有价值，因此我们需要研究其在一个区间上发生的概率，这也就自然而然的引入了随机变量分布函数这一概念，从而也连带着引出了概率密度这念，即一个区间上的概率等于概率密度关于区间长度dx的积分。

故而研究的概率也就可以用积分的方式来解决了，同理，对于而为随机变量，只不过变为了二重积分，其本质是不变的。

谈到这里我想举例来说明其在物理学中的重要应用，那么就一本学期学到的热学为例，其效用主要体现于热学中的统计物理学分枝上，其主要研究热现象的微观理论，统计物理学从宏观物质系统是由大量微观粒子所构成，这一事实出发，认为物质的宏观性质是大量微观粒子性质的集体体现。

宏观物理量是微观物理
量的统计平均值。

基于这一点，首先我们可以得到理想气体的压强公式p=2／3ne （e 为分子的平均平动动能）。

压强是大量分子碰撞器壁的统计平均效应，对个别分子是无意义的，并多次用到了统计平均的方法，例如速度向某一方向的概率为1／6.由此引出理想气体分子的统计分布，麦克斯韦-玻尔兹曼分布， /1()i kT
i Ni f g e αεε=+=经典粒子按能级的最概然分布，而粒子按速率分布的表达式为23/22/(2)4)2mv kT dN m dw v e dv N w kT
ππ-==（其表示我为速率在v dv 范围内的概率，这里由于分子数比较大，所以，dN /N 表示的频率即为分布的概率了。

这一结果可以用大数定律来理解，而速率分布函数（概率密度）f(v)=
/dN Ndv =2
3/2224()2mv kT m v e kT ππ-,而根据概率密度的性质自然而然的有()1f v dv ∞=⎰，因此有了速率分布函数我们在描述麦克斯韦速率分布的规律时
就更加的清晰了，规律如下（1）212121()v v v v v v dN N f v dv N N
∆==⎰⎰ ，其表示速率在12v v 区间内的分子数与总分子数之比，即分子在速率范围内的概率。

（2）由概率密度的表达式，可以求出f （v ）对应的极大值，即为分子的最概然速率，从微元的角度来看，即在vp 这点的微小邻域内，分子出现的概率最大。

并得到该点坐标为p v R 为气体普适常数，可见该表达式中，T ，u 均为宏观量，而气体分子的最该然速率只与温度有关，这一结论有机的将微观粒子与宏观的物理量联系起来，并定量化其中的关系，由此可见数理统计与概率论，在研究大量随机试验时可以科学的推导出其整体的宏观特性，并通过分布函数和概率密度等函数量使得原本凌乱的数据得以清晰科学的利用数学工具规范化表达，可见这门学科对于跨学科的应用起到了桥梁性的作用。

总之前半程的概率论学习教会我们如何用概率去描述不确定事件的发生问题，其尤其一定的随机性，但对于大量的随机试验下，他所体现的规律分布式极为重要的。

下面在概率论的基础铺垫下，我们便需要学会如何在总体参数未知的条件下，利用样本的数据有效科学的去估计总体分布特性，这也就是数理统计所要研究的一个重要问题。

首先书中引入了几个重要的数字特征，数学期望，方差，协方差，相关系数，距，方差：即反映了随机变量取值的平均情况；方差：表示数据偏离均值的平均情况。

这两大概念是我们在描述样本数据的重要基础量，由此引出的矩的概念都是以之为基础的。

有了这一铺垫我们就可以通过样本的情况来分析总体的性质了，由于所学有限，我只说一下关于样本均值和样本方差的应用，举个例子我们都知道样本方差的表达式为2
211s =()(2)n-1n
i i X X n =-≥∑，以前我一直不明白为什么分母要除（n-1），这一点相必很多人也有同样的疑虑，但是在参数估计的一章，
我才明白，如果利用样本方差作总体方差的无偏估计，就必须满足2()Es D X =，这样在推导过程中就认为的除上了（n-1），以保证其估计的无偏性，而不同于二阶样本中心矩*2
211S ()n
i i X X n ==-∑。

由此可见再利用样本估计量估计时也应注意其科学性，因此无论是利用点估计，最大似然估计，还是区间估计都应注意估计值的无偏性，有效性，相合性三个方面。

而实际应用中也往往使用符合性最好的估计。

这一点在物理实验中体现的尤为突出，例如在利用实验数据推到相应物力量时，一个科学的表示要包含实际数据，不确定度，以及置信概率。

而在计算不确定度时，在A 累不确定度中，我们就利用了样本的标准偏差来计算，以此来消除测量带来的系统误差，这样就使得，最终的结果更加科学性。

而同样的在计算B 类不确定度利用了仪器误差的正态分布或者均匀分布的特性去消除这一方面的系统误差。

由此可见一次科学的物理实验不仅需要严谨的实验设计，在实验数据的处理方面上亦要求我们利用科学的统计方法严谨的计算物理量。

以上就是目前我们所接触的概率论与数理统计的重要领域之一——物理学，当然其应用的适用面远不止这些。

一下是我自己搜集的一些理论应用成果。

在物理学方面，高能电子或核子穿过吸收体时，产生级联（或倍增）现象，在研究电了-光子级联过程的起伏问题时，要用到随机过程，常以泊松过程、弗瑞过程或波伊亚过程作为实际级联的近似，有时还要用到更新过程的概念。

当核子穿到吸收体的某一深度时，则可用扩散方程来计算核子的概率分布。

物理学中的放射性衰变，粒子计数器，原子核照相乳胶中的径迹理论和原子核反应堆中的问题等的研究，都要用到泊松过程和更新理论。

湍流理论以及天文学中的星云密度起伏、辐射传递等研究要用到随机场的理论。

探讨太阳黑子的规律及其预测时，时间序列方法非常有用。

化学反应动力学中，研究化学反应的时变率及影响这些时变率的因素问题，自动催化反应，单分子反应，双分子反应及一些连锁反应的动力学模型等，都要以生灭过程（见马尔可夫过程）来描述。

随机过程理论所提供的方法对于生物数学具有很大的重要性，许多研究工作者以此来构造生物现象的模型。

研究群体的增长问题时，提出了生灭型随机模型，两性增长模型，群体间竞争与生克模型，群体迁移模型，增长过程的扩散模型等等。

有些生物现象还可以利用时间序列模型来进行预报。

传染病流行问题要用到具有有限个状态的多变量非线性生灭过程。

在遗传问题中，着重研究群体经过多少代遗传后，进入某一固定类和首次进入此固定类的时间，以及最大基因频率的分布等。

许多服务系统，如电话通信，红绿灯交换，存货控制，水库调度，购货排队，船舶装卸，机器损修，病人候诊等等，都可用一类概率模型来描述。

这类概率模型涉及的过程叫排队过程，它是点过程的特例。

当把顾客到达和服务所需时间的统计规律研究清楚后，就可以合理安排服务点。

在通信、雷达探测、地震探测等领域中，都有传递信号与接收信号的问题。

传递信号时会受到噪声的干扰，为了准确地传递和接收信号，就要把干扰的性质分析清楚，然后采取办法消除干扰。

这是信息论的主要目的。

噪声本身是随机的，所以概率论是信息论研究中必不可少的工具。

信息论中的滤波问题就是研究在接收信号时如何最大限度地消除噪声的干扰，而编码问题则是研究采取什么样的手
段发射信号，能最大限度地抵抗干扰。

在空间科学和工业生产的自动化技术中需要用到信息论和控制理论，而研究带随机干扰的控制问题，也要用到概率论方法。

由于我们本身是五系通信工程专业的，这门课程的学习为以后的专业课的学习无意是一个重要的铺垫。

并且随着社会的发展概率论进入其他科学领域的趋势还在不断发展。

值得指出的是，在纯数学领域内用概率论方法研究数论问题已经有很好的结果。

在社会科学领域，特别是经济学中研究最优决策和经济的稳定增长等问题，也大量采用概率论方法。

以上所述就是我关于本门课程的思想，应用领域的一些实际体会。