中考数学 新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)

专题01 数与式中的新定义问题

一、考情分析

"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。 它一般分为三种类型： (1)定义新运算;

(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.

利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题

1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ． 【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗

131132x x =--+

1=．

故答案为：1．

2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=． （1）2⊕(3)-= 1- ．

（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ． 【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+

1=-．

故答案为：1-．

（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，

故答案为：1．

3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则

20202020x y +=

2020

3

． 【解答】解：

()2x y -=⊗，

2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，

41y x ∴+=-②．

①+②得：331x y +=． 13

x y ∴+=

． 2020

202020202020()3

x y x y ∴+=+=

． 故答案为：

2020

3

． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ． 【解答】解：(3)&(2)--

2(3)(2)=--- 92=+

11=，

故答案为：11．

5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7

☆24427131=+⨯+=．

（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．

（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-， 解得：7m =； 故答案为：7；

（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=， 即2(2)419n n -++=， 解得：2n =或2-，

(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，

解得：2n =-或3

2

， 则2n =-或

3

2

或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，112

15([

][])55

n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ． 【解答】解：110a =， 211

15([]0)115a a ∴=+--=，

3221

15([][])1255a a =+--=，

4332

15([][])1355a a =+--=，

5443

15([][])1455a a =+--=，

654

15([1][])105

a a =+--=，

⋯

1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，

202254042÷=⋯，

2022211a a ∴==，

故答案为：11．

7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．

（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？

（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=， 解得：2m =；

（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=， 解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，

解得：2n =-或1n =， 则0n =或5-或2-或1．

8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值； （2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，

解得1

1

x y =⎧⎨=⎩；

（2）根据题意得4320

433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩

，