中考数学 新定义题型专题01 数与式中的新定义问题(老师版)

专题01 数与式中的新定义问题
一、考情分析
"新定义"型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型： (1)定义新运算;
(2)定义初、高中知识衔接"新知识"; (3)定义新概念。

这类试题考查考生对"新定义"的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将"新定义"的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题.
利用的数学思想：（1）转化的思想，把未知的问题转化为学过的知识解决。

（2）对全新的概念，需要灵活的迁移运用。

二、精选考题
1．定义新运算：对于任意实数a 、b ，都有13a b a b =-⊗，则12x x -⊗⊗的值为 1 ． 【解答】解：13a b a b =-⊗， 12131(132)x x x x ∴-=---⊗⊗
131132x x =--+
1=．
故答案为：1．
2．定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕(1)b a b b =+-，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕23(21)2927=⨯+-=-=． （1）2⊕(3)-= 1- ．
（2）若2-⊕x 等于5-，则x = ． 【解答】解：（1）原式2(31)(3)=⨯-+-- 2(2)3=⨯-+ 43=-+
1=-．
故答案为：1-．
（2）由题意可知：2(1)5x x -+-=-， 225x x ∴---=-， 33x ∴-=-， 1x ∴=，
故答案为：1．
3．对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：2a b a b =+⊗．例如3523511=⨯+=⊗；4(3)24(3)5-=⨯+-=⊗．若()2x y -=⊗，且21y x =-⊗，则
20202020x y +=
2020
3
． 【解答】解：
()2x y -=⊗，
2()2x y ∴+-=①． 21y x =-⊗，
41y x ∴+=-②．
①+②得：331x y +=． 13
x y ∴+=
． 2020
202020202020()3
x y x y ∴+=+=
． 故答案为：
2020
3
． 4．对于非零的两个实数m ，n ，定义一种新运算“&”，规定2&m n m n =-，若2&(3)7-=，则(3)&(2)--的值为 11 ． 【解答】解：(3)&(2)--
2(3)(2)=--- 92=+
11=，
故答案为：11．
5．有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数a ，b ，都有a ☆221b b a =++．例如7
☆24427131=+⨯+=．
（1）已知m -☆3的结果是4-，则m = 7 ．
（2）将两个实数2n 和2n -用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题意可得：m -☆233214m =-+=-， 解得：7m =； 故答案为：7；
（2）根据题意可得：2n ☆(2)9n -=， 即2(2)419n n -++=， 解得：2n =或2-，
(2)n -☆2242(2)19n n n =+-+=，
解得：2n =-或3
2
， 则2n =-或
3
2
或2． 6．规定：符号[]x 叫做取整符号，它表示不超过x 的最大整数，例如：[5]5=，[2.6]2=，[0.2]0=．现在有一列非负数1a ，2a ，3a ，⋯，已知110a =，当2n 时，112
15([
][])55
n n n n a a ---=+--，则2022a 的值为 11 ． 【解答】解：110a =， 211
15([]0)115a a ∴=+--=，
3221
15([][])1255a a =+--=，
4332
15([][])1355a a =+--=，
5443
15([][])1455a a =+--=，
654
15([1][])105
a a =+--=，
⋯
1a ∴，2a ，3a ，⋯，每5个结果循环一次，
202254042÷=⋯，
2022211a a ∴==，
故答案为：11．
7．有一种用“☆”定义的新运算：对于任意实数a ，b 都有a ☆2b b a =+．例如7☆244723=+=．
（1）已知m ☆2的结果是6，则m 的值是多少？
（2）将两个实数n 和2n +用这种新定义“☆”加以运算，结果为4，则n 的值是多少？ 【解答】解：（1）根据题中的新定义得：m ☆246m =+=， 解得：2m =；
（2）根据题意得：n ☆(2)4n +=，即2(2)4n n ++=， 解得：0n =或5n =-； (2)n +☆224n n n =++=，
解得：2n =-或1n =， 则0n =或5-或2-或1．
8．请你阅读如图框内老师的新定义运算规定，然后解答下列各小题． （1）若x ⊕1y =，x ⊕22y =-，分别求出x 和y 的值； （2）若x 满足x ⊕20，且3x ⊕(8)0->，求x 的取值范围．
【解答】解：（1）根据题意得4314322x y x y -=⎧⎨-⨯=-⎩，
解得1
1
x y =⎧⎨=⎩；
（2）根据题意得4320
433(8)0x x -⨯⎧⎨⨯-⨯->⎩
，
解得322
x
-<． 故x 的取值范围是322
x
-<． 9．用※定义一种新运算：对于任意实数m 和n ，规定m ※23n m n mn n =--，如：1※
221212326=⨯-⨯-⨯=-．则(2)-( )
A ．
B ．-
C ．
D ．
【解答】解：原式2(2)(2)=--
=
=
故选：A ．
10．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位，把形如(a bi a +，b 为实数）的数叫做复数，其中a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，
乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：(3)(53)(35)(13)82i i i i -++=++-+=+；
2(1)(3)1333(13)142i i i i i i i +⨯-=⨯-+⨯-=+-++=+． 根据以上信息，完成下列问题： （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）计算：(2)(34)i i +⨯-； （3）计算：2342022i i i i i ++++⋯+．
【解答】解：（1）321i i i i i =⋅=-⋅=-，4221(1)1i i i =⋅=-⋅-=， 故答案为：i -，1； （2）(2)(34)i i +⨯-； 6834i i =-++
105i =-；
（3）2342022i i i i i ++++⋯+ 111i i i =--++⋯+-
1i =-．
11．阅读理解：
定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为(a bi a +，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算：2(1)(23)13234i i i i i i +⨯-=-+-=-． （1）填空：3i = i - ，4i = ； （2）(7)(7)i i +-； （3）计算：2(2)i +；
（4化简成a bi +的形式． 【解答】解：（1）21i =-，
32(1)i i i i i ∴=⋅=-⋅=-， 4222()(1)1i i ==-=， 3i i ∴=-，41i =，
故答案为：i -，1； （2）(7)(7)i i +- 249i =- 49(1)=-- 50=；
（3）2(2)i + 244i i =++ 34i =+；
（4=
=
=
=
=
∴
= 12．先阅读下列材料，再解答后面的问题：
材料：一般地，若(0n a b a =>且1a ≠，0)b >，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log )a b n =．如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81（即3log 814)=．
问题：（1）计算：2log 16= 4 ，2331
(log 9)813
log += ．
（2）5log 5、5log 25、5log 125之间满足怎样的关系式，请说明理由． （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ log log a a M N += (0a >，且1a ≠，0M >，0)N >．
根据幂的运算法则：n m n m a a a +⋅=以及对数的含义证明上述结论． 【解答】解：（1）4216=， 2log 164∴=，
239=，4381=， 3log 92∴=，8143log =，
2331
(log 9)813log ∴+
21243=+⨯
443
=+ 163
=
， 故答案为：4；
163
； （2）555log 5log 25log 125+=，理由如下： 根据题意，5log 51=，5log 252=，5log 1253=， 555log 5log 25log 125∴+=；
（3）log log log ()a a a M N MN +=，证明如下：
设1log a M b =，2log a N b = 则1b a M =，2b a N =，
∴1212b b b b MN a a a +=⋅=，
又n m n m a a a +⋅=，
∴1212b b b b a a a +⋅=，
即log log log ()a a a M N MN +=， 故答案为：log ()a MN ．
13．定义：如果4(0,1)a N a a =>≠，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =．例如：因为2749=，所以7log 492=；因为3125s =，所以log 1253S =．则下列说法中正确的有(
)个．
①6log 636=；②3log 814=；③若4log (14)4a +=，则50a =；④222log 128log 16log 8=+； A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【解答】解：166=， 6log 61∴=，故①不符合题意；
4381=，
3log 814∴=，故②符合题意；
44256=， 14256a ∴+=，
242a ∴=，故③不符合题意；
72128=， 2log 1287∴=，
4216=， 2log 164∴=，
328=， 2log 83∴=，
743=+，
222log 128log 16log 8∴=+，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有2个， 故选：C ．
14．对a ，b ，c ，d 定义一种新运算：
a c ad bc
b d =-，如23
2413514
=⨯-⨯=，计算2x y
x x y
=+ 22x xy + ．
【解答】解：原式2()x x y xy =+-
222x xy xy =+- 22x xy =+，
故答案为：22x xy +．
15．阅读材料：对于任何有理数，我们规定符号a b c d 的意义是：
a b
ad bc c d
=-．例如：14232=⨯-⨯=-．
按照这个规定，解决下列问题： （1）请你计算
35
74
-的值． （2）求当3x =，1y =-时，2222332x xy y
x xy y
+--+的值．
（3）如果
215
7353
x x -=--，求x 的值．
【解答】解：（1）原式345(7)=⨯-⨯- 1235=+
47=；
（2）原式222(32)3(2)x xy y x xy y =-+-+-
22642633x xy y x xy y =-+--+ 75xy y =-+；
当3x =，1y =-时， 原式73(1)5(1)=-⨯⨯-+⨯- 216=-
16=；
（3）(3)(21)5(35)7x x ----=， 6315257x x -+-+=， 6257153x x -+=+-， 1919x =， 1x =．
16．材料1：对于一个四位自然数M ，如果M 满足各数位上的数字均不为0，它的百位上的数字比千位上的数字大1，个位上的数字比十位上的数字大1，则称M 为“满天星数”．对于一个“满天星数” M ，同时将M 的个位数字交换到十位、十位数字交换到百位、百位数字交换到个位，得到一个新的四位数N ，规定：()9
M N
F M -=
． 例如：2378M =，因为321-=，871-=，所以2378是“满天星数”；将M 的个位数字8交换到十位，将十位数字7交换到百位，将百位数字3交换到个位，得到2783N =，23782783
(2378)459
F -=
=-．
材料2：对于任意四位自然数100010010(abcd a b c d a =+++、b 、c 、d 是整数且19a ，
0b ，c ，9)d ，规定：()G abcd c d a b =⋅-⋅．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）请判断2467、3489是不是“满天星数”，请说明理由；如果是，请求出对应的()F M 的值；
（2）已知P 、Q 是“满天星数”，其中P 的千位数字为(m m 是整数且17)m ，个位数字为7；Q 的百位数字为5，十位数字为(s s 是整数且28)s ．若()()G P G Q +能被11整除且s m >，求()F P 的值．
【解答】解：（1）2467不是“满天星数”，3489是“满天星数”，理由如下： 2467的百位数字为4，千位数字为2，
4221∴-=≠，
2467∴不是“满天星数”
．
3489的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为8，个位数字为9，
431∴-=，981-=，
3489M ∴=是“满天星数”
， 3894N ∴=，
34893894(3489)459
F -∴==-． （2）由题意可得：(1)67P m m =+，45(1)Q s s =+，则1000100(1)6071100167P m m m =++++=+，4000500101450111Q s s s =++++=+． 2()67(1)42
G P m m m m ∴=⨯-+=--，2()(1)2020G Q s s s s =+-=+-，
2222()()422022G P G Q m m s s s s m m ∴+=--++-=+--+．
()()G P G Q +能被11整除且s m >，
∴只要22()()()(1)s s m m s m s m s m s m s m +--=+-+-=-++能被11整除．
28s ，17m ，s 、m 均为整数，s m >，
4116s m ∴++，
111s m ∴++=即10s m +=．
∴876234s s s m m m ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩
或或． 2367P ∴=或3467或4567．
23672673(2367)349F -∴=
=-，34673674(3467)239F -==-，45674675(4567)129
F -==-． 17．在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数-- “好数”．
定义：对于三位自然数n ，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n 为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且426+=，6能被6整除；643不是“好数”，因为6410+=，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有 7 个．
【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：
设十位数数字为a ，则百位数字为5(04a a +<的整数），
525a a a ∴++=+，
当1a =时，257a +=，
7∴能被1，7整除，
∴满足条件的三位数有611，617，
当2a =时，259a +=，
9∴能被1，3，9整除，
∴满足条件的三位数有721，723，729，
当3a =时，2511a +=，
11∴能被1整除，
∴满足条件的三位数有831，
当4a =时，2513a +=，
13∴能被1整除，
∴满足条件的三位数有941，
即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．
故答案为：7．
18．阅读下列材料，解决问题．
【材料1】对于任意一个多位数，如果它的各位数字之和除以一个正整数n 所得的余数与它自身除以这个正整数n 所得的余数相同，我们就称这个多位数是n 的“余同数”．例如：对于多位数2714，271439042÷=⋯，且(2714)342+++÷=⋯，则2714是3的“余同数”．
【材料2】对于任意两个多位数A ，B ，若A 除以正整数n 所得的余数与B 除以正整数n 所得的余数相同，则A 与B 的差一定能被n 整除．
（1）判断3142是否是5的“余同数”，并说明理由；
（2）若一个三位数是7的“余同数”，它的百位数字与十位数字之和小于9，个位数字比百位数字大1，求所有符合条件的三位数．
【解答】解：（1）不是，理由如下：
31425628......2÷=，
(3142)52+++÷=，
3142∴不是5的同余数；
（2）设这个三位数为10010a b c ++，则9a b +<，1c a =+，
这个三位数是7的“余同数”，
10010()a b c a b c ∴++-++能被7整除，
10010()7
a b c a b c ++-++ 100107a b c a b c ++---= 9997
a b += 2147a b a b +=++
， ∴27
a b +是整数， 又18a ，09b ，9a b +<，
1218a b ∴+<，
27a b ∴+=或214a b +=，
∴708a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或516a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或324a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或132a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
或263a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，
综上，这个三位数为708或516或324或132或263．
19．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．
请你探究，解决下列问题：
（1）请直接写出2022的“颠倒数”为 2202 ．
（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式126⨯□=□621⨯成立？ 请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．
①设这个数字为x ，将自然数“6□”和“□6”转化为用含x 的代数式表示分别为 和 ；
②列出关于x 的满足条件的方程，并求出x 的值；
③经检验，所求x 的值符合题意吗？ （填“符合”或“不符合” )
【解答】解：（1）由“颠倒数”的定义可得：2022的“颠倒数”为2202，
故答案为：2202，；
（2）①设这个数字为x ，
自然数“6□”用含x 的代数式表示为：61060x x ⨯+=+，
自然数“□6”用含x 的代数式表示为：106x +，
故答案为：60x +，106x +；
②由题意得：
12(60)21(106)x x +=+，
解得：3x =，
x ∴的值为3；
③检验：1263756⨯=，3621756⨯=，
12633621∴⨯=⨯，
3x ∴=符合题意，
故答案为：符合．
20．我们规定用(,)a b 表示一对数对，给出如下定义：记m
=0,0)n a b =>>，将(,)
m n 与(,)n m 称为数对(,)a b 的一对“对称数对”．
例如：(4,1)的一对“对称数对”为1(2
，1)与1(1,)2． （1）数对(25,4)的一对“对称数对”是 1(,2)5 和 ； （2）若数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，求y 的值；
（3）若数对(,2)x 的一对“对称数对”的一个数对是1)，求x 的值；
（4）若数对(,)a b 的一对“对称数对”的一个数对是，求ab 的值．
【解答】解：（1）由题意知：1,2
5
m n ====， ∴数对(25,4)的一对“对称数对”是1
(,2)5和1(2,)5， 故答案为：1(,2)5；1(2,)5
．
（2）数对(3,)y 的一对“对称数对”的两个数对相同，
∴
=，
∴= ∴13
y =．
（3）数对(,2)
x
的一对“对称数对”是
和，
∴=，
∴1
=，
1
x
∴=．
（4）数对(,)
a b
的一对“对称数对”是
和，
∴
==
==
或，
∴
11
327
273
a a
b b
⎧⎧
==
⎪⎪
⎨⎨
⎪⎪
==
⎩⎩
或，
∴
1
9
9
ab=或．
21．若一个三位正整数m abc
=（各个数位上的数字均不为0)满足9
a b c
++=，则称这个
三位正整数为“长久数”．对于一个“长久数”m，将它的百位数字和个位数字交换以后
得到新数n，记()
9
m n
F m
+
=．如：216
m=满足2169
++=，则216为“长久数”，那么612
n=，所以
216612
(216)92
9
F
+
==．
（1）求(234)
F、(522)
F的值；
（2）对于任意一个“长久数”m，若()
F m能被5整除，求所有满足条件的“长久数”．【解答】解：（1）当234
m=时，2349
++=，m是长久数，
432
n
∴=，
234432
(234)74
9
F
+
∴==．
当522
m=时，5229
++=，m是长久数，
225
n
∴=，
522225
(522)83
9
F
+
∴==．
（2）由题意得：10010
m a b c
=++，10010
n c b a
=++．
1001010010
()
9
a b c c b a
F m
+++++
∴=
101101209a c b ++= 101()209
a c
b ++=． 9a b
c ++=，
101(9)20()9b b F m -+∴= 901819
b -= 1019b =-．
又a 、b 、c 均为不为0的正整数，
1b ∴=，2，3，⋯
⋯，7． ∴当1b =时，()1019192F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；
当2b =时，()1019283F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；
当3b =时，()1019374F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；
当4b =时，()1019465F m =-⨯=，能被5整除，
此时5a c +=，
∴12344321a a a a c c c c ====⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩
或或或． 144m ∴=或243或342或441．
当5b =时，()1019556F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；
当6b =时，()1019647F m =-⨯=，不能被5整除，舍去；
当7b =时，()1019738F m =-⨯=，不能被5整除，舍去．
综上所述，所有满足条件的“长久数”有144或243或342或441．
22．对于一个四位自然数N ，如果N 满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数N 为“差同数”．对于一个“差同数” N ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：2()29
s t F N +=．例如：7513N =，因为7351-=-，故：7513是一个“差同数”．所以：735122715318s t =-==-=，则：2236(7513)229F +=
=． （1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出()F N 的值；
（2）若自然数P ，Q 都是
“差同数”，其中100010616P x y =++，1003042(19Q m n x =++，08y ，19m ，07n ，x ，y ，m ，n 都是整数），规定：()()
F P k F Q =，当3()()F P F Q -能被11整除时，求k 的最小值．
【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，
2658-≠-， 2586∴不是“差同数”
， 对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，
8473-=-，
8734∴是“差同数”
， 847311s ∴=-=，83749t =-=，
1129(8734)129
F +⨯∴==， 2586∴不是“差同数”
，8734是“差同数”， (8734)1F =； （2）100010616100060010(1)6P x y x y =++=++++，
P ∴的千位数字为x ，百位数字为6，十位数字为(1)y +，个位数字为6， 又自然数P 是差同数，
66(1)x y ∴-=-+即11x y +=，
(106)(61)1055p S x y x y ∴=+-+=--，
(101)661065p t x y x y =++-=+-，
10552(1065)()629
y x y F P x --++-∴==-， 10030423000100402Q m n m n =++=++++，
Q ∴的千位数字为3，百位数字为m ，十位数字为4，个位数字为(2)n +， 又自然数Q 是差同数，
3(2)4n m ∴-+=-，即5m n +=，
302(104)1028Q s n m n m ∴=++-+=-+，
34(102)3210Q t m n m n =-++=--，
10282(3210)()329
n m m n F Q m -++--∴==-， 3()()3(6)(3)321F P F Q x m x m ∴-=---=+-，
19x ，08y ，且11x y +=，
39x ∴，
19m ，07n ，且5m n +=，
15m ∴，
1132111x m ∴-+-，
又321x m +-能被11整除，
32111x m ∴+-=±或0，
①当32111x m +-=-时，3x =，1m =，8y =，4n =， 此时，()363()312
F P k F Q -===--； ②当32111x m +-=时，9x =，5m =，2y =，0n =， 此时，()963()352
F P k F Q -===--； ③当3210x m +-=时，6x =，3m =，
此时，()0F Q =，
k ∴值不存在，
综上，k 的最小值为32
-．
23．对于实数P ，我们规定：用的最小整数．2=，2=，现在对72进行如下操作： {}{}{}727299332===第一次第二次第三次，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为 ．
【解答】解：由题意得：
现在对36进行如下操作： {}{}{}363666332===第一次第二次第三次，
∴对36只需进行3次操作后变为2；
现在对256进行如下操作： {}{}{}2562561616442===第一次第二次第三次，
如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；
故答案为：3，256．
24．如果一个三位数满足各数位上的数字都不为0，且百位数字比十位数字大1，则称这个数为“阶梯数”．若
s ，t 都是“阶梯数”，将组成s 的各数位上的数字中最大数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最小数字作为个位数字，得到一个新两位数m 叫做s ，t 的“萌数”，将组成s 的各数位上的数字中最小数字作为十位数字，组成t 的各数位上的数字中最大数字作为个位数字，得到一个新两位数n 叫做s ，t 的“曲数”，记(,)2F s t m n =+．
例如：因为211-=，615-=，
所以211和654都是“阶梯数”；211和654的“萌数” 24m =，“曲数” 16n =，(211,654)2241664F =⨯+=．
（1）判断435 是 （填“是”或“否” )为“阶梯数”；
（2）若(1)6s a a =-，(1)5t b b =+（其中25a <，69b <，且a ，b 都是整数）
，且(,)167F s t =，求满足条件的s 、t 的值；
（3）若p 、q 都是
“阶梯数”，其中100103p x y =++，20010q a b =++（其中23x ，18y ，28b 且a ，b ，x ，y 都是整数）
，当(F p ，132)(F q +，824)157=时，求(,)F p q 的值． 【解答】解：（1）435中，百位4比十位3大1，符号阶梯数定义．
故答案为：是．
（2）s 和t 的萌数为65，曲数为(1)(1)a b -+，
(F s ∴，)265(1)(1)167t a b =⨯+-+=，
解得4a =，6b =．
436s ∴=，765b =．
（3）p 、q 都是阶梯数，
1y x ∴=-，1a =，
又23x ，28b ，
10010(1)3213p x x ∴=+-+=或323，212q =、213、214、215、216、217、218． (F p ∴、132)31210(1)3x =⨯+-+，
(F q ，824)(102)218b =+⨯+，
由(F p 、132)(F q +，824)157=，
得102080x b +=，其中x 为偶数，
2x ∴=，3b =，即213p =，213q =．
(F p 、)2311375q =⨯+=．
25．一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．
（1）判断266357 能 （选填“能”或“不能” )被13整除；
（2）证明：任意一个多位自然数都满足上述规律；
（3）将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，若让个位之前的数加上个位数的k 倍
(k 为正整数）
，所得之和能被13整除，且原多位自然数也能被13整除，求当150k 时，所有满足条件的k 的值．
【解答】（1）解：266357能被13整除；理由如下：266357的末三位数为357，末三位以前的数为266，
35726691∴-=，
91137÷=，
266357∴能被13整除，
故答案为：能；
（2）证明：设这个多位数的末三位数为a ，末三位以前的数为b ，
则这个多位数可表示为1000b a +，
根据题意得：13(a b n n -=为整数），
13a n b ∴=+，
则1000100013100113b a b n b b n +=++=+，
100113b n +可以被13整除，
1000b a ∴+可以被13整除，
∴任意一个三位以上的自然数都满足这个规律，即任意一个多位自然数都满足上述规律；
（3）解：设个位之前及个位数分别为m 、n （出现的字母均为自然数），
依题意不妨设13m kn t +=，
则原多位数为10m n +，
依题意不妨设1013m n s +=， 联立可得：3110(101)101313
n k s t k t kn +=--=-+， 则31k +为13倍数，分别将1k =、2、3、4、550⋯代入可知，
4k ∴=或17k =或30k =或43k =．
26．一个三位自然数a ，满足各数位上的数字之和不超过10，并且个位数字与百位数字不同，我们称这个数为“完美数”．将a 的个位数字与百位数字交换得到一个新数a '，记G （a ）11a a '-=．例如，当125a =时，521a '=，125521(125)3611
G -==-；当370a =时，73a '=，37073(370)2711G -=
=． （1）判断236 不是 （选填“是”或“不是” )完美数，计算(321)G = ；
（2）已知两个“完美数” m ，n ，满足10010m a b =++，100(09n c d b a =+<，09c ，
09d ，a ，b ，c ，d 为整数）
，若()G m 能被7整除，且()()9(2)G m G n d +=+，求m n -的最小值．
【解答】解：（1）2361110++=>，
236∴不是完美数， 根据题意，321123(321)1811
G -==； 故答案为：不是；18．
（2）10010m a b =++，
10010m b a '∴=++，
100n c d =+，
100n d c '∴=+，
()()9(2)112
m m n n G m G n d -'-'∴+=+=+， 22a b c d ∴-+=+，
设()7G m x =，x 为整数， ∴9999711
a b x -=，即9()7a b x -=， 09b a <，
∴满足条件的a 只有7或8或9，
当9a =时，m 不是完美数，故舍去，
当8a =时，1b =，这个数是811，是完美数，
此时，8122c d -+=+，即25c d =-，
09c ，09d ，
3d ∴=，1c =时，301n =，
则510m n -=；
4d =，3c =时，403n =，
则811403408m n -=-=；
5d =，5c =时，505n =，
则811505306m n -=-=；
6d =，7c =（舍去）
， ∴共有三种情况，最小的为306；
当7a =时，0b =，这个数是710，是完美数，
此时，7022c d -+=+，即25c d =-，
09c ，09d ，
3d ∴=，1c =时，301n =，
则710301409m n -=-=；
4d =，3c =时，403n =，
则710403302m n -=-=；
5d =，5c =时，505n =，
则710505205m n -=-=；
6d =，7c =（舍去）
， ∴共有三种情况，最小的为205；
综上，m n -的最小值为205．
27．阅读材料：我们知道，任意一个正整数k 都可以进行这样的分解：(k m n m =⨯，n 是正
整数，且)m n ，在k 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m n
⨯是k 的最佳分解，并规定：()m f k n
=．例如：18可以分解成118⨯，29⨯或36⨯，因为1819263->->-，所以36⨯是18的最佳分解，所以31(18)62f =
=． （1）计算：f （6）=
23 ，f （4）= ，2()f x = ．（其中x 为正整数） （2）若21010(2)1011
f x x +=，其中x 是正整数，求x 的值． （3）若2(9)1f x -=，其中x 是正整数，求x 的值．
【解答】解：（1）6的最佳分解为23⨯，所以f （6）23
=；
4的最佳分解为22⨯，所以f （4）1=；
2x 的最佳分解为x x ⋅，所以2()1f x =． 故答案为：23
；1；1． （2）22x x +的最佳分解为：(2)x x +， ∴2(2)2
x f x x x +=+， 又
21010(2)
1011f x x +=， 所以101021011
x x =+， 解得2020x =，
经检验，2020x =符合题意．
（3）由2(9)1f x -=，可设229(x t t -=为正整数），
即2(3)(3)x x t +-=，
33x t x ∴-<<+，
有以下几种情况：
①当2t x =-时，229(2)x x -=-，解得134
x =（舍去）； ②当1t x =-时，229(1)x x -=-，解得5x =；
③当t x =时，229x x -=，无解；
④当1t x =+时，229(1)x x -=+，解得5x =-；
⑤当2t x =+时，229(2)x x -=+，解得134
x =-
； 综上所述，5x =．
28．阅读下列材料：
材料一：对于一个百位数字不为0的四位自然数M ，以它的百位数字作为十位，十位数字作为个位，得到一个两位数m ，若m 等于M 的千位数字与个位数字的平方差，则称数M 为“平方差数”．
例如：7136是“平方差数”，因为227613-=，所以7136是“平方差数”；
又如：4251不是“平方差数”，因为22411525-=≠，所以4251不是“平方差数”．
材料二：我们有时可以利用分解因数的方法解决求整数解的问题，例如：若p ，q 为两个正整数()18p q pq >=，则p ，q 为18的正因数，又因为18可以分解为181⨯或92⨯或63⨯，
所以方程18pq =的正整数解为181p q =⎧⎨=⎩或92p q =⎧⎨=⎩或63p q =⎧⎨=⎩
． 根据上述材料解决问题：
（1）判断9810，6361是否是“平方差数”？并说明理由；
（2）若一个四位“平方差数” M ，将它的千位数字、个位数字及m 相加，其和为30，求所有满足条件的“平方差数” M ．
【解答】解：（1）9810是“平方差数”，
229081-=，
9810∴是“平方差数”
； 6361不是“平方差数”，
22613536-=≠，
6361∴不是“平方差数”
． （2）设M 的千位数字为a ，个位数字为b ，则22m a b =-，
由题意得2230a b a b ++-=，
即()(1)30a b a b +-+=．
a b +>，11a b -+>且均为30的正因数，
∴将30分解为215⨯或310⨯或56⨯．
①()(1)215a b a b +-+=⨯，
解得87a b =⎧⎨=⎩
，即8157M =； ②()(1)310a b a b +-+=⨯，
解得64a b =⎧⎨=⎩
，即6204M =； ③()(1)56a b a b +-+=⨯，
解得50a b =⎧⎨=⎩
，即5250M =； 解得51a b =⎧⎨=⎩
，即5241M =．
8157
∴=或6204或5250或5241．
M
29．【阅读】在数轴上，若点A表示数a，点B表示数b，则点A与点B之间的距离为AB a b
=-．
||
例如：两点A，B表示的数分别为3，1
AB=--=．
-，那么|3(1)|4
（1）若|3|2
x-=，则x的值为1或5．
（2）当x=(x是整数）时，式子|1||2|3
-++=成立．
x x
（3）在数轴上，点A表示数a，点P表示数p．
我们定义：当||1
-=时，点P叫点A的1倍伴随点，
p a
当||2
-=时，点P叫点A的2倍伴随点，
p a
⋯
当||
-=时，点P叫点A的n倍伴随点．
p a n
试探究下列问题：
若点M是点A的1倍伴随点，点N是点B的2倍伴随点，是否存在这样的点A和点B，使得点M恰与点N重合，若存在，求出线段AB的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）|3|2
x-=，表示到表示数x的点到表示数3的点的距离为2，
当表示数x的点在表示数3的点的左侧时，321
x=-=；
当表示数x的点在表示数3的点的右侧时，325
x=+=；
故答案为：1或5；
（2）|1||2|3
-++=表示的是表示数x的点到表示数1的点的距离和表示数2
x x
-的点的距离之和，
分下列三种情况：①当表示数x的点在2
-到1之间时，如图1，
此时|1||2|3
-++=成立；
x x
满足条件的x的整数为2
-，1
-，0，1；
②当表示数x的点在2
-左侧时，如图2，
此时|1||2|3
-++>，不存在这样的点；
x x
③表示数x的点在1右侧时，如图3，
此时|1||2|3
-++>，不存在这样的点；
x x
故答案为：2-或1-或0或1；
（3）存在，理由如下：
设点M 所表示的数位m ，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，
点M 和N 重合，
∴点N 所表示的数为n ，
点M 是点A 的1倍伴随点，点N 是点B 的2倍伴随点，
||1m a ∴-=，||2m b -=，
12m a b ∴=±=±，
当12a b +=+时，1a b -=，此时1AB =；
当12a b +=-时，3a b -=-，此时3AB =；
当12a b -=+时，3a b -=，此时3AB =；
当12a b -=-时，1a b -=-，此时1AB =；
综上，存在，此时AB 的长为1或3．
30．如果一个自然数M 能分解成A B ⨯，其中A 和B 都是两位数，且A 与B 的十位数字之和为10，个位数字之和为9，则称M 为“十全九美数”，把M 分解成A B ⨯的过程称为“全美分解”，例如：
28384366=⨯，4610+=，369+=，2838∴是“十全九美数“；
3912317=⨯，2110+≠，391∴不是“十全九美数”
． （1）判断2100和168是否是“十全九美数”？并说明理由；
（2）若自然数M 是“十全九美数“，“全美分解”为A B ⨯，将A 的十位数字与个位数字的差，与B 的十位数字与个位数字的和求和记为()S M ；将A 的十位数字与个位数字的和，与B 的十位数字与个位数字的差求差记为()T M ．当
()()
S M T M 能被5整除时，求出所有满足条件的自然数M ． 【解答】解：（1）2100是“十全九美数”，168不是“十全九美数”，理由如下： 21002584=⨯，2810+=，549+=，
2100∴是“十全九美数”
；
1681412=⨯，10l l +≠，
168∴不是“十全九美数“；
（2）设A 的十位数字为m ，个位数字为n ，则10A m n =+， M 是“十全九美数”
， M A B =⨯， B ∴的十位数字为10m -，个位数字为9n -，则10(10)910910B m n m n =-+-=--， 由题知：()109192S M m n m n n =-+-+-=-，
()[10(9)]21T M m n m n m =+----=-， 根据题意，令()1925(()21
S M n k k T M m -==-为整数）， 由题意知：19m ，09n ，且都为整数，
119219n ∴-，12117m -，
当k l =时，192521
n m -=-， ∴1925211n m -=⎧⎨-=⎩或19210212n m -=⎧⎨-=⎩或19215213
n m -=⎧⎨-=⎩， 解得17m n =⎧⎨=⎩或3292
m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）或22m n =⎧⎨=⎩； 17921564M A B ∴=⨯=⨯=或22871914M A B =⨯=⨯=；
当2k =时，1921021
n m -=-， ∴19210211n m -=⎧⎨-=⎩
， 解得192
m n =⎧⎪⎨=⎪⎩（舍去）； 当3k =时，1921521
n m -=-， ∴19215211n m -=⎧⎨-=⎩
， 解得12m n =⎧⎨=⎩
； 12971164M A B ∴=⨯=⨯=，
综上，满足“十全九美数”条件的M 有：1564或1914或1164．
31．一个自然数能分解成A B ⨯，其中A ，B 均为两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大1，且A ，B 的个位数字之和为10，则称这个自然数为“分解数”．
例如：48197961=⨯，7比6大1，1910+=，4819∴是“分解数”；
又如：14964434=⨯，4比3大1，4410+≠，1496∴不是“分解数”．
（1）判断325，851是否是“分解数”，并说明理由；
（2）自然数M A B =⨯为“分解数”，若A 的十位数字与B 的个位数字的和为()P M ，A 的个位数字与B 的十位数字的和()F M ，令()()()
P M G M F M =，当()G M 为整数时，则称M 为“整分解数”．若B 的十位数字能被2整除，求所有满足条件的“整分解数” M ．
【解答】解：（1）3252513=⨯，2比1大1，5310+≠，
325∴不是“分解数”
； 68513723=⨯，3比2大l ，7310+=，
851∴是“分解数”
． （2）令10B x y =+，10(1)10A x y =++-，(8l x <<，19y ，且x ，y 为整数）， ()1P M x y =++，()10F m x y =-+，
1()10
x y G M x y ++∴=-+，
2
x 为整数， 2x ∴=，4，6，8，
当2x =时，315()11212
y G M y y +==-+-+-+，为整数， 12y ∴-+的值为3或5，解得9y =或7，
13129899M ∴=⨯=，23327891M =⨯=；
当4x =或6x =时，不存在()G M 为整数，
∴舍去；
当8x =时，927()11818
y G M y y +==-+-+-+为整数， 189y ∴-+=，解得9y =，
391898099M ∴=⨯=．
综上所述，M 的值为899，891，8099．
32．对于任意一个四位数N ，如果N 满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，N
的百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍，则称这个四位数N 为“双减数”．对于一个“双减数” N abcd =，将它的千位和百位构成的两位数为ab ，个位和十位构成的两位数为dc ，规定；()12
ab dc F N -=． 例如：7028N =．
因为2(78)02⨯-=-，故7028是一个“双减数”，则7082(7028)112F -==-． （1）判断9527，6713是否是“双减数”，并说明理由，如果是，并求出()F N 的值；
（2）若自然数A 为“双减数”， F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除，求A 的值．
【解答】解：（1）9527:523-=，972-=，不满足“双减数”的定义，故9527不是双减数；
6713:716-=，633-=，满足623=⨯，且满足各个位上的数字互不相同，且个位数字不为0，故6713是双减数；
6731(6713)312
F -==． 9527∴不是双减数，6713是双减数，(6713)3F =．
（2）设A abcd =，由题意可知，F （A ）是3的倍数，且A 各个数位上的数字之和能被13整除且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．
()312
ab dc F A k -∴==． 13a b c d n +++=②(n 为正整数，能被13整除说明是13的倍数）
， 2()b c a d -=-③，
由③式可得知，ab dc -的结果中，个位数是十位数的两倍，而且()312
ab dc F A k -=
=①． ∴36ab dc k -=，（说明ab dc -是36的倍数）， 根据“双减数“各位数不重复与0d ≠的性质，ab 最大为98，dc 最小为10，
ab dc ∴-最大为88， ∴36ab dc -=或36-或72（舍去）或72-（舍去），（根据“双减数“百位上的数字与十位上的数字之差是千位上的数字与个位上的数字之差的2倍排除），
3a d ∴-=，6b c -=或3a d -=-，6b c -=-，
即3a d =+④，6b c =+⑤或3a d =-⑥，6b c =-⑦，
将④⑤代入②可得，(3)(6)13d c c d n ++-++=， 将⑥⑦代入②可得，(3)(6)13d c c d n -+-++=， 同理，根据“双减数“的性质可得a b c d +++的最大值为987630+++=，最小值为01236+++=，
630a b c d ∴+++，
a b c d ∴+++是13的倍数，
a b c d ∴+++只能取13或26．
Ⅰ、当13a b c d +++=时，可得2d c +=或11d c +=；
当2d c +=时，d 与c 的值可能为20d c =⎧⎨=⎩
，02d c =⎧⎨=⎩（舍去），11d c =⎧⎨=⎩（舍去），（根据双减数个位数不能为0，且每位数不相等排除）， 即20d c =⎧⎨=⎩
； 当11d c +=时，2a b +=，则20a b =⎧⎨=⎩，02a b =⎧⎨=⎩（舍去），11a b =⎧⎨=⎩
（舍去）， 即20a b =⎧⎨=⎩
，此时，6c =，5d =． Ⅱ、当26a b c d +++=时，可得2()17d c +=，2()35d c +=． 172d c +=（舍去）或352
d c +=（由于d ，c 不为整数，与题意不符，故舍去）， 3235a d ∴=+=+=，66b c =+=
5602A ∴=或2065．
33．对于一个四位自然数(R abcd a =，b ，c ，d 不全相同且均不为0)，如果a d b c -=-，那么称这个数R 为“天平数”，对于一个“天平数” R ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为s ，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为t ，规定：()10
s t f R +=；例如：8734R =，因为8473-=-，故：8734是一个“天平数”．所以：847311s =-=，83749t =-=，则：119()210f R +=
=． （1）请判断7513是否是“天平数”，如果是，请求出()f R 的值；如果不是，请说明理由；
（2）若自然数M ，N 都是“天平数”，其中1007051M x y =++，
100010512(19N m n x =++，08y ，19m ，08n ，x ，y ，m ，n 都是整数）
，规定：()()
f M k f N =，当()()4f N f M -=时，求k 的值． 【解答】解：（1）是，且(7513)4f =，理由如下：
7351-=-，
7513∴是一个“天平数”
． 735122s ∴=-=，715318t =-=，
2218(7513)410
f +∴==； （2）1007051700010050(1)M x y x y =++=++++，
M ∴的前位数字是7，百位数字是x ，十位数字是5，个位数字是1y +， M 是“天平数”
， 7(1)5y x ∴-+=-，即11x y +=，
(701)(105)6610Ms y x x y ∴=++-+=-+，
75(101)7410Mt x y x y =-++=--，
66107410()1421010
s t x y x y f M x +-++--∴===-， 100010512100050010(1)2N m n m n =++=++++，
N ∴的前位数字是m ，百位数字是5，十位数字是(1)n +，个位数字是2， N 是“天平数”
， 25(1)m n ∴-=+，即6m n +=，
(102)(501)1049Ns m n m n ∴=+-++=--，
(101)521051Nt m n m n =++-=+-，
10491051()2101010
s t m n m n f N m +--++-∴===-， 19x ，08y 且11x y +=，
39x ∴，
19m ，08n ，且6m n +=，
16m ∴，
()()(210)(142)22244f N f M m x x m -=---=+-=，
14x m ∴+=，
14x m ∴=-，
56m ∴， 此时，()142721()21055
f M x m k f N m m m --====----， 当5m =时，k 值不存在；
当6m =时，1k =-，
综上，k 的值为1-．
34．如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称数M 为“团圆数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“欢乐分解”．
例如：5722226=⨯，22和26的十位数字相同，个位数字之和为8，572∴是“团圆数”． 又如：2341813=⨯，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于8，234∴不是“团圆数”．
（1）最小的“团圆数”是 187 ；
（2）判断195，621是否是“团圆数”？并说明理由；
（3）把一个“团圆数” M 进行“欢乐分解”，即M A B =⨯，A 与B 之和记为()P M ，A 与B 差的绝对值记为()Q M ，令()()()
P M G M Q M =
，当()G M 能被8整除时，求出所有满足条件的M 的值． 【解答】解：（1）由题意可知，最小的“团圆数”十位数字是1，个位数字分别为1和7， ∴最小的“团圆数”是1117187⨯=，
故答案为：187；
（2）1951315=⨯，且358+=，
195∴是“团圆数”
， 6212327=⨯，378+≠，
621∴不是“团圆数”
； （3）设10A a b =+，则108B a b =+-，
208A B a ∴+=+，|||28|A B b -=-，
()()()||P M A B G M Q M A B +=
=-能被8整除， ∴2088|28|
a k
b +=-，k 为整数， 52(|4|)4a b k ∴+=-，
52a ∴+是4的倍数，
∴满足条件的a 有2，6，
若2a =，则
488|28|k b =-，k 为整数， ∴3|4|
k b =-， |4|b ∴-是3的因数，
43b ∴-=-，1-，1，3，
∴满足条件的b 有1，3，5，7，
21A ∴=，27B =或23A =，25B =或25A =，23B =或27A =，21B =，
567A B ∴⨯=或575，
若6a =，则
1288|28|k b =-，k 为整数， ∴8|4|
k b =-， |4|b ∴-是8的因数，
48b ∴-=-，4-，2-，1-，1，2，4，8，
∴满足条件的b 有2，3，5，6，
62A ∴=，66B =或63A =，65B =或65A =，63B =或66A =，62B =，
62664092A B ∴⨯=⨯=或4095，
综上，M 的值为567或575或4092或4095．
35．对于任意一个四位数m ，若m 满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数” m 的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为()F m ．例如“智慧数” 1234m =，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为234134124123615+++=，6153205÷=，所以(1234)205F =．
（1）计算：(2131)F = 262 ；(5876)F = ；
（2）若“智想数” 780010(15n x y x =++，19y ，x ，y 都是正整数），()F n 也是“智慧数”，且()F n 能被12整除，求满足条件的n 的值．
【解答】解：（1）(2131)(213211231131)3262F =+++÷=；
(5876)(587586576876)3875F =+++÷=；
故答案为：262；875；
（2） “智慧树” 78001071000810010n x y x y =++=⨯+⨯++， ∴数n 的千位上的数为7，百位上的数为8，十位上的数为x ，个位上的数为y ， ()(7807807001080010)310207F n x y x y x y x y ∴=+++++++++÷=++， 15x ，19y ，
()F n 也是“智慧数”
，且()F n 能被12整除， ∴可设()1020712F n x y k =++=，即()F n 是3的倍数，也是4的倍数， ()743403402333F n x y x y k x ++∴==+=++，且()3
F n 是4的倍数， 当1x =时，y 可取2，5，8，此时
()3433F n =（舍)或344或345（舍)，此时()1032F n =，符合定义，7815n =；
当2x =时，y 可取1，4，7，此时
()3453F n =（舍)或346（舍)或347（舍)，无符合题意的n ；
当3x =时，()340733F n y =++，y 可取3，6，9，此时()3483
F n =或349（舍)或350（舍)，此时()7833F n =，不符合题意；
当4x =时，y 可取2，5，8，此时
()3503
F n =（舍)或351（舍)或352，此时()1056F n =，7848n =， 当5x =时，y 可取1，4，7，此时
()3523
F n =或353（舍)或354（舍)，此时()1056F n =，7851n =， 综上，符合题意的点n 值为7815或7848或7851．。