【水力机械水动力学】2-湍流流动的数学模型

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2 流体湍流运动的数学模型

湍流是粘性流体在雷诺数相当大（至少大于临界雷诺数）时产生的一种流动现象。湍流不是流体的特性而是流动的一种型态。在湍流运动中各种流动的特征量均随时间和空间坐标而呈现随机的脉动。由于其随机性，可以用统计的办法处理，得到湍流中各种物理量的统计平均值及其它的统计特性，但却很难用确定性的方法解决湍流运动问题。

湍流具有的扩散性使它可以更为有效地将动量、能量、含有物质的浓度、温度等向各个方向扩散、混掺和传输。

湍流是三维的有涡流动而且伴随着涡的强烈的脉动。通过三维涡量场中旋涡的拉伸和变形，形成湍流中各种不同尺度的旋涡。而这些不同尺度的旋涡在湍流运动中起着不同的作用。大尺度旋涡从时均流动中取得能量，能量由大尺度旋涡向小尺度旋涡逐级传递，并最后在小尺度旋涡中通过流体的粘性将能量耗散。因此维持湍流运动必须要消耗相当的能量，这就是所谓湍流的耗散性。

2.1雷诺平均方程

由于湍流特征量在时间和空间上的剧烈脉动，使得处理一般粘性流动的方法不再适用。1895年雷诺在他的著名论文中模仿分子运动论的平均思想，引入了两次平均的概念。按照他的想法，在通常的分子运动论的统计平均之后，就可以得到流体力学的运动方程式， Navier-Stokes 方程和连续方程，即

j ij i j i i i x x p x u

u t u ∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂2

σρ （2-1）

()0=∂∂

+

∂∂i j

u x t ρρ （2-2）

2

式中i u 为流体的速度，p 为压力，ρ为密度．2

ij σ为除压力以外的应力张量，它的表达式为

ij i j j i ij

x u x u x u δλμσ

αα∂∂+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+∂∂=2

（2-3） 式中μ为粘性系数，μλ3

2

-

=k ，k 称为第二粘性系数或体积（大块）粘性系数．只有对单原子分子的气体，k 的值才为零．一般情况k 的值比μ大好多倍，甚至上万倍。

对于密度为常数的不可压缩流体的情形，有

i i

j i j i u x P

x u u t u 21∇+∂∂-=∂∂+∂∂νρ （2-4）

0=∂∂j

i

x u （2-5） 式中ρμν=为运动粘性系数，假定它为常数。

雷诺参照分子运动论的平均方法，对不可压缩流体的运动方程和连续方程再进行一次平均，就得到著名的雷诺方程：

()

j i j

i i j i j i u u x u x p x u u t u ρρνρ∂∂

-∇+∂∂=∂∂+∂∂112 （2-6）

0=∂∂j

j x u （2-7）

瞬时量i u 和平均值i u 及脉动量i u 的关系为 i i i u u u +=。同样，瞬时量p 和平值p 及脉动量p 的关系为 p p p +=；j i u u ρ-为湍流脉动引起的应力，通常称为雷诺应力。为方便分析问题，雷诺平均N-S 方程还可写为

()()

()

T ij l ij j

i j i j i x x p x u u t u ττρρ

+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂ （2-8） 式中p 为压力的平均值，()

ij l ij

s μτ2=为分子粘性应力，⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂=i j j i

ij x u x u s 21为应变率张量，

μ为分子粘性系数，()

''i j T ij

u u ρτ-= 为湍流脉动引起的雷诺应力张量。对于三维问题，有六

3

个雷诺应力分量。

原来的不可压缩流体力学方程组共有4个方程式和4个未知数，所以它是一个封闭的方程组。而经过平均以后的方程组，方程的个数仍然是4个，但未知函数的个数却增加为6个（加上了雷诺应力），所以是不封闭的方程组。在雷诺发表这篇著名论文以后的一百多年里，人们一直在寻找封闭这个方程组的方案。

2.2湍流的数学模型及其评述

为解决上述问题，工程上计算湍流主要采用两种方法，这些方法构成了湍流模拟的中心思想。

第一种方法为雷诺应力运输模型RSTM ( Reynolds Stress Transport Method )，对

每个分量()T ij τ都构造一个方程，称为雷诺应力方程。为了获得雷诺应力方程，令

0''=+Vi j Vj i N u N u

通过简单运算，便可获得()

T ij τ的方程0=ij N 。雷诺应力方程又包含一些新的需要模拟

的项，只是这些新的模拟不需要很高的精度。

第二种方法为Boussinesgue 涡粘性模型EVM ( Eddy Viscosity Model )，即假设雷诺应力与应变率ij s 存在如下的线性关系式：

()

ij ij T T ij k s δρμτ3

2

2-

= （2-9） 式中T μ为湍流粘性系数，'

'2

1j i u u k =

为湍流动能，ij δ为Kronecker 函数。最简单的办法就是使用代数模型，即构造T μ与平均量梯度之间的简单代数关系式。另一种方法就是将T μ与某些湍流参数联系起来，这些湍流参数本身也满足运输方程。

在模式理论中，方程的个数是指除了雷诺运动方程式和连续方程式以外，还需要增加多少个附加方程式才能使这个方程组封闭求解．如果雷诺应力能用平均流速等直接表示出

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来，就能够把雷诺应力直接代入到雷诺方程式中去，将其和连续方程式联立，就有４个未知量i u 和P ，同时有４个方程式，成为一个封闭的方程组，而并不需要另外附加任何的方程式。

常用的湍流数学模型有以下几种： （一）零方程模型

所谓零方程模型，就是在雷诺方程和连续方程之外，不需要另外附加任何的方程式来使方程组封闭。换句话说，也就是雷诺应力能直接用某些物理量和物理常数表达出来。因为在有的时候，用很多复杂理论得到的结果并不见得一定比用零方程模式所得到的结果好，或者好不了多少，甚至有的时候更糟。

另一种零方程模式就是混合长度理论。混合长度模型比布辛涅斯克的湍流粘性模型进了一步，能够较好地模拟射流和边界层流动，但对于稍复杂的流动，尤其是有回流的运动，则无能为力。这是由于混合长度零方程模型的假设中，忽略了湍流动量的对流输运和扩散输运，因此当速度梯度为零时，得到湍流粘性系数为零的错误结论，且上游的湍流对下游的影响也不能很好地体现。零方程模型缺乏通用性，对不同的情况需确立不同的混合长度，很难满足工程需要。

（二）一方程模型

一方程模型是在连续方程和动量方程之外又建立了一个关于湍流特征量的微分输运方程，其中物理意义最明显的是单位质量的湍动能k ，因此一方程模型一般是用来求解k 方程的，以此作为湍流的速度尺度。

湍动能K 方程可写为

2

/31221)(K L C x K v x u u u x K v x x K u t K j

j j j i j t j j j +∂∂+∂∂''-∂∂β∂∂=∂∂+∂∂ （2-10） 由量纲分析知