等差数列、等比数列各考点

等差数列、等比数列

[考情分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.等差、等比数列求和及综合应用是高考考查的重点．

考点一 等差数列、等比数列的基本运算

核心提炼

等差数列、等比数列的基本公式(n ∈N *) (1)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －

1. (3)等差数列的求和公式： S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .

(4)等比数列的求和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q n

)1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.

例1 (1)(2022·南通调研)设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 5＝4a 4，则S 12a 5等

于( )

A ．10

B ．14

C ．15

D ．18 答案 C

解析 设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， 因为S 5＝4a 4，

所以5a 1＋5×4

2d ＝4(a 1＋3d )，

得a 1＝2d (d ≠0)，

所以S 12

a 5＝12a 1＋12×112d

a 1＋4d

＝24d ＋66d 6d ＝15.

(2)(2022·日照模拟)河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3·a 5)的值为( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 答案 C

解析 ∵最下层的“浮雕像”的数量为a 1， 依题意有，公比q ＝2，n ＝7， S 7＝a 1(1－27)1－2＝1 016，

解得a 1＝8，

则a n ＝8×2n －

1＝2n ＋

2(1≤n ≤7，n ∈N *)， ∴a 3＝25，a 5＝27， 从而a 3·a 5＝25×27＝212， ∴log 2(a 3·a 5)＝log 2212＝12.

规律方法 等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a 1、公差d 或公比q .

(2)熟悉一些结构特征，如前n 项和为S n ＝an 2＋bn (a ，b 是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为a n ＝p ·q n －

1(p ，q ≠0)的形式的数列为等比数列．

(3)由于等比数列的通项公式、前n 项和公式中变量n 在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．

跟踪演练1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于( )

A ．14

B ．12

C ．6

D ．3 答案 D

解析 方法一 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，

由题意可得⎩

⎪⎨⎪⎧

S 3＝168，a 2－a 5＝42，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1＋q ＋q 2)＝168，

a 1

q (1－q 3)＝42，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1

＝96，q ＝12，

所以a 6＝a 1q 5＝3.

方法二 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，

由题意可得⎩

⎪⎨⎪⎧

S 3＝168，a 2－a 5＝42，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1(1－q 3)1－q ＝168，

a 1q (1－q 3)＝42，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝96，q ＝12，

所以a 6＝a 1q 5＝3.

(2)(多选)(2022·广东联考)北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为a 1，a 2，a 3，…，a 9，设数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 2＝18，a 4＋a 6＝90，则( )

A ．a 1＝6

B ．{a n }的公差为9

C ．a 6＝3a 3

D ．S 9＝405

答案 BD

解析 设{a n }的公差为d .由a 4＋a 6＝90， 得a 5＝45，又a 2＝18，

联立方程组⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＋d ＝18，a 1＋4d ＝45，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝9，

d ＝9，故A 错误，B 正确；

因为a 6＝9＋5×9＝54，a 3＝9＋2×9＝27， 所以a 6＝2a 3，故C 错误；

因为S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝405，故D 正确．

考点二 等差数列、等比数列的性质

核心提炼

1．通项性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则对于等差数列，有a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k ，对于等比数列，有a m a n ＝a p a q ＝a 2k . 2．前n 项和的性质：

(1)对于等差数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列；对于等比数列有S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等比数列(q ＝－1且m 为偶数时除外)． (2)对于等差数列有S 2n －1＝(2n －1)a n .

例2 (1)(2022·南昌模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 25＋a 26＝a 27＋a 28，则( )

A ．a 6＝0

B ．a 7＝0

C ．S 12＝0

D ．S 13＝0

答案 C

解析 ∵a 25＋a 26＝a 27＋a 28， ∴a 27－a 25＋a 28－a 26＝0，

∴2d (a 7＋a 5)＋2d (a 8＋a 6)＝0， 又d ≠0，a 8＋a 5＝a 6＋a 7， ∴2(a 7＋a 6)＝0，

∴S 12＝12(a 1＋a 12)2＝12(a 6＋a 7)2

＝0.

(2)(2022·武汉质检)已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2，记{a n }的前n 项积为T n ，则下列选项错误的是( ) A ．01 C ．T 12>1 D ．T 13>1

答案 D

解析 ∵等比数列{a n }的各项均为正数， a 1>1，a 6＋a 7>a 6a 7＋1>2， ∴(a 6－1)(a 7－1)<0， ∵a 1>1，若a 6<1，

则一定有a 7<1，不符合题意， 则a 6>1，a 7<1，

∴02，