弹性力学的基本方程和变分原理

u = v {u} = w
称作位移列阵或位移向量。
[u
v w]
T
(0.1.2)
1
图 0.1.1 应力分量 其中 ε x ,ε y ,ε z 为 弹性体内任意一点的应变， 可以由 6 个应变分量 ε x ,ε y ,ε z ,γ xy ,γ yz ,γ zx 来表示。 正应变； γ xy ,γ yz ,γ zx 为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短 为负； 剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正， 反之为负。 图 0.1.2 的(a)， (b) 分别为 ε x 和 γ xy 的应变状态。
1 σ y − µ (σ x + σ z ) E
1 σ z − µ (σ y + σ x ) E
5
γ xy =
τ xy
G
(0.1.10a)
γ yz =
τ yz
G
γ zx =
以矩阵形式表示：
τ zx
G
{ε } = [C ] ⋅ {σ }
其中 [C ] 是柔性矩阵。
1 E µ − E − µ E [C ] = 0 0 0
图 0.1.2 ε x 和 γ xy 的应变的正方向 应变的矩阵形式是
εx ε y εz {ε } = = ε x γ xy γ yz γ zx
ε y ε z γ xy γ yz γ zx
T
(0.1.3)
称为应变列阵或应变向量。 对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。 1. 平衡方程
µ
1− µ 1
µ
1− µ
0 0 0 1 − 2µ 2 (1 − µ ) 0 0
0 0 0 0 1 − 2µ 2 (1 − µ ) 0
µ
1− µ 1 0 0 0
µ
1− µ 0 0 0
0 0 0 0 1 − 2µ 2 (1 − µ ) 0
τ xy =
E γ xy 2(1 + µ )
6
τ yz =
E γ yz 2(1 + µ ) E γ zx 2(1 + µ )
τ zx =
应力通过应变的表达式可用矩阵形式表示：
{σ } = [D]{ε }
其中
(0.1.10b)
1 µ 1 − µ µ 1 − µ E (1 − µ ) [D] = (1 + µ )(1 − 2µ ) 0 0 0
∂σ xx ( x , y ) dx ∂x
σ xx (x + dx , y ) = σ xx (x , y ) +
故弹性体 V 域内任一点沿坐标轴 x , y , z 方向的平衡方程为
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz 0 + + + Fx = ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂x + ∂σ y ∂y + ∂τ yz ∂z 0 + Fy =
2
由 x，y，z 三方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的 应力将由于几何位置的差别 dx，dy，dz 而有所不同，以 Taylor 级数展开后，可写为
σ xx ( x + dx, y, z= ) σ xx ( x, y, z ) +
略去二阶以上微量，有
∂σ xx ( x, y, z ) ∂ 2σ xx ( x, y, z ) 2 dx + ( dx ) + 2 ∂x 2∂x
(0.1.11)
称为弹性矩阵。它完全取决于弹性体材料的弹性模量 E 和泊桑比ν 。 表征弹性体的弹性，也可以采用剪切弹性模量 G 和拉梅(Lam'e)常数 λ ：
G=
注意到
E ， 2 (1 + µ )
λ=
Eµ (1 + µ )(1 − 2µ )
E (1 − µ ) (1 + µ )(1 − 2µ )
= Tx p = Ty p = Tz pz x, y,
(0.1.17)
图 0.1.5 设边界外法线为 N，其方向余弦为 n x , n y , n z ， n x = cos(n , x ) ， n y = cos(n , y ) ， nz = cos ( n, z ) ，且
2 2 nx + ny + n z2 = 1 则边界上弹性体的内力可由下式确定
(0.1.12)
λ + 2G =
物理方程中的弹性矩阵[D]亦可表示为
(0.1.13)
λ λ 0 0 0 λ + 2G λ λ + 2G λ 0 0 0 λ λ λ + 2G 0 0 0 0 [ D] = 0 0 G 0 0 0 0 0 0 0 G 0 0 0 0 0 G 0
P'B’线与 PB 线的夹角为
∂u u + ∂y dy − u ∂u β = = ∂y dy
则定义夹角的总变化为
γ xy = α + β =
∂u ∂v + ∂y ∂x
在微小位移和微小变形的情况下，略去位移导数的高次幂，则应变向量和位移向量间的几何关系有
4
εx = εy =
∂u ∂x ∂v ∂y ∂w ∂z
−
µ
E 1 E
− −
µ µ
E
0 0 0 1 G 0 0
0 0 0 0 1 G 0
−
µ
E 0 0 0
E 1 E 0 0 0
0 0 0 0 0 1 G
物理方程的另一种形式是用应变表示的本构方程
σx = σy = σz =
E (1 − µ ) µ (ε y + ε z ) εx + (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ E (1 − µ ) µ (ε x + ε z ) εy + (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ E (1 − µ ) µ (ε y + ε x ) εz + (1 + µ )(1 − 2µ ) 1 − µ
0 ∂ ∂y 0
0 0 ∂ ∂z
∂ ∂y ∂ ∂x 0
0 ∂ ∂z ∂ ∂y
∂ ∂z 0 ∂ ∂x
(0.1.6)
{F } 是体积力向量， {F } = Fx Fy Fz
2.
T
几何方程——应变-位移关系 设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为 APB，而变形后为 A’P’B’ ，P 点变形到 P’点的 x 方向位移为 u，y 方向位移为 v，如下图 0.1.3 所示。
界用 S u 表示。这两部分边界构成弹性体的全部边界，即
Sσ + S u = S
(0.1.16)
Fig.0.1.4 物体的边界
4．力的边界条件 弹性体在边界上单位面积的内力为 Tx ,T y ,Tz ，在边界 S σ 上已知弹性体单位面积上作用的面积 力为 px , p y , pz ，根据平衡应有
σ x σ y σ z T σ σ σ τ τ τ {σ } = = x y z xy yz zx τ xy τ yz τ zx
(0.1.1)
弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。 弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的 3 个位移分量 u , v , w 来表示。它的矩阵形式是
(0.1.4)
∂τ zx ∂τ zy ∂σ z 0 + + + Fz = ∂x ∂y ∂z
其中 Fx , Fy , Fz 为单位体积的体积力在 x , y , z 方向的分量。 平衡方程的矩阵形式为
Fra Baidu bibliotek
0 [ A]{σ } + {F } =
其中 [ A] 是微分算子
(0.1.5)
∂ ∂x [A] = 0 0
(0.1.7)
εz =
γ= xy
∂u ∂v + ∂y ∂x ∂w ∂v + ∂z ∂y ∂u ∂w + ∂z ∂x
γ= yz γ= zx
几何方程的矩阵是
{ε } = [L] {u}
其中 [L ] 是微分算子
(0.1.8)
3.
∂ ∂x 0 0 [ L] = ∂ ∂y 0 ∂ ∂z 物理方程——应力-应变关系
0 ∂ ∂y 0 ∂ ∂x ∂ ∂z 0
0 0 ∂ ∂z T = [ A] 0 ∂ ∂y ∂ ∂x
(0.1.9)
对于各向同性的线弹性材料，用应力表示的本构方程
εx =
1 σ x − µ (σ y + σ z ) E
εy =
εz =
0.1 弹性力学的基本方程
在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的 矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。 关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。 弹性体的基本假设 为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本 假定。 (1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述 对象。 (2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因 此，各个位置材料的描述是相同的。 (3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定， 即认为物体内同一位置的物质在各个方 向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。 (4)线弹性(1inear elasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后， 物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。 (5)小变形(small deformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时， 可以忽略高阶小量(二阶以上)。 以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于工程问题，大 多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理， 以抓住问题的实质。 弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由 6 个应力分量 σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx 来表示。 其中 σ x ,σ y ,σ z 为正应力；τ xy ,τ yz ,τ zx 为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法 线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负； 相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方 向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方向见图 0.1.1。 应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。
(2)定义 y 方向的相对伸长量为
= εy
(3)定义夹角的变化 P'A’线与 PA 线的夹角为
P′B′ − PB ∂v = ∂y PB
∂v ∂v ∂v v + dx − v dx dx ∂v ∂x ∂x ∂x = α ≈ tgα ≈ = = ∂u ∂u P′A′ dx + u + dx − u dx + dx ∂x ∂x ∂x
3
0.1.3 平面问题中的变形表达 从图 0.1.3 可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的 长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。 (1) 定义 x 方向的相对伸长量为
P′A′ − PA PA′ − PP′ − PA = PA PA ∂u dx + u + dx − u − dx PA + AA′ − PP′ − PA ∂u ∂x = = = ∂x PA dx = εx
Tx = nxσ x + n yτ xy + nzτ xz Ty = nxτ yx + n yσ y + nzτ yz
(0.1.18)
8
Tz = nxτ zx + n yτ zy + nzσ z
以上公式的矩阵形式为
(0.1.14)
{ε } = [C ]{σ }
(0.1.15)
7
其中柔度矩阵和弹性矩阵是互逆关系，即， [C ] = [D ] 。
−1
弹性体 V 的全部边界为 S。 一部分边界上已知外力 px , p y , pz 称为力的边界条件，这部分边界用
S σ 表示；另一部分边界上弹性体的位移 u , v , w 已知，称为几何边界条件或位移边界条件，这部分边