解直角三角形

板块一 解直角三角形
一、解直角三角形的概念
根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.
二、直角三角形的边角关系
如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：
⑴ 三边之间的关系：222
a b c += (勾股定理)；
⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒；
⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b
A a
=.
三、 解直角三角形的四种基本类型
⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a
A c
=
求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠
，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；
⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a
c A
=；
⑷ 已知两直角边(如a 和b )
，求出c =tan a
A b
=，得90B A ∠=︒-∠.
具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a
c A =等.
四、解直角三角形的方法
解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：
当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；
无斜边时，就用正切或余切；
当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；
既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系
（五）解直角三角形的技巧及注意点
在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故sin cos(90)cos A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．
（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型
对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解；
（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；
（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；
②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.
解直角三角形
c
b
a C
B
A
【例1】在三角形ABC中，903010
C A AB
∠=︒∠=︒=
，，，则AC的长度为（）
A
．B
．C
．D
．
【例2】已知Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60
A
∠=︒，4
b=；
【例3】已知Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60
A
∠=︒，6
a b
+=；
【例4】已知Rt ABC
∆中，90
C
∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45
A
∠=︒，12
S
∆
=.
【例5】如图，在Rt ABC
∆中，已知1
CD AB BC
⊥=
，，如果40
BCD
∠=︒，求AC的长度
D
C
B
A
【例6】如图，在Rt ABC
∆中，已知1
CD AB BC
⊥=
，，如果
1
tan
3
BCD
∠=，求CD的长度
D
C
B
A
【例7】如图所示，在ABC
∆中，90
C
∠=︒，D是AC边上的一点，且53
AD DB CD
===
，，求tan CBD
∠和sin A的值．
D
C
B A
【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的
正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）
P
A
C
P
B
A
【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.
【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.
【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，
的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，
求a b ，
【例12】 如图，在ABC ∆
中，已知20AB AC BC ===，
ABC ∆中各内角的度数 D
C
B
A
【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连
接CE ，求sin ACE ∠的值.
F
E
D C
B
A
【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的
仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．
D
C
B
A
【例15】 如图，两条宽都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，他们的交角为α，求他们的重叠部分的面积（即
图像的阴影部分的面积）
【例16】 已知：如图，ABC ∆
中，45B AB ∠=︒，，D 是BC 上一点，
53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．
C B
A
B
板块二 解直角三角形应用
（七）直角三角形中其他重要概念
⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．
⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h
i l
=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h
i l
α=
=．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．
图(3)
北
图(2)
图(1)
俯角
仰角视线
视线
水平线
铅
垂线
2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；
⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.
（一）、仰角俯角
【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同
一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）
海面
60°
30°
D C
B
A
【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商
定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
N
M
D
C B A
【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶
的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）
【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，
树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；
⑵求这棵大树折断前的高度．（结果精确到个位，参考数据：2 1.43 1.76 2.4===，，）．
【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为
1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( )
A C
D
E F
B
G
A
C
D
E
F
B
C
60°
38°
B
D
E
23°
A
F
Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米
(注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用)
G
45︒60︒P'
O'
E P
O A
D
C
P
G
C
O A
【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改
为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）
D
C B
A
【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)
测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.
23米
30°
15°G
F E
D C B
A
【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处
观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：
3tan315︒≈，1
sin312
︒≈)
【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度
AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．
A
⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；
⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．
【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的
仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若
15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)
E
D
C B
A
60︒45︒
【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测
得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .
D
C
B
A
【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即
30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .
【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看
C 点，仰角为5︒；从A 点看
D 点，俯角为30o ，解决下列问题： ⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)
⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30o (光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈o tan300.5774≈o cos30 1.732≈o
)
D
【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影
响？
F 30︒
E
D C
B
A
【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该
楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？
⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）
新楼
居民楼
新楼
32°B
A
D
C
B
A
【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商
贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据
C
D
C B A
1.732
)
【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在
A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在
B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）
（二）、坡度角
【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，
已知原来背水坡长12BC m =，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，
5≈2.7)
C
F
E
D
B
A
【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，
燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）
F E
D
C
B
A
【例36】创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O的半径OC所在的直线为对称轴的轴对称图形，A是OD与圆O的交点．
O
A
C
⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；
⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75
i 是坡面CE的坡度），
求r的值．
O
A
C
【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为3；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.
⑴求整修后背水坡面的面积；
⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少
元？
D
A
C
B
【例38】 城市规划期间，欲拆除一电线杆AB ，如图所示，已知距电线杆AB 水平距离14m 的D 处有一大坝，
背水坡CD 的坡度为2，坝高CF 为2m ，在坝顶C 处测得杆顶A 的仰角为30︒，D 、E 之间是宽为2m 的人行道，试问：在拆除电线杆AB 时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B 为圆心.以AB 的长为半径的圆形区域为危险区域)．
F
E
人行道D
C
B A
【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的
底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.
B
【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹
角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知
11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，
求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）
θ
地板
地板
角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)
⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)
44︒
32︒
D
C
B
A
【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40
AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45o 时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？
A
B
D C
E
F G E
C
D
B
A
（三）、方位角
【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分
别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．
中山路
文化路和平路
和
平路
文化路
中山路
B
C
D
45°30°15°
15°30°45°O
D
C B
B
C
A
44︒
【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航
行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向
?
E
D
B A
【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，
地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）
【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行
半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．
（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
东
【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖
拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵
若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？
【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，
]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s . ⑴ 填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y 轴的正方向，现要使其移动到点(2A ，2)，则给机器人发出的指令应是_________
⑵ 机器人在完成上述指令后，发现(6P ，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C 为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)
N
y x
P
O
A
N
y x
P O
C B
A
【例49】 第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的
2
”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为 .
【例50】 如图，在某海域内有三个港口A 、D 、C ．港口C 在港口A 北偏东60︒方向上，港口D 在港口A 北
偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A 港口3小时后到达B 点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B 处测得港口C 在B 处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B 处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．
【例51】 渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半
小时到B 处.在B 处看见灯塔M 在北偏东15︒方向，求此时灯塔M 与渔船的距离.
北
东
北
15︒60︒M
B
A
北
东
北60︒
15︒
N
M B
A
【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B
的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；
⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里
)
北
C B
北
E
C B
【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目
的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)
【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯
例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？
（参考数据：932
sin63tan632sin34tan341053
︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）
56°27°
P
B
A
【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏
力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，
⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.
⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？
（四）其它
【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你
求出这块草地的面积．
D
C
B
A
【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已
知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =
⑴求B ∠的度数；
⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度
P
E
D
C
B
A
【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他
自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈
)
【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．
① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；
② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．
图1
αN M
O
B A
D C
图2
αM
O B A P'
P B'A'图3
αM
O
B A
【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某
一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．
如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）
图3
图2
C M
A
A'
P B
B'
H
D
H'H'
D
H
B'
B
P
A'
A
【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3
cos 5
BDC ∠=
， 求tan A 的值．
N
M D
C
B
A
（图1）
【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3
sin 5
B =
，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.
E
D
C
B
A
【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B
楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30o 角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．
(
1.414
1.732=
2.236=)
【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =
，坡面CD =，AB 的坡度为，
135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．
D
B
A
【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝
加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？
Q H
R G F
E
D
C
B A
【例66】如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A
港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向
前进，乙船以每小时15km的速度沿东北方向前进，甲船航行2h到达C处，发现渔具丢在乙船上，
于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B处相遇.
⑴甲船从C处追上乙船用了多长时间？
⑵甲船追赶乙船的速度是多少？
北
【例67】如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD、高度DC都可以直接测得，从A D C
，，三点都可看到塔顶H
⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求
如下：
①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测
量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D
，间距离，用m表示，D C
，间距离，用n表示；
如果测角，用αβγ
，，表示）
⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示，测角器高度忽略不计）
D
B
A
【例68】如图，某电信部门计划架设一条连结B C
，两地的电缆，测量人员在山脚A地测得B C
，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045
︒︒
，，在B地测得C地的仰角为60︒，已知C地比A地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。