全国卷高考数学导数、解析几何大题专项训练含答案(二)

全国卷高考数学导数、解析几何解答题专项训练

（二）

一、解答题

1.设函数32()2f x x a x b x a =+++，2

()32

gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。 （I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；

（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对

任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx

g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。 2.(本小题满分12分） 已知函数22()ln ax

f x x e

=-

，（a e R,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；

（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为

111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。 3.若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x

，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，

则称“f （x ）关于k 可线性分解”．

（Ⅰ）函数()2

2x x f x

+=是否关于1可线性分解?请说明理由；

（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；

（Ⅲ）证明不等式：

()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n Λ()*

∈N n ． 4.已知x=1是

()2ln b

f x x x x =-

+的一个极值点

（1）求b 的值； （2）求函数

()

f x 的单调增区间；

（3）设x x f x g 3

)()(-

=，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x)相切？请说明

理由。

5.已知函数2()x f x e x ax =--，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，且

12x x <.

（Ⅰ）证明：1ln 2x <；

（Ⅱ）求1()f x 的最小值，并指出此时a 的值.

6.设函数2()ln 4f x a x x =-，

2

()(0,0,,)g x bx a b a b R =≠≠∈.

（Ⅰ）当3

2b =

时，函数()()()h x f x g x =+在1x =处有极小值，求函数()h x 的单调递增

区间；

（Ⅱ）若函数()f x 和()g x 有相同的极大值，且函数

()

()()g x p x f x x =+

在区间2

[1,]e 上

的最大值为8e -，求实数b 的值（其中e 是自然对数的底数） 7.（本小题满分12分）

已知函数()ln f x x a x =-，

1(), (R).a

g x a x +=-

∈

（Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间； （Ⅲ）若在

[]1,e （e 2.718...=）上存在一点0x ,使得0()f x <

0()

g x 成立,求a 的取值

范围.

8.已知函数

2

()(0)f x ax kbx x =+>与函数()ln ,、、g x ax b x a b k =+为常数，它们

的导函数分别为()y f x '=与()y g x '=

（1）若

()g x 图象上一点(2,(2))p g 处的切线方程为：22ln 220x y -+-=，求

、a b 的值；

（2）对于任意的实数

k

，且

、a b 均不为0，证明：当0ab >时，()y f x '=与

()y g x '=的图象有公共点；

（3）在（1）的条件下，设

112212(,),(,),()

A x y

B x y x x <是函数

()y g x =的图象上两

点，21

021()y y g x x x -'=

-，证明：102x x x <<

9.

（本小题满分13分）

已知函数21

()ln (,0).

2f x x ax a R a =-∈≠

（I ）求函数()f x 的单调区间；

（II ）已知点1111

(1,),(,)(1):()

2A a x y x C y f x ->=设B 是曲线图角上的点，曲线C

上是否存在点

00(,)

M x y 满足：①

1

012x x +=

；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线

AB ？请说明理由。 10.（本小题满分14分）

设函数

.21

ln )2()(ax x x a x f ++

-=

（1）当0=a 时，求)(x f 的极值；

（2）设

x x f x g 1

)()(-

=，在),1[+∞上单调递增，求a 的取值范围；

（3）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间.

11.（本小题满分1４分）已知函数

()x x x f y ln ==。

（1）求函数)(x f y =的图像在e x 1

=

处的切线方程；

（2）求)(x f y =的最大值；

（3）设实数,0>a 求函数()()[]a a x af x F 2,在=上的最小值。 12.（本小题满分12分）

已知

2

()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+- (1) 求函数()[,2](0)f x t t t +在＞上的最小值；

(2) 若对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立,求实数a 的取值范围； (3) 证明:对一切(0,)x ∈+∞,都有12

ln x x e ex -

＞

成立．

13.（本小题满分12分） 已知1=x 是函数()()2x

f x ax e =-的一个极值点．(a ∈R )

（1）求a 的值；

（2）任意1x ，[]

20,2x ∈时，证明：

()()12||f x f x e

-≤

14.（本小题满分12分）已知函数

132)(2

3+-=ax x x f ． （1）若1=x 为函数)(x f 的一个极值点，试确定实数a 的值，并求此时函数)(x f 的

极值；

（2）求函数)(x f 的单调区间． 15.（本小题满分12分）