椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆练习题带答案,知识点总结(基础版)

椭圆是平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a （其中2a>F1F2）的点的轨迹。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

当椭圆焦点在x轴上时，标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）。当椭圆焦点在y轴上时，标准方程为

x^2/b^2+y^2/a^2=1（a>b>0）。

椭圆的范围为-a≤x≤a，-b≤y≤b。椭圆有x轴和y轴两条对称轴，对称中心为坐标原点O(0,0)。椭圆的长轴长为2a，短

轴长为2b。椭圆的顶点坐标为(±a,0)，(0,±b)。椭圆的焦点坐

标为(±c,0)，其中c^2=a^2-b^2.椭圆的离心率为e=c/a（其中

0

a、b、c、e的几何意义：a叫做长半轴长；b叫做短半轴长；c叫做半焦距；a、b、c之间满足a^2=b^2+c^2.e叫做椭圆的离心率，e可以刻画椭圆的扁平程度，e越大，椭圆越扁，e 越小，椭圆越圆。

对于椭圆上任一点P和椭圆的一个焦点F，PF_max=a+c，PF_min=a-c。当点P在短轴端点位置时，∠F1PF2取最大值

（余弦定理）。

椭圆方程常用三角换元为x=acosθ，y=bsinθ。弦长公式为：设直线y=kx+b交椭圆于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则

|P1P2|=√(1+k^2(x1-x2)^2)或|P1P2|=√(1+(y1-y2)^2/k^2)（k≠0）。

判断点P(x,y)是否在椭圆内，当且仅当x^2/a^2+y^2/b^21.

若椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的离心率为c/a，短

轴长为4√2，则它的长轴长为2a=6.

1.在椭圆$x^2/a^2+y^2=1$的内部，点$A(a,1)$，则$a$的

取值范围是$-2

2.已知椭圆方程$x^2/16+y^2/8=1$，焦点为$F_1,F_2$，点$P$在椭圆上且$\angle F_1PF_2=\pi/3$。则三角形$F_1PF_2$的面积为$13\sqrt{3}/3$。

3.设动圆$M$与圆$C_1:(x+1)^2+y^2=1$外切，与圆

$C_2:(x-1)^2+y^2=25$内切，则动圆圆心$M$的轨迹方程是$x^2/9+y^2/8=1$。

4.已知$A(-1,0)$，$B$是圆$F:x^2-2x+y^2-11=0$上的一动点，线段$AB$的垂直平分线交$BF$于$P$，则动点$P$的轨迹方程为$3x^2+3y^2+4xy=7$。

5.设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍。又点$P(4,1)$在椭圆上，求该椭圆的方程。

解题步骤：

2.剔除格式错误。

3.对每段话进行小幅度改写。

1.当椭圆的焦点在x轴上时，设方程为：

frac{(x-4)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{1}=1$$

因为椭圆过点P(4,1)，所以可以得到a=2，b=1，且长轴长是短轴长的2倍，即2a=2×2b，即a=2b。所以此时椭圆的方程为：

frac{(x-4)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{1}=1$$

2.当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为：

frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{1}=1$$

因为椭圆过点P(4,1)，所以可以解得m=±3，n=1，且长轴长是短轴长的3倍，即a=3b。所以此时椭圆的方程为：

frac{(x-4)^2}{9}+\frac{(y-1)^2}{1}=1$$

3.已知(4,2)是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则l的方程是：

x+2y-8=0$$

设直线l与椭圆相交于A(x1,y1)，B(x2,y2)。则，有frac{(x_1-4)^2}{4}+\frac{(y_1-1)^2}{1}=1$$

frac{(x_2-4)^2}{4}+\frac{(y_2-1)^2}{1}=1$$

两式相减得

2x_1-2x_2=0$$

2y_1-2y_2=4$$

又$x_1+x_2=8$，$y_1+y_2=4$，所以

x_1=4,y_1=2,x_2=0,y_2=1$$

因此，直线l的方程为$y-2=x-4$，即$x+2y-8=0$。

4.中心在原点的椭圆长轴右顶点为(2,0)，直线$y=x-1$与椭圆相交于M，N两点，$MN$中点的横坐标为3，则此椭圆标准方程是：

frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$$

设椭圆方程为

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，由椭圆长轴右顶点为(2,0)可得$a=2$，因此椭圆方程可以化为

frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

把直线$y=x-1$代入得$(4+b^2)x^2-8x+4-4b^2=0$，设$M(x_1,y_1)$，$N(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=8$，

$y_1+y_2=2x_1+2$，$MN$的中点的横坐标为3，因此

$b^2=2$，故选D。

5.求$x^2+y^2=1$的中心和右焦点。

这是单位圆的方程，中心为原点，因为$x^2+y^2=r^2$，

所以$r=1$，右焦点为(1,0)。因此，该椭圆的方程为

$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}=1$。

6.若点O和点F分别为椭圆$x^2+4y^2=4$的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则$OP·FP$的最小值为：

设点P(x,y)，则$OP=\sqrt{x^2+4y^2}$，$PF=\sqrt{(x-

2)^2+4y^2}$，因此

OP·FP=\sqrt{x^2+4y^2}·\sqrt{(x-2)^2+4y^2}$$

由XXX-XXX不等式可得

OP·FP\leq\frac{(x^2+4y^2)+((x-2)^2+4y^2)}{2}=x^2-

2x+5$$

当$x=1$时，$x^2-2x+5=4$，且$x^2+4y^2=4$，所以$OP·FP=4$，故选B。

b2