常态分布曲线和正态分布曲线
高中数学湘教版选修2-3正态分布曲线
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的 顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为总体密度 曲线．
一、正态曲线
y
O
x
1 , x e 2
x 2
2 2
, x ,
其中实数和(>0)为参数. ,(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线。
例 1:某商场经营的某种包装的大米质量（单位 :kg） 例 1:某商场经营的某种包装的大米质量（单位 :kg） 2 例 （ 单位 :kg ） 例 1: 1:某商场经营的某种包装的大米质量 某商场经营的某种包装的大米质量 （ 单位 :kg ） 服从正态分布 , 任选一袋这种大米 , N (10,0.12 ) 服从正态分布 N (10,0.1 ) , 任选一袋这种大米 , 2 2 ) , 任选一袋这种大米 , 服从正态分布 (10,0.1 服从正态分布 N N (10,0.1 ) , 任选一袋这种大米 , (1) 质量在区间 (9.8,10.2] , 概率是多少？ (1) 质量在区间 (9.8,10.2] , 概率是多少？ (1) (1) 质量在区间 质量在区间 (9.8,10.2] 概率是多少？ (9.8,10.2] ,,概率是多少？ (2) 质量在区间 (10,10.2] , 概率是多少？ (2) 质量在区间 (10,10.2] , 概率是多少？ (2) 质量在区间 ,,概率是多少？ (10,10.2] (2) 质量在区间 概率是多少？ (10,10.2] P ( 2 X 2 ) 0.9544
)
B．0.158 7 D．0.158 5
(2)设随机变量ξ服从正态分布 N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c
正态分布
第三节 正态分布概率分布是指对随机变量各取值的概率用图表或函数式进行的描述。
正态分布又叫做常态分布，是一种连续型随机变量的概率分布。
正态分布的特点是：1.形态上很像古代的大钟，中间大两头小，左右最称，所以有人把它叫做钟形分布。
如：人的许多生理和心理特征、学生的学习成绩分布。
2.与二项分布比较：同：正态分布也是一个理论分布，有函数式。
异：正态分布是连续分布，而二项分布是离散形的；函数式也不同。
一、正态曲线1.正态曲线函数正态曲线的其他特点：参考教科书90页的图5.3（1）当平均数相等时，标准差越大，峰越低，覆盖范围越广，即峰越宽；反之，标准差越小时，峰越高，覆盖范围越小。
即峰越窄。
（2）当标准差相等时，峰的形状不变，但中心不同。
平均数越大，峰越靠近右；平均数越小，峰越靠近左。
把各种不同形态的正态分布都变成一种统一的、固定形态的正态分布，即标准正态分布。
通常我们所说的正态分布就是指这种标准正态分布。
222)(2σμπσ--=X e N Y N 表示总频数表示此分布的标准差表示平均数e 表示常数2.71828μσσμ-=X Z 其中 Y 表示变量X 的高度或横坐标X 表示连续变量的任何一点2221Z e Y -=π例如：某个分布的平均数是86，标准差是10，某个原是分数是80，则这个分数就可以转换为：表明这个数据在整个分布中低于平均数0.6个标准差，2.标准正态曲线函数的特点（2）曲线以Z=0处为中心，双侧对称（对称轴）。
（3）曲线从最高点向左右缓慢下降，并无限延伸，但永远不与基线相交。
（4）标准正态分布上的平均数为0，标准差为1。
（5）曲线从最高点向左右延伸时，在正负1个标准差之内，既向下又向内弯。
（6）曲线下方到基线的面积为1。
此外，标准差与曲线还有一定的关系。
在Z 等于正负1之间，它所包含的累积概率（即面积）是0.6826。
在Z 等于正负1.96之间，所包含的面积是0.95。
在Z 等于正负1.98之间，所包含的面积是0.99。
第三节 正态分布
主要内容： 主要内容： 一、正态分布概念 二、正态分布的特点 三、应用
一、正态分布概念
正态分布又称高斯分布，常态分布，是一种数据的 波动规律的表达，主要反映了试验的随机误差。
强度分组为横坐标，以频数为纵坐标,绘成强 度—频数直方图
12 10 8 6 4 2 0 18 20 22 24 26 3 7 5 2 10
应用
1．可疑数据的舍弃； A. 莱 特 准 则 （ 3σ 原 则 ） ： 由 于 落 在 (u3σ,u+3σ)的概率为99.73％，处在3σ之外的 概率(即误差概率)仅为0.27％，接近0，对于 常规一般仅进行几十次的测量，如处在3σ之 外则说明属于随机误差，应剔除。 由于次判据是建立在n趋向于无穷得基础上得， 所以当n有限时，尤其是n较小时这一判据并不 十分可靠。但是由于其使用方便，故常常被使 用。
（一）正交设计的基本方法
试验设计包括三方面的内容： 1. 因素和水平选择 2. 误差控制：试验方案的制定 3. 数据处理：分析试验结果
一般来说,为保证结论的可靠性，在选取因素时 应把所有影响较大的因素选入试验，某些因素 之间可能还有交互作用，所谓交互作用，就是 这些因素在同时改变水平时，其效果会超过单 独改变某一因素水平时的效果。影响较大的因 素还应包括那些单独变化水平时效果可能不太， 大与其他因素同时变化时交互作用较大的因素， 这样才能保证试验的代表性。因素变化越多越 好，取值不能少于3个，这样才能看出曲线，看 出其变化的趋势。某一因素取值变化的次数即 水平数，为了减少试验次数，往往取两水平(现 行工艺水平和新工艺水平)或三水平(低于现行 工艺水平或理论值、现行工艺水平、高于现行 工艺水平)。 水平变化的范围不宜太大。
且从图12－2还可以看出，按趋势，增加 水分与碾压料重、抗折强度，还有可能 提高，因此还应扩大试验范围，试探其 强度趋势。
概率分布曲线
概率分布曲线
概率分布曲线是一种用于描述随机变量取值的频率分布情况的图形。
它可以帮助我们更直观地了解一个随机变量在不同取值下出现的概率
大小，从而为我们进行统计学分析和预测提供依据。
以下是几种常见
的概率分布曲线：1. 正态分布曲线正态分布曲线又称高斯分布曲线，
是最常见、最重要的一类连续型概率分布。
它呈钟形状，左右对称，
并且具有唯一峰值点。
许多自然界中遵循正态分布规律的现象包括人
口身高、体重、智商等。
2. 泊松分布曲线泊松分布曲线适用于描述单
位时间内某事件发生次数的离散型概率模型。
例如，在某个工厂里每
小时平均发生5次故障，则该工厂每小时发生0-10次故障所对应的泊
松概率就可以通过泊松公式来计算得到。
3. 二项式分布曲线二项式分
布适用于描述n次试验中成功k次（或失败n-k次）所对应可能性大小
的离散型概率模型。
例如，在投掷硬币时，若将正面朝上定义为“成功”，则投掷10枚硬币中恰好有3枚硬币正面朝上所对应可能性就可以通过二项式公式来计算得到。
4. 均匀分布曲线均匀分布曲线是指在
给定区间[a,b]内所有数值出现的概率相同的连续性随机变量。
它在区间内呈平衡形态，即所有数值出现的感觉上是“相同” 的。
如果将区间 [a,b] 划分成 n 等分，则在每个子区间中所对应的求数字出现感觉上是相同的。
正态分布曲线
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于检验正态分布曲线的假设。
详细描述
卡方检验通过比较实际观测频数与理论频数，计算卡方统计量，以检验数据是否符合正态分布。如果样本数据符 合正态分布，则卡方统计量将接近于期望值。卡方检验的优点是不需要假设数据符合特定的分布形式，因此适用 于更广泛的数据类型。
考试分数分布
分数集中
考试分数通常呈现正态 分布，即大部分考生成 绩集中在平均分附近， 高分和低分成绩占少数。
标准差
考试分数的标准差可以 反映成绩分布的离散程 度，标准差越小，成绩 越集中。
及格率
考试及格分数线通常设 定在正态分布的60分左 右，以确保大部分考生 能够通过。
股票价格波动
波动幅度
股票价格的波动幅度通常呈现正态分布，即大部分时间股票价格波动较小，极端波动的情 况较少。
特征
集中性
正态分布曲线下的面积大部分集中在均值附近，离均值越远概率 越小。
对称性
正态分布曲线关于y轴对称，即概率密度函数是偶函数。
均匀递增性
在均值左侧，曲线从负无穷增加到0；在均值右侧，曲线从0增加 到正无穷。
概率密度函数
01
正态分布的概率密度函数为高斯函数，也称为钟形曲线。
02
概率密度函数表示随机变量取某个值的概率密度，即单位区间
详细描述
Z检验基于正态分布的性质，通过计算样本数据的均值和标准 差，与理论值进行比较，以检验数据是否符合正态分布。如 果样本数据符合正态分布，则Z检验统计量将接近于标准正态 分布种常用的假设检验方法，用于检验正态分布曲线的假设。
详细描述
t检验基于样本数据的均值和标准差，通过计算t统计量，与临界值进行比较，以 检验数据是否符合正态分布。如果样本数据符合正态分布，则t检验统计量将接 近于标准正态分布的临界值。
正态分布曲线的特征
正态分布曲线的特征
1 正态分布曲线的特征
正态分布曲线（学名：正态分布）是概率统计领域中最重要的概率分布之一，它是一种特殊的随机过程，其上的所有任何变量都能够满足高斯概率密度函数的定义条件。
正态分布曲线一般呈现出U形，其特征有：
1、均值型：正态分布的期望值、均值、中位数以及众数都相等，且等于中央点M0。
2、对称型：正态分布曲线是对称的，中央点M0是曲线的左右对称轴。
3、连续型：正态分布曲线是连续的，在任一点上曲线都是连续可导。
4、夸脱型：正态分布曲线夸脱程度可由标准差σ衡量，当σ减小时，曲线夸脱程度也会随之增大。
5、偏度型：正态分布曲线的偏度为0，即曲线沿相同趋势变动，两边不会出现不同的走势。
6、面积型：正态分布曲线面积值总是1，其中心区面积占比大，离心率较低。
正态分布在社会经济和自然科学中都拥有着广泛的应用。
它在量化研究中用作样本分会依据，可以对一抽样的大小及其特性的变化提供参考。
正态分布的特征可以帮助科学家们精确的做出分析和预测，为解决社会经济问题提供有效的帮助。
《正态分布曲线》课件
使用Python绘制正态分布曲线
count, bins, ignored = plt.hist(data, 30, density=True)
plt.plot(bins, (1/(sigma * np.sqrt(2 * np.pi))) * np.exp(- (bins - mu)2 / (2 * sigma2)), linewidth=2, color='r')
密度等。正态分布曲线可以用来描述这些物理量的分布情况。
03
社会调查
在社会调查中，许多调查数据呈现正态分布特征，例如民意调查、市场
调查等。正态分布曲线可以用来描述这些调查数据的分布情况。
CHAPTER 05
正态分布曲线的扩展知识
正态分布的假设检验
假设检验基本原理
假设检验是统计学中用于判断样本数据是否符合某种假设的一种方法。在正态分布的情境 下，通常假设数据符合正态分布，然后通过检验统计量进行判断。
THANKS
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置信区间的应用
置信区间在统计学中有着广泛的应用，如回归分析、方差分析、实验设计等。在正态分布的情境下，我 们可以通过计算置信区间来评估样本数据的可靠性和稳定性。
正态分布与其他分布的比较
01 02 03
正态分布的优势
正态分布是一种非常重要的概率分布，其概率密度函数具 有许多优良的性质，如对称性、可加性等。此外，许多自 然现象和随机变量都呈现出近似正态分布的特性，因此正 态分布在统计学中具有广泛的应用。
《正态分布曲线》ppt 课件
CONTENTS 目录
• 正态分布曲线的定义 • 正态分布曲线的性质 • 正态分布曲线的绘制 • 正态分布曲线的应用 • 正态分布曲线的扩展知识
正态分布表示
正态分布也称“常态分布”，又名高斯分布，是概率论和数理统计学科的概念，在数学、物理、统计及工程管理等领域都有非常广泛的应用和重要的影响力。
从形态上看（如下图所示），正态分布曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
从正态分布的特征上看，具有集中性、对称性、均匀变动性的特点。
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ
处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
专题 正态分布介绍
正态分布正态分布，亦称“常态分布”、“高斯分布”、“常态曲线”等，是统计中最重要的一种分布。
德国数学家高斯(Gauss.C.F.)首先发现，正态分布指示了自然和社会多种随机现象分布的一种分布规律。
1．正态分布：若总体密度曲线就是或近似地是函数()22()21(),,2x f x ex μσπσ--=∈-∞+∞的图象其中：π是圆周率；e 是自然对数的底；x 是随机变量的取值，μ为正态分布的平均值；σ是正态分布的标准差．这个总体是无限容量的抽样总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数μ，σ唯一确定，记作ξ~2(,)N μσ，E(ξ)=μ，D(ξ)=2σ.2．函数f(x)图象被称为正态曲线．（1）从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为．．．．x=μ．．．，并在．．．x=μ．．．时取最大值．．．．．。
（2）从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的，（3）当μ的值一定时， σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小，曲线越“高”．总体分布越集中．3．把ξ~(0,1)N 即μ=0，σ=1称为标准正态分布，这样的正态总体称为标准正态总体，其密度函数为2121()2x f x e π-=，x ∈(-∞，+∞)，相应的曲线称为标准正态曲线．４．利用标准正态分布表可求得标准正态总体在某一区间内取值的概率. （1）对于标准正态总体(0,1)N ，)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即：)()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，其值可以通过“标准正态分布表”查得，也就是图中阴影部分的面积，它表示总体取值小于0x 的概率．（2）标准正态曲线关于y 轴对称。
因为当00>x 时，)()(00x x P x <=Φ；xyO而当00<x 时，根据正态曲线的性质可得：)(1)(00x x -Φ-=Φ，并且可以求得在任一区间),(21x x 内取值的概率：)()()(1221x x x x x P Φ-Φ=<<，显然Φ(0)=0.5. （3）对于任一正态总体ξ~),(2σμN ，都可以通过ξμησ-=使之标准化η~(0,1)N ，那么， P(x ξ<)=P(η<x μσ-)=()x μσ-Φ，求得其在某一区间内取值的概率.例如: ~ξN(1，4)，那么，设η=12ξ-，则η~(0,1)N ，有P(ξ<3)=P(η<1)=(1)Φ=0.8413.（4）Φ(1)=0.8413、Φ(2)=0.9772、Φ(3)=0.9987（5）在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到 00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ（6）两个重要公式：① ②（7）()2,Nμσ与()0,1N 的关系：①若ξ～()2,Nμσ，则ξμησ-=～()0,1N ，有()()0x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ1x 2x )(0x Φ)(10x -Φ-例1求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率． 解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151． 例2. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747. (2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.（07安徽卷,10）以()x Φ表示标准正态总体在区间(),x -∞内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则概率()P ξμσ-<等于（ B ）A.()()μσμσΦ+-Φ-B. ()()11Φ-Φ-C. 1μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭D. ()2μσΦ+解析：考查()2,Nμσ与()0,1N 的关系：若ξ～()2,Nμσ，则()2112x x P xx x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：答案为B 或1)1(2-Φ（07全国卷Ⅱ,14）:在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>.若ξ在()0,1内取值的概率为0.4,则ξ在()0,2内取值的概率为----------。
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义-高中数学知识点讲解
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2 ，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φ2휋휎푒μ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x 定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为1，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为―2휋휎(푥―휇)22휎2．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示푏如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X 满足P（a＜X≤b）= φμ，σ（x）dx，则称X 的分布为正态分布，푎记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质1/ 6正态曲线φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2，x∈R 有以下性质：2휋휎푒（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值1；2휋휎（4）曲线与x 轴围成的图形的面积为 1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例 1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=21―(푥―10)8휋푒8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10解析：由21―(푥―10)8휋푒8=2―(푥―휇)12휎2，可知σ＝2，μ＝10．2휋휎푒答案：B．典例 2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.22/ 6解析：由P（ξ＜4）＝0.8 知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例 3：已知随机变量X 服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3 对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣2P（2≤X≤4）＝0.5 ―12× 0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质1典例 1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．42휋（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0．由12휋휎=1，42휋得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）=21―푥42휋푒32，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．3/ 6典例 2：设两个正态分布N（μ1，휎12）（σ1＞0）和N（μ2，휎22）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例 1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]4/ 6=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=12×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5）]=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]=12×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例 2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1 对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型 4：正态分布的应用典例 1：2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为 0.7，那么耗油量大于 9 升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8 为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15＝180 辆．5/ 6点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面푥1+푥2积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有2=μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．1典例 2：工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取 1 000 个零件时，不9属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？1解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ=91 3．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．6/ 6。
正态分布介绍
正确认识正态分布在评价学生考试成绩时的作用正态分布，亦称“常态分布”、“高斯分布”、“常态曲线”等，是统计中最重要的一种分布。
德国数学家高斯(Gauss.C.F.)首先发现，正态分布指示了自然和社会多种随机现象分布的一种分布规律。
一、正态分布的概念与特征1.正态分布的概念在相同条件下随机的对某一测试对象进行多次测试时，测得数值在一定范围内波动，其中接近平均值的数值占多数，大于和小于平均值的频率近乎一样，远离平均值的占少数。
这种分布规律称为正态分布。
用曲线表示出来就称为正态分布曲线（见图1）。
正态分布的概率密度函数为： ()22221σμx e πσf(x)--=，+∞<<∞-x 此时，称X 服从正态分布，记为X ～),(2σμN 。
其中μ、σ是两个不确定的常数，是正态分布的参数，不同的μ和σ对 图1 应不同的正态分布。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称。
2．正态分布的特征服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。
正态分布以x μ=为对称轴，左右完全对称。
(2)σ描述正态分布资料数据分布的离散程度，σ越大，数据分布越分散，σ越小，数据分布越集中。
σ也称为是正态分布的形状参数，σ越大，曲线越扁平，反之，σ越小，曲线越瘦高（见图2）。
图2 二、学生考试成绩分布与正态性1.成绩分布统计通常各学校都以10分为一个分数段，统计每个分数段包含的学生数，组成成绩的频数分布统计表。
将该统计表各分数段的中值和该组学生数对应点依次制成条形图，形成中间高两边低的成绩频数分布图（图3）。
图3 图4 正态分布 说明测试结果与学生的实际情况一致，各种难度的项目比例合理。
-3-2-11230.10.20.30.4-3-2-11230.20.40.60.82.考试成绩分布类型研究证实自然人群中个体智力分布特征为处于中等智力附近的个体数量较多，并在分布图上呈现一高峰，由中间向两端（智力低下和智力超强）数量逐渐减少，形成类似钟形的分布曲线，该曲线符合统计学上的正态分布。
正态分布曲线定义
正态分布曲线定义正态分布曲线，又称为高斯分布曲线或钟形曲线，是统计学中最为重要的一种连续型概率分布。
它的形状呈现出中间高、两侧逐渐降低的特点，非常符合真实世界中许多自然现象和随机事件的分布规律。
正态分布曲线在各个领域都有着广泛的应用，包括自然科学、社会科学、经济学等。
正态分布曲线的定义是基于数学家高斯（Gauss）的研究成果。
他在18世纪初提出了正态分布的概念，并通过大量实验数据证明了其普遍性和稳定性。
正态分布的特点是其均值、方差和标准差这些统计指标可以完全决定曲线的形状。
正态分布曲线的形状是钟形的，中间的峰值表示了观测值的最可能出现的位置，两侧逐渐降低的部分表示了观测值远离最可能出现位置的概率逐渐降低。
正态分布曲线关于均值对称，意味着均值左右两侧的分布完全相同。
正态分布曲线的特征还包括其均值、方差和标准差。
均值代表了分布的中心位置，方差代表了观测值的分散程度，标准差是方差的平方根。
当分布的标准差很小时，曲线变得更加陡峭，分布也更加集中；而当标准差很大时，曲线变得更加平缓，分布也更加分散。
正态分布曲线在实际应用中极为重要。
在自然科学中，许多统计实验都呈现出正态分布，例如测量误差、实验结果的分布等。
在社会科学中，人类的身高、体重等特征也往往符合正态分布。
在经济学中，收入、消费等经济指标也遵循正态分布规律。
正态分布的性质使得我们能够通过统计方法预测和分析各种现象，为决策提供有价值的参考。
对于正态分布曲线的理解和运用在统计学中至关重要。
通过分析正态分布曲线，我们可以计算和理解不同区间内出现某个数值的概率，进行数据的预测和推断。
此外，正态分布还与许多统计方法和假设检验密切相关，对于数据分析和科学研究的正确性和可靠性起到了至关重要的作用。
因此，掌握正态分布曲线的定义和特征对于提高统计学水平和解决实际问题至关重要。
只有深入理解正态分布曲线的意义和应用，我们才能更好地利用统计方法和工具进行科学研究、数据分析和决策制定。
常态分布曲线和正态分布曲线
常态分布曲线和正态分布曲线都是指同一个概率分布，也称为高斯分布或钟形曲线。
正态分布是一种连续概率分布，它具有以下特征：
1. 平均值（μ）：正态分布的均值，决定了曲线的中心位置。
2. 方差（σ²）：正态分布的方差，决定了曲线的宽窄程度和分布的扁平度。
3. 标准差（σ）：方差的正平方根。
正态分布的概率密度函数是一个钟形曲线，曲线关于均值对称，最高点位于均值处。
曲线两侧的面积分别约为68.27%、95.45%和99.73%的标准差范围内。
这意味着大部分的观测值在均值附近，并且远离均值的值出现的概率较小。
正态分布广泛应用于统计学和自然科学领域，因为它可以很好地描述许多自然和人类现象的分布情况，如身高、体重、测试分数等。
常态分布曲线是描述正态分布的概率密度函数的图形表示，它展示了不同取值对应的概率密度。
在常态分布曲线中，x轴代表变量的取值，y轴代表对应取值的概率密度。
通过绘制常态分布曲线可以直观地观察到分布的形状和概率密度随取值变化的情况。
四大分布简述-心理统计
四大分布简述一、正态分布1. 概述正态分布又名常态分布。
高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差，故很多文献中亦称之为高斯分布。
正态分布是概率论中最重要的分布，并有极其广泛的实际背景，很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
统计学中的三大分布（2χ分布、t分布和F分布）均是由它导出的。
2. 定义如果随机变量X的概率密度为()222(),xμσφx x--=-∞<<+∞则称X服从正态分布，记作2~(,)X Nμσ，其中，μ为随机变量X的数学期望，σ为随机变量X的标准差。
特别地，当0μ=，1σ=时，有22(),xφx x-=-∞<<+∞相应的正态分布(0,1)N称为标准正态分布。
标准正态分布的重要性在于，任何一个普通的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。
标准化过程为若2~(,)X Nμσ，则(0,1)XμZ~Nσ-=。
3. 性质和特点1)正态分布的概率密度函数的图像为钟形，关于xμ=对称。
2)标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。
σ越小，曲线越高狭；σ越大，曲线越低阔。
3)普遍性：一个变量如果收到大量的独立因素的影响（无主导因素），则它一般服从正态分布。
4. 应用1) 估计频数分布。
2) 制定参考值范围。
3) 质量控制：3σ准则。
4) 二项分布、t 分布等的正态近似计算。
5) 正态分布是许多统计方法的理论基础。
检验、方差分析、相关和回归分析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。
二、2χ分布1. 概述2χ分布是由海尔默特（Hermert ）和皮尔逊（Pearson ）分别于1875年和1900年推导出来的。
2. 定义设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且()1,2,,=i X i n 服从标准正态分布(0,1)N ，则它们的平方和21=∑n i i X 服从自由度为n 的2χ分布，记作2()χn 。
3. 性质和特点1) 2χ分布的密度函数在第一象限内呈正偏态（右偏态）。
常见分布的图像
常见分布的图像连续型的常见分布的图形1.正态分布：上图是标准正态分布的概率密度函数，对于一般的正态分布函数N（μ，σ^2），其μ为总体均值，是位置参数，反映了最高峰距原点的位置；而σ为总体标准差，是形状参数，反映了曲线的“胖”、“瘦”程度。
当μ逐渐变小时，上图曲线向左移动；当μ逐渐变大时，上图曲线向右移动。
当σ越小时，上图曲线越瘦高，表明数据越集中；当σ越大时，上图曲线越矮胖，表明数据越分散。
对于一般的正态分布函数N（μ，σ^2），其累积分布函数的曲线是概率密度函数曲线的下面积从左之右的累积值，其最小值为0，最大值为1。
累积分布函数的曲线的变化和概率密度函数曲线的变化类似。
改变μ，曲线的位置发生变化，形状不变；改变σ，曲线位置不变，形状改变。
2.均匀分布：对于一般的均匀分布U（a，b），其概率密度函数曲线从a到b 的纵高恒等对于一般的均匀分布U（a，b），其累积分布函数曲线图形从a 到b是一次函数（x-a）/b-a，小于a的部分函数值为0，大于b的部分函数值为1。
3.指数分布:对于一般的指数函数E(λ)，其概率密度函数图形与上图相似，其与y轴的交点为λ。
当λ越大时，概率密度函数曲线的凹的程度越大。
对于一般的指数函数E(λ)，其概率密度函数图形与上图相似，且无限接近于1。
当λ越大时，概率密度函数曲线的凸的程度越大。
离散型的常见分布的图形1.泊松分布：对于一般的泊松分布P（λ），其概率质量函数的图形随着λ的增加，图形从注：（1）无论如何不可能出现负偏锋图形；（2）X的取值只能是非负整数。
可以发现，对于一般的泊松分布P（λ），其累积分布函数的图形的变化与概率质量函数类似。
2.二项分布：对于一般的二项分布B（n，p），其概率质量函数的图形有：当p一定时，随着n的增加，图形位置从向右移动。
当n一定时，随着p的增加，图形形状从正偏态转化为正态，再从正态转化为左偏态。
注：（1）当p=0.5时，图形呈对称分布，不论n为多少；（2）X的取值只能是从0到n的非负整数。
第二节正态分布-PPT精选
正态曲线（normalcurve）
二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点：
f(X)
1. 钟型
2. 中间高
3. 两头低
4. 左右对称
5. 最高处对应 于X轴的值
就是均数
X 6. 曲线下面积
为1
7. 标准差决定 曲线的形状
N(1,0.82)
0.6 f (X )
0.5
0.4 N(0,12 )
(
X )2 2 2
,
X
＝3.14159，exp是以2.72818为底的自然对数指数
X ~ N(, 2),为X的总体均数，为总体标准差
f (X)称为概率密度函数p（robability densityfunction）
以f (X)为纵坐标，X为横坐标，绘制的曲就线是
分娩方式 顺产 助产 顺产 顺产 顺产
剖宫产 顺产
剖宫产 顺产 顺产
妊娠结局 足月 足月 足月 早产 足月 足月 死产 足月 足月 足月
按年龄（2岁一组）与职业整理
年龄 工人 管理人员 农民 商业服务 无 知识分子 总计
18
2
0
0
0
3
0
5
20
9
2
6
10
18
0
45
22 28
7
10
24
70
11
150
24 50
0.3
N(1,1.22)
μ决定曲线的位置，σ0.决2 定曲线的“胖瘦”
0.1
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
X
三、标准正态分布
分布曲线的的
分布曲线的的分布曲线是一种常用于描述数据分布情况的图形。
它是由一组数据点在坐标系上绘制而成的，通常呈现出一种典型的形状，反映了数据集中的趋势和离散程度，为数据分析提供了直观的参考。
在实际应用领域中，分布曲线具有广泛的应用。
例如，在统计学中，通过绘制一个样本或者总体的分布曲线，可以深入了解样本或总体数据的分布情况，判断数据是否服从正态分布，进而确定相应的统计假设和参数估计方法。
在质量控制中，通过绘制质量控制点的分布曲线可以实时监测生产过程的稳定性，判断是否需要调整生产参数或工艺流程来保证产品质量。
在金融领域中，通过绘制资产价格的分布曲线可以帮助投资者更好地理解市场风险和机会，制定更稳健的投资策略。
常见的分布曲线主要包括正态分布曲线、偏态分布曲线和离散分布曲线等。
其中，正态分布曲线是最为广泛使用的一种。
正态分布曲线的形状呈钟形曲线，中心点其实是平均值μ，其左右两侧关于μ成镜像，曲线左右两端则以标准差σ为界，呈现出较为平缓的上升和下降曲线，其中坐标轴相交点及拐点部分高度大约为最高峰高度的半数，呈现出分布的最大密度区域。
曲线的峰值取决于数据集的平均值和标准差。
一般来说，均值越大，曲线越往右偏；标准差越小，曲线越尖锐。
标准差体现了单个数据点与均值之间的差距，标准差越大意味着数据的离散程度越大，曲线也就越宽。
偏态分布曲线同样是一种常见的分布曲线，其形状不对称。
例如，右偏分布曲线表明大部分数据都分布在偏离平均值较大的右侧，左偏分布曲线则表明大部分数据都分布在偏离平均值较大的左侧。
偏态分布曲线在描述实际数据时也有很大的应用，例如某些社会经济数据常常呈现出右偏分布，可以用来证明经济增长不均衡的情况。
除了正态分布和偏态分布之外，还有离散分布，如在离散事件模拟中，通过绘制系统处理事件的间隔时间分布曲线，可以对系统性能进行评估。
离散分布曲线的特点是分布区域有着明显的分离现象，如二项分布、泊松分布等，通常只有少量或仅有一个最大值。
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常态分布曲线和正态分布曲线
常态分布曲线和正态分布曲线是统计学中非常重要的概念，它们
在许多领域都起到了重要的作用。
本文将详细介绍这两个概念，并探
讨它们的特点、性质以及在实际应用中的意义。
首先，让我们来了解一下常态分布曲线和正态分布曲线的基本概念。
常态分布曲线是一种对称的连续概率分布曲线，也被称为高斯分
布曲线。
它的形状呈钟形，两侧对称，并且均值、中位数和众数重合。
正态分布曲线是常态分布曲线的一种特殊情况，具有相同的特征，但
均值为0，标准差为1。
因此，正态分布曲线也被称为标准正态分布曲线。
常态分布曲线和正态分布曲线在统计学中有着广泛的应用。
首先，它们可以用来描述大量数据的分布情况。
在许多实际问题中，我们经
常要研究一组数据的分布情况，而常态分布曲线和正态分布曲线给出
了一种理想模型。
通过分析这些分布曲线的形状、均值和标准差等参数，我们可以对数据的分布情况进行判断和描述。
其次，常态分布曲线和正态分布曲线也可以用来进行统计推断。
在统计推断中，我们常常需要根据样本数据来推测总体数据的性质。
常态分布曲线和正态分布曲线提供了一种便捷的统计工具，可以用来
计算样本数据与总体数据之间的关系，并进行相应的推断和预测。
此外，常态分布曲线和正态分布曲线还具有许多重要的性质。
首先，它们的面积总和等于1，这意味着整个分布曲线下的所有面积之和
为1。
其次，它们的均值、中位数和众数重合，这意味着数据的中心位置是确定的。
最后，它们的标准差决定了曲线的宽度，标准差越大，
曲线越宽，反之亦然。
在实际应用中，常态分布曲线和正态分布曲线被广泛应用于各个
领域。
例如，在自然科学研究中，我们可以通过测量和分析大量数据
的分布情况，来推测自然现象的规律和性质。
在社会科学研究中，我
们可以通过对人口数据、经济数据等的分析，来了解社会的特点和趋势。
在工程领域，我们可以通过对产品质量数据、生产效率数据等的
分析，来改进工程设计和提高生产效率。
总之，常态分布曲线和正态分布曲线是统计学中非常重要的概念。
它们不仅提供了一种理想的数据分布模型，而且具有广泛的应用价值。
通过对这些分布曲线的研究和分析，我们可以更好地理解数据的分布
规律，进行统计推断和预测，并在实际应用中更加准确地描述和解释
现象。
因此，研究和应用常态分布曲线和正态分布曲线是统计学领域
的重要课题，值得我们深入探索和研究。